图形的变换轴对称与旋转优秀课件
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问题4：如图，欲在河流a上造一座垂 直于河岸的桥，使某人从A到B的路程 最短，请问：桥应建于何处？
A
a
B
返回
例3：已知A、B表示两个村庄，
直线a、b表示两条河流。
问题5：如图，欲分别在河流a、b上各造一座
垂直于河岸的桥，使某人从A到B的路程最短，
请问：桥应建于何处？
A
b
B
返回
4，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB
截长补短
N
在∠MAN旋转过程中哪些量保持
不变？
E
BM
C
∠BAM +∠DAN=45°
证明：
⑶△ABC和△AED都是等边三角形；
E
A
A C
E
D
D
B
B
C
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑵△ABC和△AED都是等腰直角三角形；
E D
A
C B
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑷△ABC和△AED是顶角相等的等腰三角形.
中,你能否找到一条线段的长与线段DG的 长始终相等.并说明理由.
D
C
G F
A
B
E
图2
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑴四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形；
G D
A
C
F
B
E
例：请你根据条件找出图形中的
旋转后能重合的两个三角形，并
指出旋转中心和旋转的角度。
A
D
3
8
H
5
B4 E
F C
4,如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现 将△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA ． 则△ABC所扫过的图形面积为________．
B
F
C
A(C)
由平移变换特征可知图中有 哪些三角形全等？
△ABC≌ABF ≌ △AEF
∴ △ABC所扫过的图形面积
E
=3×3=9
•2.性质：
•①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的 两个图形全等).
•②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼 此相等(都是旋转角).•Biblioteka 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.
•3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
(五)图形的三种主要变换：
平移、旋转、轴对称
共同特征：变换后图形的形状和大小 都没有改变，线段的长度和角的大小 都不变，前后两个图形能完全重合， 即是全等图形.
A
E
D
B
C
返回
第二站 热身训练
3、如图所示是重叠的两个直角三角形。将其中
一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果
AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部
分的面积为________．
由平移前后图形面积不变 可知:
阴影部分的面积就可以转
换成图中可求的哪个图形
的面积？
S=(8+5) ×4÷2=26
例1：请你画一条直线，把下图分成 面积相等的两部分。
a ∴直线a就是所求作的直线。
例1：请你画一条直线，把下图分成 面积相等的两部分。
a
∴直线a就是所求作的直线。
练习1：请你画一条直线，把下 图分成面积相等的两部分。
练习2：请你画一条直线，把下 图分成周长相等的两部分。
3，把一个三角尺ACB绕着30°
•2.性质：
•①平移不改变图形的形状和大小(即平移前 后的两个图形全等).
•②对应线段平行且相等,对应角相等.
•③经过平移,两个对应点所连的线段平行且 相等.
•3.平移两要点:平移的①方向,②距离.
二、旋转
•1.旋转：
•如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一 个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为 旋转中心,转动的角度称为旋转角.
A
B a
C
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
问题2：如图，请在直线a上确定一点 C，使A、B到C点的距离之和最小。
A
B a
C D
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
问题3：如图，请在直线a上确定一点 C，使A、B到C点的距离之和最小。
A
a C B
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证
明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3时，通过观察，
测量判断线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量
关系？请直接写出你的猜想．
D
A
D
A
A D
N
B M （1 ） C
BM
N （2） C
MB
C
（3） N
猜想： BM+DN=MN
A
D
如何证明一条线段等于两 条线段的和？
随堂练习
1、如图,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看 作是旋转关系的三角形是（ C）.
A. ΔABC和ΔADE B. ΔABC和ΔABD
C. ΔABD和ΔACE D. ΔACE和ΔADE
A E
D
B
C
随堂练习
2、已知正方形ABCD和正方形AEFG有 一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按 顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程
＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得 到△P‘AB ，则点P与点P’ 之间的距离为__6_____，
∠APB＝__15_0_°__．
B
已知△APP′是等边三角形，由三
边的长度可以判定△BPP′是什么 特殊三角形？
P'
P
A
C
由旋转变换性质可知图中
有哪些等量关系？进而可
以判断△P‘AP什么特殊三
图形的变换轴对称 与旋转
•3.中心对称图形：
•如果一个图形绕一个点旋转1800后，与 原来的图形能够互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形,这个点叫做对称 中心.
•4. 性质：
•①两个图形全等.
•②对称中心平分两个对应点所连的线 段.
二、平移
•1.平移：
•如果一个图形沿某个方向平移一定的距离， 这样的图形运动称为平移.
的顶点B顺时针旋转，使得点A与
CB的延长线上的点E重合。则三角 尺旋转了__1_50____度，∠BDC=
由旋转变换性质 可知图中有哪些 等量关系？
__1_5____度
△BDC是什么
三角形？
A D
C
B
E
例：已知A、B表示两个村庄， 直线a表示一条河流。
题问1：如图，请在直线a上确定一点C， 使A、B到C点的距离相等。
角形？
5， （2008，黑龙江）已知正方形ABCD中，
∠MAN=45°，∠MAN绕点A沿顺时针旋转，它的
两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），通过
观察，测量，易知BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN （如图2）
所示的位置时，通过观察，测量猜想线段BM，DN
A
a
B
返回
例3：已知A、B表示两个村庄，
直线a、b表示两条河流。
问题5：如图，欲分别在河流a、b上各造一座
垂直于河岸的桥，使某人从A到B的路程最短，
请问：桥应建于何处？
A
b
B
返回
4，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB
截长补短
N
在∠MAN旋转过程中哪些量保持
不变？
E
BM
C
∠BAM +∠DAN=45°
证明：
⑶△ABC和△AED都是等边三角形；
E
A
A C
E
D
D
B
B
C
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑵△ABC和△AED都是等腰直角三角形；
E D
A
C B
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑷△ABC和△AED是顶角相等的等腰三角形.
中,你能否找到一条线段的长与线段DG的 长始终相等.并说明理由.
D
C
G F
A
B
E
图2
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑴四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形；
G D
A
C
F
B
E
例：请你根据条件找出图形中的
旋转后能重合的两个三角形，并
指出旋转中心和旋转的角度。
A
D
3
8
H
5
B4 E
F C
4,如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现 将△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA ． 则△ABC所扫过的图形面积为________．
B
F
C
A(C)
由平移变换特征可知图中有 哪些三角形全等？
△ABC≌ABF ≌ △AEF
∴ △ABC所扫过的图形面积
E
=3×3=9
•2.性质：
•①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的 两个图形全等).
•②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼 此相等(都是旋转角).•Biblioteka 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.
•3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
(五)图形的三种主要变换：
平移、旋转、轴对称
共同特征：变换后图形的形状和大小 都没有改变，线段的长度和角的大小 都不变，前后两个图形能完全重合， 即是全等图形.
A
E
D
B
C
返回
第二站 热身训练
3、如图所示是重叠的两个直角三角形。将其中
一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果
AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部
分的面积为________．
由平移前后图形面积不变 可知:
阴影部分的面积就可以转
换成图中可求的哪个图形
的面积？
S=(8+5) ×4÷2=26
例1：请你画一条直线，把下图分成 面积相等的两部分。
a ∴直线a就是所求作的直线。
例1：请你画一条直线，把下图分成 面积相等的两部分。
a
∴直线a就是所求作的直线。
练习1：请你画一条直线，把下 图分成面积相等的两部分。
练习2：请你画一条直线，把下 图分成周长相等的两部分。
3，把一个三角尺ACB绕着30°
•2.性质：
•①平移不改变图形的形状和大小(即平移前 后的两个图形全等).
•②对应线段平行且相等,对应角相等.
•③经过平移,两个对应点所连的线段平行且 相等.
•3.平移两要点:平移的①方向,②距离.
二、旋转
•1.旋转：
•如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一 个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为 旋转中心,转动的角度称为旋转角.
A
B a
C
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
问题2：如图，请在直线a上确定一点 C，使A、B到C点的距离之和最小。
A
B a
C D
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
问题3：如图，请在直线a上确定一点 C，使A、B到C点的距离之和最小。
A
a C B
例：已知A、B表示两个村庄，直 线a表示一条河流。
和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证
明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3时，通过观察，
测量判断线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量
关系？请直接写出你的猜想．
D
A
D
A
A D
N
B M （1 ） C
BM
N （2） C
MB
C
（3） N
猜想： BM+DN=MN
A
D
如何证明一条线段等于两 条线段的和？
随堂练习
1、如图,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看 作是旋转关系的三角形是（ C）.
A. ΔABC和ΔADE B. ΔABC和ΔABD
C. ΔABD和ΔACE D. ΔACE和ΔADE
A E
D
B
C
随堂练习
2、已知正方形ABCD和正方形AEFG有 一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按 顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程
＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得 到△P‘AB ，则点P与点P’ 之间的距离为__6_____，
∠APB＝__15_0_°__．
B
已知△APP′是等边三角形，由三
边的长度可以判定△BPP′是什么 特殊三角形？
P'
P
A
C
由旋转变换性质可知图中
有哪些等量关系？进而可
以判断△P‘AP什么特殊三
图形的变换轴对称 与旋转
•3.中心对称图形：
•如果一个图形绕一个点旋转1800后，与 原来的图形能够互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形,这个点叫做对称 中心.
•4. 性质：
•①两个图形全等.
•②对称中心平分两个对应点所连的线 段.
二、平移
•1.平移：
•如果一个图形沿某个方向平移一定的距离， 这样的图形运动称为平移.
的顶点B顺时针旋转，使得点A与
CB的延长线上的点E重合。则三角 尺旋转了__1_50____度，∠BDC=
由旋转变换性质 可知图中有哪些 等量关系？
__1_5____度
△BDC是什么
三角形？
A D
C
B
E
例：已知A、B表示两个村庄， 直线a表示一条河流。
题问1：如图，请在直线a上确定一点C， 使A、B到C点的距离相等。
角形？
5， （2008，黑龙江）已知正方形ABCD中，
∠MAN=45°，∠MAN绕点A沿顺时针旋转，它的
两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），通过
观察，测量，易知BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN （如图2）
所示的位置时，通过观察，测量猜想线段BM，DN