南京市2020年秦淮区一模试题(含答案)

2019-2020学年度第二学期第一阶段学业质量监测试卷
九年级数学
注意事项：
1.本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
2.答选择题必须用2B 铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卷．相应位置．．．．上） 1．计算(－a )3÷(－a 2)的结果是 A ．a
B ．－a
C ．1
D ．－1
2．请“宁”郊游！继餐饮、体育、图书、信息四大类消费券之后，南京再出重拳，发放13 000 000元乡村旅游消费券．用科学记数法表示13 000 000是 A ．0.13×108
B ．1.3×106
C ．1.3×107
D ．1.3×108
3．在某市2019年青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：
若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的38%，则小明所在的年龄组是
A ．13岁
B ．14岁
C ．15岁
D ．16岁 4．如图，数轴上的A 、B 两点所表示的数分别为a 、b ，则下列各数中，最大的是 A ．a b B ．a ＋b C ．a ＋b 2 D ．a －b
5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AED ，使点B 的对应点E 落在AC 上，连接CD ，则∠CDE 的度数不可能．．．
为 A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°
6．在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为 A ．
342
cm
B ．16
5
cm
C ．103417
cm
D ．522
cm
年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5
19
12
14 E
D
C
B A
（第5题）
a
b
A B
－1 0 1
（第4题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．
上） 7．－3的倒数是 ▲ ；－3的绝对值是 ▲ ． 8．不等式－x －1＞0的解集为 ▲ ． 9．计算
14
7
－28的结果是 ▲ ． 10．分解因式(a ＋b )2－4ab 的结果是 ▲ ． 11．设x 1、x 2是方程x 2－3x －5＝0的两个根，则x 1•x 2＋2x 1＋2x 2＝ ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，将函数y ＝2x 2的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单
位后，得到的图像的函数表达式是 ▲ ．
13．如图，□BCDE 的顶点B 、C 、D 在半圆O 上，顶点E 在直径AB 上，连接AD ，若
∠CDE ＝68°，则∠ADE 的度数为 ▲ °．
14．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若
BC ＝2AB ，AD ＝2，CF ＝6，则BE 的长为 ▲ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的腰AB 经过原点，底边BC 与x 轴平
行，反比例函数y ＝k
x 的图像经过A 、B 两点，若点A 的坐标为（1，4），则点C 的坐
标为 ▲ ．
16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，分别以AB 、AC 为边作正三角
形ABD 、ACE ，连接DE ，交AB 于点F ，则DF 的长为 ▲ ．
（第16题）
A
C
B
D
E
F
y ＝k
x
A
B
C
O x
y （第15题）
l 1 l 2
l 3
D B C E
F A
（第14题）
b
a
O
（第13题）
C
D
A
B
E
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算20202－2019×2022．
18．（7分）先化简，再求值： ⎝⎛⎭⎫2x ＋3 －1x －3÷x x 2－9
，其中x ＝6．
19．（8分）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点．作BE ∥AC ，且使BE ＝12
AC ，连接DE ，
DE 与AB 交于点F ． （1）求证DE ＝BC ；
（2）连接AE 、BD ，要使四边形AEBD 是菱形，△ABC
的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．
20．（7分）面对今年的新冠疫情，某区所有中学开展了“停课不停学”活动．该区教育主
管部门随机调查了一些家长对该活动的态度（A ：无所谓；B ：赞成；C ：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在图①中，C 部分所占扇形的圆心角度数为 ▲ °； （2）将图②补充完整；
（3）根据抽样调查结果，估计该区30000名中学生家长中有多少人持赞成态度？
（第19题）
F
D A
B
C
E
“停课不停学”活动家长三种态度分布统计图 A C B 85% ①
人数 48 96 144 192 0
A
态度
204
12 “停课不停学”活动家长三种态度人数统计图 B C
240
②
（第20题）
21．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市．以下四个是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽． （1）从中任意抽取一个会徽，恰好是“中国印·舞动的北京”的概率为 ▲ ； （2）从中任意抽取两个会徽，求恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．
22．（8分）如图，线段A ′B ′是线段AB 绕点O 逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°）． （1）用直尺和圆规作点O （保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接OA 、OA ′、A A ′、OB 、OB ′、BB ′，
求证△OAA ′∽△OBB ′．
23．（8分）已知二次函数y ＝(x －k )2＋2(x －k )（k 为常数）． （1）该函数的图像与x 轴有 ▲ 个公共点；
（2）在该函数的图像上任取两点A （2k ，y 1），B （2k ＋1，y 2），试比较y 1与y 2的大小．
2008北京奥运会会徽—
—中国印·舞动的北京
2008北京残奥会 会徽——天地人 2022北京冬奥会 会徽——冬梦 2022北京冬残奥会会徽——飞跃 （第21题）
B A
（第22题） B ′ A ′
【“数”的角度】
解：设较大数为x ，较小数为y ．
根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝14，
x －y ＝4．
解这个方程组， 得① ▲ ．
【“形”的角度】
解：设较大数为x ，较小数为y ．
根据题意，得y 与x 的函数关系为
y ＝－x ＋14， y ＝x －4．
在同一直角坐标系中画出它们的函数图像，得 ②（请在答题卡的指定位置画图）
两个函数图像的交点坐标为③ ▲ ．
24．（10分）从“数”与“形”两个角度解决问题1和问题2．
（1）问题1 两数之和为14，其中一个数比另一个数大4，求这两个数．
所以问题1的答案是④ ▲ ． （2）问题2 一根长16 cm 的铁丝能否围成面积为12 cm 2的矩形？
25．（7分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要
由 “引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为 “隔水”．下图中手卷长1000 cm ，宽40 cm ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100 cm ．若隔水的宽度为x cm ，画心的面积为15200 cm 2，求x 的值．
26．（8分）如图，O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 经过点A 、C ，交AB 于点D ．过点C
作CE ⊥AB ，垂足为E ．连接CD ，CD 恰好平分∠BCE ． （1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，CD ＝2，求BC 的长．
B
C
A
（第26题）
D
O
E
（第25题）
拖尾
画心 引首
100 cm
100 cm
x
x
x
x
x
x
27．（11分）【问题提出】
对于给定三角形，如何求它的外接圆直径呢？ 【初步思考】
对于任意三角形，可以分三类进行研究：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形．由于直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，故我们将研究的重点放在锐角三角形和钝角三角形上．下列研究以钝角三角形作为对象（可用类似方法研究锐角三角形）． 【深入研究】
规定△ABC 是钝角三角形，∠A 是钝角，⊙O 是△ABC 的外接圆，下面分4种情况求⊙O 的直径（结果需用含有各情况中表示线段或角的字母的式子表示）． （1）如图①，AB ＝m ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β．
思路：连接AO 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ．易得△ABD 是直角三角形，
AB ＝m ，∠D ＝∠C ＝β，此时可求出⊙O 的直径AD 的长． 根据上述思路，直接写出⊙O 直径的长．
（2）如图②，BC ＝m ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β．
类比（1）的思路，连接CO 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，则⊙O 的直径为 ▲ ．
（3）如图③，BC ＝m ，AB ＝n ，∠ABC ＝α．
（4）如图④，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．
（友情提醒：①结果不需化简；②本小题满分3分，当你不能计算出结果时，若
①
A
B C
O
D α
β
m ②
A
B C
O
α
β
m
D
n m ③
A
B C
O
α
b
c
a ④
A
B
C
O
能写出解决本题的完整．．
思路可得2分） 2019-2020学年度第二学期第一阶段学业质量监测
九年级数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
二、填空题（每小题2分，共20分） 7．－1
3；3 8．x ＜－1
9．0 10．(a －b )2
11．1 12．y ＝2(x －1)2＋5 13．44
14．10
3
15．（3，－4）
16．
13
2
三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）
解法一：原式＝20202－(2020－1)×(2020＋2)
＝20202－(20202＋2020×2－2020－2)
＝－2018．
解法二：原式＝4080400－4082418
＝－2018．
18．（本题7分）
解法一：⎝⎛⎭⎫2x ＋3 －1x －3÷x
x 2－9
＝⎝
⎛⎭⎪
⎫2(x －3)(x ＋3)(x －3) －x ＋3 (x ＋3)(x －3)÷x x 2－9
＝x －9(x ＋3)(x －3)·(x ＋3)(x －3)
x
＝x －9
x
．
当x ＝6时，原式＝6－96＝－1
2．
解法二：⎝⎛
⎭⎫2x ＋3 －1x －3÷x
x 2－9
＝⎝⎛
⎭
⎫2x ＋3 －1x －3·(x ＋3)(x －3)x
＝2x ＋3·(x ＋3)(x －3)x －1
x －3·(x ＋3)(x －3)x
＝2x －6x －x ＋3
x
．
＝x －9x
．
当x ＝6时，原式＝6－96＝－1
2
．
19．（本题8分）
（1）证明：∵D 是AC 的中点，
∴CD ＝1
2
AC ．
∵BE ＝1
2
AC ，∴CD ＝BE ．
∵BE ∥CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形． ∴DE ＝BC ．
（2）解：当AB ⊥BC （或∠ABC ＝90°）时，四边形AEBD 是菱形．
证明：∵D 是AC 的中点，∴AD ＝1
2
AC ．
∵BE ＝1
2
AC ，∴AD ＝BE ．
∵BE ∥AD ，∴四边形AEBD 是平行四边形． 由（1）得，四边形BCDE 是平行四边形． ∴DE ∥CB ．
当AB ⊥BC 时，∠ABC ＝90°．
∴∠AFD ＝∠ABC ＝90°，即AB ⊥DE ． ∴四边形AEBD 是菱形．
20．（本题7分）
解：（1）18．
（2）图略．A 有24人． （3）30000×85%＝25500（人）．
答：估计该区30000名中学生家长中有25500人持赞成态度．
21．（本题8分）
D A
B
C
E
F
解：（1）1
4
．
（2）任意抽取两个会徽，所有可能出现的结果有：（中国印·舞动的北京，天地人）、（中国印·舞动的北京，冬梦）、（中国印·舞动的北京，飞跃）、（天地人，冬梦）、（天地人，飞跃）、（冬梦，飞跃）共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是‘冬梦’和‘飞跃’”（记为事件A ）的结果有1种，所以P (A )＝1
6
．
22．（本题8分）
解：（1）
如图，点O 即为所求．
（2）∵线段A ′B ′为线段AB 绕点O 逆时针旋转后的图形，
∴OA ＝OA ′，OB ＝OB ′，∠AOA ′＝∠BOB ′． ∴OA OB ＝OA ′
OB ′
． ∴△OAA ′∽△OBB ′．
23．（本题8分）
解：（1）2． （2）方法一
因为点A （2k ，y 1）、B （2k ＋1，y 2）在y ＝(x －k )2＋2(x －k )的函数图像上， 所以y 1＝k 2＋2k ，y 2＝(k ＋1)2＋2(k ＋1)＝k 2＋4k ＋3． 所以y 2－y 1＝k 2＋4k ＋3－(k 2＋2k )＝2k ＋3． 当k ＜－3
2时，y 2－y 1＜0，y 1＞y 2．
当k ＝－3
2时，y 2－y 1＝0，y 1＝y 2．
当k ＞－3
2时，y 2－y 1＞0，y 1＜y 2．
方法二
函数 y ＝(x －k )2＋2(x －k )的图像的对称轴为直线x ＝k －1．
A
O
B
A ′
B ′
AB 中点的横坐标为4k ＋1
2．
根据图像可知：
当4k ＋12＜k －1，即k ＜－32时，y 1＞y 2．
当4k ＋12＝k －1，即k ＝－32时，y 1＝y 2．
当4k ＋12＞k －1，即k ＞－32
时，y 1＜y 2．
24．（本题10分）
解：（1）①⎩⎨⎧x ＝9，
y ＝5．
1分
②
③（9，5）．
④这两个数分别为9和5． （2）【“数”的角度】
方法一：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ． 根据题意，得x (8－x )＝12． 解这个方程，得x 1＝6，x 2＝2．
当x 1＝6时，8－x 1＝2；当x 2＝2时，8－x 2＝6．
答：一根长16 cm 的铁丝能围成面积为12 cm 2的矩形．
方法二：设铁丝围成的矩形一边长为x cm ，相邻的另一边为y cm ．
根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝8，
x •y ＝12．
解这个方程组，得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝6．
答：一根长16 cm 的铁丝能围成面积为12 cm 2的矩形．
【“形”的角度】
方法一：设铁丝围成的矩形面积为y cm 2，一边长为x cm ．
y ＝－x ＋14 x
y
O 1 1
2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 2 3
4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14
y ＝x －4
根据题意，得y 与x 的函数关系为y ＝x (8－x )＝－x 2＋8x （0＜x ＜8）． 在同一直角坐标系中画出它的函数图像和直线y ＝12，得
直线与该二次函数图像的交点坐标为（2，12），（6，12）．
答：一根长16 cm 的铁丝能围成面积为12 cm 2的矩形．
方法二：设铁丝围成的矩形一边长为x cm ，相邻的另一边为y cm ．
根据题意，得y 与x 的函数关系为y ＝－x ＋8（0＜x ＜8），y ＝12
x （x ＞0）．
在同一直角坐标系中画出它们的函数图像，得
两个函数图像的交点坐标为（6，2），（2，6）． 答：一根长16 cm 的铁丝能围成面积为12 cm 2的矩形．
25．（本题7分）
解：根据题意，得(1000－4x －200)(40－2x )＝15200．
解这个方程，得x 1＝210（不合题意，舍去），x 2＝10． 所以x 的值为10．
26．（本题8分）
（1）证明：连接OC ．
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°． ∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°． ∵CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠A ＝90°．
C
y
y ＝－x ＋8 x O 1 1
2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13 14 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y ＝12x y y ＝－x 2＋8x x
O 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5 6 7
8
9 10 11 12 13 14 y ＝12 15 16
∴∠DCE ＝∠A ．
∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA ． ∵CD 平分∠BCE ，∴∠DCE ＝∠DCB ． ∴∠DCE ＝∠A ＝∠OCA ＝∠DCB ． ∵∠ACO ＋∠OCD ＝90°，
∴∠DCB ＋∠OCD ＝90°，即OC ⊥BC ． ∵⊙O 经过半径OC 的外端点C ， ∴直线BC 是⊙O 的切线．
（2）解法一：
∵⊙O 的半径为3，
∴OC ＝3，A D ＝6． ∵CD ＝2，∴ AC ＝AD 2－CD 2＝62－22＝42．
∴ CE ＝AC ·CD AD ＝42
3．
∴ OE ＝OC 2－CE 2＝7
3
．
∵∠COE ＋∠OCE ＝∠BCE ＋∠OCE ＝90°，∴∠COE ＝∠BCE ． 又∵∠CEO ＝∠BEC ＝90°，∴△BEC ∽△CEO ． ∴CE OE ＝BC OC
． ∴42373＝BC 3． ∴BC ＝1227．
解法二：
∵⊙O 的半径为3，
∴A D ＝6． ∵CD ＝2，∴ AC ＝AD 2－CD 2＝62－22＝42．
∵∠BCD ＝∠A ，∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC ．
∴BD BC ＝BC AB ＝CD AC ． ∴BD BC ＝BC AB ＝24． 设BD ＝2x ，BC ＝4x ． ∴AB ＝82x ．
∵AB －BD ＝AD ，∴82x －2x ＝6．
∴x ＝327．
∴BC ＝4x ＝122
7
．
27．（本题11分）
解：（1）m
sin β
（或
m 2
tan 2β
＋m 2）． （2）m sin(α＋β)（或m
cos(90°－α－β)
或
m 2
tan 2
(α＋β)
＋m 2或m 2tan 2(90°－α－β)＋m 2）． （3）如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．
∴AD ＝AB •sin α＝n sin α，BD ＝AB •cos α＝n cos α． ∵CD ＝BC －BD ＝m －n cos α，
∴AC ＝AD 2＋CD 2＝(n sin α)2＋(m －n cos α)2． 连接CO 并延长，交⊙O 于点E ，连接AE ． ∵CE 是⊙O 的直径，
∴∠EAC ＝90°，且∠AEC ＝∠B ＝α． ∴EC ＝AC
sin α＝(n sin α)2＋(m －n cos α)2 sin α
．
∴⊙O 的直径为m 2＋n 2sin 2α＋n 2cos 2α－2mn cos α
sin α
．
（说明：答案为(n sin α)2＋(m －n cos α)2 sin α或m 2＋n 2－2mn cos α
sin α都得分）．
（4）如图，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接CE ． ∴∠ACE ＝90°．
过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． 设BD ＝x ．∵BC ＝a ，∴DC ＝a －x ． ∵AD ⊥BC ，∴AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2． ∵AB ＝c ，AC ＝b ， ∴c 2－x 2＝b 2－(a －x )2． ∴x ＝a 2－b 2＋c 2
2a ．
∵AD 2＝AB 2－BD 2，
∴AD ＝4a 2c 2－(a 2－b 2＋c 2)2
2a
．
∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°，∠B ＝∠E ， ∴△ABD ∽△AEC ． ∴AB AE ＝AD AC ． ∴⊙O 的直径为
2abc
4a 2c 2－(a 2－b 2＋c 2)2
．
m
D n
A
B
C
O
E
α
b
c
a
A B
C
O
D E
（说明：答案为2abc 4b 2c 2－(a 2－b 2－c 2)2或2abc
4a 2b 2－( c 2－a 2－b 2)2
也可．）。