圆锥曲线相交弦的一个共有性质
圆锥曲线中相交弦的有关性质
ｓ
Ｂ
图３
ｆ ， ｆ 相 交 于点 Ｐ， 直线 ｆ 。的方 程 为 Ａ ３ ＋Ｂ ３ Ｙ＋Ｃ ３ ＝ ０ （ Ａ Ｂ ≠Ｏ ， ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ） ． 若 存在 实数 Ａ ， Ａ ： ， 使 得 Ａ １ （ Ａ １ ＋ Ｂ１ Ｙ＋Ｃ １ ）＋Ａ ２ （ Ａ ２ ＋Ｂ ２ Ｙ＋Ｃ ２ ）＝ Ａ ３ ＋Ｂ ３ Ｙ＋Ｃ ３ ，
从 而
Ａ＝１或 ｘ ７ Ｙ ８ 一 ８ Ｙ ７ ＝ ０ ．
此时， 若 Ａ：１ ， 显然 ０ 为弦 Ｐ Ｑ 的 中点． 若ｘ ７ ｙ 。 一ｘ ｓ Ｙ ７ ＝０ ， 如 图 ２可 得 Ｒ ｔ ＡＯ Ｐ Ｅ＇ ． ＂ Ｒ ｔ ＡＯ Ｆ Ｑ， 则 ／Ｐ Ｏ Ｅ：／ ＿Ｆ Ｏ Ｑ， 因此 点 Ｐ， ０， Ｑ共 线 ， 此 时点 ０ 即为 点 ０ ． 若 Ｐ ａ 不存 在 ， 则直线 Ｐ Ｑ 方程 为 ＝ 。 ， 直 线 ＭＮ 的方 程 仍 为
＝ １，
ａ
＋
Ｄ
联 立方 程 组解 得
同理 可得
一 一
（ 旦 二 旦 ２ ，一 ｂ （ ｃ ｏ ｓ ￣－ ｃ ｏ ｓ ｙ ）
ｓ ｉ ｎ （ 一 ） ’ 一 ｓ ｉ ｎ （ 一 ） ’
ａ （ ｓ ｉ ｎ Ｏ—ｓ ｉ ｎ ｏ ￣ ） ｂ （ ｃ ｏ ｓ 一ｃ ｏ ｓ ０ ）
２
． ．
２
设椭圆的标准方程为 ＋ 一＝ ， １ ， 点０ （ 。 ， Ｙ 。 ） ， Ａ （ ， Ｙ ） ， （ ： ， Ｙ ） ，
Ｃ（ ３ ， Ｙ ３ ） ， ｎ（ ｘ ， Ｙ ） ， Ｍ（ ｘ ５ ， Ｙ ５ ） ， Ｎ（ ｘ ６ ， Ｙ ６ ） ， Ｐ（ ７ ， Ｙ ７ ） ， Ｑ（ ８ ， Ｙ ８ ） ． 由文 献 ［ １ ］ 可
高中数学圆锥曲线性质与公式总结
1 r22
1 a2
1 b2
(r1 | OP |, r2
| OQ |)
.
16．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上中心张直角的弦
L
所在直线方程为
Ax By
1
( AB
0)
,则(1)
1 a2
1 b2
A2 B2 ;(2)
L
2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2
或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一
条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：x a2 (或 m
y b2 )上. m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相
1
则直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．椭圆 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 SF1PF2
b2
tan 2
， P(
a c
c2 b2 tan 2 , b 2 tan ) 2c 2
应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
圆锥曲线中常用结论和性质
焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p PQ x x x x p =+++=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中已知抛物线，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，直线的倾斜角为，求证：。
直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。
（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解直线与抛物线相离。
直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。
设线段AB 为抛物线的弦，A 、B 的坐标为、，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M ，则（1）（2）直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点。
求证：，2214p x x =A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM AB 于M ，求点M 的轨迹方程 双曲线设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
焦点三角形12PF F △的面积：122cot 2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。
（4）方程组有一组解直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；（5）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）（6）方程组无解直线与抛物线相离。
圆锥曲线综合.板块七.相交弦问题.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
【例1】 设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．⑴过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；⑵设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·0FA FB =，延长AF BF ，分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．【例2】 P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．【例3】 已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点,且AC BD ⊥，垂足为P ．⑴设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；⑵求四边形ABCD 的面积的最小值．典例分析板块七.相交弦问题【例4】 如图，椭圆22221x y a b+=上的点M 与椭圆右焦点2F 的连线2MF 与x 轴垂直，且OM（O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．⑴求椭圆的离心率；⑵1F 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：12π2FCF ∠≤； ⑶过2F 且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若1PFQ ∆的面积是，求此时椭圆的方程及PQ 的长．【例5】 已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵ 设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．yxOMFDCBA【例7】 已知动点P 到点(20)F ，的距离与它到直线1x =⑴求动点P 的轨迹方程；⑵设点P 的轨迹为曲线C ，过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 交曲线C 于A 、B 两点，2l 交曲线C 于M 、N 两点．求证：11FA FB FM FN+⋅⋅为定值．【例8】 已知动点M 到点()1,0F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．⑴求点M 的轨迹C 的方程；⑵过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段,AB MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； ⑶在⑵的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．。
圆锥曲线统一性质(动态图示)
目录一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二圆锥曲线动态结构135例众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究1动点P 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ =u u u u r u u u u r，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线 备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线 备用课件问题探究2已知定点(1,0)A -，定直线1l ：3x =-，动点N 在直线1l 上，过点N 且与1l 垂直的直线2l 上有一动点P ，满足PAPNλ=，请讨论点P 的轨迹类型. 实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究3已知两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足条件8PA PB +=，另一动点Q满足0,()0PA PB QB PB QP PA PB•=•+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4已知两定点(2,0),(2,0)A B -，动点P 满足条件2PA PB -=，动点Q 满足()0PA PBQB PA PB•+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()0PA PB QP PA PBλ++=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆） 备用课件5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质问题探究51．已知动点P在椭圆22143x y+=上，F为椭圆之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF+u u u u r u u u r是否为定值2．已知点P在双曲线22143x y-=上，F为双曲线之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF-u u u u r u u u r是否为定值实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质问题探究6过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质问题探究71．已知动点P在椭圆22143x y+=上，12,F F为椭圆之左右焦点，点G为△12F PF的内心，试求点G的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线22143x y-=上，12,F F为双曲线之左右焦点，圆G是△12F PF的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件 双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C ∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C ∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为(1,3)e =r 的直线l 过点(0,23)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=019．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一问题探究19已知椭圆22184x y +=，过点T(1,0)的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明∣TN ∣=∣TM ∣.实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点 T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二问题探究20已知椭圆22184x y +=，过点(0,1)T 的直线12,l l 分别交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点和3344(,),(,)C x y D x y 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明1324y y y y -=-.实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M 的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过双曲线虚轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）问题探究21已知椭圆22184x y +=，过原点(0,0)O ，点(2,1)T 的直线l 交椭圆于点N ，过点T 的中点弦为AB ，过A ，B 分别作切线12,l l 且交于点P ，求证：2||||||OT OP ON =.实验成果动态课件椭圆中心O 与点00(,)P x y 的连线交椭圆于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动.备用课件双曲线中心O 与点00(,)P x y 的连线交双曲线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动(直线保持平行).备用课件设过点P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||O Q O P O N ∞∞∞=.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线00()y y p x x =+作反向运动(直线保持平行).备用课件22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）问题探究22过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l 过点P 与抛物线交于两点C 、D ，与直线AB 交于点Q ，试探求||PQ PQPC PD +的值是否为定值.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，与椭圆切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，与双曲线切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件 过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）问题探究23已知椭圆22184x y +=，过点T (1,0)的直线1l ，2l 分别交椭圆于两点C 、D ，点Q 在直线l 上，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，试探求点Q 的轨迹.实验成果动态课件过椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然. 备用课件24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）问题探究24过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l ：2x =与抛物线交于点N ，与直线AB 交于点Q ，求证：（1）N 点处的切线与直线AB 平行.（2）AQ QB =u u u r u u u r.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦001Ax x By y +=.备用课件双曲线221Ax By +=中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦001Ax x By y +=. 备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦. 备用课件25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）问题探究25过抛物线2y x =外一点(1,2)Q 作抛物线的中点弦AB （Q 为AB 中点），两条切线PA ，PB 交于点P ，过点P 作直线l ，且l ∥AB ，点G 是直线l 上的动点，过G 作抛物线的两条切线GC 、GD ，求证：直线CD 过定点.实验成果动态课件点T 是与椭圆221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与双曲线221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与抛物线22y px =外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .（PQ 平行对称轴）备用课件26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究26已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分 备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分 备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分 备用课件27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二问题探究27已知双曲线22131x y -=，过(,0)N t 点的直线1l 交双曲线于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分. 备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过抛物线对称轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被对称轴平分 备用课件28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线问题探究28抛物线24y x =，直线l 过点(,0)F t 并交抛物线于M 、N ，若)0(>=λλFN MF ，直线x t =-与x 轴交于点E ，试探究：EN EM EF λ-与的夹角是否为定值.实验成果动态课件过点Q (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，2(,0)a P t三点共线.备用课件过点Q (T ,0)的任一直线交双曲线于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ， 2(,0)a P t三点共线.备用课件过点P (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，P ’(-t ,0)三点共线.备用课件29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质问题探究29过点(2,0)P 作抛物线24x y 的切线P A （斜率不为0），F 为焦点，研究斜率PF PA k k 与的关系.实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等. 备用课件30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质问题探究30过点(1,2)P 作抛物线24y x =的直线P A 、PB ，且斜率0PB PA k k =+. （1）探究直线AB 的斜率是否为定值.（2）试研究三角形P AB 的面积是否有最大值.实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件31．圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质问题探究31已知椭圆22184x y+=的动弦AB的中点为M，试研究斜率AB OMk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值1PA PBK K⋅=-备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=-备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=备用课件32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）问题探究32已知点P为椭圆22184x y+=上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率OPk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值1PO LK K⋅=-备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=-备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=备用课件。
浅谈圆锥曲线中的“相交弦定理”
浅谈圆锥曲线中的“相交弦定理”
圆锥曲线中的“相交弦定理”被普遍应用于几何学中，它提出来的定理和实际
应用有深远的影响，也是众多几何学研究的基础。
“相交弦定理”在几何学中的含义概括起来就是：在同一曲率图形中，两条相
交弦的外角和等于将它们连接处的内角。
更为具体地说，对于一个标准的圆锥曲线，如果两条相交弦在一起所形成的外角之和为π，则将它们相交处的内角也等于π。
“相交弦定理”为几何学提供了许多有用的实际应用，它可以用于测量和计算
圆锥曲线图形的几何结构。
此外，它在艺术设计、建筑学等领域中也是一种重要的工具，可以综合考虑不同的图形元素，以创造出更具吸引力的设计产品。
“相交弦定理”的应用范围广泛，在目前的生活中，它的影响几乎无处不在。
它应用于游戏、娱乐等众多领域，以产生出许多优秀的结果。
例如，当我们玩围棋时，都会注意到它们之间的外角和内角；当我们正在参加一场乒乓球赛时，也会注意到桌子上的“相交弦定理”。
总之，圆锥曲线中的“相交弦定理”在几何学和其他领域拥有广泛的实际应用，它不仅可以帮助人们解决复杂的几何问题，还可以丰富我们的娱乐活动，增进我们的生活幸福感。
过焦点轴上定点相交弦的一个有趣性质
过焦点轴上定点相交弦的一个有趣性质
孙秀亭; 李永利
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)009
【摘要】文[1]、[2]相继给出了圆锥曲线的焦点弦与定点弦的耐人寻味的性质．我们经过探究，得到圆锥曲线的过焦点轴上一定点两相交弦颇有趣味的性质，现抄录于下与君共赏．
【总页数】3页(P13-15)
【作者】孙秀亭; 李永利
【作者单位】河南质量工程职业学院数理室 467000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
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圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料
圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。
人教版 高中数学【选修 2-1】第三章圆锥曲线的概念及性质
人教版高中数学精品资料重点列表： 重点 名称 重要指数 重点1 椭圆 ★★★★ 重点2 双曲线 ★★★ 重点3 抛物线★★★★椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b + 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞ 条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系． 【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点． 解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9， 解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92， 或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92， 或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12， 或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处． 椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
圆锥曲线的一个统一结论
注本解法利用平均不等式，直接给出解答，不同于评分标准利用导数给出解法.另外，当圆M与抛物线E 内切时，四边形ABCD 退化为直线AB .于是当x = 2，即r =半时，四边形ABCD 面积最小值是 0．3四边形ABCD 变化情况(1)当圆M 与抛物线E 内切时，四边形ABCD 的边CD 与AB 重合，边AB, BC 为圆M 的切线.此时，由切线方程2x 土石y = 1 ,得两切线的交点坐7标Q (2 - 0) •于是，由过圆切点A, B 的两切线与直1 72 厅线AB 围成的三角形QAB 的面积S =呂q -冷-2店和•2x 的方程为：x 2 -kx + f (r ) = 0 ( k 为k > j 的常数,k 2 k0＜如＜丁)，则当且仅当如=6时，四边形ABCD 的面积最大值是J *(¥)3 •证明由方程x 2 -kx + f (r ) = 0 ,得A - B, C , D 四个交点存在的充要条件是:A = (-k )2 - 4f (r ) > 0-< x 】+ x 2 = k > 0,x i x 2 = f (r ) > 0,k 2解得 0 < f (r ) < — •4于是由前面四边形ABCD 面积公式得：S = (J x 2 + x 1 - 2^x 1 x 2)(x 2 + x 1 + 2y/x 1 x 2)=(J k -2f r (k +2fT ))(x 1 + x = k ,品2 = )(2)当圆M 与抛物线E 外切时，四边形ABCD的点A, B 与坐标原点O 重合，即四边形ABCD 退化为三角形OCD .对于r = 4 ,由方程x 2 -7x +16-r 2=x 2 - 7 x = 0,得坐标点 C (7--朗),D (7,7).于是，当r = 4时，三角形OCD 的面积S = 2• 7• 2护=讪.综上，原试题变形为如下问题：问题1如图1,已知抛物线E : y 2 = x 与圆M : (x - 4)2 + y 2 = r 2(r ＞ 0)相交于 A - B, C , D 四个点，求过点A, B, C , D 的直线围成的封闭图形的面积，并且当r 取何值时，四边形ABCD 的面积有最值.4变圆推广为相关的二次曲线问题2已知抛物线E : y 2 = x 与关于x 轴对称的变二次曲线M : f (x , y , r ) = 0 ( r 为参数)相交于四个点A, B , C , D ,若二次曲线E 与M 构成的关于=士 J2k - 4f )J(k +)(k + )v2于是，当且仅当2k - 4f ) = k +，即f (r )=咯 < 与时,四边形ABCD 面积S max364参考文献［1］ 赵振东.009年全国高考数学理科I 卷［J ］.数学教学通讯,2009(26)：44-46［2］ 赵临龙.一道全国高考数学题解法的面积求法研究［J ］.数学学习与 研究，2019 (23)： 149-150(本文系安康学院硕士点培育学科一教育硕士(数学)建设项目(项 目编号：2016AYXNZX004)部分研究成果)圆锥曲线的一个统一结论敬加义 黄超英 余胜蓝四川省绵阳开元中学(621000)文［1-2］研究了圆锥曲线中的相交弦定理、切割繁琐，并且其结论与圆锥曲线的参数没有关联，文线定理，美中不足的是其推导和论证都是分别针对 ［3］回避了这些不足，但仅仅解决的是相交弦问椭圆、双曲线、抛物线三种情形进行的，过程显得题.本文使用圆锥曲线的统一方程，得到关于圆锥曲线优美的、统一的相交弦和割线的结论.圆锥曲线的统一方程为r:(1-e2)x2+y2-2pe2x -P2e2=0，其中，p,e分别是圆锥曲线的焦准距、离心率.定理设点P(x°-y°)是圆锥曲线「:(1-e2)x2+y2 -2pe2x-P8=0所在平面上一点，P不在「上，过P作倾斜角为0的直线厶与「交于A B两点，再过P作倾斜角为0的直线厶与「交于C,D两点.(1)若点P是AB,CD两弦的内(外)分点，贝|P4H PB|=1-e Los20.则|PC|•|PD\~1-e2cos20'(2)若点P是AB,CD两弦中一条弦的内分点，另一条弦的外分点，则晋罟=兰鹽J lD图2图1证明图1、图2分别是点P在圆锥曲线「内部和外部两种情形.设直线l的参数方程：[x=x°+ltcos00(t为参〔y=y°+1sm0,数)，将该方程代入「的方程，有(1-e2)(x°+1cos0)2 +(y°+1sin0)2-2pe?(x°+1cos0)-p2e2=0.整理得(1-e2cos20)t2+2[(1-e2)x0cos0+y0sin0 -pe1cos0]t+[(1-e2)述+y；-2pe1x°-p2e2]=0.由于直线l1与厂交于A-B两点，因而该方程有两个不等实根t1-t2,所以1-e2cos20主0,那么t1-t2分别为A-B两点所对应的参数，tt-(1-')x0+y o-2x0—pet1t21-e2cos20当点P是AB,CD两弦的内分点时,-(1-e?)x+y2-2P ex0-pe 贝丨PA丨•丨PB丨=________1-e?cos20________ |PC|•|PD|-(1-/)x+y2-2P ex0-p2e1-e cos20=1-e cos201-e2cos20当点P是AB,CD两弦的外分点时，由参数t的几何意义知t-,2同号，所以住＞0,因此|PA|•|PB冃t1|•112冃“2|=“2=(1-/)x+y2-2P ex0-Pe.1-e cos20；同理|PC H PD|=(1-e2)+巴-2P e廿P2e2.1一e cos0(1-x+y2-2P e x0-p2e 则丨PA丨•丨PB丨=_______1-e?cos20________ |PC|•|PD|(1-x+y2-2P e x0-P2e1-e cos20=1-e cos201-e2cos20所以，当点P是AB,CD两弦的内(外)分点时，结论(1)成立；当点P是AB CD两弦中一条弦的内分点，另一条弦的外分点时，不妨设点P是弦AB内分点,弦CD的外分点，那么分别有：|PA|•|PB冃K|•|t2冃却2〔=-住=一(1-x0+y2-2P e x0-P e；1-e2cos20；|PC|•|PD|=(1-护)垃+y2-2p e1兀-p2e1-e cos20一 (1-/)x+y0-2P ex0-pe则丨PA丨•丨PB丨=________1-e?cos20________ |PC|•|PD|(1-/)x+y2-2P ex0-p2e1-e cos20_1-e2cos201-e cos200由参数t的几何意义知t-,2异号，所以住＜0,因此|PA|•|PB冃t1|•|(2冃“2|=-“2 =-(1-/)x0+y2-2P ex0-pe；1-e2cos20；结论(2)成立，定理证毕.若a=b，则厂：x2+y2=&是半径为a的圆,此时e=0,无论点P是弦AB、弦CD内分点还是外分点，总有1-e cos201=1-e cos201-02•cos201-02•cos20|=1，从而同理|PC|・|PD|=-(1-护)x0+y0-2pe1x0-pe1-e2cos20可得r=1,即|PA|•|PB|=|PC|•|PD|,此即为圆幕定理.由此表明本文定理是圆中的“相交弦定理”、“割线定理”，也即圆幕定理在圆锥曲线上的推广.从定理证明过程可以看出，点P（x°，v0）内分（或外分）圆锥曲线「的弦AB所得线段PA,PB的长度之积|PA|-|PB|不仅与点P的位置有关，还与直线PAB的倾斜角有关；定理的结论表明，比值I P；「|；：［与点卩氏,v。
圆锥曲线的共性探索
+ 2 a2 k ( ak + m) x + a2 [ ( ak + m) 2 - b2 ] = 0 ,
所以
x1
+ x2
=-
2 a2 k ( ak + m) b2 + a2 k2
,
x1 ·x2
=
a2 [ ( ak + m) 2 b2 + a2 k2
b2 ] ,又因为
y1 = k ( x1 + a) + m , y2 = k ( x2 + a) + m ,
专题研究
圆锥曲线的共性探索
(浙江丽水学院附中 323000) 刘伟刚
圆锥曲线 ( 椭圆 、抛物线) 有许多共同的性
质 ,如 :都是二次曲线 ; 都是圆锥被一平面所截得
到的截线 ;都是到一定点与到一定直线距离之比
为一定值的点的轨迹. 以上都已是众所周知 , 但还
有不少却不为读者熟知. 笔者在教学中 , 收集了如
am
若 A 为右顶点 ,则有 kA P
+ kAQ
=-
2 b2 . am
同理可得 :抛物线 y2 = 2 px ( p > 0) 有
kA P
+ kAQ
= 2p; m
双曲线
x2 a2
-
y2 b2
= 1 ( a > 0 , b > 0) ,有 kAP +
kAQ =
2 b2 ( A 为左顶点时为“- ”) .
(
y0 ( b2
kx 0 ) 2 - a2 + a2 k2 ) x0
b2
,
由已知直线 PB 斜率为 - k ,由
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线相交弦的性质
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圆锥曲线常用8种解法、7种常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bxa y +＝1（0ab >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22--- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
圆锥曲线中的相交弦和切割线定理
圆锥曲线中的相交弦和切割线定理圆锥曲线中的相交弦和切割线定理1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面上与两个固定点F1和F2的距离之比等于一个常数e的点P，其中e称为离心率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
2. 相交弦和切割线在圆锥曲线中，相交弦和切割线是两个重要的概念。
相交弦是指与圆锥曲线相交于两点的直线段，而切割线则是与圆锥曲线只有一个交点的直线。
3. 相交弦的性质3.1 相交弦的长度在圆锥曲线上，相交弦的长度并不是固定的，而是随着弦所在的位置而变化的。
通过数学推导和几何证明，可以得出相交弦长度与离心率e之间的关系。
3.2 相交弦的切线性质相交弦还具有切线性质，即相交弦两端的切线在相交点处平行。
这一性质是圆锥曲线独特的特征，也是其在几何学和物理学中的应用基础。
4. 切割线定理4.1 切割线定理的表述切割线定理是圆锥曲线中一个重要的几何定理，它指出从圆锥曲线上一点引出的切线与两个焦点的连线所夹的角等于这个角的补角和一个固定的角。
这个固定的角取决于圆锥曲线的形状和离心率。
4.2 切割线定理的应用切割线定理在光学、天文学和工程学中有着广泛的应用。
通过切割线定理，可以计算出光线在圆锥曲线上的反射、折射和散射情况，从而指导实际工程和科学研究的进行。
5. 个人观点与理解圆锥曲线中的相交弦和切割线定理是几何学和应用数学中的重要概念，它们不仅具有理论上的意义，还能在实际问题中发挥作用。
通过深入学习和理解这些概念，可以提升对圆锥曲线以及相关领域的认识和应用能力。
结束语在本文中，我们探讨了圆锥曲线中的相交弦和切割线定理，并阐述了它们的性质和应用。
通过深入研究这些概念，我们能够更好地理解几何学和应用数学，并在实际问题中加以运用。
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：6. 相交弦和切割线定理的推广6.1 圆锥曲线的特殊案例在圆锥曲线的研究中，如果将离心率e取不同的值，可以得到不同的圆锥曲线。
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圆锥曲线相交弦的一个共有性质
摘要：本文从人教版教材选修4-4第38页上一道例题出发，给出了此类题的多种解法，并对其进行了推广，得到了圆锥曲线相交弦的一个性质.
关键词：圆锥曲线；相交弦；直线参数方程；弦长公式【原题】如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，求证：PA?PB=PC?PD.
图1
证明：建立如图1所示的坐标系，设椭圆的方程为+=1（a>b>0）. ①
设∠1=θ，P的坐标为（x0，y0），则直线AB的参数方程为x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）. ②
将②代入①并整理，得到
（b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2（b2x0cosθ+a2y0sinθ）t+（b2x+a2y-a2b2）=0. ③
记③式的两根分别为t1，t1，容易得到
PA?PB=t1?t2=t1?t2=. ④
同理，对于直线CD，将θ换为π-θ，即得到，
PC?PD = =. ⑤
由④⑤，得到PA?PB=PC?PD.
笔者发现，该结论可以推广到双曲线和抛物线.
【推广1】AB，CD是双曲线-=1（a>0，b>0）的两条相交弦，交点为P. 两弦AB，CD的斜率互为相反数，求证：PA?PB=PC?PD.
分析：类同于上一题的证明，我们也可以用直线的参数方程解决此题.现设直线的普通方程，用弦长公式推导此命题如下.
证明：设P的坐标为（x0，y0），设直线AB的方程y-y0=k （x-x0），记A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立y-y0=k（x-x0），-=1，
得到：（a2k2-b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2?（y0-kx0）
2+a2b2=0；①
得到：x1+x2=，x1?x2=.②
因为PA=x1-x0，PB=x2-x0，
所以PA?PB=（1+k2）（x1-x0）?（x2-x0）=（1+k2）x1x2-x0（x1+x2）+x. ③
把②代入③，得到
PA?PB=（1+k2）-x0+x=（1+k2）?. ④
显然，把④式中的k改为-k，即得到：
PC?PD=（1+k2）=（1+k2）. ⑤
由④⑤，得到PA?PB=PC?PD.
【推广2】AB，CD是抛物线y2=2px（p>0）的两条相交弦，交点为P. 两弦AB，CD的斜率互为相反数，求证：PA?PB=PC?PD.
证明：设P的坐标为（x0，y0），则直线AB的参数方程为x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）.①
将①代入y2=2px（p>0）并整理，得到
（sin2θ）t2+（2y0sinθ-2pcosθ）t+y-2px0=0. ②
由sin2θ≠0，记②式的两根分别为t1，t2，
容易得到PA?PB=t1?t2=t1?t2=. ③
同理，对于直线CD，将θ换为π-θ，即得到，
PC?PD==. ④
由③④，得到PA?PB=PC?PD.。