数学分析教案(华东师大版)第十二章数项级数

第十二章数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§1 级数的收敛性

一．概念：

1．级数：级数，无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为.

2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 .

以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余

和以及求和等概念 .

例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）

解时, . 级数收敛;

时, 级数发散;

时, , , 级数发散;

时, , , 级数发散 .

综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始).

例2讨论级数的敛散性.

解（利用拆项求和的方法）

例3讨论级数的敛散性.

解设,

,

=

, .

, .

因此, 该级数收敛.

例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散.

3.级数与数列的关系:

对应部分和数列{}, 收敛{}收敛;

对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛.

可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .

4. 级数与无穷积分的关系:

, 其中. 无穷积分可化为级数;

对每个级数, 定义函数, 易见有

=.即级数可化为无穷积分.

综上所述, 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .

二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 .

Th ( Cauchy准则) 收敛和N,

.

由该定理可见, 去掉或添加上或改变( 包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时, 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表为或.

系( 级数收敛的必要条件) 收敛.

例5证明级数收敛 .

证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有

应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.

例6判断级数的敛散性.

( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)

例7( 但级数发散的例) 证明调和级数发散 .

证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证)

证法二证明{}发散. 利用已证明的不等式

. 即得，.

三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）

性质1 收敛，—Const 收敛且有=

( 收敛级数满足分配律)

性质2 和收敛，收敛, 且有

=.

问题: 、、三者之间敛散性的关系.

性质3 若级数收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律)

例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题?

§2 正项级数

一. 正项级数判敛的一般原则:

1.正项级数: ↗; 任意加括号不影响敛散性.

2.基本定理:

Th 1 设. 则级数收敛 . 且当发散时, 有, . ( 证)

正项级数敛散性的记法 .

3.正项级数判敛的比较原则:

Th 2 设和是两个正项级数, 且时有, 则ⅰ> <, <;

ⅱ> =, =.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题)

例1考查级数的敛散性 .

解有

例2设. 判断级数的敛散性 .

推论1 ( 比较原则的极限形式) 设和是两个正项级数且,则

ⅰ> 时, 和共敛散;

ⅱ> 时, <, <;

ⅲ> 时, =, =. ( 证)

推论2 设和是两个正项级数, 若=，特别地，若～,，则<=.

例3判断下列级数的敛散性:

⑴; ( ～) ; ⑵;⑶ .

二.正项级数判敛法:

1．检比法：亦称为D’alembert判别法 .

用几何级数作为比较对象, 有下列所谓检比法 .

Th 3 设为正项级数, 且及时

ⅰ> 若, <;

ⅱ>若, =.

证ⅰ> 不妨设时就有成立, 有

依次相乘, , 即

. 由, 得, <.

ⅱ>可见往后递增, .

推论( 检比法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则ⅰ> <, <; ⅱ> >或=, =. ( 证)

註倘用检比法判得=, 则有.

检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.

例4 判断级数

的敛散性.

解, .

例5讨论级数的敛散性.

解.

因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散.

例6判断级数的敛散性 .

注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定 . 例如对级数和, 均有，但前者发散, 后者收敛 .

2. 检根法( Cauchy判别法): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.

Th 4 设为正项级数, 且及, 当时,

ⅰ>若, <;

ⅱ>若, =. ( 此时有.) ( 证) 推论( 检根法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则

, <; , =. ( 证)

检根法适用于通项中含有与有关的指数者 . 检根法优于检比法.

例7研究级数的敛散性 .

解, .