工程力学：第三章 轴向拉压变形
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第三章 轴向拉压变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理， 例题 节点位移计算，小变形
轴向变形与胡克定律
拉压杆的轴向变形
E
(当 p时)
FN
A
l FNl －胡克定律
EA
l
l
EA－杆截面的抗拉压刚度
l－伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
轴力分段（阶梯形杆）
l n FNili i1 Ei Ai
f (l1, l2, l3 ) 0 F (FN1, FN2, FN3 ) 0
li ~ FNi (i 1,2,3)
补充方程
变形与受力关系 一度静不定
E1A1= E2A2
平衡方程
FN2sin - FN1sin 0
FN1cos FN2cos FN3 F 0
变形几何关系
l1 l3cos 变形协调方程
E3 A3
综合考虑三方面 综合考虑静力、几何与物理三方面
外力与 FNi 之间满足静力平衡方程 各 li 之间满足变形协调方程 li 与FNi 之间满足给定物理关系（例如胡克定律）
静不定问题的内力特点
内力分配与杆件刚度有关 一般讲，EiAi ，FNi
例 1 求两端固定杆的支反力
解：1. 静力学方面 支反力－2，平衡方程－1，1 度静不定
Ay
AA5
l1 cos 45
l2
()
小变形概念
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束
反力与内力——刚性假定；
采用切线代圆弧的方法确定节点位移；
位移与应变成线性
内力、应力与载荷成线性
例题
例 F1 = F2 / 2 = F ，求截面 A 的位移
l2
)
(l )分解载荷 lF1 lF2
F2(l1 l2 ) F1l1 EA EA
3. 比较
(l )分段 (l )分解载荷
载荷同时作用
载荷单独作用之和
叠加原理（力的独立作用原理）
“ 几个载荷同时作用所产生的总效果，等 于各载荷单独作用产生的效果的总和”
说明： 1）Δ1----支反力、内力、应力、位移、应变， F ----广义载荷：力、力偶矩、分布力； 2）同一点（或截面）处的同类量叠加；
泊松比
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
' －泊松比 (横向变形系数） Poisson’s Ratio
• 对于绝大多数各向同性材料 0 0.5
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
E
'
E
E、 G、 之间的关系
G E 理论与实验均已证实
2(1 )
l
E 148.2 MPa
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
横截面内任一点、 在任一方向上的应变
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已
知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
刚体 EA
解：1.Baidu Nhomakorabea计算 FN与 l
MB＝0
FN
2F1 F2 sin 30
6F
l
6F
l sin 60
4
3Fl
EA
EA
2. 画变形图
刚性杆不变形
3. 位移计算
Ay
AA'
2CC'
2l cos 60
16 3Fl EA
( )
简单拉压静不定问题
静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题
静不定问题与静不定度
静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反 力与内力）的问题 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题
一 度 静 不 定
静定问题
静不定问题
静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法
求解思路
建立平衡方程
变形协调条件
分析变形，建立补充方程
各杆变形间满 足一定关系
应用条件： 载荷的效果（内力、应力、变形）与载荷成线性关系
例题
例 8-7 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3。经预紧后，轴 向变形 l ＝0.04 mm。试求： (a) 螺拴横截面上的正应力
(b) 螺拴的横向变形 d
解：1. 横截面正应力
l 7.41 10-4
变截面变轴力杆 取微段dx,
微段变形 FN ( x)dx
EA(x)
FNi－杆段 i 轴力（设正） n－总段数，l—伸长为正
l FN ( x) dx l EA( x)
横向变形与泊松比 拉压杆的横向变形
横向变形 b b1 b
横向应变 ' b
b
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
FN2 F2
(l )分段
FN1l1 EA
FN2l2 EA
(F2 F1 )l1 EA
F2l2 EA
(l )分段
F2(l1 EA
l2 )
F1l1 EA
2. 分解载荷法
lF1(
l)分F段1l1
EA
F2(lElF12Al2F) 2(ElFE11AAl1
Fx 0, F FAx FBx 0 (a)
2. 几何方面
lAC lCB 0
3. 物理方面
lAC
FN1l1 EA
FAxl1 EA
lCB
FN2l2 EA
(FBx )l1 EA
4. 建立补充方程
lAC lCB 0
FAxl1 FBxl2 0 (b)
F FAx FBx 0 (a)
5. 支反力计算
联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得
FAx
Fl2 l1 l2
FBx
Fl1 l1 l2
例 2 已知：F = 50 kN，[1] = 160 MPa，[2 ] = 120 MPa，
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
l1
FN1l1 E1 A1
2F 2l 2Fl (伸长)
EA
EA
l2
FN2l2 E2 A2
Fl EA
(缩短)
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’
切线代圆弧法
将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替
3. 节点位移计算
Ax AA2 l2 ()
保证结构连续性所应
胡克定律 满足的变形几何关系
l1
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l1cos
E3 A3
补充方程
FN1＝EE31
A1 A3
cos2
FN3
－用内力表示的变形协调方程
联立求解平衡与补充方程
FN1
FN2
Fcos2 E3 A3 2cos3
E1 A1
F
FN3 1 2 E1 A1 cos3
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理， 例题 节点位移计算，小变形
轴向变形与胡克定律
拉压杆的轴向变形
E
(当 p时)
FN
A
l FNl －胡克定律
EA
l
l
EA－杆截面的抗拉压刚度
l－伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
轴力分段（阶梯形杆）
l n FNili i1 Ei Ai
f (l1, l2, l3 ) 0 F (FN1, FN2, FN3 ) 0
li ~ FNi (i 1,2,3)
补充方程
变形与受力关系 一度静不定
E1A1= E2A2
平衡方程
FN2sin - FN1sin 0
FN1cos FN2cos FN3 F 0
变形几何关系
l1 l3cos 变形协调方程
E3 A3
综合考虑三方面 综合考虑静力、几何与物理三方面
外力与 FNi 之间满足静力平衡方程 各 li 之间满足变形协调方程 li 与FNi 之间满足给定物理关系（例如胡克定律）
静不定问题的内力特点
内力分配与杆件刚度有关 一般讲，EiAi ，FNi
例 1 求两端固定杆的支反力
解：1. 静力学方面 支反力－2，平衡方程－1，1 度静不定
Ay
AA5
l1 cos 45
l2
()
小变形概念
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束
反力与内力——刚性假定；
采用切线代圆弧的方法确定节点位移；
位移与应变成线性
内力、应力与载荷成线性
例题
例 F1 = F2 / 2 = F ，求截面 A 的位移
l2
)
(l )分解载荷 lF1 lF2
F2(l1 l2 ) F1l1 EA EA
3. 比较
(l )分段 (l )分解载荷
载荷同时作用
载荷单独作用之和
叠加原理（力的独立作用原理）
“ 几个载荷同时作用所产生的总效果，等 于各载荷单独作用产生的效果的总和”
说明： 1）Δ1----支反力、内力、应力、位移、应变， F ----广义载荷：力、力偶矩、分布力； 2）同一点（或截面）处的同类量叠加；
泊松比
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
' －泊松比 (横向变形系数） Poisson’s Ratio
• 对于绝大多数各向同性材料 0 0.5
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
E
'
E
E、 G、 之间的关系
G E 理论与实验均已证实
2(1 )
l
E 148.2 MPa
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
横截面内任一点、 在任一方向上的应变
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已
知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
刚体 EA
解：1.Baidu Nhomakorabea计算 FN与 l
MB＝0
FN
2F1 F2 sin 30
6F
l
6F
l sin 60
4
3Fl
EA
EA
2. 画变形图
刚性杆不变形
3. 位移计算
Ay
AA'
2CC'
2l cos 60
16 3Fl EA
( )
简单拉压静不定问题
静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题
静不定问题与静不定度
静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反 力与内力）的问题 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题
一 度 静 不 定
静定问题
静不定问题
静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法
求解思路
建立平衡方程
变形协调条件
分析变形，建立补充方程
各杆变形间满 足一定关系
应用条件： 载荷的效果（内力、应力、变形）与载荷成线性关系
例题
例 8-7 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3。经预紧后，轴 向变形 l ＝0.04 mm。试求： (a) 螺拴横截面上的正应力
(b) 螺拴的横向变形 d
解：1. 横截面正应力
l 7.41 10-4
变截面变轴力杆 取微段dx,
微段变形 FN ( x)dx
EA(x)
FNi－杆段 i 轴力（设正） n－总段数，l—伸长为正
l FN ( x) dx l EA( x)
横向变形与泊松比 拉压杆的横向变形
横向变形 b b1 b
横向应变 ' b
b
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
FN2 F2
(l )分段
FN1l1 EA
FN2l2 EA
(F2 F1 )l1 EA
F2l2 EA
(l )分段
F2(l1 EA
l2 )
F1l1 EA
2. 分解载荷法
lF1(
l)分F段1l1
EA
F2(lElF12Al2F) 2(ElFE11AAl1
Fx 0, F FAx FBx 0 (a)
2. 几何方面
lAC lCB 0
3. 物理方面
lAC
FN1l1 EA
FAxl1 EA
lCB
FN2l2 EA
(FBx )l1 EA
4. 建立补充方程
lAC lCB 0
FAxl1 FBxl2 0 (b)
F FAx FBx 0 (a)
5. 支反力计算
联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得
FAx
Fl2 l1 l2
FBx
Fl1 l1 l2
例 2 已知：F = 50 kN，[1] = 160 MPa，[2 ] = 120 MPa，
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
l1
FN1l1 E1 A1
2F 2l 2Fl (伸长)
EA
EA
l2
FN2l2 E2 A2
Fl EA
(缩短)
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’
切线代圆弧法
将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替
3. 节点位移计算
Ax AA2 l2 ()
保证结构连续性所应
胡克定律 满足的变形几何关系
l1
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l1cos
E3 A3
补充方程
FN1＝EE31
A1 A3
cos2
FN3
－用内力表示的变形协调方程
联立求解平衡与补充方程
FN1
FN2
Fcos2 E3 A3 2cos3
E1 A1
F
FN3 1 2 E1 A1 cos3