八上 第一章勾股定理

第一章 勾股定理

教学目标：1、掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

2、通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

教学重点：探索、理解并掌握勾股定理。

教学难点：勾股定理的相关计算以及应用；割补思想和数形结合思想的理解和运用。

知识要点一：勾股定理

定理1 在直角三角形中，斜边大于直角边。

证明：利用垂线段最短的原理，即知BC AB AC AB >>,

定理2 直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方。如果用c b a 、、分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+。

适用范围：直角三角形 勾股定理的变形：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=

应用：

(1) 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长；

(2) 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

(3) 解决一些实际问题

题型一：直接考查勾股定理

（1）在ABC R ∆t 中，15,17==AC AB ,求BC 的长。

（2） 如图，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC 边上的高AD 为（ ）．

（3）（3）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）

题型二：应用勾股定理建立方程

（1）直角三角形两直角边之比是3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积是。

,求AC的长。（2）如图三角形ABC中，5.2

∠

∠BD

CD

C，

，

=

2

,5.1

1

90=

∠

=

=

（3）如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）

题型三:实际问题中的勾股定理

（1）一个圆柱，h=12厘米，底面圆的周长=18厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想从A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

（2）如图，已知圆柱的底面直径BC=6π6π，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）

（3）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）m ．

知识要点二：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种，常见为：

割补拼接、面积相同法。

证法一：如图所示：ABCD EFG H S S S 正方形正方形=+∆4 所以有()222

14c b a ab =-+⨯ 即：222c b a =+

证法二：右图中方格均为边长为1的正方形，三角形

BGC 是直角三角形，以直角三角形三条边向外做正方

形，通过观察计数不难发现，正方形ABCD 的面积与

正方形BEFG 的面积之和等于正方形CGHM

几何表示：CG H M BEFG ABCD S S S 正方形正方形正方形=+

即：222c b a =+

证法三（欧几里得证法）：

欧几里得采用纯几何的证明方法，如图，过B 点做

MH 的垂线，将正方形CGHM 分成了两个小矩形，通过构

造如图的辅助线，可以证明矩形CONM 的面积等于正方

形ABCD 的面积，同理可以证明矩形PGHN 的面积等于正

方形BEFG 的面积。（具体证明略）

证法四（总统证法）：从古到今，许多著名数学家共运用了300余种不同方法证明了这一定理，美国的第二十届总统加菲尔德提供的一种巧妙证法，展示了他非凡的数学才华，人们为了纪念他，把这种 证明方法称为总统证法

如图所示：四边形ABCD 是直角梯形，将该梯形分为

三个直角三角形，即ADE Rt CDE Rt ABE Rt ∆∆∆、、

则：ABCD AD E Rt CD E Rt ABE Rt S S S S 直角梯形=++∆∆∆ 几何表示：()222

1221b a c ab +=⨯+⨯⨯ 即：222b a c +=

有人形象地说美国总统将竖立的两块砖头踢倒后便证明了勾股定理． 题型：直接考查勾股定理的证明

（1）请用火柴盒放倒的图形，来验证勾股定理

（2）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）

（3）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）

知识要点三：勾股定理的逆定理

定理3 在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；这就是勾股定理的逆定理。

定理解析 ：勾股定理的逆应用最重要的一个应用就是判定一个三角形是否为直角三角形

即222c b a =+ 直角三角形

那么，当222c b a ≠+时，三角形的形状如何呢？

观察有图不难得出如下结论：

222c b a >+ 锐角三角形

222c b a <+ 钝角三角形

题型一：根据勾股定理的逆定理进行公式计算；判断一个三角形是否是直角三角形

（1）在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是（ ）