等比数列的性质

教学内容

【知识结构】

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n

a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔

n

n a a 1

+=q （+∈N n ,q ≠0 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且

“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数

2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n

3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则

ab G ab G G

b

a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=a

b ,则

G

b

a G =，即a ,G ,

b ∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）

6．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a

22

1-+=⋅n m n m q a a a ，22

1-+=⋅k p k p q a a a

则k p n m a a a a =

7．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;

【热身练习】

求下列各等比数列的通项公式：

1.1a =-2, 3a =-8

2.1a =5, 且21+n a =-3n a

3.1a =5, 且1

1+=+n n

a a n n 解：1.2

42213±=⇒=⇒=q q q a a

n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 2.111)2

3

(552

3

-+-⨯=∴=-==

n n n n a a a a q 又：

3.n

n a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,2

1

1123121-===∴+=-+

以上各式相乘得：n

a n a n 11==

【例题精讲】

例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：

n n n

n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111

2

11

1

1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅

.)

()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.

例2 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，

求证：

3

,3

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：

22333)3

(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3

,3

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列

例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求3a a +

(2) a≠c,三数a, 1, c 成等差数列，22,1,c a 成等比数列，求

2

2c a c

a ++

解：(1) ∵{n a }是等比数列，

∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;

(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,

又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a≠c 矛盾，

∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴ 31

2

2=++c

a c a .

例4 已知无穷数列 ,10,10,10,105

15

25

15

0-n ，

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1

， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1）51

5

25

11

101010

==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列

（2）

10110101015

45

15===-+-+n n n n a a ，即：10

1

+=n n a a （3）5

25

15

110

10

10

-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，

∴⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51

n 5

21010

q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ， 求证：c b a ,,成等比数列且公比为d