圆与相似经典题

相似形与圆证明训练

1、如图，以AB为直径的半圆内，任作两弦BC、BF（BC＞BF），并作EF⊥AB，EF交BC 于D，交AB于E，求证：BF2=BD·BC。

2、如图，AD是△ABC中∠A的平分线，它的延长线交△ABC

外接圆O于E，交BC于D，求证：AB·AC=AD·AE。

证明：连接EC

∵∠ABC、∠AEC所对应圆弧都为劣弧AC

∴∠ABC＝∠AEC

∵AD平分∠BAC

∴∠BAE＝∠CAE

∴△ABD∽△AEC

∴AB/AD＝AE/AC

∴AB*AC＝AD*AE

3、以AB为直径的半圆上任取两点M与C，过M作MN⊥AB，交AC延长线于E，交BC于F，求证：MN是NF和NE的比例中项。

在△ANE和△FNB中，∠ANE = 90°= ∠FNB ，∠AEN = 90°-

∠EAN = ∠FBN ，

所以，△ANE ∽△FNB ，

可得：AN/FN = NE/NB ，

即有：AN*NB = NF*NE ；

连接AM、BM，

则由射影定理可得：MN² = AN*NB ；所以，MN² = NF*NE ，

即有：MN是NF和NE的比例中项。

A B

C

E

M

F

N

A

B C

D

E

A B

C

D

E

F

O

4、如图，⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的直径，过C 任作两弦，求证：

GH

CG

EF CE

。

5、已知BC 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上一点，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，求证：AE ·AD=DE ·CD 。

6、如图，已知⊙O 直径AB 垂直弦CD ，垂足为G ，F 是CD 延长线上一点，AF 交⊙O 于E ，求证：AC 2=AE ·AF 。

7、如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，CD ⊥AB ，F 是弧BC 上一点，AF 交CD 于E ，求证：AC 2=AE ·AF 。

A B C

D E O F A B

C D E

F A

B C D E O A B

C D

E

O F

8、如图，OA 、OB 是互相垂直的半径，自B 引两弦BC 、BD 交OA 及延长线于F 、G ，求证：BC ·GF=BG ·CD 。

圆与相似形的证明题

1.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径. 求证：AB ·AC = AE ·AD 证明：

2.如图，由直径AB 的端点A 引两弦AC 、AD ，延长AC 、AD 和过B 点的切线分别交 于E 、F 求证：

AC

AF

CD EF 证明：

3.如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，且∠ADB = ∠BAC ，

A

B C D

O

G

过D、C的圆交AC于E，连BE，与圆交于F点。

求证：AB 2= BF·BE

证明：

5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D 和E.

求证：AD·EC = AC·BD

证明：

6. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.

求证：AC·DG = AG·DF

证明：连结CG

7. 如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC. 求证：AC·PB = PC·BC

证明：

8. 如图，⊙O是弦AB∥CD，延长DC到E，EB延长线交⊙O于F，连结DF.

求证：AD·ED = BE·DF

证明：连结CB

9. 如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD.

求证：① PE：AC = PB：PA；② PE 2 = AC·BD

10. 如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G.

求证：AB 2 = BG·BC

证明：连结AD

11. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O 于E，BE交CD于F.

求证：PF 2 = PD·PC

证明：连结AE

12. 如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.

求证：①∠DAC = 2∠B；② CA 2 = CD·CO

13. 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A和点B，且O 1在⊙O 2上；过点A的直线CD 分别与

⊙O

1、⊙O

2

交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O

1

、⊙O

2

交于点E、F，

⊙O

2的弦O

1

D 交AB于P.

求证：① CE∥DF；② O

1 A

2 = O

1

P·O

1

D

证明：

14. 如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 平分∠BCD ，BD 交AC 于点F ，过点A 作圆的切线AE 交CB 的延长线于E. 求证：①AE ∥BD ； ②AD 2 = DF ·AE 证明：

6、如图，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ，则其他对应角分别为 ， ，对应边分别为 ， ， .

7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10㎝，BD=6㎝，则点D 到AB 的距离为 .

8、如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）.

9、如图，AC ⊥BD 于O ，BO=OD ，图中共有全等三角形 对.

三、证明题（每题12分,共36分）

10、如图，AC=AD ，BC=BD ，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由。

B

A

O

C

D

第6题图

A

E

B

2

1第8题图