01函数平均变化率

问题 1
气球膨胀率
很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程, . 可以发现, 随着气球内空气容量的增加, 气球 的半径增加得越来越慢,从数学的角度, 如何 描述这种现象呢 ?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
r V
3
位 : dm)之间的函数关系是 V r
x 0 x 0
s
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim
' 0 x 0
y
y x
∴
y |
x
1 2
lim (
△ x 0
2 1 2 △ x
) =4
(1)求函数y= (2)求函数y=
4 x
2
x
在x=1处的导数.
在x=1处的导数.
小结：
• 求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v ; t s （3）求极限 lim t lim s ( t t t) s ( t ) .
4
r ,
3
3V 4
.
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm ,
气球的平均膨胀率为
r 1 r 0 10
0.62dm / L .
类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm ,
o
t
计算运动员在0 t
h( 65 49 ) h (0 ) 1 0
65 49
这段时间里的平均速度，
v
h t
0
思考下面问题； 1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？
2） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
当Δt趋近于0时,平均 如何求（比如t=2时）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度
• 我们用 lim
h (2 t ) h (2) t
路程 乙 y
100 m
甲
甲 乙
o
t
(1)
o
(2)
t0
t
(1)甲、乙二人哪个人跑得快？ (2)甲、乙二人百米Hale Waihona Puke Baidu跑，问快到终点时， 谁跑得较快？
2、两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时 间(t)的关系，如图，试指出哪一个工厂治理 效果好？ W
甲厂
y1 y2
y0
乙厂
O
t0 t
t0
t
例题1
y x
（2）函数平均变化率的几何意义： 连接函数某时段起点与终点线段的斜率
f ( x0 x )
B
k AB
y x

f ( x0 x ) f ( x0 ) x
f ( x0 )
A
x0
x0 x
练习：
1、甲、乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑 路程和时间关系分别如图(1)(2)
2
2
x
2 x0 x
x0
练习：
求函数y x 在 x0到 x0 + x之 间 的 平 均 变 化 率
小结：
• 1.函数的平均变化率
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在点 x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
求y
1 x
在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
( x0 0)

1 ( x0 x ) x0
例题2 求 y x 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
2
.
解：
y x

f ( x0 x ) f ( x0 ) x

( x0 x ) x0
叫函数 y f ( x ) 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
或：令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x
注意：
（1） x 叫做自变量的改变量，也称“增量”
可正、可负、但不可为零。
2
如果我们用运动员某段 述其运动状态 , 那么
时间内的平均速度
v描
在 0 t 0 . 5 这段时间里 v h 0 .5 h 0 0 .5 0 在 1 t 2 这段时间里 v h 2 h 1 21
,
4 . 05 m / s ; ,
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 6 6 3 x 再求 lim
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨
胀率逐渐变小了.
思考 当空气的容量从 1 增加到V2时, 气球的平 V 均膨胀率是多少 ?
气球的平均膨胀率为
r 2 r 1
0.16dm / L .
问题 2
高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 运动员相对于水 , 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间 单位 : s t 存在函数关系 t 4.9t 6.5t 10. h
t 0
13.1
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 运动员在某一时刻t0的瞬时速度是：
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
t 0
8 .2 m / s .
函数的平均变化率
一、定义
已知 y f ( x ) 在 x x 0点及其附近有定义，令 x x x0
y y y 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ),
当 x 0时 , y x f ( x0 x ) f ( x0 ) x
(2)计算平均变化率
y x

f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
1.1.2
瞬时速度与导数
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. h 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
分析:
__
s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t s t s (t0 t ) s (t0 ) t 2g 1 2
1 2
g (t)
2
v
g ( t )
解:
__
v
s t
2g
1 2
g(t )
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2 . 05 g 20 . 5 m / s .
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得: __
v 2 . 005 g 20 . 05 m / s .
( 3 )当 t 0 ,2 t 2 ,
__
从而平均速度
__
v 的极限为：
v lim v lim
t 0