01函数平均变化率
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
导数的概念意义及运算(考点清单+知识导图)(解析版)-25学年高二数学上学期期末考点大串讲
清单09导数的概念意义及运算（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的平均变化率定义：一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --，表示为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设21x x x ∆=-,21()()y f x f x ∆=-则平均变化率为211121()()()()y f x f x f x x f x x x x x∆-+∆-==∆-∆【清单02】函数()y f x =在0x x =处的导数（瞬时变化率）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝.【清单03】导数的几何意义如图,在曲线()y f x =上任取一点(,())P x f x (,())P x f x ,如果当点(,())P x f x 沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(,())P x f x 时,割线0P P 无限趋近于一个确定P最大为π(,0)2与(π,1)-连线的斜率，即为最小为()f x 在π(,0)2处的切线斜率，即所以cos 2(1,]ππa ∈--.【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数1(1,0)A ．()(012f f <'<'C ．()(021f f <'<'【答案】B【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到【详解】如图，设函数()f x 的图象上有两点则直线,,A B AB l l 的斜率依次为由图知直线,,A B AB l l 的倾斜角因函数tan y x =在π(0,)2上递增，故即()()()0221f f f <'<-<故选：B.7．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞【答案】D【知识点】求过一点的切线方程、导数的乘除法【分析】先求得()(222f x x a '⎡=+-⎣()2120t a t +-=，结合方程的根【详解】由函数()()22e x f x x ax =-，可得设切点为()(),(0)t f t t >，可得整理得()2120t a t +-=，解得因为存在过原点的直线与函数所以210t a =->，解得a >也是曲线x所以001622AOB S x x =⨯-⨯= 所以曲线=上任意一点处的切线与直线16．（23-24高二下·江苏常州(1)求曲线()y f x =过点(1,1(2)若曲线()y f x =在点(1,1【答案】(1)230x y +-=或(2)12t =【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值【详解】（1）由导数公式得设切点坐标为00(,)x y ，设切线方程为：由题意可得：003000201(3y k x y x x k x -=-⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩所以00112x y k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩或00125814x y k ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，23x y +-=2e。
函数平均变化率
函数平均变化率函数平均变化率是数学中的一个重要概念，用来描述函数在一定区间内的平均变化速度。
在实际应用中，平均变化率可以帮助我们理解和分析函数的变化趋势，从而做出合理的决策。
我们来看一下函数平均变化率的定义。
给定一个函数f(x)，在区间[a,b]上的平均变化率可以用以下公式表示：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f(b)表示函数在点b处的取值，f(a)表示函数在点a处的取值，b和a分别是区间的上限和下限。
这个公式的含义是，函数在区间[a,b]上的平均变化率等于函数在点b和点a处的取值之差除以区间的长度。
平均变化率可以帮助我们理解函数在某个区间内的变化趋势。
如果平均变化率为正，表示函数在该区间内递增；如果平均变化率为负，表示函数在该区间内递减；如果平均变化率为零，表示函数在该区间内保持不变。
举个例子来说明。
假设我们有一个函数f(x)表示某个商品的价格随时间的变化情况。
我们可以选择一个时间段，比如一周，来计算该时间段内商品价格的平均变化率。
如果平均变化率为正，说明商品价格在这一周内上涨；如果平均变化率为负，说明商品价格在这一周内下跌；如果平均变化率为零，说明商品价格在这一周内保持不变。
平均变化率的应用不仅仅局限于函数的变化趋势分析，还可以用来解决实际问题。
比如，我们可以利用平均变化率来计算速度、密度、增长率等。
在物理学中，速度的平均变化率等于位移的变化量除以时间的变化量；在经济学中，增长率的平均变化率等于GDP的变化量除以时间的变化量。
除了平均变化率，还有一个相关概念叫做瞬时变化率。
瞬时变化率是平均变化率的极限情况，即取区间长度趋于0的情况。
瞬时变化率可以用微分来表示，是微积分中的重要概念之一。
瞬时变化率描述了函数在某一点的变化速度，比如速度、加速度等。
总结一下，函数平均变化率是描述函数在一定区间内的平均变化速度的概念。
它可以帮助我们理解函数的变化趋势，解决实际问题。
01平均变化率--课件 32页PPT文档
y
1
3
x
例3引申： 已知函数 f (x) x2
问题(1)求函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率为a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上 的平均变化率有何趋势？ (2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上的
平均变化率趋近于2
在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（3）[1，1.1]； （2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4 (2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3 (3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001
hr 由题意知 n t
h x2y
r 2y 3
r
3
3h 2
y 3
3nh2 r 2
3
t
在[0,t]内水面上升的平均速率为:
x
h
y
3
y v
t
3 nr2h 2 3t03 t0
3nh 2 r2t2(cm /s)
可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小
例3、已知函数 f (x) x2，分别计算 f ( x )
甲
10 0
乙
注：负号表示容器甲中水在减少
变式1： 一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容 器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水 前t s容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知 V=nt
r
第5章5.15.1.1 平均变化率-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，x2－x1 一定大于 0．
()
(2)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值的变化量为 f (x2)
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 实际问题中的平均变化率 【例 2】 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均 变化率为________．
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S(00.3.3)－－S0(.10.1)＝π×0.320－.2π×0.12＝ 0.4π.]
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
03
学习效果·课堂评估夯基础
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．函数 f (x)＝x2＋c(c∈R)区间1，3上的平均变化率为( )
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
函数的平均变化率
跟踪训练 2 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位 移，t 表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
解析：ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2－t 8－3×12＝－6－3Δt.
题型三 平均变化率的几何意义
例 3 已知曲线 y＝x2－1 上两点 A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)， 当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率是__5______；当 Δx＝0.1 时，割线 AB 的斜率是___4_.1____．
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x1 附近的平均变化率，可用fx1＋ΔΔxx－fx1的形式．
跟踪训练 1 函数 y＝x2＋1 在[1,1＋Δx]上的平均变化率是
答案：B
谢谢！
解析：
当
Δx ＝ 1
时，割线
AB
的斜率
k1
＝
Δy Δx
＝
2＋Δx2－Δx1－22＋1＝2＋112－22＝5.
当 Δx＝0.1 时，割线 AB 的斜率 k2＝ΔΔyx＝2＋0.120－.11－22＋1
＝4.1.
方法归纳
已知 y＝f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))， 过 A，B 两点割线的斜率是ΔΔxy＝fx1＋ΔΔxx－fx1，即曲线割线的 斜率就是函数的平均变化率．
＝
0.41 0.1
＝
4.1(m/s)，故选 C.
答案：C
题型一 求函数的平均变化率
例 1 (1)已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一
名师教学设计《平均变化率》完整教学教案
对教学过程的反思
课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。
经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数的图象平均变化率
表示什么”的教学设计意图不能完全展现。
这是借班上课容易出现的问题，但从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。
课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导具”有明显的“牵”的味道。
在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多。
整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。
例如，在分析“气球膨胀率问题”中的函数变式时，目的仅仅为了推导变式函
数，虽然有些学生也有一定的思考，但为了赶时间、赶任务，并没有进行更深入的分析。
教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率。
当然也存在很多不足：对呼之欲出的“瞬时变化率”没有及时给出，缺乏联系性，没有用发展的眼光来处理教材；有关数学思想与方法的落实有所欠缺；等。
如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。
函数的平均变化率课件
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
目录 | 添加标题内容
Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
初中数学 什么是函数的平均变化率 如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
初中数学什么是函数的平均变化率如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
函数的平均变化率是指函数在某个区间上的平均变化速度。
它可以用来描述函数在这个区间内的平均变化程度。
要计算一个函数在某个区间上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：
1. 确定区间：首先需要确定函数在哪个区间上计算平均变化率。
区间可以用两个端点来确定，例如$[a, b]$表示从点$a$到点$b$的区间。
2. 计算函数值：在该区间内选择两个不同的$x$值，例如$x_1$和$x_2$。
然后，计算这两个$x$值对应的函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$。
3. 计算变化量：计算函数值的变化量，即$f(x_2) - f(x_1)$。
4. 计算区间长度：计算区间的长度，即$b - a$。
5. 计算平均变化率：将变化量除以区间长度，即$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{b - a}$。
这个结果就是函数在给定区间上的平均变化率。
需要注意的是，平均变化率是函数在某个区间上的平均变化速度，它描述的是整个区间内的平均变化程度。
平均变化率可以用来比较不同区间上的变化情况，或者用来估计函数在某个区间内的变化趋势。
希望以上内容能够帮助你理解函数的平均变化率以及如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率。
【数学】1.1.1《函数的平均变化率》课件(新人教B版选修2-2)
x 2 − x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数f ( x) ( 的图象图 . . ),平均 变化率 ∆f f (x ) − f (x ) = ∆x x −x ? 表示什么
图 . −
如 把 径 表 为 积 的 数那 果 半 r 示 体 V 函 , 么 r(V ) = V
π
.
当 气 积 从 增 到 L时 气 半 增 了 空 容 V 加 , 球 径 加 r( ) − r( ) ≈ . (cm), r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 类 地当 气 量 L增 到 L时 气 半 似 , 空 容 从 加 , 球 径 增 了 ( ) − r( ) ≈ . (dm), 加 r r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 可 看 ,随 气 体 逐 变 ,它 平 膨 以 出 着 球 积 渐 大 的 均 胀 逐 变 了 率 渐 小 . V V , 思考 当空气的容量从 增加到 时气球的平 ? 均膨胀率是多少
第 章 导 一 数
h(t ) = − . t + . t + 表 . 示如何求他在某时刻的 速 度?他距水面的最大 ? 高度是多少
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 . , 赛的瞬间 已知起跳 s后 运动员相对于水面的高 度 h (单位: 的 化 问 随 可 . 富 彩 变 率 题 处 见 让 们 其 的 个 题开 变 我 从 中 两 问 , 始 化 与 数 学 吧 率 导 的 习 !
探究 计算运动员在 ≤ t ≤
观 这段时间
, : 里的平均速度并思考下面的问题
( ) 运动员在这段时间里是 ? 静止的吗 ( ) 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
高二数学(选修人教B版)函数的平均变化率1教案
教案下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．从学生的知识经验理解“以直代曲”．类比双曲线，理解弯曲山路中的“以直代曲”．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座结合函数的概山的山坡剖面图则可以看作函数y =f (x )的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB 这一段平直的山路，放大如下图：坡度为： 1010tan y y yx x xθ-∆==-∆. 对于CD 这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD 1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：32323232()()y y f x f x y x x x x x --∆==-∆-． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为：11()()k k k k f x f x y x x x ++-∆=∆-．念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．O y x D 1x 3AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.概念的 巩固例 求函数y =x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为0000()()()1f x x f x x x x x x +∆-+∆-==∆∆．思考与总结：（1）函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是什么？你有什么发现？函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是2. 我们发现，一次函数在任何一个区间内的平均变化率等于它的一次项系数，几何意义就是直线的斜率． （2）求函数的平均变化率的主要步骤：①求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；②求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；③求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.（3）求函数在x 0附近的平均变化率，常用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式来表达．例 求函数y =x 2在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为2200000()()()2f x x f x x x x x x x x +∆-+∆-==+∆∆∆．计算与探索： （1）当∆x =13，x 0=1，2，3时，求函数的平均变化率；（2）当x 0=1，∆x =13，12，1时，求函数的平均变化率．通过例题研究具体函数在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，并研究它随着x 0及∆x 变化而变化的规律，加深和巩固对函数的平均变化率的理解．【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x-<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x=的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用．解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．课堂小结本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．概括本节课的主要知识与思想方法．布置作业（1）求223y x x=-+在2到94之间的平均变化率．（2）试比较正弦函数siny x=在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，哪一个较大？延伸巩固函数的平均变化率的概念．。
函数的平均变化率教学设计
《函数的平均变化率》教学设计一、教学内容分析函数的平均变化率是解决函数问题的直观化工具，它一方面反应函数的增减性质，另一方面也反映函数的变化快慢.并且为我们今后导数相关内容的学习以及物理中的变化率学习奠定基础.本节课首先从物理中的变化率引入数学中的变化率，并首先介绍了直线斜率的定义，然后从直线斜率的角度研究了函数的单调性，并给出平均变化率的定义.引导学生会计算一个函数在相应区间内的平均变化率，并利用函数平均变化率证明函数的单调性，最后引导学生理解从函数平均变化率的角度辨析函数图像的变化快慢, 借助数形结合解决相关问题.培养学生逻辑推理、直观想象、数据分析等核心素养.二、学情分析学生已有的知识结构是对函数的认识有了一定的积累，从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是在函数单调性这一节给出函数平均变化率的定义，并将函数的平均变化率与单调性联系起来，相关定义和内容较抽象难理解.对于理性思维比较弱的学生，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习实情，函数平均变化率的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标知识与技能：1、掌握直线的斜率公式及三点共线的充要条件；2、理解平均变化率的定义并会计算函数在相应区间上的平均变化率；3、会利用函数的平均变化率证明函数的单调性；4、掌握利用平均变化率判断函数图像问题，辨析函数增减快慢.过程与方法：1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想. 情感、态度与价值观：1、感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学语音描述刻画现实世界的过程.五、教学重点与难点教学重点：1.理解并掌握平均变化率的概念．2.会利用函数平均变化率证明函数单调性．教学难点：对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率.六、 教学过程设计 【课前准备】1. 活动准备：常规分组，进行小组教学及学习活动.2. 知识准备：提前预习函数的平均变化率及斜率相关概念.【教学过程】1. 引入课题： 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．提出问题：“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，下降的速度是怎样变化的？ 该怎样用数学语言来刻画函数的变化快慢？ 设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为平均变化率的自然引入提供契机.2.引入物理中的平均变化率：我们在物理中已经学过：变化率是描述变化快慢的量.例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移的变化量与发生这一.x v t∆=∆变化所用时间的比值，即加速度是用来衡量速度变化的快慢，加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即设计意图：从学生们已熟知的物理知识角度事先解释一下平均变化率，一方面可以激发学生们的学习热情，也会让学生们感觉这部分知识不那么陌生. 3. 引入新知： 一、直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点()1122(,),,A x y B x y ，当12x x ≠时，称2121y y x x --为直线AB 的斜率.（2）若记21x x x ∆=-,相应的21y y y ∆=-,当0x ∆≠时,斜率记为y x∆∆. （3）当12x x ≠时，称直线AB 的斜率不存在．（4）平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率都相等或都不存在.例1. 已知直线l 过点()()1,1,2,1M m m N m +-,当m 为何值时，直线l 的斜率为1？ 解析：由211MN m k m -==-+，解得3.2m =变式1. 已知点()()(),5,3,4,3,5A a B C a -在同一条直线上，求实数a 的值. 解析：由AB BC k k =，即12333a a --=---，解得9.a =- 【设计意图】通过题型让同学们熟练掌握斜率公式的应用..v a t ∆=∆二、函数的平均变化率与函数的单调性观察函数图像上任意两点连线的斜率符号与函数单调性之间的关系，并总结一般规律.可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都小于0. (1)()y f x =在I 上是增函数的充要条件是0yx∆>∆在I 上恒成立； (2)()y f x =在I 上是减函数的充要条件是0yx∆<∆在I 上恒成立. (3)一般地，当12x x ≠时，称()()2121f x f x y x x x -∆=∆-为函数在区间 [x 1，x 2](x 1＜x 2时)或[x 2，x 1](x 1＞x 2时)上的平均变化率．【设计意图】从斜率的角度得到函数单增和单减的充要条件，并通过数形结合的方式方便大家理解和记忆.例2．如图,函数y ＝f (x )在[1，3]上的平均变化率为( )A ．1B ．-2C ．2 D. -1 答案：D变式 2. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5,当x 1＝4,且Δx ＝1时,求函数在区间11,x x x ⎡⎤+∆⎣⎦的平均变化率.解析：()()()()()()122121214,1,5.5421.1x x x f x f x f x f x y f f x x x =∆=∴=--∆∴===-=∆-【设计意图】使同学们熟练掌握函数平均变化率的计算.三、利用平均变化率证明函数的单调性例3. 判断函数()1f x x x=+在（0，,+∞）上的单调性.并用平均变化率证明. 解析：任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()212121212112212121121111.x x x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x -+----∆-====-∆---当()12,0,1x x ∈时，有121x x >，从而()0f x x∆<，则()fx 在()0,1上单调递减. 当()12,1,x x ∈+∞时，有121x x <，从而()0f xx∆>，则()fx 在()1,+∞上单调递增.变式3. 已知函数()231x f x x -=+ (1)判断函数()f x 在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．(2)求函数()f x 在区间[2,9]上的最大值与最小值． 解析：(1)任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()()()()2121212121212121215232311115.11x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x ----∆-++++====∆---++当()12,0,x x ∈+∞时，有()0f x x∆>∆恒成立，所以()fx 在()0,+∞上单调递增.(2)由(1)知函数()f x 在区间[2,9]上是增函数，故函数()f x 在区间[2,9]上的最大值为()392f =；最小值为()122f =. 【设计意图】通过题型让同学们感受函数平均变化率对单调性的影响，并会利用函数平均变化率证明函数单调性.【学生活动】学生小组探究，将某个同学的做题过程利用投影进行展示，并让相应同学表达个人想法..四、平均变化率的应用例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y 是时间t 的函数。
高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2
(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比，这也给出了平均变化率的 求法，可得平均变化率可正、可负，也可为零．
2．求函数平均变化率的步骤： 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝f(x1)－f(x0)； (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当求函数在某点附近 的平均变化率时，可在函数图象上表示出来．
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
[答案] D
[解析] ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3. 故选D.
求运动物体的平均速度
以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与 时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第一章
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分 和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思 想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚 的论述．比如《庄子》一书中，记有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，如图，从t0到t0＋ Δt这段时间内，物体的平均速度是v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果我们用运动员某段 述其运动状态 , 那么
时间内的平均速度
v描
在 0 t 0 . 5 这段时间里 v h 0 .5 h 0 0 .5 0 在 1 t 2 这段时间里 v h 2 h 1 21
,
4 . 05 m / s ; ,
叫函数 y f ( x ) 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
或：令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x
注意：
（1） x 叫做自变量的改变量，也称“增量”
可正、可负、但不可为零。
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 6 6 3 x 再求 lim
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
t 0
13.1
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 运动员在某一时刻t0的瞬时速度是：
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
t 0
∴
y |
x
1 2
lim (
△ x 0
2 1 2 △ x
) =4
(1)求函数y= (2)求函数y=
4 x
2
x
在x=1处的导数.
在x=1处的导数.
小结：
• 求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v ; t s （3）求极限 lim t lim s ( t t t) s ( t ) .
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
当Δt趋近于0时,平均 如何求（比如t=2时）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度
• 我们用 lim
h (2 t ) h (2) t
x 0 x 0
s
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim
' 0 x 0
y
y x
问题 1
气球膨胀率
很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程, . 可以发现, 随着气球内空气容量的增加, 气球 的半径增加得越来越慢,从数学的角度, 如何 描述这种现象呢 ?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
r V
3
位 : dm)之间的函数关系是 V r
2
2
x
2 x0 x
x0
练习：
求函数y x 在 x0到 x0 + x之 间 的 平 均 变 化 率
小结：
• 1.函数的平均变化率
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨
胀率逐渐变小了.
思考 当空气的容量从 1 增加到V2时, 气球的平 V 均膨胀率是多少 ?
气球的平均膨胀率为
r 2 r 1
0.16dm / L .
问题 2
高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 运动员相对于水 , 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间 单位 : s t 存在函数关系 t 4.9t 6.5t 10. h
求y
1 x
在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
( x0 0)
1 ( x0 x ) x0
例题2 求 y x 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
2
.
解：
y x
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
( x0 x ) x0
路程 乙 y
100 m
甲
甲 乙
o
t
(1)
o
(2)
t0
t
(1)甲、乙二人哪个人跑得快？ (2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时， 谁跑得较快？
2、两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时 间(t)的关系，如图，试指出哪一个工厂治理 效果好？ W
甲厂
y1 y2
y0
乙厂
O
t0 t
t0
t
例题1
y x
o
t
计算运动员在0 t
h( 65 49 ) h (0 ) 1 0
65 49
这段时间里的平均速度，
v
h t
0
思考下面问题； 1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？
2） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
8 .2 m / s .
函数的平均变化率
一、定义
已知 y f ( x ) 在 x x 0点及其附近有定义，令 x x x0
y y y 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ),
当 x 0时 , y x f ( x0 x ) f ( x0 ) x
4
r ,
3
3V 4
.
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm ,
气球的平均膨胀率为
r 1 r 0 10
0.62dm / L .
类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm ,
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在பைடு நூலகம் x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
（2）函数平均变化率的几何意义： 连接函数某时段起点与终点线段的斜率
f ( x0 x )
B
k AB
y x
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
f ( x0 )
A
x0
x0 x
练习：
1、甲、乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑 路程和时间关系分别如图(1)(2)
v 2 . 05 g 20 . 5 m / s .
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得: __
v 2 . 005 g 20 . 05 m / s .
( 3 )当 t 0 ,2 t 2 ,
__
从而平均速度
__
v 的极限为：
v lim v lim
t 0
(2)计算平均变化率
y x
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
1.1.2
瞬时速度与导数
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. h 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
分析:
__
s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t s t s (t0 t ) s (t0 ) t 2g 1 2
1 2
g (t)
2
v
g ( t )
解:
__
v
s t
2g
1 2
g(t )
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __