晶体的对称性理论

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3、对称中心-倒反
对称要素：对称中心， 符号：i 对称动作：倒反 符号：I 阶次：2 一点不动，等同部分对应点连线通过对称中心 倒反只能使左右手重合， 一次倒反不能使相等图形重合
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4、点阵-平移
对称要素：点阵 对称动作：平移 符 号： T 阶 次：∞
平移只能使相等图形重合，不能使左右手重合
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1 2
3
1
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将 T 、、 分解为与三次轴垂直的分量 a1、、3 和与其平 T T a2 a 行的分量 c 、 、 ，则有： c c
1 2 3
1
2
3
a ＋a ＋a ＝0
1 2 3
1 2 3 1
c ＋c ＋c ＝3c
1 2 3
1
所以, T ＋T ＋T ＝3c 也是平移群中的向量 每隔 3c 又有一个结点，有一组直线点阵与三次轴平
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
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6、螺旋轴-旋转+平移
A、一个反映面包含着n次轴，则必有n个反映面都包含着 这n次轴，这些反映面的夹角为360°/2n B、两个反映面交角为α ，则交线为一n次轴，其基转角为 2α 。
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(3)轴、面、心的组合 偶次轴、与偶次轴相垂直的反映面、对称中心 三者之中二者组合都会产生第三者
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按以上的原则和组合定理，将八种晶体的宏观 基本对称要素 i,m,1,2,3,4,6, 4 进行组合，一共 能够得到32种组合方式，也叫32个点群。 无论多复杂的晶体外形，它定属于32点群中的 一个，绝不会找不到它所属的对称类型，也不会再 超出32个点群以外的新类型。 32个点群是研究晶体宏观对称性的依据。把对 称类型称为点群，即对称要素所规定的动作构成数 学上群的元素，又因为在组合中要求对称要素至少 必须相交一点。
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七类对称要素的总结
(1) 旋转轴、反映面、对称中心、点阵是简单对称要素，只 与一种简单对称动作对应；而反轴、螺旋轴、滑移面是 复合对称要素，对应的是复合对称动作。 (2) 含倒反、反映的动作只能使不相等 (左右手) 图形重合， 而不能使相等图形重合；不含倒反、反映的对称动作只 能使相等的图形重合，而不能使含左右手的图形重合；
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3.1.3 对称要素在点阵中的取向
在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、反轴必定 和点阵中的一组直线平行，而和一组平面点阵垂直，同 理，任何反映面和滑移面必定和点阵中一组平面点阵平行 而和一组直线点阵垂直。
证明：以三重旋转轴为例，假设 T 是属于该点阵对 应的平移群一个向量，因为有三次旋转轴存 在。所以，一定有 T 、 两个向量和T 用三 T 次旋转轴的对称操作彼此重合。
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举例：一朵花，有五个花瓣 对称图形： 花 等同图形：一个花瓣，是相等图形 阶 次： 5 对称动作：旋 转 对称要素：直线
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5
举例 雪花图案：六个角。 对称图形：雪花 等同图形：一个角，相等图形 阶次：6 对称要素：直线 对称动作：旋转
自然界八种雪花的图案
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3.1.2 基本对称动作和对称要素
第三章 晶体的对称性理论
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3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
3.1.1 基本概念 1、等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的 各部分称为等同图形。
等同图形分为相等图形和不相等图形
2、相等图形：完全迭合的等同图形。(或称全等图 形，例如花瓣) 3、不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。 (例如左右手) 4、对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成， 并且很有规律地重复着。对称图形中 既包括相等图形又包括不相等图形。
1
行。
T －T ＝a －a
1 2 1 2
T －T ＝a －a
2 3 2
3
又 且二者互不平行，且都垂直于三 重轴，所以，该 3 旋转轴垂直于 T －T 、T －T 组成的平面。
1 2
2 3
以上结论得证！
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3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次
晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其 结构要受到点阵结构的限制。晶体中的对称轴和 反轴的轴次不能是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。
复合对称动作：旋转+平移 （又称螺旋旋转） 符 号：L(α)T 阶 次：与螺旋轴相应的对称性的阶次是∞ 螺旋旋转动作只能使相等图形重合，而不能使 左右手重合。
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三、举例说明
来自百度文库
三重轴、三重螺旋轴、三重反轴示例
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四重轴、四重螺旋轴、四重反轴示例
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7、滑移面-反映+平移
复合对称动作：反映+平移，又称滑移反映 符号：MT 阶次：与滑移面相应的对称性的阶次是∞ 滑移反映动作只能使等同或不相等(左右手)图 形重合，进行一次滑移反映不能使相等图形重合。
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32种对称类型，它们的符号表示及每一种对称类型 中所包含的全部对称要素等均列入下面的表3.3中
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3.2.3 点群按特征对称要素分类及点群的表示符号
32个点群按其中包含的特征对称要素划分为七个晶 系，以及根据对称性的高低将七个晶系分为高，中，低三 个等级，见表3.4
点群的符号有两种，一种是熊夫利符号，一种是国际符号(简介)
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3.3 晶体的微观对称性及230个空间群
所谓晶体的微观对称性就是晶体微观结构中的对称性 除八种基本对称要素之外，空间动作要素：点阵、滑移 面、螺旋轴在晶体结构中也能出现，它们统称微观对称要 素，类似于宏观对称要素组合成32个点群的情况一样，所 有的微观对称要素在符合点阵结构(14种布喇菲格子)基本特 征的原则下，能够得到230种组合方式。 它反映了晶体结构的微观对称性。230种晶体微观对称 性也称为230个空间群。任何一个晶体就其结构而言，必定 属于这230种中的一个，不会出现超出之外的新类型，也不 会在其中找不到。
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人们在研究对称要素的组合规律时曾建立起一系列的公 理和定理。这里简单介绍其中比较重要的几条： (1)轴与轴的组合 A、一个n次轴及与之垂直的一个二次轴存在时，则必有n 个二次轴存在； B、二次轴和二次轴相交，交角为α ，则必产生一个n次 轴，其基转角为2 α ，并与这两个二次轴垂直；
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(2)面与轴的组合
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实习三：观察模型的对称结构
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本章小结
1、关于对称的一些概念，对对称的新认识； 2、简单对称动作和复合对称的理解和掌握； 3、对称要素的组合，轴/轴，面/轴，轴/面/心； 4、对32个点群的理解； 5、对230个空间群的理解。
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5、对称动作：将对称图形中某一部分中的任意点带 到一个等同部分中的相应点上去，使 新图形与原图形重合的动作。如：旋 转、反映、倒反、平移…… 6、对称要素：进行对称动作时必须依据的几何元 素，如点、线、面等。 7、对 称 性：物体中各等同部分在空间排列的特殊 规律性。 8、阶 次：对称图形中所包括的等同部分的数 目，它代表着对称程度的高低。
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问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
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(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
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已知的晶体结构大都属于230种空间群中的 100种左右，重要的空间群只有30个左右。 32种点群描述的是晶体的宏观对称性(外型及 对应的各宏观物理和化学性质)。 230种空间群描述的是晶体的微观对称性(结 构)。 注：230个晶体微观类型，称作230个空间群，是 由于每种微观对称类型中必然含有使结点发 生空间平移的对称要素，且每种微观对称类 型中全部对称要素之间的关系均满足数学上 群的定义。
请同学们在课后自己证明这个结论！
然而，近年来对准晶体的观测和研究中，发现有5次 轴的对称图像。
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3.2 晶体的宏观对称性及32个点群
3.2.1 晶体宏观对称要素 晶体的宏观对称性：晶体在宏观观察中所表现的对 称性。 宏观地观察晶体，也就是观察晶体的外形，晶 体具有一定的规则整齐的外形，在界面处的界面要 素(晶面、晶棱、晶点)之间有一定的对称关系，晶 体外形的规则多面体是有限的对称图形。平移对称 要素不存在于晶体结构中，与点动作相应的对称要 素才能存在于晶体的宏观对称性中。
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与点动作相应的对称要素： 旋转轴，反映面，对称中心，反轴 4 独立的八种对称要素：i、m、1、2、3、4、6、 由于 1 就是对称中心，2 就是反映面，＝3＋i， 3 6 ＝3＋m，它们不看作为独立对称要素，所以都没 有列入。 另外，6 虽然不算独立对称要素，但用它反映六 方晶系的某些晶体的宏观对称性时比较方便，因此 有时也采用。
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3.2.2 宏观对称要素的组合及32种对称类型
描述晶体宏观对称性的宏观对称要素主要只有 八种。一个具体晶体外形所具有的宏观对称要素不 外乎是这八种对称要素的一种或几种的组合。 下面举例分析几个多面体模型中存在的对称要 素及其组合情况： 通过以上分析可见，有若干组晶体模型的外形 虽然不同，但它们所具有的对称要素的种类，数目 和组合方式却是完全一样的，也就是说它们虽然外 形不同，但具有相同的对称性。对称要素的一种组 合，就对应着一种对称类型。
1、旋转轴-旋转 对称要素：旋转轴，符号 n 对称动作：旋转 符号：L(α),α为基转角， n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系 n=360°/α 特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能 使左右手重合。
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2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面