.高阶微分方程与微分方程组

§4 高阶微分方程与微分方程组一、 高阶微分方程与微分方程组的互化已给一个n 阶方程()()()y f x y y y y n n ='''-,,,,, 1设y 1=y ,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n -1)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方程组()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====-n nnn y y y x f xy yx y y x yy x y ,,,,d d d d d d d d 2113221式中y 1,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数.反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n 阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧==21222111,,d d ,,d d y y x f xyy y x f x y (1) 将方程(1)对x 求导数2211111212d d f y f f y f x f xy ∂∂+∂∂+∂∂= 记作()21212,,d d y y x F xy = (2) 从方程(1)中解出y 2()y y x y y 2211=',,代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程()11212,,d d y y x xy '=Φ 这里函数()11,,y y x 'Φ由函数f 1，f 2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法1. y (n ) = f (x ) 将方程写成()()x f y xn =-1d d 积分后得到()()110d c x x f y xx n +=⎰-重复这一过程到积分n 次，就得到微分方程的通解：()()()()()()()()()()()()()()()n n n n x x n nn n n x x nnx x c x x c n x x c n x x c d f x n c x x c n x x c n x x c dx x f y +-++--+--+--=+-++--+--+=-------⎰⎰⎰01202101101202101!2!1!11!2!1000 ξξξ2. F (x ,y (n ) )=01︒ 若能解出y (n )，则方程化成类型1求解.2︒ 若不能解出y (n )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解： 设函数ϕ(t ),ψ(t ) (α<t<β)满足F (ϕ(t ),ψ(t ))≡0则原方程可写成参数形式x=ϕ(t ), y (n )=ψ(t )由 d y (n -1)= y (n )d x=ψ(t )ϕ'(t )d t得 ()()()()y t t dt c t c n -='+=⎰1111ψϕψ,又由 d y (n -2)=y (n -1)d x=ψ1(t ,c 1)ϕ'(t )d t 得 ()()()()yt c t dt c t c c n -='+=⎰2112212ψϕψ,,,最后得原方程的参数形式的通解()()x t y t c c c n n ==ϕψ,,,,,12 3. F (y (n -1), y (n ) )=01︒ 若从方程可解出y (n ):y (n )=f (y (n-1))则令y (n －1)=z ，上式化成()z f xz=d d 这是变量可分离的方程，设解为z=ω(x,c 1)那末化成类型1y (n-1)=ω(x,c 1)其通解为()()()()()()n n x x n c x x n c c x n x y ++--+--=--⎰ 20212!2d ,!210ξξωξ 2︒ 若不能解出y (n )，但原方程可写成参数形式：y (n -1)=ϕ(t ), y (n )=ψ(t )则从 d y (n -1)= y (n )d x得 ()()()()t y c t t t x n ϕψϕ=+'=-⎰1,d 按类型2的方法，可得通解（参数形式）()()()1211,,,,,d --=+'=⎰n n c c c t y c t t t x ϕψϕ 4. F (y (n -2), y (n ) )=0 设方程可解出y (n )：y (n )=f (y (n -2))令z=y (n-2)，方程两边乘以2z'化成d(z'2)=2f (z )d z积分后有()1d 2cz z f z +='⎰用分离变量法求得z=ω(x ,c 1,c 2)那末y (n -2)=ω(x ,c 1,c 2) 再积分n -2次就得原方程的通解.三、 线性微分方程组1. 齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组 [齐次与非齐次] 线性微分方程组的一般形式为()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=t f y t a y t a y t a ty t f y t a y t a y t a t yt f y t a y t a y t a t y n n nn n n nn n n n 2211222221212112121111d d d d d d (1) 式中a ik (t )和f i (t ) (n k n i ,,2,1;,,2,1 ==)都是自变量t 的已知连续函数.如果至少有一个f i (t )不恒等于零，则称(1)为非齐次线性微分方程组.如果所有f i (t )都恒等于零，则称(1)为齐次线性微分方程组，它的一般形式是()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n nnn n n y t a y t a y t a ty y t a y t a y t a tyy t a y t a y t a t y 22112222121212121111d d d d d d (2) 如果齐次线性微分方程组(2)与非齐次线性微分方程组(1)具有相同的系数（即对应的a ik (t )都相同），就称(2)是非齐次线性微分方程组(1)的对应的齐次线性微分方程组.[解的存在定理] 如果线性微分方程组(1)的所有系数a ik (t )和右端函数f i (t )在区间(t 1,t 2)内连续，那末方程组(1)在此区间的每一点t 0(t 1<t 0<t 2)都存在唯一满足初始条件(t 0,y 1(0),…,y n (0))的解，而且这个解定义在整个区间(t 1,t 2)内. [解的基本结构]1︒ 齐次线性微分方程组的任意两个解的线性组合还是这个方程组的解.2︒ 含n 个未知函数的齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的n 个线性无关解的线性组合.3︒ 含n 个未知函数的非齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的一个特解与它的对应的齐次线性微分方程组的通解的和. 2. 常系数线性微分方程组 微分方程组()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=t f y a y a y a ty t f y a y a y a t yt f y a y a y a t y n n nn n n nn n n n 2211222221212112121111d d d d d d (3) 称为常系数线性微分方程组，式中a ij 是常数.当f i (t )≡0 (i =1,2,…,n )，称(3)为齐次的，当f i (t )不全恒等于零，称(3)为非齐次的.[特征根与齐次方程组的线性无关解]0212222111211=---λλλnn n n nna a a a a a a a a是λ的n 次代数方程，它称为非齐次线性微分方程组(3)所对应的齐次线性微分方程组的特征方程，特征方程的根称为特征根.根据特征根的不同情形，给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式.[用常数变易法求非齐次方程组的特解] 非齐次线性微分方程组(3)的一个特解，可由对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得.设y 11,y 21,…,y n 1;y 12,y 22,…,y n 2;…;y 1n ,y 2n ,…,y nn 是对应的齐次线性微分方程组的n 个线性无关解.那末非齐次线性方程组的一个特解y 1*,y 2*,…,y n *可由下列形式确定()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y t c y t c y t c y y t c y t c y t c y y t c y t c y t c y 2211*2222211*21122111*1 式中c i (t )是待定函数，它们满足下列方程组：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++t f t c y t c y t c y t f t c y tc y t cy t f t c y dt c y t c y n n nnn n n n n n d d d d d d d d d d d d d d d d d 22112222212111212111 从上面方程组解出tc t ct c n d d ,,d d ,d d 21 ，再积分就得出所要求的c i (t ) (i =1,2,…,n )例 求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=--t te y x tye y x tx 434d d 2d d (1) 解 先求对应的齐次线性微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx34d d 2d d (2) 的通解.由特征方程12430--=λλ可知特征根为λ=5,1-=λ.则相应的线性无关解是如下形式：()()x t A e y t A e t t 115125==⎧⎨⎪⎩⎪ ()()x t B ey t B e tt2122==⎧⎨⎪⎩⎪-- 分别代入齐次线性方程组(2)，利用待定系数法，确定出A 1=c 1 , A 2=2c 1 , （c 1 是任意常数）B 1=c 2 , B 2=2c - , （c 2 是任意常数）所以齐次线性方程组 (2)的通解为()()x t c e c ey t c e c e t tt t=+=-⎧⎨⎪⎩⎪--1521522 （c 1 ,c 2 是任意常数） 其次，利用常数变易法求非齐次线性方程组(1)的一个特解.把c 1 ,c 2看成是t 的函数，解下列方程组e dc dt e dc dte e dc dt e dc dt e t t t t t t 51251224+=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪---- 得dc dt e dcdtt 1622==--, 积分后，取()()c t ec t t t 152162=-=-⎧⎨⎪⎩⎪- 于是所求方程组(1)的通解是()()x t c e c t e y t c e t c e tt t t=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1521521622213 式中c 1 ,c 2为任意常数.四、 常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法（消去法）[微分算子与逆算子] 记()()()()()()()()t f D t f DD tt f t f D t DDf t t f t Df t t f nn nn =====-1222d d ,,d d ,d d 称D ,D 2,…,D n 为微分算子.一般地引进微分算子()P D D a D a D a n n n n =++++--111 （a 1,a 2,…, a n 是常数）规定它的意义是()()()()()P D f t D f t a D f t a Df t a n n n n =++++--111还引进微分算子的逆算子，D k 的逆算子记为1Dk ，规定它的意义是()()()kkk t t f t f Dd 1 ⎰⎰= (k 为正整数) P (D )的逆算子记为()1P D ，它满足条件 ()()()()P D P D f t f t 1⎡⎣⎢⎤⎦⎥=注意，()()1P D f t 的结果不是唯一的，而是一族函数. [微分算子的简单性质与运算公式][用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解] 1︒ 方程P (D )x=f k (t )，其中f k (t )是t 的k 次多项式. 分两种情形：(i) P (0)≠0.依上表公式7︒得()()()x t Q D f t k k =(ii) P (0)=0.此时P (D )=Q (D )D r （整数r ≥1），而Q (0)≠0.依上表公式2︒有()()()()()x t P D f t D Q D f t k r k ==⎡⎣⎢⎤⎦⎥111设()()() xt Q D f t k =1，则 ()()x t D x t r=12︒ 方程()()P D x e f t t k =λ（当f k (t )为常数时P (λ)0≠）.依上表公式6︒ ，一个特解为()()()()()t f D P e t f e D P t x k t k t λ+==11λλ3︒ 方程P (D )x =cos βt f k (t )或P (D )x =s i n βt f k (t ). 考虑辅助方程()()P D x e f t i t k =β它与方程2︒同类型，设它的一个特解是()()()x t x t ix t =+12那末方程()()t tf x D P k βcos = 有一特解x (t )=x 1(t )而方程()()t tf x D P k βsin =有一特解x (t )=x 2(t )4︒ 方程P (D 2)x = t βcos 或P (D 2)x =t βsin . 若P (2β-)≠0，则由上表公式4︒，5︒得()()()221cos cos 1βββ-==P t t D P t x 或()()()221sin sin 1βββ-==P t t D P t x若P (2β-)=0,则有正整数r 和多项式Q (Q (2β-)≠0)使()()()P D D Q D r2222=+β可按方程1︒ (ii)的方法处理.[用算子解法（消去法）求线性微分方程组的解] 消去法是解代数方程组的有效方法之一.引进微分算子tD d d=之后，同样适用于解线性微分方程组.下面用具体例子来说明这个方法.设已给线性微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-te x x t x t x t x t x tx 22122121213d d d d d d d d 应用微分算子，上面方程组可写成()()()⎩⎨⎧=+-+-=-+)2(13)1(1221221tex D x D tDx x D 把这个方程组看成两个未知数x 1,x 2的代数方程组.利用消去法，依次解出x 1,x 2.()()()tt e D tD x D D D D D e Dt x D D D D 2222212311311131+-+=+-+-++---=+-+-+即()()()()()()()2333111211122222322123'+=+++=-+-'++=++=-+-te t D e D x D D D e t De t D x D D D t t tt 先解(1'),为此先求其对应的齐次方程()D D D x 32110-+-=的通解.特征根为λ1=1,λ2=i ,λ3=i -所以齐次方程的通解为()~cos sin x t c e c t c t t 1123=++ (321,,c c c 为任意常数)再用算子解法，求方程(1')的一个特解 ()()() x t D D D t e D D D t D D D e t t1322323221112111112=-+-++=-+-++-+-由前表公式7︒有()()()11111232D D D t D t t -+-+=-++=--由前表公式3︒有112212221253222322D D D e e e t tt -+-=-+-=得到方程(1')的特解() xt e t t12252=-- 最后得出方程(1')的通解()x t c e c t c t e t t t 11232252=+++--cos sin为求出x 2 (t )，(1)减(2)得 ()x D D x t e t 22122=-+--用x 1(t )代入即得()()()x t c e c c t c c t e t t t 212323223533=+-+++--cos sin。