迭代法中基本操作的并行算法
方程求解算法优化及并行计算方法
方程求解算法优化及并行计算方法随着计算机技术的不断发展，方程求解问题在科学、工程等领域中得到了广泛的应用。
然而，传统的方程求解算法在面对复杂、大规模的问题时往往效率低下，无法满足实际应用的需求。
因此，对方程求解算法进行优化和并行计算方法的研究成为了当下的热点。
为了提高方程求解算法的效率，研究人员们提出了许多优化方法。
其中一个常见的优化方法是迭代法。
迭代法通过不断逼近方程的根，直到满足精度要求为止。
在迭代法中，关键是选择合适的迭代公式和收敛条件。
传统的迭代算法如牛顿法、割线法等，在一些复杂问题中可能会收敛速度较慢。
因此，研究人员们提出了一些改进的迭代算法，如改进的牛顿法、改进的割线法等。
这些改进算法可以通过适当调整迭代公式和收敛条件来提高迭代速度和精度。
此外，近年来，机器学习方法在方程求解中也得到了广泛应用。
机器学习方法通过利用大量的数据进行模型训练，可以生成更为准确的方程求解算法。
例如，神经网络方法可以通过训练大量的样本数据，学习到方程求解的模式和规律，从而提高求解效率。
此外，遗传算法等进化算法也可以应用于方程求解，通过不断优化求解算法的参数，进而提高求解效果。
除了算法优化，利用并行计算方法也是提高方程求解算法效率的重要手段之一。
并行计算方法通过将任务分解为多个小任务，并在多个处理单元或计算节点上同时进行计算，从而达到加速计算的目的。
在方程求解中，可以通过并行计算方法将一个大规模的问题分解为多个小规模的子问题，并分配给不同的处理单元进行并行计算。
这样可以充分利用计算资源，提高方程求解算法的速度和效率。
目前，常见的并行计算方法包括多线程并行计算、多进程并行计算和分布式计算等。
多线程并行计算是指在同一进程中利用多个线程同时进行计算，可以充分利用多核心处理器的优势。
多进程并行计算是指在不同的进程中利用不同的处理器同时进行计算，可以提高计算能力。
分布式计算是指将一个大问题分解成多个小问题，并在不同的计算节点上进行并行计算，可以充分利用集群或分布式系统的计算资源。
并行计算第七章并行算法常用设计技术
并行计算第七章并行算法常用设计技术在并行计算中，算法的设计是非常重要的，旨在提高计算速度和效率。
本章将介绍几种常用的并行算法设计技术，包括任务划分、任务调度和数据划分等。
这些技术可以帮助程序员实现高性能的并行计算。
一、任务划分任务划分是指将一个大型计算任务拆分成多个小任务，并分配给多个处理单元并行执行。
常见的任务划分策略有以下几种：1.分治法：将大问题划分成多个子问题，并分别解决。
该方法适用于问题可以被分解成一系列独立的子问题的情况。
例如，计算斐波那契数列可以使用分治法将其拆分成多个子问题，并分配给多个处理单元计算。
2.流水线：将一个长任务划分成多个子任务，并按照流水线的方式依次执行。
每个处理单元处理一个子任务，并将结果传递给下一个处理单元。
流水线技术适用于具有顺序执行步骤的应用，例如图像处理和视频编码。
3.数据并行：将输入数据划分成多个子数据集，并分配给多个处理单元并行处理。
每个处理单元只操作自己分配的子数据集，然后将结果合并。
数据并行可以提高计算速度和处理能力，适用于数据密集型应用，例如矩阵运算和图像处理。
二、任务调度任务调度是指为每个任务分配合适的处理单元，并按照一定的策略进行调度和管理。
常见的任务调度策略有以下几种：1.静态调度：在程序开始执行之前，根据预先设定的规则将任务分配给处理单元。
静态调度可以提高计算效率，但不适用于动态变化的任务。
2.动态调度：根据运行时的情况动态地调整任务的分配和调度。
动态调度可以根据负载情况来实时调整任务的分配，提高系统的整体性能。
3.动态负载平衡：将任务合理地分配给多个处理单元，使得每个处理单元的负载尽可能均衡。
动态负载平衡可以避免单个处理单元负载过重或过轻的情况，提高计算效率。
三、数据划分数据划分是指将输入数据划分成多个部分，并分配给多个处理单元。
常见的数据划分策略有以下几种：1.均匀划分：将输入数据均匀地划分成多个部分，并分配给多个处理单元。
均匀划分可以实现负载均衡，但可能导致通信开销增加。
迭代 算法
迭代算法迭代算法是一种重要的算法思想，它在计算机科学和算法设计中应用广泛。
本文将介绍迭代算法的基本概念、原理和应用，并通过举例解释其工作过程和优势。
一、迭代算法的基本概念迭代算法是一种通过重复计算来逐步逼近目标解的算法。
它通过不断迭代更新当前解，直到满足预设的停止条件。
迭代算法通常包括以下几个关键步骤：初始化、迭代更新和停止条件判断。
二、迭代算法的原理迭代算法的核心思想是通过重复执行特定的计算步骤来逐步改进解的质量。
在每一次迭代中，算法根据当前解的情况进行更新，使得解逐渐趋近于最优解。
迭代算法的效果取决于初始解的选择和迭代更新的策略。
三、迭代算法的应用迭代算法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在数值计算中，迭代算法常用于求解方程、求解优化问题和模拟连续过程等。
在图像处理中，迭代算法可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等。
此外，迭代算法还可以应用于机器学习、数据挖掘和人工智能等领域。
四、迭代算法的工作过程迭代算法的工作过程可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化：设置初始解，并初始化迭代次数。
2. 迭代更新：根据特定的更新策略，更新当前解。
3. 停止条件判断：判断当前解是否满足预设的停止条件。
如果满足，则停止迭代；否则，继续迭代更新。
4. 输出结果：输出最终的解。
五、迭代算法的优势相比于其他算法，迭代算法具有以下几个优势：1. 灵活性：迭代算法可以根据问题的特点灵活选择更新策略，适应不同类型的问题。
2. 收敛性：迭代算法通常能够收敛到最优解，尤其是在适当的停止条件下。
3. 可并行性：迭代算法的迭代过程通常可以并行计算，加快算法的收敛速度。
4. 适应性：迭代算法可以通过不断迭代更新来适应问题的变化，提高解的质量。
六、迭代算法的实例应用下面以求解线性方程组为例，介绍迭代算法的具体应用过程。
给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b 为已知向量。
要求解x的值。
迭代算法的基本思路是不断更新x的值，直到满足预设的停止条件。
数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法
disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
(完整word版)高斯-塞德尔迭代并行算法
高斯-塞德尔迭代并行算法在并行计算中，高斯-塞德尔迭代采用与雅可比迭代相同的数据划分。
对于高斯-塞德尔迭代，计算i x 的新值时，使用11,,i n x x +-⋯的旧值和01,,i x x -⋯的新值。
计算过程中i x 与01,,i x x -⋯及11,,i n x x +-⋯的新值会在不同的处理器中产生，因此可以考虑采用时间偏移的方法，使各个处理器对新值计算的开始和结束时间产生一定的偏差。
编号为 my_rank 的处理器一旦计算出(_(_1))i x my rank m i my rank m ⨯≤+⨯的新值，就立即广播给其余处理器，以供各处理器对x 的其它分量计算有关i x 的乘积项并求和。
当它计算完 x 的所有分量后，它还要接收其它处理器发送的新的x 分量，并对这些分量进行求和计算，为计算下一轮的i x 作准备。
计算开始时，所有处理器并行地对主对角元素右边的数据项进行求和，此时编号为 0 的处理器 （简称为0p ）计算出0x ,然后广播给其余处理器，其余所有的处理器用0x 的新值和其对应项进行求和计算,接着0p 计算出12,,,x x ⋯当0p 完成对1m x -的计算和广播后，1p 计算出m x ，并广播给其余处理器，其余所有的处理器用m x 的新值求其对应项的乘积并作求和计算。
然后1p 计算出12,,,m m x x ++⋯当1p 完成对2*1m x -的计算和广播后，2p 计算出2*m x ⋯，如此重复下去，直至1n x -在1p p -中被计算出并广播至其余的处理器之后，0p 计算出下一轮的新的0x ，这样逐次迭代下去，直至收敛为止。
具体算法框架描述如下： 算法 1 求解线性方程组的高斯-塞德尔迭代并行算法输入：系数矩阵n n A ⨯，常数向量n n b ⨯，ε，初始解向量n n x ⨯输出：解向量n n x ⨯Begin对所有处理器 my_rank(my_rank=0,…, p-1)同时执行如下的算法:(1) for i=my_rank*m to (my_rank+1)*m-1 do/*所有处理器并行地对主对角元素右边的数据求和*/(1.1) sum[i]=0.0(1.2)for j=i+1 to n-1 dosum[i]= sum[i]=+ a[i,j]*x[j]end forend for(2) while (total<n) do /*total 为新旧值之差小于 ε的x 的分量个数*/(2.1) iteration=0/* iteration 为本处理器中新旧值之差小于 ε的x 的分量个数*/(2.2)for j=0 to n-1 do /*依次以第 0,1, …, n-1行为主行*/(i) q=j/m(ii)if my_rank=q then /*主行所在的处理器*/[][][][]()[]temp x j , x j b j sum j /a j,j ==- /* 产生()x j 的新的值*/ if ([]x j temp ε-<││) then iteration= iteration +1 end if将x[j]的新值广播到其它所有处理器中/*对其余行计算x[j]所对于的内积项并累加*/sum[j]=0for i=my-rank* m to (my-rank+1)*m-1 doif (j ≠ i) then[][][][]sum i sum i a i,j *x j =+end ifend forelse /*其它处理器*/接收广播来的x[j]的新值/*对所存各行计算x[j]所对于的内积项并累加*/for ()i my rank* m to my rank 1* m 1=--+- do[][][][] s um i sum i a i,j *x j =+end forend ifend for(2.3)用Allreduce 操作求出所有处理器中iteration 值的和total 并广播到所有处理器中end whileend若取一次乘法和加法运算时间或一次比较运算时间为一个单位时间。
并行算法与计算数学
并行算法与计算数学随着计算机性能的提高，数据规模的增大，串行算法已经不能满足人们对计算速度的要求。
因此，人们开始研究并行算法，以提高计算效率。
并行算法是指在多个处理器上同时执行的算法，它能够充分利用计算机的计算资源，提高计算速度。
在计算数学领域，一些计算问题本身就是并行的，如矩阵乘法、图像处理等。
下面，我们将介绍一些常见的并行算法和在计算数学中的应用。
1.并行排序算法排序是计算机科学中常见的问题，排序算法的效率直接影响到计算速度。
在串行算法中，快速排序和归并排序是常用的排序算法。
但是这些算法的时间复杂度均为O(nlog n)，无法满足大规模数据的排序需求。
因此，人们开始研究并行排序算法。
并行排序算法可以分为两类，一类是基于比较的排序算法，如奇偶排序、快速排序等；另一类是基于分布式内存的排序算法，如桶排序、基数排序等。
在计算数学领域，排序算法也有着广泛的应用。
例如，在解决最小生成树问题时，需要对边按边权进行排序；在求解线性方程组时，需要对系数矩阵进行排序。
2.并行矩阵乘法算法矩阵乘法是计算数学中一项重要的计算任务，其时间复杂度为O(n^3)，对于大规模矩阵乘法问题，串行算法已经无法满足要求。
因此，人们开始研究并行矩阵乘法算法。
常用的并行矩阵乘法算法有分块矩阵乘法、Cannon算法、Fox算法等。
这些算法都是基于矩阵的分块思想，通过将大矩阵分割成小块再进行矩阵乘法，从而充分利用计算机的并行计算能力，提高计算速度。
在计算数学领域，矩阵乘法算法也有广泛的应用。
例如，在求解线性方程组时，需要对系数矩阵进行矩阵乘法；在图像处理中，需要对像素矩阵进行矩阵乘法。
3.并行图像处理算法图像处理是计算数学中的一项重要研究领域，其算法主要包括图像增强、图像恢复、图像分割、图像分类等。
在串行算法中，常用的图像处理算法有灰度变换、直方图均衡化、滤波等。
但是，这些串行算法只能处理小规模的图像。
对于大规模的图像，串行算法的计算速度完全无法满足要求。
(2024年)并行计算第并行算法的设计ppt课件
运用并行计算技术加速基因序列的比对和分析，促进生物医学研究 的发展。
28
工程仿真领域
01
流体动力学仿真
通过并行算法模拟流体的运动状 态，以优化飞行器、汽车等交通 工具的设计。
02
03
结构力学仿真
电磁场仿真
利用并行计算技术对建筑物、桥 梁等结构进行力学分析和优化， 提高工程安全性。
运用并行算法模拟电磁场的分布 和传播，以改进电子设备和通信 系统的性能。
高速互联网络
用于连接处理器和存储器，提供高带宽和低延迟 的数据传输，保证并行计算的效率。
2024/3/26
5
并行计算的软件支持
并行编程模型
包括消息传递模型、数据并行模型和 共享内存模型等，为并行计算提供抽 象的编程接口。
并行编程语言
如MPI、OpenMP、CUDA等，这些 语言提供对并行硬件的直接支持，使 程序员能够方便地编写并行程序。
2024/3/26
并行最长公共子序列算法
通过并行处理多个子序列的比较和合并操作，加速 最长公共子序列的求解过程。
并行最短编辑距离算法
将编辑距离的计算过程拆分成多个步骤，每 个步骤可以在多个处理单元上并行执行，从 而加快计算速度。
18
04
现代并行算法设计
2024/3/26
19
分布式并行算法
2024/3/26
11
并行算法的性能评价
加速比
衡量并行算法相对于串行算法的速度提升程度。
效率
衡量并行算法在给定资源下的性能表现。
2024/3/26
12
并行算法的性能评价
• 可扩展性：衡量并行算法在增加处理单元 数量时的性能提升能力。
java设计模式 四大常用架构 迭代模型 并行排序算法
设计模式20世纪60年代的软件危机使得人们开始重视软件工程的研究。
起初，人们把软件设计的重点放在数据结构和算法的选择上。
随着软件系统规模越来越大、越来越复杂，整个系统的结构和规格说明也显得越来越重要。
面对日益复杂的软件系统，人们开始认识到，要真正实现软件的工业化生产方式，达到软件产业发展所需要的软件生产率和质量，软件复用是一条现实可行的途径。
1995年，《Design Pattern》(中译“设计模式”)一书问世，成为面向对象编程中使用模式化方法的开创性著作。
这本书对于软件实践中的一些不断变换面孔重复出现、但特征和解决方案的本质却十分类似的问题进行了总结归纳，提炼出23个具有代表性的模式。
设计模式本身并不是一种具体的“技术”，它讲述的是思想。
它不仅仅展示了接口或抽象类在实际案例中的灵活应用和智慧，还让开发人员能够真正掌握接口或抽象类的应用。
更重要的是，该书提炼的这些设计模式反复强调的宗旨是尽量提高程序的使用率，让程序尽可能的可重用。
Java中的设计模式Java语言作为面向对象编程语言的优秀代表，它拥有简单易用的特性，以及强大的功能，非常有利于设计模式的实施。
Java发展到现在，按应用主要分为三大块：J2SE、J2ME和J 2EE，这也就是Sun ONE(Open Net Environment)体系。
J2SE就是Java2的标准版，主要用于桌面应用软件的编程;J2ME主要应用于嵌入式系统开发，如手机和PDA的编程;J2EE是J ava2的企业版，主要用于大型分布式网络程序的开发，如电子商务网站和ERP系统。
Java 技术已经逐渐成为电子商务主流技术之一。
在Java的各个平台中，设计模式有很多精彩的应用，而且随着Java技术的不断发展，设计模式也在不断丰富。
J2SE与设计模式早期发布的设计模式主要来自桌面应用软件的开发经验。
在《Design Pattern》一书中，所有的模式都是通过面向桌面应用的窗口程序来举例说明的。
并行算法简介
并行算法研究
一，并行计算的简介
并行算法就是用多台处理机联合求解问题的方法和步骤,其执行过程是将给定的问题首先分解成若干个尽量相互独立的子问题,然后使用多台计算机同时求解它,从而最终求得原问题的解。
并行算法的设计，分析和正确性比起相应的串行算法来要困难得多。
对于串行算法，衡量并行算法复杂度的主要标准除了是运行时间和所占用的空间，还要考虑其他资源的开销。
（1）处理器数
某些个别问题是固有串行的，不能使用并行算法，此时处理器的多少对问题的解决无意义。
大多数问题可以并行化解决，此时使用的处理器越多（在某个界限内），算法就越快。
而这个界限就需要我们研究探讨。
（2）处理器间的通信（处理器数目一定）
①处理器的距离
②处理问题同步
二，并行计算的模型
算法运行时间为(,)
T n p,其中n是输入的大小，p是处理器的数目。
比率()(,1)(,)
=被称为算法的加速比。
当()
S p T n T n p
=时并行算法是
S p p
最有效的，因为在这种情况下，算法获得了完美的加速比。
(,1)
T n的值应取自众所周知的串行算法。
处理器利用率的一个重要度量是并行算法的效率，定义为
()
(,1)
(,)(,)S p T n E n p p pT n p ==。
如果(,)1E n p =.，则在算法执行过程中所有处理器完成的工作量的总和等于串行算法所需要的工作量，在这种情况下算法取得了最优的处理器使用效果。
获得最优效率的机会是很小的，我们的目标是使效率最大化。
计算方法第六章迭代法
计算方法第六章迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，在数学和计算机科学中有广泛的应用。
本章将介绍迭代法的基本概念、原理和应用，以及相关的数学原理和计算技巧。
首先，我们来了解迭代法的基本概念。
迭代法是通过逐步逼近的方式得到一个问题的解。
迭代法的基本思路是从一个初始值开始，通过重复计算和更新，得到更加接近最终解的近似值。
迭代法的优点是简单和灵活，但需要注意选择合适的迭代公式和初始值，以及控制迭代的停止条件。
迭代法的原理可以用以下的一般形式表示：```x_(n+1)=f(x_n)```其中，x_n表示第n次迭代得到的近似值，x_(n+1)表示第(n+1)次迭代的近似值，f是一个函数，表示迭代公式。
迭代法的思想是通过不断迭代更新x的值，直到满足一些停止条件为止。
迭代法的应用非常广泛，特别是在求解非线性方程和优化问题方面有重要的应用。
在求解非线性方程时，我们可以将方程转化为形式为f(x)=0的等式，然后通过迭代法逼近方程的根。
在优化问题中，我们可以通过最小化或最大化一个函数来寻找最优解，也可以使用迭代法逐步逼近最优解。
在迭代法的实际应用中，我们需要注意一些数学原理和计算技巧。
首先，迭代法的收敛性是关键的，即通过迭代公式逐步逼近的值是否趋于问题的解。
在评估迭代法的收敛性时，常用的方法有判断迭代序列的极限是否存在和是否满足一些收敛条件。
其次，选择合适的迭代公式和初始值对于迭代法的成功应用非常重要。
迭代公式应该是简单和有效的，能够在迭代过程中逐步逼近问题的解。
初始值的选择也会直接影响迭代的结果，通常需要根据问题的特点和经验进行选择。
另外，迭代法的计算精度和计算效率也是需要考虑的问题。
在迭代过程中，我们需要根据问题的要求不断调整迭代的次数和迭代的停止条件，以达到较高的计算精度。
同时，我们也需要通过优化迭代公式和使用更加高效的计算技巧来提高计算的效率。
最后，迭代法的应用还可以进一步扩展到其他领域。
例如，在图像处理中，我们可以使用迭代法逐步改进图像的质量；在机器学习中，我们可以使用迭代法来调整模型的参数，以求得更好的拟合效果。
计算流体力学（CFD）中的迭代法及其并行计算方法
计算流体力学(CFD)中的迭代法及其并行计算方法何有世 副教授 袁寿其王大承丛小青(江苏大学)(五邑大学)(江苏大学)学科分类与代码:62015020基金项目:江苏省应用基础基金项目(基金号:BJ2000006)。
【摘 要】 应用计算流体力学(CFD)方法分析事故原因已被广泛采用,笔者针对事故理论分析和流体计算过程中,运用CFD方法所存在计算量大的问题,分析和讨论了几种古典迭代法及其并行计算方法。
【关键词】 计算流体力学(CFD) 迭代法 并行计算Iteration and Its Parallel Computation in Computational Fluid DynamicsH e Youshi,Assoc.Prof1 Yuan Shouqi W ang Dachen Cong Xiaoqing(Jiangsu University)(Wuyi University)(Jiangsu University)Abstract: Computational fluid dynamics(CFD)has been widely applied to analyze the causation of accidents.In view of the large amount of computation in accident theoretical analysis and in the process of fluid computation by CFD,some classic iterations and their parallel computations are analyzed and discussed.K ey w ords: Computational fluid dynamics(CFD) Iteration Parallel computation1 引 言在安全科学的众多领域,例如,爆炸压力场的分布计算中,都广泛地使用CFD(Computational Fluid Dynamics,计算流体力学)技术。
并行幂迭代算法
并行幂迭代算法
并行幂迭代算法是一种通过多台计算机或处理器同时进行幂运算的算法。
该算法将幂运算任务分割成多个子任务，每个子任务由一台计算机或处理器进行计算。
每个子任务的结果会被收集到一个中心节点，最终得到整个幂运算的结果。
具体来说，算法分为以下几个步骤：
1. 将幂运算的指数分成多个子指数，每个子指数对应一个子任务。
2. 将底数分成多个部分，每个部分分配给一台计算机或处理器进行计算。
3. 每个计算机或处理器基于分配的底数部分，对该部分进行幂运算，得到一个中间结果。
4. 将每个计算机或处理器得到的中间结果发送到一个中心节点。
5. 中心节点收集到所有中间结果后，对这些结果进行合并，得到最终的幂运算结果。
相较于传统的串行幂迭代算法，并行幂迭代算法可以大大提升幂运算的计算速度，特别是针对大规模的指数和底数运算。
然而，并行幂迭代算法在实施过程中也会面临一些挑战，例如任务的分割和分配、中间结果的传输和收集等。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行算法设计和优化。
经典迭代的并行算法
2018/10/25
19
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
多色排序(续)
多色排序下SOR迭代的形式为
(k ) (k ) x1( k 1) D11 b1 (1 ) D1 x1( k ) C12 x2 C13 x3 C1l xl( k ) ( k 1) 1 ( k 1) (k ) (k ) (1 ) D2 x2 C23 x3 C2l xl( k ) x2 D2 b2 C21 x1 ( k 1) ( k 1) (k ) xl( k 1) Dl1 bl Cl ,1 x1( k 1) Cl , 2 x2 C x ( 1 ) D x l , l 1 l 1 l l
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
经典迭代的并行算法
一般形式的Jacobi迭代
正方网格上的Jacobi迭代 超松弛迭代 红黑排序 多色排序
2018/10/25
1
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
一般形式的Jacobi迭代
考虑线性方程组
A11 A 21 Am1 A12 A22 Am 2 A1m x1 b1 x b A2 m 2 2 ， Amm xm bm
2018/10/25
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
正方网格上的Jacobi迭代(续)
(0,1) (0, h) (0,0) (h,1) (h, h) (h,0) (nh,1) (nh, h) (nh,0) (1,1) (1, h) (1,0)
(0, nh) (h, nh) (nh, nh) (1, nh)
迭代法中基本操作的并行算法
2018/12/27 8
2018/12/27
2
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘
简单的一维分布
2018/12/27
3
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘(续)
二维分布
2018/12/27
4
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘(续)
使负载更平衡的一种分布形式
2018/12/27
Байду номын сангаас
5
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
一般稀疏矩阵与稠密向量的并行乘法
一般稀疏矩阵的非零元结构对应于一个有 向图，矩阵与向量进行乘法时，yk的计算所 依赖的x分量对应于图中结点k的出边 对应于yk的计算量完全由k的出边数量决定
在计算y＝Ax时，寻找使负载平衡且通信量 最少的矩阵行分布就等价于对图G进行分割， 使各子图内所有顶点的出边总数大致相当， 而所有子图间的边数之和最少
x ( x1 , x2 , xn )，y ( y1 , y2 , yn )，
则有 ( x, y) x1 y1 x2 y2 xn yn . 例子：
P0 x0~99 y0~99 P1 x100~199 y100~199 P2 x200~299 y200~299 P3 x300~399 y300~399
2018/12/27 6
国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
一般稀疏矩阵与稠密向量的并行乘法(续)
例如，对非零元结构对应于下图的稀疏矩阵，在 两个进程上并行计算时，红线对应的分布更好
逐次松弛法迭代并行程序设计
逐次松弛法迭代并行程序设计
随着计算机技术的不断发展，高性能计算已经成为了科学研究和工程应用的重要手段。
而并行计算则是实现高性能计算的重要方法。
在并行计算中，迭代算法是一种十分重要的方法，而逐次松弛法迭代则是其中一种常用的方法。
逐次松弛法迭代是一种迭代求解线性方程组的方法。
它是一种分裂迭代法，其基本思想是将线性方程组分解成若干个子问题，然后对每个子问题进行求解。
在每一次迭代中，首先求解每个子问题，然后将解代入原方程组中，得到新的方程组，再对新的方程组进行下一次迭代。
这样，通过多次迭代，就可以逐步逼近原方程组的解。
逐次松弛法迭代的优点在于其简单易实现、收敛速度快等特点。
同时，由于其可以将原问题分解成若干个子问题，因此也便于实现并行计算。
在并行计算中，逐次松弛法迭代可以通过多种方法实现并行化。
其中一种常用的方法是将原问题分解成若干个子问题，然后将各个子问题分配给不同的处理器进行计算。
在每次迭代中，各个处理器分别对自己负责的子问题进行求解，然后将解交换给其他处理器，以更新其他子问题的解。
这样，通过多次交换和更新，就可以得到原问题的解。
这种方法可以有效地利用多核处理器和分布式计算资源，提高计算效率。
除了并行化之外，逐次松弛法迭代还有其他的改进方法。
例如，可以采用预处理技术来优化迭代过程，或者利用加速技术如多重网格法等来加速收敛速度。
逐次松弛法迭代是一种简单有效的迭代求解线性方程组的方法，同时也是实现并行计算的常用方法之一。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择不同的优化方法，以提高计算效率和准确性。
高斯-赛德尔迭代法的红黑着色并行算法
高斯-赛德尔迭代法的红黑着色并行算法高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
而红黑着色并行算法则是一种优化高斯-赛德尔迭代法的并行计算方法。
红黑着色并行算法的基本思想是将问题的计算域分割为红色和黑色两个集合，然后将计算任务按照这两种颜色分配给不同的处理器或计算单元进行并行计算。
通过交替更新红色与黑色点的值，并利用已经更新的邻居值进行迭代，可以加速收敛速度。
以下是红黑着色并行算法在Gauss-Seidel迭代法中的基本步骤：
1.将问题的计算域按照红色和黑色着色规则进行划分。
2.初始化红色和黑色点的数值。
3.交替进行红色和黑色点的更新，使用已经更新的邻居值进行计算。
4.重复步骤3，直至收敛或达到指定的迭代次数。
在红色和黑色的交替更新过程中，需要注意的是确保在更新某个点的数值时，其邻居点的数值已经被更新过。
因此，在每次迭代之后，需要同步所有处理器或计算单元之间的数据，以保持一致性。
红黑着色并行算法在并行计算中能够有效利用多处理器或多计算单元的计算能力，加速求解线性方程组的过程。
它常用于求解大规模的稀疏线性方程组或图算法等问题。
并行算法——精选推荐
并⾏算法 并发算法虽然可以充分的发挥多核CPU的性能。
但不幸的是，并⾮所有的计算都可以改造成并发的形式。
简单来说，执⾏过程中有数据相关性的运算都是⽆法完美并⾏化的。
假如现在有两个数C和B，如果我们要计算（B+C）*B/2，那么这个运⾏过程就是⽆法并⾏的。
原因是，如果B+C没有执⾏完成，则永远都算不出（B+C）*B，这就是数据的相关性。
如果线程执⾏时，所需要的数据存在这种依赖关系，那么，就没有办法将它们进⾏完美的并⾏化。
那遇到这种情况，有没有什么补救措施呢？答案是肯定的，那就是借鉴⽇常⽣产中的流⽔线思想。
⽐如，现在要⽣产⼀批⼩玩偶。
⼩玩偶的制作分为4个步骤，第⼀，要组装⾝体；第⼆，要在⾝体上安装四肢和头部，第三，给组装完成的玩偶穿上⼀件漂亮的⾐服，第四，包装出货。
为了加快制作玩具的速度，我们不可能叫四个⼈同时加⼯⼀个玩具，因为这四个步骤有着严重的依赖关系。
如果没有⾝体，就没法安装四肢，如果没有组装完成，就不能穿⾐服，如果没有穿上⾐服，就不能包装发货。
因此，找四个⼈来做⼀个玩偶是没有意义的。
但是，如果现在要制作的不是⼀个玩偶，⽽是⼀万个玩偶，那就情况不同了。
这样的话，你就可以找四个⼈，⼀个⼈只负责组装⾝体，完成后交给第⼆个⼈；第⼆个⼈只负责安装四肢，交付给第三个⼈，第三个⼈只负责穿⾐服，并交付给第四个⼈；第四个⼈只负责包装发货。
这样所有的⼈都能⼀起⼯作，共同完成任务，⽽整个时间也缩短到原来的1/4左右，这就是流⽔线的思想，⼀旦流⽔线满载，每次只需要⼀步就可以完成⼀个玩偶。
类似的思想可以借鉴到程序开发中。
即使（B+C）*B/2⽆法并⾏，但是如果你㤇计算⼀⼤堆的B和C的值，你就可以把它流⽔线化。
⾸先把计算过程拆分为三个步骤： P1：A=B+C P2：D=A*B P3：D=D/2上述的步骤中P1、P2和P3均可以在单独的线程中计算，并且每个线程只负责⾃⼰的⼯作，此时，P3计算的结果就是最终需要的答案。
gauss-seidel 迭代法的红黑着色并行算法
【gauss-seidel 迭代法的红黑着色并行算法】1. 背景介绍gauss-seidel 迭代法是一种常用的数值计算方法，适用于求解线性方程组或者优化问题。
它通过不断迭代更新变量的值，逐步逼近方程组的解。
然而，在大规模的计算中，传统的 gauss-seidel 迭代法效率较低，因为无法充分利用并行计算的优势。
为了提高计算效率，红黑着色并行算法应运而生，它将方程组的变量划分为红色和黑色两类，并行计算红色和黑色变量，从而加快收敛速度。
2. 红黑着色并行算法原理红黑着色并行算法的基本原理是将方程组的变量划分为红色和黑色两类，然后并行计算两类变量。
具体来说，首先将所有变量按照其在方程组中的位置划分为红色和黑色，并行计算红色变量，然后再并行计算黑色变量。
这样可以充分利用并行计算的优势，加快迭代的收敛速度。
3. 算法实现红黑着色并行算法的实现并不复杂，只需要将传统的 gauss-seidel 迭代法进行一定的改进。
将所有变量按照其在方程组中的位置划分为红色和黑色；分别并行计算红色和黑色变量；将计算得到的新变量值合并，进行下一轮迭代。
这样，可以有效地提高计算效率，特别是在大规模计算中效果更为显著。
4. 应用与优势红黑着色并行算法在求解大规模线性方程组或优化问题时具有明显的优势。
通过充分利用并行计算的优势，加快了迭代的收敛速度，降低了计算时间和资源消耗。
在科学计算、工程建模和数据处理等领域得到了广泛的应用。
5. 个人观点与总结作为一种高效的并行计算方法，红黑着色并行算法对于提高计算效率和加速收敛速度具有重要意义。
尤其是在大规模计算和高性能计算中，其优势更为突出。
在实际应用中，我们可以充分发挥红黑着色并行算法的优势，提高计算效率，加速问题求解的过程。
6. 结语在本文中，我们对 gauss-seidel 迭代法的红黑着色并行算法进行了介绍和探讨，并分析了其原理、实现、应用和优势。
通过对这一主题的深入讨论，希望能够使读者更加全面、深刻地理解红黑着色并行算法的重要性和价值所在。
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国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
一般稀疏矩阵与稠密向量的并行乘法(续)
例如，对非零元结构对应于下图的稀疏矩阵，在 两个进程上并行计算时，红线对应的分布更好
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将一次迭代内所有操作一起并行计算时的考虑
在内积并行计算时，为平衡负载，最好将 向量分量个数平均分布到各个进程，而向 量分量的分布与矩阵的行分布相对应，这 对应于对图进行分割时，使得各子图中的 结点数相等 在稀疏矩阵与向量并行乘时，为平衡负载， 应使得各子图内所有顶点的出边总数大致 相当 这两个目标有时是相互冲突的
使负载更平衡的一种分布形式
20分布处理重点实验室
一般稀疏矩阵与稠密向量的并行乘法
一般稀疏矩阵的非零元结构对应于一个有 向图，矩阵与向量进行乘法时，yk的计算所 依赖的x分量对应于图中结点k的出边 对应于yk的计算量完全由k的出边数量决定
在计算y＝Ax时，寻找使负载平衡且通信量 最少的矩阵行分布就等价于对图G进行分割， 使各子图内所有顶点的出边总数大致相当， 而所有子图间的边数之和最少
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x ( x1 , x2 , xn )，y ( y1 , y2 , yn )，
则有 ( x, y) x1 y1 x2 y2 xn yn . 例子：
P0 x0~99 y0~99 P1 x100~199 y100~199 P2 x200~299 y200~299 P3 x300~399 y300~399
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国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘
简单的一维分布
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国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘(续)
二维分布
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国防科学技术大学并行与分布处理重点实验室
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘(续)
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内积的并行计算
非零元结构对应于网格的矩阵与向量相乘 一般稀疏矩阵与稠密向量的并行乘法 将一次迭代内所有操作一起并行计算时的 考虑
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内积的并行计算
假设要计算(x,y)，其中