二元二次方程组的解法教学设计

二元二次方程组的解法

一、教材分析

学习二元二次方程组，对传授知识、培养学生运算和解决实际问题的能力，都有重要的意义。在教学上，既是复习旧知识，又为后续内容（特别是高中的平面解析几何）提供工具，起着承上启下的作用，所以在教学中应该重视。 解方程和方程组时，用到的“降次”、“消元”、“转化”等重要数学思想方法。因此，在教学中，要引导学生注意掌握解题的思路，有计划，有目的地介绍某些有规律的解题技巧，全面归纳和总结解题方法，以达到抓住关键，突破难点的目的。

二、教学目标

1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。

3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”、 “转化”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点、难点

教学重点：用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组。

教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想。

四、教学过程

（一）复习提问：

1、举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？

2、解二元一次方程组的基本思路是什么？

3、解二元一次方程组有哪几种方法？

问题设计的目的是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。

（二）新课讲解：

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容。

1、二元二次方程及二元二次方程组

观察方程0624422=--++-y x y xy x 和01322=-+-y xy x ，

这两个方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2。

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。

二元二次方程的一般形式是：022=+++++f ey dx cy bxy ax （a 、b 、c 不同时为零）。其中22cy bxy ax 、、叫做二次项，dx 、ey 叫做一次项，f 叫做常数项。 观察下面两个方程组：

（1）⎩⎨⎧=+-=-+-+-0120154222y x y x y xy x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-0

23102222y xy x y x 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的。

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及由两个二元二次方程组成的方程组都称为二元二次方程组。

2、课堂练习（一）：

1、下列方程中是二元二次方程的是（ ）

A ：0122=+y x

B ：02=-y x

C ：12

=+y x D ：2=-y x 2、下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）

A ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1222y x x y x

B ：⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=-2411222y y x y x C ：⎩⎨⎧==+65xy y x D ：⎩⎨⎧=-+=-0

))((222y x y x y x 3、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法。

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解。

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次。因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程。

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法。

例1 解方程组

⎩⎨⎧=+-=-+-+-②

y x ①y x y xy x 0120154222 解：由②得： 12-=y x ③

把③代入①得：015)12(4)12(2)12(22=-+--+---y y y y y y

整理后，得：01092=--y y ，

解得：1,1021-==y y

当101=y 时，191211=-=y x ，当12-=y 时，31222-=-=y x ，

所以，原方程组的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1

3,10192211y x y x 。 说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生完成解题过程． 归纳：解二元二次方程组的一般步骤：

①将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式， ②将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程，

③解一元二次方程求出一个未知数的值，

④将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数的值，

⑤写出方程组的解。

4、课堂练习（二）：解下列方程组

⎩⎨⎧=+-=②

y x ①x y 62)1(22 ⎩⎨⎧=+--②

xy x ①x y 03813132)2(2＝ 参考答案：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=53,21)2(,1221,1221)1(221

12211y x y x y x y x （三）、课堂拓展：

1、形如⎩⎨⎧==+b

xy a y x 的二元二次方程组的解法

例2 解方程组:⎩

⎨⎧==+②xy ①y x 127 分析：因此二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，因此可以采用代入法求解。仔细观察这个方程组的特征，可以发现，方程①恰是两数之和等于7，方程②恰是两数之积等于12。这样，解这类方程组就转化为已知两数和与积求两数的问题了，因此，可以将x 、y 看作某个一元二次方程的两个根，作出一个一元二次方程，从而可以得到原方程组的解。

解：方程组中的x 、y 是一元二次方程01272=+-z z 的两个根，

解这个方程，得z ＝3或z=4．

∴ 原方程组的解为

教师引导学生用代入法解本题，然后比较两种方法的优劣。

2、课堂练习（三） 解下列方程组:

（1）⎩⎨⎧==+65xy y x （2）⎩⎨⎧==+1

4xy y x