122函数的表示方法(1)
高一数学必修1作业本答案
7.{-2}.8.{x|x>6,或 x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.
10.A,B
的
可
能
情
形
有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4}.
11.a=4,b=2.提示:∵A∩綂 UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0a=4， ∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩綂 UB={2}，∴-6 綂 UB，∴-6∈B， 将 x=-6 代 入 B, 得 b2-6b+8=0b=2, 或 b=4.① 当 b=2 时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂 UB，而 2∈綂 UB，满足条件 A∩ 綂 UB={2}.②当 b=4 时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2},
精心整理 高一数学必修 1 作业本答案 为大家整理的高一数学必修 1 作业本答案文章,供大家学习参考！更 多最新信息请点击高一考试网 第一章集合与函数概念 1.1 集合 111 集合的含义与表示
10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不,如可表 示为(x,y)|y=x+2,
精心整理 y=x2. 11.-1,12,2. 112 集合间UB={2}矛盾.
精心整理 1.2 函数及其表示 121 函数的概念(一)
10.(1)略.(2)72.11.-12,234. 121 函数的概念(二)
7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).
精心整理 9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).
2022-2023学年广州市第六中学八年级下学期期中数学试题含答案解析
广东省广州市第六中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（）C．4D．6 A．8B．132．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A=∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C=3：4：5C．a2=(b+c)(b﹣c)D．a：b：c=5：12：13∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形内角和等于180°．3．下列计算正确的是（）A．2+3=5B．2=6C．−3+43=4D．32÷2=44．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．【详解】解：连接AC，如图：5．下列命题中，为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）【答案】B【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．6．小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据：行驶路程x(km)050100150200…油箱余油量y(L)4541373329…下列说法不正确的是（）A．该车的油箱容量为45LB．该车每行驶100km耗油8LC．油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45−8xD．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）A．9.6B．4.8C．10D．5【点睛】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等，熟练掌握并灵活应用菱形的性质是解题关键．8．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a+1|−(a−2)2=（）A．2a−1B．2a+3C．−1D．39．关于正比例函数y=−2x，下列结论中正确的是（）．A．函数图象经过点(−2,1)B．y随x的增大而减小C．函数图象经过第一、三象限D．不论x取何值，总有y<0【答案】B【详解】解：A、当x=﹣2时，y=﹣2×（﹣2）=4，即图象经过点（﹣2，4），不经过点（﹣2，1），故本选项错误，不符合题意；B、由于k=﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意；C、由于k=﹣2＜0，所以图象经过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；D、∵x＞0时，y＜0，x＜0时，y＞0，∴不论x为何值，总有y＜0错误，故本选项错误，不符合题意．故选B．10．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），直线y=mx-3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．13B．-1C．2D．12【答案】B【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，从而求得对角线交点P的坐标是（6，3），由直线y=mx-3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分得直线y=mx-3m+6经过点P，即可求解．【详解】解：如图，∵A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），∴AB=10-0=10，CD=12-2=10，又点C、D的纵坐标相同，∴AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵12÷2=6，6÷2=3，∴对角线交点P的坐标是（6，3），∵直线y=mx-3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y=mx-3m+6经过点P，∴6m-3m+6=3，解得m=-1．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及平行四边形中心对称的性质，也就是过对角线交点的直线把平行四边形分成的两个部分的面积相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的．二、填空题11．若代数式x+3有意义，则x的取值范围是．故答案为：x≥−3．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC+BD=10，BC=3，则△AOD 的周长为．13．已知直线y=2x+m−3的图象经过x轴的正半轴，则m的取值范围为．14．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的周长是．15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=．16．已知，在□ABCD中，AD=2AB，点F为AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，以下结论中，正确的是．①CF是∠BCD的角平分线；②连接BF，则∠BFC=120°；③若∠D=60°，则S□ABCD=3DC2；④连接EF，则EF=FC．【答案】①③④【分析】①由平行四边形的性质证出∠DFC=∠FCB，则可得判断①正确；②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，利用ASA证明△ABF≌△DGF，由等腰三角形的性质得出BF=FG，AB=DG，证出BC=CG，由等腰三角形的性质得出∠BFC=90°，则可判断②；③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确；④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得对应线段之间关系进而得出④正确．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∴AD//BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴CF是∠BCD的角平分线，故①正确，符合题意；②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠A=∠FDG，又∵AF=DF，∠AFB=∠DFG，∴△ABF≌△DGF(ASA)，∴BF=FG，AB=DG，∵AB=CD，∴CD=DG，∴CG=2CD，∵BC=AD=2CD，∴BC=CG，∴CF⊥BG，三、解答题17．计算：18+24÷3．)×6．18．计算：(12−1319．已知：四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．求证：AE=AF．【答案】证明见解析【分析】由AE⊥BC，AF⊥DC，得到∠AEB＝∠AFD＝90°，由菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，即可证明△ABE≌△ADF（AAS），结论得证．【详解】证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF．【点睛】本题是简单的推理证明题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．20．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析【详解】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为AE⊥BD，CF⊥BD，根据条件在图形中的位置，可证明AE与CF平行且相等．21．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线为DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2=AE2−CE2．(1)求证：∠C=90°；(2)若AC=4，BC=3，求CE的长．∵AB边上的垂直平分线为∴AE=BE，∵CB2=AE2−CE2，∴CB2=BE2−CE2，22222．先化简，再求值：2a+(a−2)+3，其中a=2−3．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC 上，且DE⊥AC，DF∥AC．(1)求证：四边形CEDF是矩形；(2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形；（2）连接CD，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24．在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数y=|x|+2．(1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数y=|x|+2的图象；(2)小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）；①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；②当x＝0时，此函数有最大值为2；③此函数的图象关于y轴对称．(3)已知点A(−3，−1)、B(4，−1)，那么在函数y=|x|+2的图象上是否存在一点P，使得△ABP的面积为21，若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)③(3)存在，P点的坐标为(−3，5)或(3，5)（2）解：根据图象可知，①当x<0时，y随x的增大而减小，当x②当x=0时，此函数有最小值为2；故③此函数的图象关于y轴对称，故③正确；故答案为：③；（3）解：∵点A(−3，−1)，B(4，−1)，∴AB=7，∵△ABP的面积为21，25．如图1，在矩形ABCD中，∠BAC=45°．(1)求证：矩形ABCD为正方形；(2)如图2，若点P在矩形的对角线AC上，点E在边BC上，且PE=PD，求证：∠EPD=90°；(3)在（2）的条件下，若点F为PE中点，求证：在线段PC或线段BE上必存在一点G （不与端点重合），使得BC2+EC2=8FG2．（选择一种情况说明理由即可）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可证AB=BC,可得结论．（2）连接PB，可证△PDC≅PBC,得出PB=PD，∠PBC=∠PDC，从而得出PE=PB，∠PBC=∠PEB，由∠PEB+∠PEC=180°，可知∠PDC+∠PEC=180°，由四边形内角和即可得出结果．（3）由直角三角形中线性质可知PE=2FG,由（2）可知PB=PD=2FG,再由勾股定理可求解；或者由三角形中位线定理PB=2FG,由（2）可知PB=PD=2FG,再由勾股定理可求解．【详解】（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴∠BCA=180°−∠ABC−∠BAC=180°−90°−45°=45°，∴AB=BC，∴矩形ABCD为正方形；（2）连接BP，∵矩形ABCD为正方形，由（2）可知∠EPD=90°，又∵PE=PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴DE2=PE2+PD2=2PE2，在Rt△ECD中，∵DE2=CD2+EC2，由（2）可知∠EPD=90°，又∵PE=PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴DE2=PE2+PD2=2PE2，在Rt△ECD中，∵DE2=CD2+EC2，∴CD2+EC2=2PE2，又∵BC=CD，∴BC2+EC2=2PE2，∵点F为PE中点，点G为BE中点，∴FG为△PBE的中位线，∴PB=2FG，∵PE=PB，∴PE=2FG，∴BC2+EC2=2PE2=2(2FG)2=8FG2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形中线性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．。
高一数学新人教版(A版)必修第1册《第三章 函数概念与性质》复习课 课件
A．
0，5 2
B．[－1,4]
C．[－5,5]
D．[－3,7]
(2)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的
定义域是
()
A．0，52 C．[－5,5]
B．[－1,4] D．[－3,7]
[解析](2)设 u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所
以 y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这
一区间具有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
6.奇偶函数定义
（1）.偶函数的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
5. 函数的单调性 (1)增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时②时，，如都都果有有对于ff((定xx11))义＜ ＞域ff((Ixx内22))某，，个那那区么么间就就D说说上函函的数数任ff((意xx))两在 在个区 区自间 间变DD上 上量是 是的减值增函x函1，数数x2，当x．．1＜x2
① f(x)是整式，则定义域是R； ② f(x)是分式，则分母不为0；
③ 偶次方根的被开方数非负； ④ 若f(x)= x0 ,则定义域 {x R | x 0}
表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.
4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做 分段函数，它是一类重要的函数．
（2）.奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
对数的概念导纲-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.3.1对数的概念（总一课时） .班级：姓名：小组：【学习目标】目标1：通过课本p122理解并掌握对数的概念。
目标2：通过课本p122知道常用对数和自然对数概念并能写出他们的对数表示方式。
目标3：通过课本p122---123理解并掌握对数和指数之间的关系并能灵活应用概念解决实际问题。
【学习重点】对数的概念，常用对数和自然对数的表示形式【学习难点】对数与指数之间的关系，对数与指数之间的互换【导学流程】一、知识链接一般的，函数y=a x(a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R二、基础感知1.完成下列填空(1)一般地，如果aˣ=N(a>0,且a≠1), 那么数x叫做以a为底 N的 , 记作,其中a 叫做对数的，N叫做真数.例如：4²=16,所以以4 为底16 的对数是2,记作 log₄16=2。
同理如果2=1.11ˣ,那么我们可以得到x 就是以1.11为底2 的对数，记作(2)常用对数:我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN 例如：若100=10x那么x= (用对数的形式表示出来）(3)自然对数：另外, 在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.718 2 8…为底数的对数, 以e为底的对数称为自然对数,并把 logₑN 记为例如：lnx=3,那么x= （用指数表示）(4)根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0, a≠1时, a x=N↔x=log a N由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论和没有对数；logₐ1=0(a>0,a≠1),logₐa=1(a>0,a≠1),log a a n=n(a>0,a≠1),a log a N=N(a>0,a≠1,N>0).(5)试利用对数与指数间的关系证明：(1) logₐ1=0(a>0,a≠1),(2) logₐa=1(a> 0,a≠1),(3) log a a n=n(a>0,a≠1),(4) a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)三、深入学习：1、把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)5⁴=625;(2)2−6=164;(3)(13)m=5.73;(4)log1216=−4;(5)lg0.01=−2;(6)ln10=n.2、求下列各式中x 的值：(1)log64x=−23;(2)logₓ8=6;高一数学第1页 (共4页) 高一数学第2页 (共4页)方法总结：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略（1）已知底数与指数，利用指数式求幂.（2）已知指数与幂，利用指数式求底数.（3)已知底数与幂，利用对数式求指数.指数式和对数式互换高一数学第3页 (共4页) 高一数学第4页 (共4页)。
122函数的表示法第二课时教案.docx
2011-2012学年上学期高一数学备课组教案应用举例探究性质(1)A跟B这两个集合有先后顺序，/：A->B和/：B-A是截然不同的；(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.(3)集合A中的元素不可剩，集合B中的元索可剩余.补充:映射/：A-B 'I', A中元索成为原象，B屮与A屮元索相对应的元素称为象.例1：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1) A=｛P\P是数轴上的点｝, B二R,对应关系数轴上的点与它所代表的实数对应；(2 ) A=｛P\P是平面直角坐标中的点｝, B = [(x,y)\xe R,ye/?｝,对应关系/ ：平面直角处标系中的点与它的坐标对应；(3) A=｛三角形｝, B=｛x|兀是圆｝,对应关系/：每一个三角形都对应它的内切圆；(4 ) A=｛x\x是新华中学的班级｝,B = ｛x\x是新华屮学的学生｝，对应关系/：每一个班级都对应班里的学生.思考：将(3)小的对应关系/改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系/改为：每一个学生都对应他的班级，那么对•应f : B-A是从集合B到集合A的映射吗？例2：在下图中,图(1), (2), (3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，下列情况是不是映射？明，挖掘概念中学生难理解，易混乱的问题.通过例题讲解进一步掌握本节课的重点内容探究性质，激发学生学习兴趣.例题讲解，便于理解.性质课堂练习及延展A 求平方B、49 /判定是否是映射主要看两点：一是A集合屮的元素都要有象，但B屮元素未必要有原象；二是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式，不能出现“多对一”的形式.完成下面练习.1. （x, y）在/下象是（x+y, xy）,则（3, 4）的象是_________（1, -6）的原象是____________ .归纳知识、构建知识网及时体验提髙,增加题目多样性.析：原象象(x, y) (x+y, xy)(3, 4) (7,⑵(2,・3)或者(・3, 2) (1, -6)⑵ /(%) = <的图象X, (x> 1)5.设兀w (-oo,+oo),求函数/(x) = 2|x-l|-3|x| 的解析式, 并画出它的图象.解：函数的解析式为一2—3兀,兀>1;-3,x = l;/(%) = < 一5x + 2,0 v x < 1;2,兀=0;x + 2,x v 0.图像变式：求函数/(x) = 2|x-l|-3|x|的最大值. 析：出上面可得/(x)max = 2.1. 映射的定义；2. 彖与原彖定义；3. 判断是否是映射的条件;4. 画分段函数的图像；5. 求函数的解析式.主备课教师： 邱惠彬 备课组老师:课堂小 结课堂小 结，构造 知识体 系.。
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
2025高考数学一轮复习-5.3.3-第2课时-导数在函数有关问题及实际生活中的应用【课件】
(x)取得最大值
f
(e)＝1e，即
ln
a＜1e，即
1 a＜ee.画
出函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与 y＝x 的图象，结合图象可知，若方程 ax
＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则 a＞1.综上可知，实数 a 的取值
范围为1，e1e.
类型 3 导数在生活实际问题中的应用 角度 1 用料最省、成本(费用)最低问题 【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5 (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f (x)为 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
令 f ′(x)＝0，得 x＝4 或 x＝6(舍去).
于是，当 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (3，4)
4
(4，6)
f ′(x) ＋
0
－
f (x)
极大值 42
由上表可得，x＝4 是函数 f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是 最大值点，
所以，当 x＝4 时，函数 f (x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润 最大．
[解] (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x)＝(x－3)x－2 3＋10(x－6)2 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6， 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
函数的表示法(1)
（3）若想直观地看出面积如何随着边长的变化而变 化，用什么方法表示这个函娄比较好？
图象法
小结：
函数关系的三种表示方法：图象法、列表法、公式法
图象法：明显表示变化趋势
列表法：直接给出部分函数值 公式法：明显表示对应规律
使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
像第三个例子那样，用式子表示函数关系的方 法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
3. 某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元， 则使用x m3天然气应交纳的费用为y（元）. 怎样用含x的式了表示y呢？ 使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
3
3
Y=2.88x
动脑筋
本节第一个例子中，是怎样表示气温T随时 间t而变化的函数关系的？
用直角坐标系中 的一个图形来表示.
图2-1
结论
像第一个例子那样，建立平面直角坐标系，以 自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因 变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有 这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称为图象法.
小提示
Y=2.88x
用式子表示函数关系的方法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
小提示
用图象法表示函数关系的好处是，可以直观地 看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然. 用列表法表示函数关系的好处是，自变量取的 值与因变量的对应值看得很清楚. 用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
初中函数知识点总结
初中函数知识点总结函数是初中数学的重要内容，它贯穿了整个数学学习的过程。
下面让我们一起来详细总结一下初中函数的相关知识点。
一、函数的定义在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
理解函数的定义要抓住三个关键：一是有两个变量；二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；三是对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个。
二、函数的表示方法1、解析式法用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。
2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。
3、图象法用图象来表示两个变量之间的函数关系，形象直观。
三、常见的函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。
当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx，这时称 y 是 x 的正比例函数。
一次函数的图象是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。
2、反比例函数形如 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线。
当 k ＞ 0 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图象在二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大。
3、二次函数形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a，b，c 为常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。
二次函数的图象是一条抛物线。
其对称轴为直线 x ＝ b/2a，顶点坐标为（b/2a，（4ac b²)／4a）。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
122函数的表示法(二)——映射的概念.doc
§1.2.2函数的表示法(二)——映射的概念一、内容与解析(―)内容：映射(二)的军析：⑴映射是两个集合4与B中，元素Z间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多” 的对应.⑵映射中只允许“一对一”与“多对一"这两种对应的特点，从A到B的映射f.A^B实际是要求集合人中的任一元素都必须对应于集合〃中唯一的元素•但对集合〃中的元素并无任何要求，即允许集合〃中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与Z对应，也口J能没冇元素与Z对应.⑶映射屮对应法则/是有方向的，一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.(4)我们可以把对应关系看成一而镜子，集合A中的元素在这而镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合A中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并11映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像來，这是映射区别于一般対应的本质特征.二、目标及其解析：(-)教学口标(1)了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.(2)解析：重点把握映射与函数的区别。
三、问题诊断分析函数与映射的区别与联系⑴函数包括三要素:定义域、值域、两者Z间的对应关系;映射包括三要索：集合A,集合B,以及A,BZ间的对应关系(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.(3)在函数中，对定义域中的每一个兀，在值域中都冇唯一确定的函数值和它对应;在映射中, 对集合A中的任意元素a ,在集合B中都有唯一确定的像方和它对应.(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的口变量的值和它对应;在映射中，对于集合B中的任一元索方,在集合A中不一定冇原像.(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一个映射f:AfB⑹通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.四、教学支持条件分析在木节课一次递推的教学屮，准备使用PowerPoint 2003o因为使用PowerPoint 2003, 有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学牛顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学牛尽快地进入对问题的分析当中。
122同角三角函数的基本关系第一课时(教学设计...
1.2.2《同角三角函数的基本关系》——第一课时（教学设计）一、教材分析1、教材的地位和作用：《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。
同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
2、教学目标根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。
B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
3、教学重点和难点根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为：难点：1）对于“同角”的理解；2）角α二、教学流程本节的教学流程由以下几个环节构成三：教学设计：四、教法分析在前节课的学习中，学生已经理解了任意角三角函数的定义，并且从图像与公式上应该有所发现，这节内容则是对他们直观感觉上的理解进行系统的研究，在这节课上我主要采用了以下的教法：(1)“引导—探究式”教学方法。
在引入公式方面，我通过几个特殊角三角函数值之间的关系，引导学生逐步猜想出公式，进而形成认识。
再从理论出发，结合图像与定义，证明两个公式的正确性，培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学案
3.2.1 对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学三点剖析一、利用换底公式进行求值【例1】计算:(1)log 1627log 8132;(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值. 解：(1)log 1627log 8132=81lg 32lg 16lg 27lg ⨯ =45433lg 2lg 2lg 3lg ⨯=3lg 42lg 52413lg 3⨯g =1615. (2)方法一:(log 32+log 92)(log 43+log 83)=(log 32+9log 2log 33)(8log 3log 4log 3log 2222+) =(log 32+21log 32)(21log 23+31log 23) =23log 32×65log 23=45×2lg 3lg 3lg 2lg ⨯=45. 方法二:原式=()8lg 3lg 4lg 3lg )(9lg 2lg 3lg 2lg (++=)2lg 33lg 2lg 23lg )(3lg 2lg 23lg 2lg (+⨯+=23×3lg 2lg ×65× 2lg 3lg =45. 二、条件求值【例2】已知log 1227=a,求log 616的值.思路分析：此题用换底公式,将log 616换成以12为底的对数,而已知a=log 1227可转化为log 123=3a ,关键是log 122的值,312=22是一个重要转折,∴log 12312=log 1222=2log 122. 解：∵log 1227=a,∴log 123=3a . ∵log 12312=2log 122=1-log 123=13a -, ∴log 122=21(13a -). ∴log 616=6log 16log 1212=3log 2log 2log 4121212+=aa +-3)3(4. 三、恒等式的证明问题【例3】求证:(1)log x ylog y zlog z a=log x a;(2)log n a b n log c a=log c b.思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”. 证明:(1)log x ylog y zlog z a=z a y z x y lg lg lg lg lg lg ⨯⨯=xa lg lg =log x a.∴原式成立. (2)log n ab nlog c a=c a a b n n lg lg lg lg ⨯=c a a n b n lg lg lg lg ⨯=c b lg lg =log c b. ∴原式成立.温馨提示在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式. 各个击破类题演练1求值:(1)log 23log 95log 58;(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).解析：(1)原式=5lg 8lg 9lg 5lg 2lg 3lg ∙∙=5lg 2lg 33lg 25lg 2lg 3lg ∙∙=23. (2)原式=(2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3++)(5lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg ++)=5lg 2lg 32lg 35lg 13∙=13. 变式提升1已知log 34log 481log 8m=log 416,求m 的值.解析：由条件知2lg 3lg 2lg 23lg 43lg 2lg 2m ∙∙=2, 2lg 3lg 4m 2,∴2lgm=3lg2. ∴lgm 2=lg8.∴m 2=8. 又∵m>0,∴m=22.类题演练2已知log 35=a,求log 1575.解析：log 1575=15log 75log 33=5log 1125log 33++=5log 115log 233++=aa ++112. 变式提升已知log 23=a,log 37=b,求log 4256.解析：∵log 23=a,∴log 32=a1. ∴log 4256=42log 56log 33=76log 87log 33⨯⨯=7log 6log 8log 7log 3333++=7log 12log 2log 37log 3333+++=b aa b +++113=13+++a ab ab . 类题演练3求证:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m=1. 证明:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m =)lg(lg )lg()lg(lg )lg(z y m a y x z y m a y x +∙+++∙++=1. 变式提升3设x 、y 、z∈(0,+∞)且3x =4y =36,求证:y x 12+=1. 证明:∵3x =36,4y =36,∴x=log 336，y=log 436. ∴x 1=log 363y1=log 364. ∴x 2+y1=2log 363+log 364 =log 36(32×4)=1. ∴x 2+y 1=1.。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)PPT资料25页
其中 p 0 为t=0时的物价。假定某种商品的p 0 =1，
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度
大约是多少（精确到0.01）？ 见书P14
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t)1.05t ln1.05
p '( 1) 0 1 .01l5 0 1 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
求函数y=x³-2x+3的导数。
见书P15
解：因为y′=(x³-2x+3) ′ = (x³) ′-(2x) ′+(3) ′ =3x²-2
∴函数y=x³-2x+3的导数是y′=3x²-2
[c f(x )]' c f'(x )， c 为 常 数
推广：[af(x)±bg(x)] ′=a[f (x) ]′±b[g (x) ]′
练习：利用导数定义求 yx2 x
的导数. (x2x)2x1
设f (x) x2，g(x) x
则 f(x)g(x)x2x
结论： (x2x)(x2)(x). 猜想： [f( x ) g ( x ) ] f( x ) g ( x )
证明: f(x)g(x)f(x)g(x).
证明：令 yf(x)g(x).
y f ( x x ) g ( x x ) f ( x ) g ( x )
f ( x x ) f ( x ) g ( ) g ( x x ) g ( x )
x
x
f( x x ) f( x ) g ( x x ) g ( x )
教学目标
初步掌握导数的四则运算法则，并能运用 教学重点：初步运用导数的四则运算法则 教学难点：商的导数的运用与复合函数的导数
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20
15
10
5 0
1979
1981
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1985
1987
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t（年） 1993
1995 1997 1999 2001
(3)恩格尔系数:国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量 的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以 来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数 的自变量是什么？定义域是什么？
4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}.
思考2:该函数用列表法怎样表示？
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
思考y3:该函数用图象法怎样表示？
25
20
15
追问:
10
上述三种表示法各有什么特点？
5
O 1 2 3 4 5x
知识探究（二）
下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六 次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
城
60
O
1 2 3 4 56x
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情
况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定， 总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊
同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋 势，表明他的数学成绩在稳步提升.
函数表示法导学案（一）
知识探究（三）
O 5 10 15 20 x
思考5:上面的函数称为分段函数,一般地， 分段函数的解析式有什么特点？试举例说明.
典例讲解
例1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm， 面积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函 数？若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
例2 画出函数y=|x|的图象.
时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数 （%）
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应 关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应 关系.
某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线 路上公交车“招手即停”，其票价如下： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里按照5公里计算）.
思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函 数？若是，函数的自变量是什么？定义域是 什么？
思考2:该函数用解析法怎样表示？
(1)炮弹发射:一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的 射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位： s）变化的规律是： h＝130t-5t2.
(2) 臭氧层空洞:近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现 了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面 积从1979～2001年的S （变10化6km情2 ）况.
y
o
x
x 2 (x 1)
已知函数
f
(
x)
x
2
(1 x 2)
2x (x 2)
(1)求 f (2), f ( 1 ) 的值;
2
(2)求
f
f
3 2
的值;
(3)若f(a)=3,求a的值.
f x 1 ?
（07北京）已知函数 f x, gx 分别由下表给出：
xLeabharlann 123f(x)
1
3
1
x
1
g(x)
函数的表示法(1)
问题提出
1.从集合与对应的观点分析，函数的定义 是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在 集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作y=f(x),x∈A.
2.函数有哪几种常用的表示法？
3.在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如 何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？
知识探究（一） 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记
本需要y元．试用适当的方式表示函数y=f(x)．
思考1:该函数用解析法怎样表示？ y 5x, x {1, 2, 3, 4, 5}
思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能 用图象法表示吗？
y
100
90 平均分
80
70 赵磊
60
O
1
王伟
张 城 2 3 4 56x
思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情 况，用哪种表示法为宜？
思考4:试根据图象对这三位同学在高一
学年度的数学学习情况做一个分析.
y
王伟
100
90
平均分
80
张
70 赵磊
3
2
3
2
1
则 f g1 的值 1 . 满足 f gx gf x
x 的 值为____2______
设里程为x公里，票价为y元，则
2, 0 x 5,
y
3, 5 x 10, 4,10 x 15,
5,15 x 20.
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里）
票价y （元）
（0，5] 2
（5，10] （10，15] （15，20]
3
4
5
思考4:该函数用图象法怎样表示？
y
5 4 3 2 1