条件概率与独立性包含全概率公式、贝叶斯公式
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
概率论1-3
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
武汉科技大学理学院
20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节 全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章 条件概率与事件的独立性
一、条件概率 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、事件的独立性 五、伯努利实验和二项概率
第一节 条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但 实际中可能会经常遇到许多有条件的概率 问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱 滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等 奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经 活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分） 定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间 的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一 个划分。
定理 设试验Ｅ的样本空间为Ω， 设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一 个划分， 且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)． 则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10
1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P(B1 ) P( A | B1 ) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A |
B2 )
0.55. P(B3 )
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
注
（1）PBi 称为“先验概率”， PBi | A 称为“后验概率”；
（2）贝叶斯公式——探求结果 A的发生由原因 Bi 所导致的概率；
为色盲，求此人是男性的概率？
解 设 A 表示“抽取的人为色盲”，B 表示“抽取的人为男性”，则
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B)
3 5% 2 2.5% 4%.
5
5
P(B | A) ?
P(B | A) P( AB)
P(B)P(A| B)
3.
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B) 4
4%，2%，4%. 试计算:（1）从总产品中任取一件是不合格产品
的概率;（2）从总产品中任取一件是不合格产品，那么这件产品
是由 1 号工厂生产的概率?
解 设 A 表示“从总产品中任取一件是不合格产品”，Bi (i 1, 2, 3) 表示“从总产品中任取一件是第 i 号工厂生产的”.
P( A) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A | B2 ) P(B3 ) P( A | B3 ) 45%4% 35%2% 20%4% 0.033.
PB
|
A
P( AB) P( A)
0.2 0.4
1， 2
（2） P B
|
A B
P
BA B PA B
P A
P B PB
P AB
概率1-3 条件概率
概率论
定理 1设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,, Bn
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2, ,n ,则对
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
问题 若C={1, 2}, 问P(C|B)=?
概率论
引例2 向线段[-1,1]上随机投掷一点，以X 表示随机 点落点的坐标，设 B={X>0}, A={-1<X<0.5},求P(A|B).
解 根据几何概率 P(B)= 1/2，P(AB)= 1/4.
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 P A PB , 4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论
即B BS B( A1 A2 A3 ) BA1 BA2 BA3
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
因此当 P( A), P(B) 0时
有P(AB)=P(BA)= P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式.
木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料
球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可
能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木
球的概率是多少？
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件
B 发生的条件概率。记为 PB A
解 据题意，样本空间为 ｛(男,男)，(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. 设A ｛已知一个是女孩｝
｛(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. B {另一个也是女孩｝｛(女, 女)｝.
于是所求事件的概率为
P（B | A） P(AB) 1/ 4 1. P(A) 3/ 4 3
假 设 每 次 乡 试 ， 范 进 考中 的 概 率 为0.3(非 常 小)， 令Ai ｛ 第i次 乡 试 未 考 中 ｝ ，i 1，2， ， 则 他 连 考 十次都不中的概率为 P( A1A2 A10 ) P( A1)P( A2 | A1) P( A10 | A1A2 A9 ) (1 0.3)10 0.0282.
10000小时未坏的概率为1 2，现有一只这种灯泡已经使
用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多
少？
解 设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小
时我们”知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，
即
PB 3 , PA 1
4
2
A B, 所以AB=A， PAB PA
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的 什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽 取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划 将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
第一章 事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从 袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
考研概率论考试范围
考研概率论考试范围
概率论是考研数学的重要内容之一，考试范围主要包括以下几个方面：
1. 随机事件与概率：包括样本空间、随机事件、事件的概率、基本事件、对立事件等基本概念。
2. 条件概率和独立性：涉及概率的加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等概念和运算规则。
3. 随机变量及其分布：包括随机变量的定义、离散型随机变量和连续型随机变量的概率质量函数和概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。
4. 多维随机变量及其分布：包括多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数、条件分布函数、独立性、数学期望、方差等。
5. 数理统计基础：包括样本、抽样分布、参数估计、假设检验和区间估计等基本概念和理论。
6. 大数定律和中心极限定理：包括大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理等概念和定理。
以上仅为概率论考试的基本范围，具体考试内容还需结合各个院校的教学大纲和考试要求来确定。
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第11章 第5节事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
举行的“我爱火星”知识竞赛,已知甲同学被选出,则乙同学也被选出的概率
为( A )
3
A.5
3
B.4
4
C.5
4
D.7
解析 (方法一 缩样法)根据题意可知,相当于求从除甲以外的 5 人中选 3 人
的概率,所以
3
P=5.
(方法二 样本点法)设“甲同学被选出”记为事件 A,“乙同学被选出”记为事件
题组二回源教材
5.(人教A版选择性必修第三册7.1.2节例4改编)某社区有智能餐厅A、人工
餐厅B,居民甲第1天随机地选择一餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天
去A餐厅的概率为0.7;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.
居民甲第2天去A餐厅用餐的概率为( A )
A.0.75
B.0.7
C.0.56
D.0.38
解析 设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A
餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,根据题意得
P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8,则
P(A2)=P(A1)·
P(A2|A1)+P(B1)(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.
定义
表示
计算公式
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件____
B
发生的条件下事件 A
发生的概率,称为条件概率
P(A|B)
(⋂)
()
P(A|B)=
(2)条件概率的性质
条件概率及全概率公式
1963.3条件概率及全概率公式教学要求本节要求学生正确理解条件概率的概念及其运算公式， 学会运用概率的乘法定理. 对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求学生会熟练运用此公式去解决实际问题. 要求学生掌握两个事件独立的概念，了解多个事件相互独立的条件.知识点1. 条件概率2. 概率的乘法定理3. 全概率公式4. 两个事件的独立性5. 多个事件的独立性 *6.贝叶斯(Bayes )公式 *7.贝努里(Bernoulli )概型3.3.1 条件概率在实际问题中, 除了要知道事件A 的概率P (A )外, 有时还需要知道在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记为P (A |B ).我们先通过一个例子来引入条件概率的概念. 掷一颗骰子, 观察其出现点数, 令事件A 表示“出现点数小于4”, 则P (A )=1/2, 如果已知事件B 表示“出现偶数点”, 且B 已发生, 这时只剩下三种可能, 即“2点”,“4点”或“6点”. 从而在B 已发生的条件下, A 发生的概率为P (A |B )=1/3, 注意P (B )=1/2, P (AB )=1/6, 此时有)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=. 定义.设A ﹑B 是随机试验E 的二个事件, 且P (B )>0, 则称 )()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (A |B )也是一种概率, 它符合概率的三个条件. 由前面的条件概率的定义, 我们可以知道, 计算条件P (A |B )有两种方法: (1)在样本空间Ω的缩减后的样本空间ΩB (事件B 发生时的样本空间)上计算A 发生的（无条件）概率, 就可以得到P (A |B ).(2)样本空间Ω中, 先计算P (AB ) ﹑P (B ), 然后由定义公式求得P (A |B ).197例3.3.1 全年级100名学生中, 有男生(以事件A 表示)80人, 女生20人; 来自北京的(以事件B 表示)有20人, 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的(用事件C 表示)40人中有32名男生, 8名女生. 试写出P (A )、P (B )、P (B |A )、 P (A |B ) 、P (AB )、P (C )、P (C |A )、)|(B A P 、P (AC ).解.根据题意有P (A )=80/100=0.8; P (B )=20/100=0.2; P (B |A )=P (AB )/P (A )=12/80=0.15; P (A |B )=P (AB )/P (B )=12/20=0.6 ;P (AB )=12/100=0.12; P (C )=40/100=0.4; P (C |A )=P (AC )/P (A )=32/80=0.4; )|(B A P )()(B P B A P ==15.08012=;P (AC )=32/100=0.32.例3.3.2 8个乒乓球中有5个新的，3个旧的. 第一次比赛时, 同时取出2个, 用完后放回去; 第二次比赛时又取出2个球, 求第一次取到1个新球的条件下, 第二次取到2个新球的概率.解. 设事件A =“第一次取到1个新球”;事件B =“第二次取到2个新球”.由于第一次比赛后, 球被放回去, 因此在A 已发生的条件下, 再取2个球时, 总球数仍为8. 但是, 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为: 新球4个, 旧球4个, 所以所求的概率为: 143)|(2824==C C A B P . 由条件概率,我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性.3.3.2 概率的乘法定理由前面的条件概率的定义公式,可得到下面的定理.概率的乘法定理. 设A ﹑B 为随机试验E 中的两个事件,且P (B )>0,则有 P (AB )=P (A |B )P (B ).198这个公式称为概率的乘法公式. 同样地,概率的乘法公式还有另一种形式:若P (A )>0, P (AB )=P (B |A )P (A ).例3.3.3. 设在一盒子中装有4个蓝色球和6个红色球, 取球两次, 一次取1个, 取后不放回, 问两次都取到红球的概率是多少? 解. 设事件A =“第一次取到红球”, 事件B =“第二次取到红球” ∵ P (A )=6/10, P (B |A )=5/9,因此 P (AB )=P (B |A )P (A )=1/3.我们还可以将概率的乘法公式推广到3个事件的情形: P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2).我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理,由此我们可以得到下面的全概率公式.3.3.3 全概率公式前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式--全概率公式.定理(全概率定理). 如果事件A 1, A 2, …, A n 构成一个完备事件组, 且P (A i )>0,(i =1,2,…,n ). 则对任一事件B , 有 ∑==ni i i A A B P P B P 1)|()()(这个公式称为全概率公式.证明. A 1, A 2,…,A n 是一个完备事件组, 从而A i (i =1,2,…,n )是两两互斥的, 且P (A i )>0, 由于B 被分成n 个部分A i B (i =1,2,…,n )之和, 且A i B (i =1,2,…,n )也是两两互斥的, 于是 B A A B B ni i ni i ∑∑====11.由概率的可加性及概率乘法定理得到:∑∑====ni i ni i B A P B A P B P 11)()()(=∑=ni i i A A P B P 1)()|(.全概率公式应用较广, 它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且199两两互斥事件的和, 即要找一个完备事件组, 然后利用概率的可加性及概率乘法定理来计算.例3.3.4 设袋中装有5件同样的产品, 其中3件正品, 2件次品, 每次从袋中取1件,无放回地连续取2次, 求第2次取到正品的概率.解. 设事件A 表示“第1次取到正品”, 则A 表示“第1次取到次品”；事件B 表示“第2次取到正品”．事件A A ,构成一个完备事件组, A B BA B +=(即第2次取正品的可能性是与第1次取到正品或次品有关).因A B BA , 互不相容, 则有)()()()(A B P BA P A B BA P B P +=+= )|()()|()(A B P A P A B P A P += =(3/5)×(2/4)+(2/5)×(3/4)=3/5.例3.3.5 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取一件, 求所取出的产品为废品的概率.解．设A 1=“所取产品为甲车间生产的”; A 2=“所取产品为乙车间生产的”; A 3=“所取产品为丙车间生产的”; B =“所取产品为废品”. 则A i (i =1,2,3)构成一个完备事件组, 且P (A 1)=0.25, P (A 2)=0.35, P (A 3)=0.4, P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02， 由全概率公式有∑==31)|()()(i i i A A B P P B P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.由全概率公式我们可以求出,从总产品中任取一件,其为废品的概率是0.0345；反之，若已知从总产品取出一件,其为废品,反过来求它是甲车间(或乙车间﹑丙车间)生产的可能有多大,即为我们后面要讲的贝叶斯公式.3.3.4 两个事件的独立性前面我们讨论了条件概率P(A|B), 一般说来P(A|B)≠P(A)即事件B的发生对事件A发生的概率是有影响. 但当P(A|B)=P(A), 即B的发生对A发生的概率没有影响,此时即说事件A独立于事件B, 此时由概率乘法定理得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 由此我们可给出两个事件独立的定义.定义. 设A﹑B是试验E的两个事件, 若有P(AB)=P(A)P(B)则称事件A﹑B为相互独立的事件.由概率乘法定理, 容易得出: 当事件A独立于事件B时, 事件B也独立于事件A, 即独立是一个对称性概念.例如, 从具有次品的一批产品中，有放回的连抽取二次, 每次抽取一件. 这样,事件A(第一次抽得正品)的出现并不影响事件B(第二次抽得正品)的概率, 即事件A与事件B是相互独立的两个事件.定理. 设A﹑B是试验E的两个事件, 且有P(B) >0, 则A与B相互独立的充分必要条件为:P(A|B)=P(A).证明. 必要性. 若A﹑B相互独立,则当P(B)>0时,由概率乘法公 式有:P(B)P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B)从而 P(A|B)=P(A).充分性. 若P(A|B)=P(A),由概率乘法公式有:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)即A﹑B相互独立.在实际问题中, 往往是通过对问题性质的分析来判断事件间是否独立.例3.3.6 甲﹑乙两人同时射击某一目标．设甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.5，求目标被击中的概率.解．设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,事件C=“目标被击中”.从题意可知： C=A+B,且200201P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).由于甲﹑乙射击是相互独立的, 因此可以认为甲﹑乙互不干扰, 从而A 与B 是相互独立的.P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.5=0.4,所以 P (C )=0.8+0.5-0.4=0.9. 例3.3.7 试证A ﹑B 相互独立与以下每一条件等价:(1)事件A 与B 独立；(2)事件A 与B 独立；(3) 事件A 与B 独立.证明．我们在这里只证由A 和B 相互独立,推出A 与B 独立,对于其它情形,由两个事件独立的对称性,同样可以推出.若A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).由概率的性质,得到: )(B A P =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B )) =)()(B P A P . 故A 与B 相互独立. 此例的结论,我们可用下表来表示: 表3.3.1表中任意一种情形成立, 都可以推出其它情形成立.由两个事件的独立性的概念，我们可以推出多个事件的独立性.3.3.5 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念﹑定理, 由此我们可以给出三个事件的独立性的概念.定义. 若A ﹑B ﹑C 是随机试验E 中的三个事件, 满足下列条件:(1) P (AB )=P (A )P (B )； (2)P (BC )=P (B )P (C )；202(3) P (AC )=P (A )P (C )； (4)P (ABC )=P (A )P (B )P (C )。
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.[例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是.[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为对于例1,已知容易验证在发生的条件下,发生的概率对于例2,已知容易验证发生的条件下,发生的概率对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率,总是成立的.在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.二、条件概率若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率.[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}由条件概率公式得,[例4] 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)解:据题意样本空间为={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率为三、条件概率的性质(1)非负性:对任意的(2)规范性:(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有证明:(1) 因为所以(2)由于,所以(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以四、乘法公式由条件概率的定义知: 设,则.于是,这就是概率的乘法公式.如果,同样有设且则证明因为,依条件概率的定义,上式的右边五、乘法公式的应用例子[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”. 因为,故有[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?解:以表示事件“第k次取到黑球”,表示事件“第次取到红球”,则由一般乘法公式,1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.当时,它是有放回的摸球模型.当时,它是不放回的摸球模型.思考题: 在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?[例8] 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则且因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。
《概率统计简明教程》(第3章-事件的概率)条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性、二项概率
这正好是第3列的第一个数字(需除以1000)。
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第三章 事件概率与事件的独立性
作业
• 习题二 12、14、15； • 习题三 1、3、4.
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第三章 事件概率与事计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
复习：
第三章 事件概率与事件的独立性
在实际问题中，常需要计算在某个事件A已经
发生的条件下，另一个事件B发生的概率。 一般地，设A，B两个事件，以及P(A)>0， 称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概 率，记为P(B|A)。 通常，因为增加了“事件A已经发生”的条件，
所以P(B|A)≠P(B)。
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解法二：条件概率法 由乘法公式，先求P(B|A)及P(A). 已知P(A)= 10/100 =0.1，而P(B|A)＝90/99，
因此, P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝0.1*90/99≈0.091.
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第三章 事件概率与事件的独立性
例2（P20）生命表 生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国 1976年的部分生命表。
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第三章 事件概率与事件的独立性
第三章 事件的概率与事件的独立性
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利试验和二项概率
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第三章 事件概率与事件的独立性
第一节
条件概率
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第三章 事件概率与事件的独立性
例5(P22) ：设某工厂有两个车间生产同一型号家用电器， 第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两个 车间生产的成品混合堆放在一个仓库中，假设第一、二车 间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机 提一台产品，求该产品合格的概率。 (Ai 为B发生的可能原因).
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。
而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。
具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。
- 1 -。
第2.1节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
第二章条件概率与统计独立性•条件概率，全概率，贝叶斯公式•事件独立性•贝努利试验与直线上的随机游动•二项分布与泊松分布2.1 条件概率全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式一、条件概率☐问题1 一个家庭有两个孩子，问两个都是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题2 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题3 一个家庭有两个孩子，已知老大是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)(,,),,()0,,()(|)()(|).P B P B A P AB P A B P B P A B B A Ω∈>∈= 设是一个概率空间且则对任意的记称为在事件发生的条件下事2件发义生的条 定 2.1.件概率1ΩA B AB 说明若事件B 已发生,则为使A 也发生,试验结果必须是既在B 中又在A 中的样本点,即此点必属于AB .由于我们已经知道B 发生,故B 变成了新的样本空间.从概率的直观意义出发：若B已经发生,则要使A发生试验的结果既属于A又属于B,即属于AB。
因此，条件概率应理解为P(AB)在P(B)中的“比重”。
从几何概型的角度出发：如果在单位正方形内等可能的投点，若已知B 发生，这时A 发生的概率为:BAB S S P =BAABΩΩΩ=S S S S B AB //)()(B P AB P =“条件概率”是“概率”吗？容易验证，条件概率具有概率的公理化定义中的三个条件);()()()( )3(212121B A A P B A P B A P B A A P -+= ).(1)( )4(B A P B A P -=则有件是两两不相容的事设可加可列性, , , ,: )5(21 B B 11().i i i i P A B P A B ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 性质(1) :()0;P A B ≥负非性 (|)1,(|)0P B P B Ω=∅=规同时；(2)范性2)从加入条件后改变了的情况去算4. 条件概率的计算1) 用定义计算:,)()()|(B P AB P B A P P (B )>0掷骰子例：A ={掷出2点}，B ={掷出偶数点}P (A |B ）=31B 发生后的改变样本空间所含样本点总数在改变样本空间中A 所含样本点个数例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: )()()|(B P AB P B A P =解法2: 2163)|(==B A P 解: 设A ={掷出点数之和不小于10}B ={第一颗掷出6点}应用定义在B 发生后的改变样本空间中计算21366363==-=⨯12121312121()()()()().n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A 则有且,0)(121>-n A A A P ,2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广 则有且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ()()()().P ABC P A P B A P C AB =).()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有设5. 乘法定理条件概率与乘法公式1996年，中国围棋大师马晓春在与韩国大师李昌镐争夺围棋世界冠军的五番棋决赛前，马晓春说了这么一句话，他说，如果前面两盘棋能够下成平手，那么他夺冠的概率就有51%.由于马晓春前一年夺得的两个世界冠军都不是从公认为世界围棋第一人的李昌镐手中赢得的，因此那一年他们两个之间的决赛非常令人期待.果然，前面两盘下成了一比一.于是，媒体根据此前马晓春的那一句话，开始了乐观的预测.例一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A 为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P (B |A ).解.4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j 、i 、j i )},3,4(),2,4(),1,4(,,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{( =Ω)},4,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{(=A )},2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1{(=AB 由条件概率的公式得)()()(A P AB P A B P =129126=.32=例某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?设A 表示“能活20 岁以上”的事件; B 表示“能活25 岁以上”的事件,则有,8.0)(=A P 因为.)()()(A P AB P A B P =,4.0)(=B P ),()(B P AB P =.218.04.0==)()()(A P AB P A B P =所以解例五个阄, 其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字, 五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解.5,4,3,2,1=i 则有,52)(1=A P )()(22Ω=A P A P ))((112A A A P =抓阄是否与次序有关?,""的事件人抓到有字阄第表示设i A i333121212()()(())P A P A P A A A A A A A =Ω= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=42534152⨯+⨯=,52=)()()()(121121A A P A P A A P A P +=)(2121A A A A P =)()(2121A A P A A P +=)()()(213121A A A P A A P A P =)()()(213121A A A P A A P A P +)()()(213121A A A P A A P A P +324253314253314352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,52=依此类推.52)()(54==A P A P 故抓阄与次序无关.波利亚罐模型=121.,,,,-b r c n n n n n 罐中有只黑球只红球每次自袋中任取一只球观察其颜色然后放回并再放入只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续取球次试求前面次摸出黑球，后面次摸出红球的概率.例 解1(1,2,,)""i A i n i = 设为事件第次取到黑球11(1,2,,)""j A j n n n j =++ 为事件第次取到红球因此所求概率为11(1)22(1)b n c b b c b cb r b rc b r c b r n c+-++=⋅⋅⋅⋅+++++++- 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.121211211122()()()()().n n n n n P A A A P A P A A P A A A A P A A A A ---=⨯211(1)(1)(1)r n c r r cb r nc b r n c b r n c+-+⋅⋅⋅+++++++- 当c=0时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放回模型，此模型是一般摸球模型1. 样本空间的分割1A 2A 3A 1-n A nA 二、全概率公式121212,,,,,(1),,,1,2,,;(2),,,,.n i j n n E A A A E A A i j i j n A A A A A A ΩΩΩ=∅≠=⋃⋃⋃⋃= 定义设为试验的样本空间为的一组事件若，则称，为样本空间的一个分割2. 全概率公式全概率公式1211221,,),,,,,,()(|)()(|)()(|)()()(|)n n n i i i P B A A A P B P B A P A P B A P A P B A P A P A P B A ΩΩ∞=∈=++++=∑ 设(为一概率空间,为的一义个分割则定i j A A =∅由()()i j BA BA ⇒=∅12()()()()n P B P BA P BA P BA ⇒=++++ 证明12.n BA BA BA = 图示B1A 2A 3A 1-n A nA 化整为零各个击破12()n B B B A A A Ω== 1122()()(|)()(|)()(|)n n P B P A P B A P A P B A P A P B A ⇒=++++说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B1A 2A 3A 1n A nA例有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30% , 二厂生产的占50% , 三厂生产的占20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A 为“任取一件为次品”,.3,2,1,""=i i B i 厂的产品任取一件为为事件123,B B B =Ω 解.3,2,1,,=∅=j i B B j i由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321===B P B P B P Ω30%20%50%2%1%1%112233()()()()()()().P A P B P A B P B P A B P B P A B =++.013.02.001.05.001.03.002.0=⨯+⨯+⨯=,01.0)(,01.0)(,02.0)(321===B A P B A P B A P 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++故（由因求果）1A 2AnA B11()()P A P B A 22()()P A P B A ()()n n P A P B A结果原因1()()()i i i P B P A P B A ∞=∑=={}A 第1次设取到黄球，()()()())(P A P B A P A P P B B A =+20193020+504950492=5=⨯⨯20(),50P A =由题意，30()50P A =19(),49P B A =20()49P B A =利用全概率公式={}B 第2次取到黄球解：例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？有放回抽奖和无放回抽奖一样公平！若采取有放回抽取，则第二次取得黄球的概率？2（）52（）5例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？抽签或者抓阄都和先后顺序无关！若采取不放回抽取，则第三次取得黄球的概率？2（）52（）5例送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？({},{}{},A AB ===解解法一）设灯管来自第一批灯管来自第二批，任取一支，抽的次品1911(|)01010910P B A =⨯+⨯=21822(|)10910910P B A =⨯+⨯=3()()(|)()(|)20P B P A P B A P A P B A =+=()918P A =()918P A =AAB考虑打碎的是次品还是正品两种情形：1234 ({},{}{}{}{},A A A AB =====解解法二）设两批打碎的都是次品两批打碎的分别是次品、正品，两批打碎的分别是正品、次品，两批打碎的都是正品，任取一支，抽的次品1234281872(),(),(),()100100100100P A P A P A P A ====123122(|),(|),(|),181818P B A P B A P B A ===413()()(|)20i i i P B P A P B A ===∑43(|),18P B A =1A 2A 3A 4A B说明由例可以看出，同一个题目，都用到了全概率公式，但方法各异。
条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独立性
条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独⽴性害，选修课报了门⼈⼯智能，康康⼈⼯智能⾥需要的数学。
只有概率论还没了解，但是概率⼜在⼈⼯智能领域⾥占很⼤⽐重，所以最近就⼜开始刷概率。
条件概率条件概率和普通概率啥区别？普通概率问题长这样：你扔两次硬币，两次硬币都扔丢了的概率有多⼤条件概率：你扔两次硬币，第⼀次扔丢了，问两次都扔丢概率有多⼤所以它就是已经确定了最后结果的部分信息，然后在这个基础上对剩下部分的概率进⾏推断。
如果我们忽略上图尴尬的配⾊并假设A=第⼀次扔丢了,B=第⼆次扔丢了，那么中间的A∩B就是所求的。
然后因为现在我们已经知道了第⼀次扔丢了，所以事件A已经发⽣了，结果肯定在A⾥，那么就需要更新A为整个样本空间替换原来的Ω(即蓝⾊框框)。
那现在所求的两次都扔丢的部分就得是P(A∩B)P(A)，这就是条件概率的公式。
P(B|A)=P(A∩B)P(A)P(B|A)意思就是已知A发⽣了，B发⽣的概率，上⾯公式很⾃然，很容易想像。
我们可以把没有条件的概率想象成特殊的条件概率，它的条件就是结果肯定在整个样本空间Ω中，所以P(B|Ω)=P(Ω∩B)P(Ω)=P(B)条件概率公式的变形其实在⼤多数问题⾥，求的不是条件概率，⽽是已知条件概率，让你求P(A∩B)，就⽐如如果天空中5%的概率出现飞机，出现飞机雷达有95%的概率检测出来，然后让你算雷达正确报警(有飞机并检测出来了)的概率。
所以可以把概率公式变下形状P(A∩B)=P(A)P(B|A)同样的，也有P(A∩B)=P(B)P(A|B)这两个公式在全概率公式和贝叶斯准则中都会⽤到全概率公式全概率定理是A1,A2,...,A n是⼀组不相容的事件，并且形成样本空间的⼀个分割，⽽且对于每个i,P(A i)>0，那么对于事件BP(B)=P(A1∩B)+...+P(A n∩B)=P(A1)P(B|A1)+...+P(A n)P(B|A n)展现在图上就是这样，很⾃然，P(B)等于这些不相容事件与B的交集之和。
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2.1.2 乘法公式
【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"． 因为 P( A) 1 P( A) 96%, P(B A) 75% 且B A 所以 P(B) P( AB) P( A)P(B A)
i1
i1
1.4.1 条件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
P( A) 0.8 2
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理2.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(5) P( A B) 1 P( A B).
(6) 可列可加性: 设 B1, B2 , , Bn是两两不相容 的事件, 则有
n
n
P Bi A P(Bi A).
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, B2, , Bn, 事件两两互不
相容，则
P( Bi | A) P(Bi A)
i 1
i 1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
质．
2.1.1 条件概率
96 75 0.72. 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”，
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
下面首先看一个例子:
2.1.1 条件概率
【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）．
解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A 而 B {bb}
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘公式．
定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
2.1.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1A2 A3 ) P(( A1A2 ) A3 ) P( A1A2 )P( A3 A1A2 )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 可进一步推广如下:
P(AB)=P(B)=1/4，
易得
P(B
A)
P( AB) P( A)
1 4
3 4
1. 3
这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如
下定义：
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).