电路基础节点网孔法

运用节点法和网孔法进行电路分析

众所周知，运用基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以对任何一个电路进行分析，以确定其运行条件（电流和电压值）。一般电路分析的难点在于用最少的联立方程描述电路的运行特性。

在这一讲里，我们将介绍两种非常有效的可用于对任意电路进行分析的方法：节点法和网孔法。这些方法是建立在对基尔霍夫定律的系统应用基础上的，我们将通过图1的例子电路来说明求解的步骤。

图1 一个典型的电阻电路

节点法

电压被定义为两点之间的电势差。当我们讨论一个电路中某个确定节点的电压时，这就意味着我们已经设定了一个参考点。通常这个参考点被定义为地。

节点法或节点电压法，是一种建立在KCL、KVL和欧姆定律基础之上的一种非常有效的电路分析法。运用节点电压法分析一个电路的步骤如下：

1.清楚地标注所有电路参数，并确定未知参数和已知参数。

2.确定电路中的所有节点。

3.选择一个节点作为参考节点，也可以叫做地，并把这个点的电势赋值为0。电路中其他

所有节点的电压都以参考节点作为参考。

4.标出其他所有节点的电压值。

5.赋值并标出极性。

6.在每个节点运用KCL定律，并用节点电压表示支路电流。

7.列出节点电压方程，并算出结果。

8. 得到各节点电压值后，可由欧姆定律确定各支路电流值。

我们利用图1的电路来示范节点法的求解过程。

图2 所显示的是第一步和第二步的执行。图中已经标注了电路中的所有的元件并确定了电路中所有的相关节点。

图二 标记了节点的电路

第三步要在这些确定了的节点当中选择一个作为参考节点。我们可以有四种不同选择。原则上，这些节点中的任意一个都可以被选为参考节点。然而，有些节点比其他一些节点更有用。所谓有用的节点就是那些能够使问题更容易地被理解和解决的节点。我们需要记住一些通用的指导方针，以用于参考节点的选择。

1. 一个有用的参考节点应与最多数量的元件相连。

2. 一个有用的参考节点应与最多数量的电压源相连。

如我们的电路中，以节点作为参考节点的选择是最佳选择。（同样地，我们也可以选择节点作为参考节点。）下一步要标记所选节点的电压。如图3所示的标记了节点电压的电路。参考节点的电压赋值为0，用接地符号显示。剩余节点电压标记为，，。 4n 1n 1v 2v 3v

图3 标出节点电压的电路

下一步标出电流流向和极性，见图4。

图4. 标出节点电压和极性的电路

继续进行之前，让我们进一步看一下图4 所示电路。问题在图中已经明确了。一旦我们确定了节点电压，，的电压值，我们就可以完整地描述这个电路。然后，让我们继续对指定节点应用KCL 定律计算节点电压。 1v 2v 3v

以节点为例，一旦电压源的电压已知，我们可以把电压直接标为： 1n 1v

1v Vs = (4.1)

这样我们就把未知量的数目从3个减少到了2个。

结合电压,在节点n2应用KCL ，可得： 2v

(4.2)

123i i i =+

电流值、、可用电压值、、表示如下。 1i 2i 3i 1v 2v 3v

2

11

Vs v i R −=

(4.3)

2

22

v i R =

(4.4)

23

33

v v i R −=

(4.5)

联立公式4.2 – 4.5得到

2223

0123

Vs v v v v R R R −−=== (4.6)

将上面的表达式改写为关于未知电压和的线性函数，可得：

2v 3v

1

1111231233v v 1Vs R R R R R ⎛⎞++−=⎜⎟

⎝⎠

(4.7)

联合电压v3，在节点应用KCL ，可得： 3n

2112Vs IsR I R R −=+233

034

v v v R R −−= (4.8)

或者

1112

3334v v R R R ⎛⎞−++=⎜⎟⎝⎠

0 (4.9)

下一步要解联立方程4.7和4.9，计算出节点电压和。 2v 3v

虽然直接解等式(4.8)和(4.9)很容易，但是把他们改写成如下的矩阵形式会更好一些。

1

1111231233111230

334v v 1Vs R R R R R v v R R R ⎛⎞++−=⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞⎛⎞−++=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

(4.10)

或

(4.11)

或其等价形式。

(4.12)

在列解联立方程式时，最后的形式应该即简单又统一。需要遵守的基本规则和标准如下：

· 把所有的电源（电流源和电压源）置于等式右侧。

· 在矩阵A 的对角线上的每个元素必须具有相同的符号。例如，不存在12

3

R

R R R −1

这种形式。如

果对角线上的某个元素由正、负两部分组成，那么一定有一个符号是错误的。

· 所有的对角线上的元素都是正的，其它元素都是负的，而且矩阵是对称的ij ji A A =。如果矩

阵不具有这个特性，那一定存在错误。

用上面的形式列写电路方程式，一定存在一组由真实电流值构成的解。

一旦我们把方程式变为矩阵形式，对结果进行逐条的检验。如果det 0A =，那么就能得出一组解。

未知电压K V 为： det det k k

A A

v

=

(4.13)

k A 为矩阵A 的k 次纵列，用向量代替

k v 在我们的例子中，电压和为： 2v 3v

()23421213231424

R R R Vs

v R R R R R R R R R R +=

++++ (4.14)

2431213231424

R R Vs

v R R R R R R R R R R =++++ (4.15)

我们可以通过引入一个参量来简化上述表达式

()

234R 234

eff R R R R R R +=

++ (4.16)