非惯性系下的拉格朗日方程及其应用
拉格朗日方程的应用
n=1
显然
QnD
=
1 2
∂WD ∂qn
定义耗散函数 D
D
=
1 2
WD
则
QnD
=
− ∂D ∂qn
接着分析保守力 Qnv
假设忽略重力的影响，保守力可等于与位移成正比
Qnv = −knqn
Kn——弹簧刚度
则
Un
=
+
1 2
kn qn2
Un ——保守力 Qnv 的 F 做的功，即势能的改变量
则 系统总的势能改变量为：
∴ 整理得：
Jθ&&0 + bθ&&0 + (k + QR)θ0 = −Jθ&&0 − QRθC
拉格朗日方程在建模中应用的例子（张晓华书 70）
龙门吊车运动控制问题 1．问题的提出
龙门吊车作为一种运载工具，广泛应用于现代工厂，安装工地和集装箱货运场及室内 外仓库的装卸与运输作业，离地面很高的轨道上运行，具有占地面积小，省工省时的优点
根据达朗伯原理和虚位移原理并引进广义坐标的概念，可以推导出运动质点或质点系 的拉格朗日（第二类）方程
d ⎛ ∂T
dt
⎜ ⎝
∂q& n
⎞ ⎟ ⎠
−
∂T ∂qn
= Qn
（3-6-1）
下标中 n =1，2，…，S 是系统统立广义坐标的编号 S——独立广义坐标的总数（自由度） T——系统总的动能
Qn ——第 n 个广义坐标方向的广义力
能）究竟把谁者作是动能或势能可以随意选定，只是不能同时把二者看作功能或同时看作
势能即可。
例 3-6-4 图示双回路电路，试用拉格朗日方程建立其系统的微分方程。
2_拉格朗日方程
O
(x1,y1)
A
P1
(x2,y2) B(x3,y3)
P2
F
(1)
由已知条件可得
x1
1 2
l1 sin 1 l 2 sin (2)
x 2 l1 sin
2 y 3 l1 cos l 2 cos
把(2) 式代入(1) 式得
P1 (
1 2
l1 sin ) P2 ( l1 sin
x i x i ( q1 , q 2 , , q s , t ) y i y i ( q1 , q 2 , , q s , t ) z i z i ( q1 , q 2 , , q s , t )
或 式中
( i 1, 2 , , n , s 3 n )
ri ri ( q 1 , q 2 , , q s , t )
以上分量式若改用s 个独立广义坐标表示，然后令s 个独立的 虚位移前的乘数等于零，则可得出所求的平衡条件。 若求约束力，则要利用拉格朗日未定乘数。 广义坐标下 ri 的虚位移为
ri
n
s
ri
由此得广义坐标下的平衡方程是
W
Q
1
q
q 0
s
F
i 1 s
n
i n
i 1
虚功原理：受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学 体系的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和为零。这就 是虚功原理，也叫虚位移原理。是1717年伯努利首先发现。 对于理想约束体系，利用虚功原理可以方便的求出主动力满 足的平衡条件，但无法求出约束反力。 由于约束，3n 个坐标不独立，即作用在任一质点上的合外 力在虚位移方向上的投影，一般不会全令之为零。否则就可 能变成n 个自由质点的平衡方程。
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
(经典)拉格朗日方程
（9）式代入（8）式得约束反力
FN 2m 2bsht mgcht 2mg cost
第16页，共40页。
（7）
（8） （9）
[例2] 平面上的约束质点的运动
教材P.45 [例4]
解：（1）求体系质点的L函数，运动方程及其解
质点的自由度为1，选取图中的θ角为广义坐标，则
x r sin (l r )cos y r(1 cos ) (l r )sin
如果约束除了限制质点的位置外，还要限制质点的运动速度则称为
运动约束或微分约束，约束方程为
f
(r1
,
r2
,rn
;
r1
,
r2
,rn
;
t
)
0
（2.2）
微分约束通过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约 束。
（2）自由度
能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目，称为体系的自 由度。
BO CO
[例5] 带电粒子在电磁场中的拉氏函数(教材*§2.5)
教 材:P.51 [例].求质量为m,电荷为q的粒子在均匀电场 E Ej和 均匀磁场 B Bk 中运动时的拉格朗日函数.
第21页，共40页。
如图2.6所示,体系自由度为1,广义坐标为θ,广义力
Q
F
.
rc
FT
.
rA
FT
.
rA
FT
.
rB
0
Fj .
(l
sinj )
FT
.
(l
cos
)
FT
.
(l
cos
)
0
Fl cos FT .l sin FT l sin 0
理论力学 非惯性参考系
§5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力 惯性系中: 惯性系中: m d2rI /dt2 = F 非惯性系: 非惯性系: mδ2r/δt2 =F -m[d2R /dt2+β×r +ω×(ω×r) +2ω×v'] β ω ω ω v' δ δ F = Feff 1,平移力 , - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2,方位力 , - mβ × r β ← 动系转动加速 3,惯性离心力 , - m[ω × (ω × r ) ← 动系相对固定系转动 ω ω 4,科里奥利力 , - 2mω × v' ω ← 质点相对动系运动
= ω t t = 1 ln 2 + 3 ω
(
)
可证明,引入非惯性力 ,质点动量定理,角动 质点动量定理, 可证明, 量定理和动能定理的形式都保持不变. 量定理和动能定理的形式都保持不变. 例:角动量定理 : r' v') δ L' / δt = δ(r' × mv' / δt = δ(r' δt × mv' + r' × mδv'/ δt r')/δ v' δv' = r' × ( F + F惯性) 动能定理: v' 动能定理 ∵ m δv'/ δ t = F + F惯性 → m δv' δr / δt = (F + F惯性 ) δr F → m v' δv' = (F + F惯性 ) δr F F → δ(mv'2/2) = (F + F惯性 ) δr F 即: δT = (F + F惯性 ) δr
d L 2 L 2 d L 1 L 1 d df df = + & & & dt q dt q q q dt q dt q dt df f f df 2 f 2f & & Q q+ q+ = ∴ = 2 dt q t q dt q qt d df d f 2 f 2f & = q = q 2 q + qt & dt q dt dt d L 1 L 1 d L 2 L 2 因此, 因此,当 = 0时, =0 & & dt q dt q q q
哈密尔顿-凯莱定理的应用
哈密尔顿-凯莱定理的应用
哈密尔顿-凯莱定理是分析力学中的基本定理之一，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
本文将介绍哈密尔顿-凯莱定理的应用。
简介
哈密尔顿-凯莱定理是用于分析物体在惯性参考系中运动的一个定理。
根据这个定理，一般的物理系统可以由它的拉格朗日函数分析，而且这个分析的方法可以通向哈密尔顿方程，得到更优美的动力学方程。
应用
在物理学中我们最常用的就是基于哈密尔顿-凯莱定理得到的较为简洁的哈密尔顿方程。
哈密尔顿方程是描述系统演化的基本方程之一。
通过这个方程，我们可以解释许多物理现象，包括量子力学和相对论等。
在机械学中，哈密尔顿-凯莱定理的应用更为广泛。
在机械学中，哈密尔顿形式最常用的一个方面是处理多自由度机构的动力学问题。
在多自由度机构中，通常用广义坐标描述其状态，我们将这些广义坐标放在一起，成为一个广义坐标向量。
对于一个机械系统的拉格朗日方程而言，哈密尔顿-凯莱定理可以用于将运动方程描述为广义动量和广义坐标的函数，因此它非常适用于处理动力学问题。
此外，哈密尔顿-凯莱定理还具有很强的理论价值。
事实上，在多自由度机构的运动学和动力学方面，它广泛地应用于在微观层面上解释物质的运动。
总结
哈密尔顿-凯莱定理是一个非常强大的分析工具，有着广泛的应用。
它被广泛地应用在物理学、机械学、量子力学和化学等领域。
在所有这些应用中，它提供了一个简洁、优雅的方法来理解系统的动力学行为。
[整理]三维拉格朗日法计算原理.
![[整理]三维拉格朗日法计算原理.](https://img.taocdn.com/s3/m/2ca2dfc1aef8941ea76e05d9.png)
1 三维快速拉格朗日法的基本原理1.1 概述目前在岩土力学中常用的数值计算方法有差分方法、有限元法、边界元法等几种，特别是后两种方法，随着计算机的发展其应用尤为广泛。
但是，这几种方法都是以连续介质为出发点，而且往往囿于小变形的假定。
它们虽然也可以用来解决由几种介质所组成的非均质的问题，并且对于个别的断层或弱面，也可以用设置节理单元的办法来解决，但是用以解决富含节理和大变形的岩土力学问题，往往所得的结果与实际的物理图景相差甚远。
于是离散单元法和拉格朗日元法就应运而生。
离散单元法是Cundall于上世纪70年代初所提出的。
该法将为弱面所切割的岩体视为复杂的块体的集合体，允许各个块体可以平移或转动，甚至相互分离。
拉格朗日元法则是由Cundall所加盟的美国ITASCA咨询集团于1986年所开发的。
该法将流体力学中跟踪流体运动的拉格朗日方法应用于解决岩体力学的问题获得成功。
三维快速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法，它可以模拟岩土或其他材料的三维力学行为。
三维快速拉格朗日分析将计算区域划分为若干四面体单元，每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系，如果单元应力使得材料屈服或产生塑性流动，则单元网格可以随着材料的变形而变形，这就是所谓的拉格朗日算法，这种算法非常适合于模拟大变形问题。
三维快速拉格朗日分析采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程，并应用了混合单元离散模型，可以准确地模拟材料的屈服、塑性流动、软化直至大变形，尤其在材料的弹塑性分析、大变形分析以及模拟施工过程等领域有其独到的优点。
1.2 三维快速拉格朗日分析的数学模型三维快速拉格朗日分析在求解中使用如下3种计算方法：(1)离散模型方法。
连续介质被离散为若干六面体单元，作用力均被集中在节点上。
(2)有限差分方法。
变量关于空间和时间的一阶导数均用有限差分来近似。
(3)动态松驰方法。
由质点运动方程求解，通过阻尼使系统运动衰减至平衡状态。
拉格朗日方程
[例2]图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（
B不动），此时δsC= δsA /2
1 WA Fs A WsC ( F W )s A 2 WA 1 QA F W s A 2
( j 1,2,, k )
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程， 或拉氏方程。
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
W j (3) Q j q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
(f)
①Mi点的速度： 由(a)式
dri ri ri ri ri 1 2 ... k vi q q q dt q1 q2 qk t k r ri i j q (g) j 1 q t j
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： W j
W j Q j q j
Q jq j
( j 1,2,..., k )
3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置
的势能V=V（q1，q2，...，qk）
V V V , Yi , Zi 由式（8-7-8） X i xi yi zi
k
2 ri 2 ri j q tql j 1 q j ql
k
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
欧拉 拉格朗日方程
欧拉拉格朗日方程欧拉拉格朗日方程欧拉方程和拉格朗日方程是经典力学中的两个重要方程，它们被广泛应用于物理学、工程学、数学等领域。
欧拉方程描述了质点在空间中的运动，而拉格朗日方程则描述了质点在势能场中的运动。
一、欧拉方程1.1 定义欧拉方程是经典力学中描述质点在空间中运动的基本方程。
它由牛顿第二定律和牛顿第三定律推导得出，表达式为：F = ma其中，F表示作用于质点上的合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
这个公式可以解释为：物体所受合外力等于物体的惯性乘以加速度。
1.2 推导过程欧拉方程可以从牛顿第二定律和牛顿第三定律推导得出。
首先，根据牛顿第二定律：F = ma其中F表示作用于物体上的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
然后根据牛顿第三定律：F12 = - F21其中F12和F21分别表示物体1对物体2的作用力和物体2对物体1的作用力。
将这两个公式代入欧拉方程中，可以得到：m1a1 = F12m2a2 = F21这就是欧拉方程的推导过程。
二、拉格朗日方程2.1 定义拉格朗日方程是经典力学中描述质点在势能场中运动的基本方程。
它由哈密顿原理推导得出，表达式为：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0其中，L表示系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，q'表示广义速度。
这个公式可以解释为：系统在满足最小作用量原理下，其运动轨迹应该满足使作用量取极值的条件。
2.2 推导过程拉格朗日方程可以从哈密顿原理推导得出。
哈密顿原理是指，在所有可能的路径中，粒子实际上只会沿着使作用量取极值的路径运动。
因此，如果我们假设系统在某一瞬间处于广义坐标q和广义速度q'处，并且在接下来的一段时间内沿着某条路径运动，则该路径所对应的作用量为：S = ∫L(q,q',t)dt其中，L(q,q',t)表示系统的拉格朗日函数。
根据哈密顿原理，该路径所对应的作用量应该取极值，即：δS = 0将S展开，并对广义坐标和广义速度求偏导数，可以得到：δS = ∫[∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq']dt其中δq和δq'分别表示广义坐标和广义速度的微小变化量。
理论力学-拉格朗日方程
d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
理论力学 拉格朗日方程
解题步骤 （1）确定自由度 （2）选取广义坐标
（3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式
（4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程
例一：
滑轮组：求每个砝码的加速度
d L dt q L q 0
1, 2, s
例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。
简单求出主动力在平衡时满足的条件。
5.2.4广义力
由前面讨论我们知 ri 的虚位移为
ri ri q 1 , q 2 ,...q s , t
ri
q
1
s
r
i
q
所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为
n s ri s n ri W Fi ri Fi ( q ) Fi q i 1 i 1 1 q 1 i 1
d ri ri m i ri m i ri dt i 1 q i 1 q
dt q d
2 n m i v i2 n mi vi q 2 i 1 i 1 2
可得保守力系下的拉格朗日方程为：
d L dt q L q 0
1, 2, s
拉格朗日函数
L T V
保守力系下的拉格朗日方程
d L dt q L q 0
1, 2, s
s
第二项
ri mi a i P q i 1
n
称之为广义惯性力。
5.3.2拉格朗日关系式
考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其 广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢 ri ri (t , q1 , q 2 , q s ), i 1,2, n
拉格朗日方程
方 程
T
1 2
m1 x 2
1 2
(1 2
m1R2 ) 2
1 2
m2 (x
R )2
系统的广义力为
Qx
W (x) x
(m1
m2 )gx k(x L0 )x x
(m1 m2 )g k(x L0 )
Q
W ( )
m2 gR
g
MI
PI
a
QI
Q
MI
PI
P
P
程
s
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其 位置
可由N个广义坐标 1.2
来确定。则有
拉 格
d ( T ) dt qk
T qk
Qk
(k 1,2,, N )
朗 日
式中
T
程。
1.2
k
x2
拉 格 朗
解：以系统为研究对象，系统具两个
自由度。选取 、 为广义坐标。
x1
x2
系统的动能为
x1 A
kR
B
日 方
T
1 2
m1x12
1 2
m2 x22
1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x2 R
)2
1 2
m1x12
3 4
m2 x22
系统的广义力为
程
Qx1
W (1) x1
T
3 4
第A14章_Lagrange方程及其应用
14.1 第二类拉格朗日方程
14.1.1 方程的推导
设一个完整理想系统由N个质点组成，其自由度为n，对应的广义坐标用q1, q2, ..., qn 表 示。上一章已经得到，用广义力表示的完整系统动力学普遍方程为
Qk + S k = 0, k = 1,2,
Lagrange 方程。
,n
(14.1)
其中 Qk 为主动力系的广义力， S k 为惯性力系的广义力。我们从方程 (14.1) 出发推导出 先给出两个 Lagrange 经典关系。因为任一质点的矢径 ri = ri ( q1 , q2 ,… , qn , t ) ，所以
由此，系统的动能为
1 3 1 2 1 1 T = ( mr 2 )φ 2 + mvC + ( ml 2 )θ 2 2 2 2 2 12 3 1 1 1 = mr 2φ 2 + m(r 2φ 2 + l 2 θ 2 + rlφθ cos θ ) + ml 2θ 2 4 2 4 24 5 1 1 = mr 2φ 2 + ml 2 θ 2 + mrlφθ cos θ 4 6 2
∂ri ∂r = i , k = 1, 2,… , n ∂qk ∂qk
(14.3)、(14.4)两式便是两个 Lagrange 经典关系。 对方程(14.1)中的广义惯性力作以下推演：
(14.4)
S k = ∑ (− mi ai ) ⋅
i =1
N
N N ∂ri d r ∂r ∂r d N d ∂ri = −∑ mi i ⋅ i = − ∑ mi ri ⋅ i + ∑ mi ri ⋅ ∂qk dt ∂qk dt i =1 ∂qk i =1 dt ∂qk i =1
谈拉格朗日方程在高中物理竞赛中的应用
第42卷第4期2021年物理教师PHYSICS TEACHERVol.42No.4(2021)•竞赛园地•谈拉格朗日方程在高中物理竞赛中的应用孙伟（南京市雨花台中学，江苏南京210012）摘要：本文通过应用拉格朗日方程解决竞赛试题，展示了拉格朗日方程在解决主动力全是保守力情况下完整系统的解题步骤，为竞赛师生提供了解决这类问题另一种思路，提升了应对物理竞赛的能力.关键词：完整约束；拉格朗日函数；拉格朗日方程对高中物理力学竞赛题的处理基本上是以牛顿运动定律来求解的，而用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，常常要解算大量的微分方程组•如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此减少而且甚至增加了问题的复杂性.为此，利用分析力学的思路解决这类问题往往相对简单.下面对拉格朗日方程的应用做简单介绍.1完整约束某些约束仅对力学系统的几何形象加以限制，即仅对系统的位形加以限制，而对质点的速度没有限制，这种约束称为几何约束.对于涉及力学系统运动情况的约束，即对速度也有限制的，则称为运动约束.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为完整约束.2保守力系的拉格朗日方程主动力全是保守力情况下的完整系统，拉格朗日方程表达为£（卷）一签=0（其中a=l,2,-,5）,其中L=T-V,称为拉格朗日函数，T为系统动能,V为系统势能，g。
为广义坐标，几为广义速度,s为系统在有限运动中的自由度.3应用步骤对于保守力系的问题，应用拉格朗日方程的步在©^［。
冷一讣©增大时,N减小,N?增尢解法3：利用辅助圆通过图解法处理动态平衡（此法关键在于中间有两个力的夹角必须不变）本题从图10中我们很容易发现，M，N2的夹角为号一a=定值，且为锐角.由于最初状态,重力与N2垂直.此时M最大;最后末态，M接近水平N2接近最大值，由图形可知：M减小,N?增大.以上几种利用圆的性质和特点.解决力学中骤如下：（1）分析系统所受的约束，如系统确为完整系统，确定力学体系的自由度；（2）选取与自由度相同数目的广义坐标；（3）用广义坐标和广义速度表示出力学体系的动能丁,用广义坐标表示出势能V,并进而写出体系的拉格朗日函数L=丁一V；（4）列出拉格朗日方程:£（严）一券=0（其中a=l,2,…，s）,s个q”的二阶常微分方程组就是完整系统的动力学方程；（5）解方程并讨论.下面具体举几个例子.题1.（第30届决赛）质量均为m的小球1和小球2由一质量可忽略、长度为I的刚性轻杆连接，竖直地靠在墙角，如图1所示.假设墙和地面都是光滑的.初始时给2一个微小的向右的初速度.问系统在运动过程中，当杆与竖直墙面之间的夹角为何值时，球1开始离开墙面？解析：球1开始离开墙面前两球各自沿直线运动，它们的运动受到一个刚性杆的限制，因此系统只有1个自由度.建立如图2所示的坐标系，取的动态平衡问题的方法，有时也是相通的.在教学和考试中，只要把握住其中的关键信息和条件，指导学生选择适合自己理解的方法，都可以达到事半功倍的效果.参考文献：1周勇，袁宁.巧用图解法分析一类含弹簧的力学动态问题［J］.物理教师,2020（1）:92-93.2李建丽.关于2017年高考理科综合物理21题的四种解法［J］.高考，2017（9）:28-29.（收稿日期：2020—06—28）93Vol.42No.4 (2021)第42卷第4期2021年物理教师PHYSICS TEACHER杆与竖直墙面的夹角0为广义坐标，此时球1的歹轴坐标为y=lcos0.（1）球2的二•轴坐标为H=Zsin&.（2）（1）（2）式分别对时间求导得：球1的的速度v x=—10sin0.（3）球2的速度(4)v2=19cosO.主动力为两球的重力，它们为保守力•系统的动能T12I121=迈mp、十-^-mv2.系统势能V—mglcosO.拉格朗日函数L=T~V.由（3）〜（7）式得］.L=-^-ml292—mglcosO・由拉格朗日方程得甥=加厂0—mglsin6=0.(5)(6)(7)⑻(9)dt\dO/由（9）式得6_gsin<96I'对（10）式积分并代入初始条件得(10)(11)q_J2g（l-cos。
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非惯性系下的拉格朗日方程及其应用
摘要本文介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法，惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式，以及非惯性系中的应用等研究成果。
关键词非惯性；拉格朗日方程；应用
在运用拉格朗日方程的计算中，多是在惯性系中进行的。
诚然在惯性系中运用拉格朗日方程有很多方便之处。
但是有时会遇到在惯性系中考察则不易求出物体的动能。
例：如图，物体绕Z轴转动，不易求出转动惯量IZ，则转动动能不易求出，进而质点P的总的动能不易求出。
在惯性系下运用拉格朗日方程有困难。
此时，如果考虑在非惯性系中，采用非惯性系下的拉格朗日方程，可能使得问题容易解决，从而得到解决问题的另一条途径。
1）在非惯性系下拉格朗日方程的形式
在非惯性系中，牛顿定律形式上成立，则由几个质点所形成的力学体系的动力学方程可写为
或
其中，为作用在第i个质点的约束反力的合力，为作用在第i个质点上的惯性力的合力，为主动力的合力。
在理想约束的条件下，则得：
把不独立的等改为用广义坐标等来表示，则上式变为：
（1.1式）
以下的推导过程可采用《理论力学教程》第二版（作者：周衍柏）中的推导方法。
只是在末尾增添上此项：
令进而推导可得：
将（A）中的三个式子代入（1.1式）可得：
由于相互独立，故得：
（1.2式）
这就是在非惯性系下的拉格朗日方程的基本形式。
2）存在属于保守力的惯性力
（1）根据保守力的定义或斯巴克斯公式易证牵连惯性力是保守力；
（2）由于惯性离心力是有心力，易证有心力属于保守力。
3）在非惯性系下的保守系的拉格朗日方程的形式对保守力系而言存在势能V，且：
（B）式对也成立。
把（B）式代入（A）式，则：
同理也可求得。
其中V1属于保守力的主动力作用于力系而具有的势能；V2为属于保守力的惯性力的作用而具有的势能。
令，即V为总的势能，则（1.2）可改写为:
令，即L为非惯性系下的拉格朗日函数，则可得：
（1.3）
4）非惯性系下的拉格朗日方程的运用
例1：一个光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动。
管中有一质量为m的质点。
开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。
解；首先分析力。
因科氏力在物体运动方向上不做功，由于求质点相对于管的运动规律，故可用（1.3）。
在非惯性系下的动能：
离心力的作用而具有的势能：
重力势能：
非惯性系下的拉格朗日函数：
代入（1.3）
（以下由读者解答）。
例2：质量为m的小环M套在半径为a的光滑圆周上，并沿着圆周滑动，如图，套在水平面内以匀角速绕圆上某点O转动。
试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。
解：因为求小环沿圆周切线方向的运动微分方程，故可在非惯性系下考虑问题。
分析力可知，只有离心力做功。
建立以为极点，为极轴的极坐标。
则：
设O为离心力的零势能点。
则：
运用非惯性系下的保守系拉格朗日方程（1.3）
推出此为运动微分方程。
本文推导的非惯性系下的拉格朗日方程在解决某些问题时，可能较惯性系下的拉格朗日方程简便。
但在大多数情况下，要用通常所说的拉格朗日方程较简便，二者各有所长，相互补充。
参考文献
[1]吴德明.理论力学基础[M].北京大学出版社，1999.
[2]周衍柏.理论力学教程[M].高等教育出版社，1985.。