弧度制 教案

弧度制教案

一、教学目标：

1.理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位；

2.使学生理解弧度的定义，能正确的进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；

4.领会弧度制定义的合理性和优越性.

二、教学重点、难点：

重点：理解弧度的定义，能正确的进行弧度与角度的换算.

难点：理解弧度的概念.

三、教学方法与教学手段：

教学方法：问题驱动教学、学生探究与教师讲授相结合.

教学手段：多媒体课件、学生实验.

四、教学过程：

1.创设情境,激趣导入

日常生活中有非常多的量，例如，长度，温度，重量等等，度量不同的量要用不同的单位. 对于同一种量，也可以有不同的度量单位. 例如在测量长度时，我们可以用米，也可以用千米，但是在不同的场合我们要选择合适的单位，否则会让人感觉很不舒服.

复习:

1、角度制:用度作为单位来度量角的单位制.

︒1: 将一个圆周角分成360等份，每一份叫做1度的角.

'601=︒ "'601=

2、扇形的弧长和面积公式：180

πr n l =，360π2r n S =. 问题1 : 能否在改变度量方式的同时简化公式?

2.形成概念，构建新知

（1）1弧度角的概念

问题2：如何作出1个单位的角？

动手操作：准备圆形彩纸，让学生动手尝试作出一个单位的角.

追问：如何定义1个单位的角？

1弧度的角：将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

（2）弧度制

弧度制：这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.

1873年，詹姆斯 汤姆森（James Thomson)教授在其编著的一本考试问题集中创造性的首先使用了“弧度”一词. 当时，他将“半径”（radius )的前四个字母与“角”（angle ）的前两个字母合在一起，构成radian , 并被人们广泛接受和引用.

早在18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（1707-1783）在他的名著《无穷小分析引论》中倡用弧度制，即以半径为单位来量弧长，统一了角和长度的单位. r l =α r l α= （扇形的弧长公式） 追问：还有什么公式可以简化？

.2

121ππ222rl r r S ==⋅=αα

（3）弧度制和角度制的换算

注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.但是“度”（ο）为单位不能省.

注：用弧度为单位表示角时，一般不将π化成小数.

3.例题分析，巩固提高

例1 把下列各角从弧度化为度：

；）（53π1 3.5.2）（

解：；）（︒︒

=⨯=108π

1805π3rad 53π1 .54.200π

1805.33.5rad 2︒︒

≈⨯=）（ 例2 把下列各角从度化成弧度：

；）（ο2521 .15112'︒）

（ 解：；）（rad 5

π7rad 180π2522521=⨯=︒ .rad 16

πrad 180π25.1125.1115112'=⨯==︒ο）（

例3 已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.

解：设扇形的半径为r ,弧长为l ,

则有⎩⎨⎧==+，，r l l r 282 解得⎩

⎨⎧==.42l r ， 故扇形的面积为.cm 42

12）（==

rl S 4.归纳小结 提炼升华 角的度量有很多进制，如百分度制,它常用于建筑或土木工程的角度测量；毫弧度，一般用作空间分辨率的单位；密位制，它被广泛用于航海和军事上. 在日常生活中常用角度制，因为它直观方便，数学上我们常用弧度制，它使得我们对三角函数的研究大为简化，尤其是微积分创立后公式的计算.

通过这节课的学习，大家有哪些收获？

教学设计说明：弧度制的引入是为了统一角和长度的单位，但统一单位的方式

很多，为什么用r

l 来度量角的大小，主要原因还是简化公式的需要. 本节课由︒30与︒30sin 能否相加，引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数. 为了满足对应关系的函数定义，我们需要用实数来度量角的大小. 接下来由公式的简化入手，引导学生猜想令圆周角为2π个单位即可，进一步通过数学实验学生自主探究得到一弧度角的定义. 这样的设计顺应了弧度制的发展史，又符合学生的认知规律. 本节课的教学设计遵循了弧度制的发展历史，把浓缩在其中的思维历程充分“还原”、“稀释”，让学生沿着前人思维活动的足迹去重演知识的产生与发展过程，从中发现、体验、掌握弧度制产生的方法和学习科学思维的方法. 我从学生当前遇到的学习困难入手，通过问题链的形式，引导学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题. 通过有趣的数学实验，把看似枯燥、抽象的数学概念变得生动形象，从而引发学生的探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程.

数学史的巧妙融合，激发了学生的学习兴趣，也提高了学生的文化修养. 通过介绍弧度制彰显的简洁美、对称美，以及其它量角制度，如百分制、密位制等.与学生一起感受引入弧度制的合理性与必要性,这样的安排开拓了学生的眼界和思路,增加了学生的文化底蕴.