2020年上海新高一新教材数学讲义-专题16 函数的基本性质(2)教师版

专题16 函数的基本性质（2）
（函数的单调性）
知识梳理
1.函数单调性的定义
对于函数)(x f 的定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。

注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如x
y 1=的单调递减区间时()0，∞-和()∞+，0而不能写成()()∞+∞-，，00 。

2.单调性证明四部曲
①任取1x ,2x 属于定义域，且令1x <2x ；②作差)(1x f －)(2x f 并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断)(1x f －)(2x f 的符号；④得出结论.
3.复合函数的单调性：同增异减
注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。

4.单调性与奇偶性之间的关系
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。

5.单调性的其它等价形式
①对于任意的0a >，都有()()f x a f x +>，表示()f x 单调递增；
对于任意的0a >，都有()()f x a f x +<，表示()f x 单调递减.
②对于任意的12x x ≠，都有1212
()()0f x f x x x ->-，表示()f x 单调递增； 对于任意的12x x ≠，都有1212
()()0f x f x x x -<-，表示()f x 单调递减. ③若()x f y =是奇函数，且对定义域内的任意y x ,（0≠+y x ）都有
()()0>++y
x y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递增；
()()0<++y x y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递减.
例题解析
一、单调性的概念及简单基本函数的单调性
【例1】设)(x f 是定义在R 上的函数．
①若存在R x x ∈21,，当21x x <时、有)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增；
②若存在R x x ∈21,，当时，有)()(21x f x f ≤成立，则函数在R 上不可能单调递
减；
③若存在02>x ，对于任意R x ∈1，都有)()(211x x f x f +<成立，则函数在上
单调递增；
④任意，当时，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数在上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
（A ）①③ （B ）②③ （C ）②④ （D ）②
【难度】★★
21x x <)(x f )(x f R R x x ∈21,21x x <)(x f R
【答案】D
【例2】判断命题：
（1）已知)(),(x g x f 均为R 上的单调递增函数，则)()(x g x f ⋅是R 上单调递增函数；
（2）已知)(x f 的定义域为R ，)1()(+<x f x f ，)(x f 为R 上的增函数。

（3）已知)(x f 的定义域为R ，)(x f 在[)+∞,0上单调递增，则)(x f 在R 上单调递增。

（4）偶函数一定不是单调函数。

【难度】★★
【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对
【例3】定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x -t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为 .
【难度】★★
【答案】2
【例4】写出下列函数对应的单调区间
（1）()x x x f -++=212的递增区间是___________________，递减区间是____________________；
（2）223)(x x x f --=
的单调递增区间 ；
（3）1
2
-=x x y 的单调递增区间
（4）x
x x f 1)(-=的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】（1）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-2121
，；，（2）[]13--，
（3）[]0,1-和[)∞+，1（4）()+∞,0 【解析】（1）画图（2）不要忽略定义域（3）画图，多个单调递增区间不能用“ ”连接（4）单调函数四则运算规律
【例5】已知函数)0(,)(>-=a a x x f ，)2(,12)(2≤++=x ax x x g ，且)(x f 与)(x g 的图像在y 轴上的截距相等，则函数)()(x g x f +的单调递增区间
【难度】★★ 【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-221， 【例6】求()1
2222-+-=x x x x f 的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∞-21,和⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23 【解析】()2112221122+-+-=-+=x x x x x f ，令21-=x t ，原函数变为2
11++t t 从而可得函数的递增区间为⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∞-21,和⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23
【例7】已知)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，)(x f 0>且1)3(=f ，试判断函数)
(1)()(x f x f x F +=（0>x ）的单调性.
()x f 1【难度】★★【答案】递减区间(]3,0，递增区间为[)∞+，
3
【巩固训练】
1.下列命题:(1)若()x f 是增函数，则
是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数,
是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:
（ ）
A.1
B.2
C.3
D.0
【难度】★【答案】A
2、y = | 2x ＋1 |＋| 2－x | 的递增区间是__________，递减区间是__________。

【难度】★【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，21，⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∞-21，
3.已知()2-=x x x f ，()2-=x x g ，则()()x g x f ⋅的单调递增区间 .
【难度】★★【答案】[)∞+，
2 4.()x
x x f 212-=的单调递增区间 【难度】★★【答案】()0,∞-和(]1,0
5.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.
【难度】★★【答案】见解析
【解析】∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =
∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；
若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数
若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.
二、定义法判断函数的单调性
【例8】证明()3
x x f =是单调递增函数 【难度】★
【答案】略
【例9】已知函数9()||f x x a a x
=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． 当()3,1∈a 时，求证函数()f x 是单调函数． 【难度】★★【答案】()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-<≤+--=6,91,29x a x x a x a x x x f 可证函数在两段上都是单调递增的，又函数连续，故()f x 是单调递增函数.
【例10】讨论函数1)(2-=x ax
x f 在区间()1,1-上的单调性
【难度】★★【答案】当a>0时递减，a=0时为常值函数不具有单调性；当a<0时递增
【例11】证明104)(---=x x x f 在定义域上为减函数. 【难度】★★【答案】可将函数变形为10
46-+-+x x
【巩固训练】
1.（1）判断x
x x f 1)(2+=在()0,∞-上的单调性，并证明。

（2）研究函数y ＝2x ＋2x
c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； 【难度】★★【答案】（1）递减，证明略（2）单调递增区间[)0,4c -和
[)+∞,4c 单调递减区间为(]4c -∞-，和(]
4,0c 2.已知)(),(x g x f 均为R 上的单调递增函数，命题一：)()(x g x f +是R 上单调递增函数；命题二：)()(x g x f ⋅是R 上单调递增函数；判断两个命题的正确性，若正确，给与证明；若不正确，请举反例，并增加条件，使之成为真命题。

【难度】★★【答案】命题一正确。

命题二错误，当)(),(x g x f 在R 上都大于0命题二成立。

三、分段函数单调性
【例12】已知函数2 (0)()(3)4(0)
ax x f x a x a x -<⎧=⎨
-+≥⎩,满足对任意12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围是__________. 【难度】★★【答案】⎥⎦
⎤ ⎝⎛21,0
【例13】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；这个命题是否正确？
【难度】★★【答案】错；可举反例
【巩固训练】
1.已知函数2,1,()1,
1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ,使得12()()f x f x =成立,则实数a 的取值范围是_______.
【难度】★★
【答案】2
a <
2.已知函数()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥-+=175112x x m x x m x x f 在R 上递增，则m 的取值范围是 . 【难度】★★
【答案】[]1,2-
四、单调性的应用
【例14】已知函数()()53422+-+=x a ax x f 在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围
是 .
【难度】★★ 【答案】]3
4,0[
【例15】函数()x f =
2
1++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，则a 的取值范围是 【难度】★★ 【答案】⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,21
【例16】已知x
ax x f 12)(-=，(]1,0∈x ，)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围 【难度】★★【答案】⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∞+-，
21 【解析】两种方法：一种是根据函数性质分类讨论；另外根据单调性定义转化为恒成立问题。

【例17】已知函数()(0)f x a =
≠在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围
是 .
【难度】★★
【答案】(]2,0 【例18】已知函数),0(,)(2R a x x
a x x f ∈≠+=，若函数)(x f 在[)+∞∈,2x 上为增函数，求a 的取值范围
【难度】★★【答案】(]16，
∞- 【解析】利用定义法解参数取值可化为恒成立问题，注意等号能够取得到。

【例19】a ax x x f --=21
)(
（1）)(x f 在区间()
31,-∞-上是增函数，求a 的取值范围。

（2）)(x f 的单调递增区间是()
31,-∞-，求a 的取值范围。

【难度】★★【答案】（1）[]
2322，-；（2）322-=a
【巩固训练】 1.函数8a x x
+-在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【难度】★★【答案】[]1,9-
2.已知函数∈++=a ax x x f (|1|)(R ）.
(1) 当1=a 时，画出此时函数的图象； (2)若函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）当1=a 时，
⎩
⎨⎧-<--≥+=++=11112|1|)(x x x ax x x f ， 简图如右图所示.
（2）⎩⎨
⎧-<---≥++=++=1
1
)1(11)1(|1|)(x x a x x a ax x x f ，
当⎩⎨
⎧>->+0101a a 或⎩
⎨⎧<-<+010
1a a ，
即1>a 或1-<a 时，)(x f 在R 上分别是增函数和减函数。

所以，当或1-<a 时，函数在R 上具有单调性.
3.已知函数3
()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【难度】★★【答案】(,48]a ∈-∞
4、[]42x k +-2已知函数f(x)=kx 在1，2上为增函数，求实数的取值范围。

【难度】★★【答案】
五、抽象函数单调性
【例20】已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，求不等式)2()52(2+<+x f x f 的解集。

【难度】★★【答案】()()∞+-∞-，，
31 ；解不等式2522
+<+x x 即得 【例21】定义在]4,1[上的函数)(x f 为减函数，求满足不等式2
(12)(4)0f a f a --->的a 的值的集合 【难度】★★【答案】}01|{≤<-a a
【解析】 )21(a f -0)4(2
>--a f
∴)21(a f -)4(2
a f ->，
又 )(x f 是定义在]4,1[上的减函数，
1>a )(x f
∴2
21124
144124a a a a ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪-<-⎩
即3013a a a -≤≤⎧⎪≤⎨⎪-<<⎩
10a ⇒-<≤
【例22】已知函数()x f 为定义在[]2,2-上递减的奇函数，求满足()(
)0112
<-+-m
f m f 的实数m 的取值
范围。

【难度】★★【答案】[)1,1-
【例23】已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=，且当1>x 时，()()14,0=>f x f 。

（1）求证()01=f ；
（2）求⎪⎭
⎫
⎝⎛161f ； （3）解不等式()()13≤-+x f x f
【难度】★★【答案】（1）略；（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛161f =-2；
（3）(]4,3
【例24】已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2
1
)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (
xy
y
x ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减. 【难度】★★★
【答案】：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy y
x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2
1x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.
(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.
令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (
2
11
21x x x x --)
∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴
1
21
21x x x x -->0,
又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1,
∴0<
12121x x x x --<1,由题意知f (2
11
21x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).
∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数. 【巩固训练】
1.已知f (x )是R 上的增函数，若令F (x )＝f (1－x )－f (1＋x )，则F (x )是R 上的( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先减后增的函数
D ．先增后减的函数 【难度】★【答案】B
2.函数f (x) 是定义在（+∞∞-,）上的偶函数且f (x) 在[)+∞,0上是增函数，则f (π-), f (3-) ,f (3) 的大小顺序是____________________________。

【难度】★【答案】()
()()π-<<-f f f 33
3.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在[)+∞,0上为增函数，若121=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，则不等式0)12(1≤+≤-x f 的解集为
【难度】★★【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--2
143，
4.函数()()R x x f ∈的图像如右图所示，，则函数()()()10log <<=a x f x g a 的单调递减区间是 _______ . 【难度】★★【答案】[]1,a
5.函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1．
(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2． 【难度】★★
【解答】设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，
∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.
f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，
∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．
(2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，
f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，
∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2， 即a ∈(－3,2)．
六、单调性综合问题
【例25】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增；④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【难度】★★【答案】B
【例26】已知函数()x x x f -=2
，若()
()212
f m f <--，则实数m 的取值范围是 .
【难度】★ 【答案】()1,1-
【例27】（1）若()f x 为奇函数，且在（-∞，0）内递增，(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为_______________
（2）定义在（-4，4）上的偶函数()f x ，且当x ∈(]0,4-时，()f x 单调递减，解不等式
()(21)f x f x <-
【难度】★★ 【答案】（1）(2,0)(0,2)-；（2）315
(,)(1,)232-
【例28】(),()g x h x 在定义域A 上满足任意12,,x x A ∈12x x ≠，1212()()()()g x g x h x h x ->- （1）若()g x 在A 上递增，判断()()()f x g x h x =+在定义域A 上单调性，并说明理由；
（2）若()h x 在A 上递增，判断()()()f x g x h x =+在定义域A 上单调性，并说明理由．
【难度】★★★【答案】（1）单调递增；（2）不确定
【例29】已知函数
()x x x f 25
--=，对于321,,x x x 有0,0,0313221>+>+>+x x x x x x 试比较()()()321x f x f x f ++与0的大小关系
【难度】★★ 【答案】()()()0
321<++x f x f x f
()f x
【例30】已知函数()2
1ax b
f x x +=
+是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b ∈R 且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式()()
210f t f t -+<． 【难度】★★
【答案】（1）由题意()()11f x .-在上是奇数，()()f x f x -=，
22011ax b ax b ,b x x -++⎛⎫
=-∴= ⎪++⎝⎭
又12
25f ,⎛⎫=
⎪⎝⎭
易得1a = ()21x f x x =+ ()11x .∈- （2）在 ()11,-内任取12x ,x 令1211x x -<<<
()()()()()()
()()()()()211221
212
222211211212121221221212
1111111111110
0101x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x
f x f x ,f x f x f x x ---=
-=++++<⎫⎪
⇒<-<<-<<∴->->⎬<⎪⎭
∴->>∴=
+而即
所以，()21
x
f x x =
+ 在()11,-上是单调递增的 （3）由 ()()
210f t f t -+< 得()()
21f t f t -<-
2
2
111
111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨
⎪-<-⎩
解得102t <<
【例31】函数()x f 对任意的R n m ∈,都有()()()1-+=+n f m f n m f ，并且0>x 时恒有()1>x f . （1）求证：()x f 在R 上是增函数； （2）若(),43=f 解不等式()
252
<-+a a f .
【难度】★★ 【答案】见解析
【解析】（1）任取R x x ∈<21，则()112>-x x f
从而()()()()()111211221x f x f x x f x x x f x f >-+-=+-=，从而递增 （2）由题意()()()()()()42131123,1122=-=-+=-=f f f f f f 得()21=f 所以不等式等价为152<-+a a 解得()2,3-∈a
【巩固训练】
1.已知二次函数。

（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式
在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。

【难度】★★★
【答案】：（1）当0=a 时，x x f -=)(，不合题意；
()()21f x ax a x a =+-+()f x (),1-∞-a x ()2f x x
≥[]1,2x ∈a ()()()2
11a x g x f x x
--=+
()2,3a
当0>a 时，在上不可能单调递增；
当0<a 时，图像对称轴为a a x 21--=，由条件得121
-≤--a
a ，得.1-≤a
（2）设1)1
()()(-++==a x
x a x x f x h ，
当]2,1[∈x 时，]2
5
,2[1∈+x x ，
因为不等式
在上恒成立，所以)(x h 在]2,1[∈x 时的最小值大于或等于2，
所以，⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨
⎧≥-+<≥-+>21250
a 2120a a a a a 或 ，
解得1≥a 。

（3）a x
ax x g ++
=1
)(2在上是增函数，设3221<<<x x ，则)()(21x g x g <， a x ax a x ax ++<++
2
2
212
111，21212121))((x x x x x x x x a -<-+，
因为3221<<<x x ，所以)(12121x x x x a +>
， 而
)16
1
,541()(12121∈+x x x x ， 所以.16
1
≥a
()f x (),1-∞-()2f x x
≥[]1,2x ∈()2,3
反思总结
函数的单调性是函数的局部性质，一定是在函数定义域范围内讨论的，一个函数在整个定义域上可以不具有单调性，但函数还是存在单调区间的，注意当函数有多个单调区间的时候要用和将多个单调区间连起来；
对于有些题目中蕴含着复合函数的定义域要求，不要忽略，要考虑到复合函数定义域问题；对于单调性和奇偶性之间的关系要清楚。

课后练习
1.函数f(x)= x 2
+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. B. C. (－∞,5) D.
【难度】★ 【答案】B
2.下列命题中正确的命题是………………（ ）
（A ）若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
（B ）若存在],[b a x i ∈（),2,1*
N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<<
<时，有
()()()123()n f x f x f x f x <<<
<，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
（C ）函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数)(x f y =在),0[+∞上一定是减函数；
（D ）若对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有0)
()(2
121>--x x x f x f ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是
增函数。

【难度】★【答案】D
[)3,-+∞(],3-∞-[)
3,+∞
3.若奇函数f （x ）在［a ，b ］上是增函数，且最小值是1，则f （x ）在［－b ，－a ］上是（ ） A 、增函数且最小值是－1 B 、增函数且最大值是－1 C 、减函数且最小值是－1
D 、减函数且最大值是－1
【难度】★【答案】B
4.已知函数()242
-+=x kx x f 在[]2,1上为增函数，求实数k 的取值范围.
【难度】★★【答案】(1,2)
5.有下列几个命题：
①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y =
1
1
x +在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减
函数；③函数y 2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）。

正确命题的序号是__________ 【难度】★★【答案】④
6.函数x x x f -=2
)(的单调递减区间是___________
【难度】★★【答案】]2
1
--，（∞和⎥⎦
⎤⎢⎣⎡210，
7.已知函数()(0)f x a =≠在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
【难度】★★ 【答案】(]2,0
8.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,则a 的取值范围是( )
A.(22，3)
B.(3，10)
C.(22，4)
D.(－2，3)
【难度】★★ 【答案】A
9.已知⎩⎨
⎧>--<+-=1
),1)(1(1
,4)13()(x x a x a x a x f 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
【难度】★★
【答案】⎪⎭
⎫⎢⎣⎡31,71
10.已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若[]1,1,-∈b a ，0≠+b a ，有0)
()(>++b
a b f a f 成
立；
（1） 判断)(x f 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；
（2） 解不等式⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<+
11)2
1(x f x f ； 【难度】★★【答案】（1）单调递增；（2）⎪⎭
⎫⎢⎣⎡--12
3，
11.偶函数()y f x =在1[,)2
+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --< 【难度】★ 【答案】D
12.已知定义域为()1,1-的奇函数，)(x f y =又是减函数，且0)9()3(2<-+-a f a f ，则a 的取值范围 【难度】★★
【答案】()
322，
13..函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________. 【难度】★★ 【答案】(－∞,－1]
14.求证函数f (x )=2
23
)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数
【难度】★★★
【答案】证明：∵x ≠0,∴f (x )=
2
2422322)11(1
)1(1)1(1x x x x x x x -=
-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则
01111,1112
1
2
2
2
1
2
2
>-
>-
<<x x x x .
2
2
1
12
2
2
222
1
122
2
2)
11(1)
11(1.0)11()11(x x x x x x x x -
<-
∴>->-
∴
∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.。