数学建模竞赛参赛的队员选拔与组队问题

数学建模竞赛参赛的队员选拔与组队问题
【摘要】
本文根据竞赛队员的选拔和组队问题的基本要求，制定合理假设并求解。

依据各种能力的权重，建立能力加权值图表，由能力加权值排名进行参赛队员的选拔。

在确定最佳组队的问题上，首先以综合加权能力为依据选择，再根据相对优势制定调整方案。

为参赛队员组队的方案参照了最佳组队的方法并进行了推广，使所有队伍之间能力相差降低。

最后，建立与最大值及差值相关的目标函数，将队员组队，并将模型进行推广和改进。

关键词：加权相对优势差值
一、问题描述
问题描述：在参加数学建模竞赛活动中，各院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理的组队问题。

今假设有20名队员准备参赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，选拔和评价队员主要考虑的条件依次为有关的学科成绩（平均成绩）、智力水平（反映思维能力、分析和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用及其他方面的实际操作能力）、写作能力、外语水平、协作能力（组织、协调）和其它特长，每个队员的基本条件量化后如下表（略）：
（1）在20名队员中选择18名优秀的队员参加竞赛；
（2）确定一个最佳的组队使得竞赛技术水平最高；
（3）给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高；并给出每个队的竞技水平。

二、问题分析：
队员选择上，关于队员的选取，要从20名队员中淘汰两人。

可采取排名然后去除后两名的方法。

根据原表格的数据，队员的评估指标分为了7项。

这7项指标的平均值、波动程度都不同。

因此，每种能力的权重不一致，因此采用表示差距的方差和原始指标的积来表示该队员在这项能力上的加权指标。

组队原则上：为了组成一个最强的组队方案，首先从综合加权能力的排名入手，再让每位队员的劣势得以补充。

综合所有的18名队员进行分组，可以根据以下原则进行分组强弱队员结合，综合实力较差的队员要有加权能力较强的队员给予补充；强弱能力结合，某一项能力较差的队员要有在
该项能力较强的队员给予补充；不可以存在弱项，表现在模型里即为，各指标的最大值均非负。

三、基本假定
（一）所有指标均能够正常反映一个队员在该项目上的能力；
（二）选取参赛队员时，淘汰的标准为选择20名队员中实力差的两名；
（三）选择最优的组队方案时，优先考虑已选出的18名队员中综合实力较强的3名，根据弱项进行调节；
（四）为已选择出的18名队员制定组队方案时，不能让某些队伍实力过强，应保持总体水平的均衡；
（五）选择队伍的过程中，不能让所有队员均在某一方面占有弱项； （六）综合实力强的队员对综合实力弱的队员进行补充；
（七）一个队在某一方面的能力体现为在这方面最强的队员的能力。

四、符号说明
学科成绩、智力水平、动手、写作、外语、协作能力和其他特长分别编号为(1,2...7)i i 将各名队员编号为j
初表格中的始值定义为i X ，该项能力在队员中的标准差为i Y 其中第j 名队员的第i 项能力为ij X 第j 名队员的加权能力为j Z 第j 名队员的第i 加权能力为i j Z 第i 项能力的平均加权值为i Z
第j 名队员的加权能力与平均能力的差值为ij W
max(,,...)a b c 表示,,...a b c 各元素中的最大值 (,,....)D a b c 表示,,...a b c 各元素的标准差
五、模型建立与求解
五．（一）.建立加权指标模型并排序 五．（一）.1 求解权重系数
对表格分析可知，各个队员的7种能力均呈现一定的波动，各种能力的对比中，有的能力在各位队员里差别很大，而有的差别很小。

计算可知，各种能力在队员中的标准差如下：
12320(,,...)i i i i i Y D X X X X =
表一——各项能力的权重系数
可见，“协作能力”在各个队员中的差别很小，说明，协作能力在一个队员的综合能力的重要性中占用很小；而“其他特长”、“写作能力”在队员中的差别很大，说明这些能力在一个队员的综合能力中占用很大。

因此加权的综合能力定义为各个能力与其标准差之积的平均值。

即：
77
1
1
7
711
ij i j i ij i j i
i i j i i
i i Z X Y Z X
Y
Z Y Y
=====⎧⎪⎪⎪⎨==⎪⎪⎪⎩
∑∑∑∑
使用表格表示为：
表二——各项能力的加权值
j
学科加权 智力加权 动手加权 写作加权 外语加权 协作加权 特长加权 总加权分 1 A 25.01 19.60 19.99 35.59 18.41 10.10 47.45 7.57 2 B 23.85 19.17 19.75 28.92 17.94 9.67 15.82 5.80 3 C 23.26 18.73 20.72 37.81 21.44 10.20 63.27 8.40 4 D 25.01 19.38 20.24 42.71 22.60 10.31 63.27 8.74 5 E 25.59 18.30 20.72 34.25 20.04 9.78 71.18 8.59 6 F 26.75 20.04 19.99 35.14 20.97 9.57 47.45 7.73 7 G 26.75 20.91 21.94 32.03 21.20 9.78 71.18 8.76 8 H 20.36 17.42 23.89 27.58 20.27 10.31 47.45 7.19 9 I
22.39 17.86 20.48 28.92 22.37 9.89 39.54 6.94 10 J 24.14 17.64 20.97 30.69 19.81 9.99 31.64 6.65 11 K 26.17 17.86 19.50 34.70 20.97 10.10 39.54 7.25 12 I 27.92 19.82 19.75 44.04 20.27 10.31 47.45 8.14 13 M 27.63 20.91 20.24 36.03 20.97 9.89 55.36 8.21 14 N 25.01 18.08 19.99 36.03 20.97 9.57 39.54 7.27 15 O
26.46
18.95
21.45
37.37
20.50
9.99
39.54
7.49
16 P 27.04 18.30 20.97 39.15 20.04 10.10 47.45 7.86 17 Q 24.43 17.42 22.92 40.93 19.57 9.67 55.36 8.18 18 R 25.30 18.08 22.43 40.48 20.27 9.78 63.27 8.58 19 S
22.39
17.64
23.40
33.81
20.97
10.20
71.18
8.58 20 T 26.17 19.17 23.16 35.14 17.94 9.57 47.45
7.67
2 对所有队员的综合能力进行由强到弱的排序可得
（G ，D ，E ，R ，S ，C ，M ，Q ，L ，P ，F ，T ，A ，O ，N ，K ，H ，I ，J ，B ） 根据选拔要求，去除两名队员：J ，B 。

让剩余的18名选手参加比赛。

（二）.1对剩余队员重新编排
表三
队员 j 队员 j 队员
j A 1 H 7 O 13 C 2 I 8 P 14 D 3 K 9 Q 15 E 4 L 10 R 16 F
5
M
11
S
17
G 6 N 12 T 18
2.建立差值模型
剩余的18名队员中，根据各个队员的相对优势进行组合鉴于以分数确定每位队员的特长存在偏差，模型采用相对优势作为选取队员特长的依据。

相对优势，即每位队员的各个能力指标中，该指标与平均水平的差值除以该项指标的波动程度（即标准差），即可得到剔除各个指标波动幅度下的队员优势。

ij i
ij i
Z Z W Y -=
可得差值表，以确定各队员的相对优势
表三——各队员相对优势的差值表现
j
学科差值 智力差值 动手差值 写作差值 外语差值 协作差值 特长差值 1 A -0.07 0.38 -0.51 -0.13 -1.04 0.14 -0.96 2 C -0.68 -0.04 -0.2 0.42 0.44 0.25 1.69 3 D -0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 4 E 0.14 -0.24 -0.2 -0.47 -0.24 -0.17 3.02 5 F 0.55 0.58 -0.51 -0.24 0.21 -0.37 -0.96 6
G
0.55
1
0.31
-1.02
0.32
-0.17
3.02
7 H -1.7 -0.66 1.13 -2.13 -0.13 0.35 -0.96 8 I -0.98 -0.45 -0.31 -1.8 0.89 -0.06 -2.28 9 K 0.34 -0.45 -0.72 -0.35 0.21 0.14 -2.28 10 L 0.95 0.48 -0.62 1.98 -0.13 0.35 -0.96 11 M 0.85 1 -0.41 -0.02 0.21 -0.06 0.37 12 N -0.07 -0.35 -0.51 -0.02 0.21 -0.37 -2.28 13 O 0.44 0.07 0.1 0.31 -0.02 0.04 -2.28 14 P 0.65 -0.24 -0.1 0.76 -0.24 0.14 -0.96 15 Q -0.27 -0.66 0.72 1.2 -0.47 -0.27 0.37 16 R 0.04 -0.35 0.52 1.09 -0.13 -0.17 1.69 17 S -0.98 -0.55 0.93 -0.58 0.21 0.25 3.02 18
T
0.34
0.17
0.82
-0.24
-1.27
-0.37
-0.96
2选取最强的三个队员
根据要求，确定一个最佳的组队使竞赛水平最高
从18名队员中选择三队员进行个组队，有3
18816C =种方法，但实际要求最佳的组队方案，
即寻求综合实力最强且各种能力相匹配的方案。

（1）单一考虑综合加权能力下的组队方案： 设三名队员的新编号为,,(,,[1,18])j m n p m n p =∈
根据加权能力的排名表，可知综合能力最强的三名队员分别为G ，D ，E 。

（2）根据三名队员的各项能力进行调整。

依据强弱结合的原则，三名队员在各项能力中必须有人占有强项，有弱项的方面可以由其他两名队友补充。

使用差值数表判别，三个成员中，各项能力的差值不能全是负值，之和亦不应为负值；
max(,,)0
...(1,2...7)0
im in ip im in ip W W W i W W W >⎧⎪=⎨
++>⎪⎩ 因此，选择最佳的一个组队方案为，G ，D ，E 共同组队。

表四——（G ，D ，E ）共同组队下的差值
队员（j ） 学科差值 智力差值 动手差值 写作差值 外语差值 协作差值 特长差值 G （6） 0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D （3）
-0.07
0.27
-0.41
1.65
1.01
0.35
1.69
E （4） 0.14 -0.24 -0.20 -0.47 -0.24 -0.17 3.02
差值之和 0.62 1.03 -0.3 0.16 1.09 0.01 7.73
（3）根据各项能力进行调整
根据各个差值之和可得：G ，D ，E 组合成一队的之时，动手能力方面相对弱，其他特长方面优势过高，需调整。

（4）调整方法：
先在G ，D ，E 中选择一个能力相对较弱的以替换。

由分析，E 在各项差值中有4项占据最低，应在最优方案中替换E 。

在其他综合加权能力较强的队员中选择一个，与G 、D 结合，使差值之和最高。

R 、S 、C 分别与G 、D 结合后的差值表，分别定义为调整方案①、②、③
①、方案①，（G ，D ，R ）共同组队
表五——（G ，D ，R ）共同组队下的差值
队员（j ） 学科差值 智力差值 动手差值 写作差值 外语差值 协作差值 特长差值
G （6） 0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D （3） -0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 R （16）
0.04
-0.35
0.52
1.09
-0.13
-0.17
1.69 差值之和 0.51 0.92 0.42 1.72 1.20 0.02
6.40
此方案①的差值总和=11.19； ②、方案②，（G ，D ，S ）共同组队
表六——（G ，D ，S ）共同组队下的差值
队员（j ） 学科差值 智力差值 动手差值 写作差值 外语差值 协作差值 特长差值 G （6） 0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D （3） -0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 S （17）
-0.98
-0.55
0.93
-0.58
0.21
0.25
3.02 差值之和 -0.51 0.72 0.83 0.05 1.54 0.43 7.73
此方案②的差值总和=10.79； ③、方案③，（G ，D ，C ）共同组队
表七——（G ，D ，C ）共同组队下的差值
队员（j ） 学科差值 智力差值 动手差值 写作差值 外语差值 协作差值 特长差值 G （6） 0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D （3） -0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 C （2）
-0.68
-0.04
-0.20 0.42 0.44 0.25 1.69 差值之和 -0.20 1.23 -0.30
1.05
1.77
0.43
6.40
方案③的差值总和=10.38
5.分析原方案及各个调整方案：
①、原方案，G ，D ，E 组合成一队()6,3,4j =，
7
6
341
()10.33i i i i W
W W ==++=∑差值总和
其中，动手能力：3633340.30
W W W ++=-<；
②、调整方案①，G ，D ，R 组合成一队()6,3,16j =，
7
63161
()11.19i i i i W W W ==++=∑差值总和，其中，
6316(1,2..7)()|0
i i i i W W W =++>；
③、调整方案①，G ，D ，S 组合成一队6,3,17j =，
7
63171
()10.79i i i i W W W ==++=∑差值总和，其中，学科成绩：16131170.510
W W W ++=-<；
④、调整方案③，G ，D ，C 组合成一队6,3,2j =
7
6321
()10.38i i i i W W W ==++=∑差值总和
其中，学科成绩：1613120.200
W W W ++=-<，动手能力：
3633320.300
W W W ++=-<
因此，选择调整方案①，
即G ，D ，R 组合成一队。

不仅总差值最高，而且在任一项能力上均未表现出弱势。

（三）.全部18名队员综合考虑下的组队方案：
1、综合考虑18名队员时，不能以单一队伍的实力来制定组合方案，应尽量使各个队伍的能力平均。

在18个队员中分成6队，共有3333318151296
6
6
190590400C C C C C A =种方法，为简便，采取分组再分队的方法。

2.首先，将队员按照综合能力排名分成三组：优、中、劣。

每组六名成员，每队的三名队员均分别从这三组中选择成员
3.构造目标函数，单组各实力最大值之和
目标函数确定为该队的三名队员在各项能力的最大值之和：
7
1
(,,)max(,,)im in ip i f m n p Z Z Z ==∑
同时应满足各组均有至少一个成员在某能力上具有优势：
max(,,)0(1,2...7)im in ip W W W i >=
为保证每队的平均能力和原始的总队员能力相当，建立平均能力的偏差函数：
(,,)3
im in ip
i Z Z Z g m n p Z ++=
-
根据强弱队员结合、强弱能力结合的原则，选择方案。

经过从优、中、劣三组中进行选择，组队方案为
（D ，P ，K ）（E ，F ，A ），（R ，L ，N ），（G ，Q ，I ），（S ，T ，O ），（C ，M ，H ）各分为一组
如（D ，P ，K ）组，D ，P ，K 的编号分别为3,14,9。

因此3
149m n p =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
(3,14,9)206.2978f =
3149max(,,){0.65,0.27,0.10,1.65,1.01,0.35,1.69}0
(3,14,9)0.05i i i W W W g =>⎧⎨
=⎩
同理，将 （E ，F ，A ），（R ，L ，N ），（G ，Q ，I ），（S ，T ，O ），（C ，M ，H ）各分为一组 可得数据：
表八——组队方案及竞赛实力
六、模型的优缺点
模型对于各个指标的选取采用了权重的分析方法。

有的指标在队员中的差别不大，没有拉开差距，因此权重性较小；有的指标在队员中差别较大，在队员中拉开差距，权重性较大。

因此，采用该指标在队员中的波动程度（用方差体现）作为一个指标的权重。

组队原则引入了“差值”来表示队员能力的相对优势。

为了使相对优势各自得到发挥，选队的判别条件之一即为，该项能力不能在所有组员中全占劣势，表示为
max(,,)0(1,2...7)im in ip W W W i >=
最终的组队判别标准中，仅考虑了要求各个队都在每一项能力的指标上不存在劣势，而没有考虑各个指标之间的差异性，队伍可能出现某些能力较强、某些能力较弱的情况，需改进。

七、模型的改进与推广
根据分析，组队判别标准中，仅考虑了要求各个队都在每一项能力的指标上不存在劣势，而没有考虑各个指标之间的差异性，队伍可能出现某些能力较强、某些能力较弱的情况，需改进。

改进方法，在每队的判别中，增加建立各个能力之间的波动分析，仍可用方差来体现：
111222777(,,)[max(,,),max(,,)....max(,,)]
m n p m n p m n p U m n p D Z Z Z Z Z Z Z Z Z
(,,)U m n p 的值越小，说明这个队的各项能力越平均，分配越合理。