高数函数的单调性课件

当 f ( x) 0时, f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 )
说明 (1) 成立; (2)
证毕
18
判别函数的凹凸性的一般步骤∶ 1) 确定函数的定义域.
2)在定义域求出函数二阶导数为零或不存在的点,
用这些点把定义域分成若干个部分区间. (同时求出函数二阶导数大于零或小于零的区间) 3)在各部分区间内根据函数二阶导数的符号来判 判别凹凸性. 注意:若函数在某一点两边二阶导数符号同号,则 应考虑合并区间.特别地,若函数在这一点的一阶导

5 3
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
24
附加内容: 曲线的渐近线
当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线 定义： 移向无穷时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线.
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1.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
数连续,则应合并.
19
例
判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到,
点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
20
定义. 若函数
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
有水平渐近线两条: y , 2
y . 2
26
2.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
28
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
4
例
讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1.
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
注意: 函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点
拐点的简易判别法: 若
,而
21
注意: 1.拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.在拐点处 f ''( x) 0或f ''( x)不存在。
y
连续曲线上凹凸的分界点称为拐点.
o
x
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例
求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及
4 3
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
例
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3
1 2 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点 y, y均不存在. ,
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) a lim , x x
b lim[ f ( x ) ax].
7
求单调区间的方法: 1.求出方程 f ( x) 0 的根和 f ( x) 不存在的点 2.通过这些点来划分f(x)的定义区间 3.判断区间内导数的符号。
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例
确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
（1）凹
b
x
o
a
（2）凸
b
x
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定义 设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） ; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 如果恒有 f ( ) , 那末称 f ( x ) 2 2 在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧） ．
9
注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如, 例
y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加.
3
当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 在(0,)内可导， f ( x ) 0, 且
在[0,)上单调增加；
当x 0时， f ( x ) f (0) 0, 即 x ln(1 x ).
10
例 证
1 证明: 当 x >1 时, 2 x 3 . x 1 设 f ( x) 2 x 3 , 则 x 1 1 x x 1 f '( x ) 2 . 2 x x x
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x1 x2 . 证:任取 x1 , x2 [a, b], x1 x2 ,记 x0 2 利用拉格朗日中值定理, ( x2 x0 ) ( x0 x1 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 ) [ f ( x2 ) f ( x0 )] [ f ( x0 ) f ( x1 )] f (2 )( x2 x0 ) f (1 )( x0 x1 ) x1 1 x0 2 x2 [ f (2 ) f (1 )]( x2 x0 ) f ( )(2 1 )( x2 x0 ) 1 2
第四节 函数单调性与曲线的 凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与拐点 三、小结
1
一、单调性的判别法
y
y=f(x) f (x)>0
y
y =f(x)
f (x)<0
o
a
b
x
o
a
b
x
2
定理
内可导
设函数 y= f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b)
(1) 如果在 (a, b)内 f
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹(或凸)的 ;
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曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
3 2
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
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注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例 解
2( x 2)( x 3) 求 f ( x) 的渐近线. x 1
x2 x1 0,
( x1 x2 )
(1) 若在(a , b)内， ( x ) 0, f
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
(2) 若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
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3.斜渐近线
如果
x x
处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
5
例
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x )
2 3wk.baidu.comx
3
,
( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时， f ( x ) 0,
在(,0]上单调减少；
. 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加
6
单调区间求法
问题: 通过上面例子，函数在定义区间上不是
单调的，但在各个部分区间上单调．
定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调
的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点．
在区间 I 上连续, 在经过点
不是 I 的端点,
时,曲线的凹凸
如果曲线
性发生了改变,称这样的点为此曲线的拐点. 简单地说, 拐点就是连续曲线上凹凸的分界点 . 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线
或不存在, 的一个拐点.
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x ) 0, 当2 x 时，f ( x ) 0,
在[1,2]上单调减少； 在[2,)上单调增加 .
f (x)在[1, +)上连续, 在(1, + )内 f (x)>0, 因此在[1, +)上单调增加, 从而当 x>1时,
f ( x ) f (1) 0,
即
1 2 x 3 . x
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例. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x) , x
且
证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
x 1
tan x
因此
从而
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二、曲线凹凸的定义
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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定义(描述定义) 1.如果在区间(a,b)内，曲线y=f(x)在其上任意一点 的切线的上方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是 凹的(或下凸的)； 2.如果在区间(a,b)内，曲线y=f(x)在其上任意一点 的切线的下方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是 凸的(或下凹的)；
(x)>0, 那么函数 y= f (x) 在 (x)<0, 那么函数 y= f (x) 在
[a, b]上单调增加; (2) 如果在 (a, b)内 f
[a, b]上单调减少.
3
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )