有理数及其运算 专题复习
有理数及其运算复习
有理数及其运算综合复习（一）【教学目标】1、通过复习让学生熟练掌握有理数的分类2、能借助数轴表示有理数，比较有理数的大小。
3、会求有理数的相反数、倒数、绝对值，熟练解决有关绝对值的化简和计算。
4、分类讨论的思想5、有关非负数的性质【教学重点】1、有理数的分类：把无限不循环小数当成有理数；对“非正整数”、“非负整数”的理解2、会求有理数的相反数、倒数、绝对值，熟练解决有关绝对值的化简和计算。
3、有关非负数的性质【教学难点】 1、有理数的分类。
2、绝对值的化简问题中分类讨论的思想。
【教学过程】一、有理数的有关概念正整数整数 01、有理数的分类有理数负整数正分数分数负分数注意：（ 1）、有限小数和无限循环小数属于。
（2）、无限不循环小数属于无理数。
例 1、把下列各数填在相应的大括号中：1 ，32 22 ，， (23， 0，，3) ，(2)， 0.33333，0.101001000 443（ 1）分数集合： {}（ 2）负数集合 {}（ 3）非正整数集合： {}（ 4）非负整数集合： {}（ 5）有理数集合： {}2、数轴、相反数、绝对值、倒数的知识点和综合运用例 2、a、b、c在数轴上的位置如下图试用比较a,-b,c,a-b, ,c-b,c-a,a+b 的大小并用“<”连接例 3、填空（ 1）数轴的三要素是。
（ 2）-2 的相反数是，2的相反数是，0的相反数是， a 的相反数是，a-b 的相反数是。
（ 3） 3 的倒数是，-a（a≠ 0）的倒数是，0倒数。
（ 4)若 a、 b 互为倒数， c、 d 互为相反数，则(c+d) 2-3ab=。
(5)若a3, a，若 a 3, 则a。
例 4、已知有理数a, b, c在数轴上的对应位置如图所示，则| c1| | a c | | a b |化简后的结果是（）-1 c0a bA. b 1B. 2a b 1C. 12a b 2cD. 12c b二、有关非负数的性质所谓非负数就是正数和零，我们学过的非负数共有两种：一是绝对值，二是偶次幂，即 x0, x2 n0（ x 为任意有理数， n 为正整数）。
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总有理数的性质及其运算知识点汇总一、有理数性质有理数是可用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数和零。
有理数的性质如下：1. 有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
2. 有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。
3. 有理数的乘法满足分配律。
4. 有理数的加法、减法和乘法仍然是有理数。
5. 有理数可以用小数形式表示。
二、有理数运算知识点1. 有理数的加法有理数的加法满足以下规则：- 两个正有理数相加，结果仍为正有理数。
- 两个负有理数相加，结果仍为负有理数。
- 正有理数和负有理数相加，结果为它们的差的绝对值的符号与较大绝对值的符号相同。
2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法运算，规则如下：- 减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。
3. 有理数的乘法有理数的乘法满足以下规则：- 正有理数乘以正有理数，结果仍为正有理数。
- 负有理数乘以负有理数，结果仍为正有理数。
- 正有理数乘以负有理数，结果为它们的积的符号为负。
- 任何数乘以零，结果为零。
4. 有理数的除法有理数的除法可以转化为乘法运算，规则如下：- 除以一个有理数等于乘以这个有理数的倒数（除数不为零）。
5. 有理数的运算顺序有理数的运算顺序遵循以下规则：1. 先计算括号中的内容。
2. 然后按照先乘除，后加减的顺序计算。
3. 如果有多个乘法或除法，按照从左到右的顺序进行。
6. 有理数的小数形式表示有理数可以用小数形式表示，其中：- 有限小数是按照小数位数为限的。
- 循环小数是具有重复循环数字的。
以上是有理数的性质及其运算知识点的汇总，希望对你有所帮助。
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥09、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
10、绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|11、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
第二章《有理数及其运算》专项练习共7个专题(含答案)
第二章《有理数及其运算》专项练习专题一：正数和负数1、下列各数中，大于－21小于21的负数是（ ） A.－32B.－31C.31D.02、负数是指（ ）A.把某个数的前边加上“－”号B.不大于0的数C.除去正数的其他数D.小于0的数 3、关于零的叙述错误的是（ ）A.零大于所有的负数B.零小于所有的正数C.零是整数D.零既是正数，也是负数 4、非负数是（ ）A.正数B.零C.正数和零D.自然数5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ）A.文具店B.玩具店C.文具店西40米处D.玩具店西60米处 6、大于－5.1的所有负整数为_____.7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____. 8、请写出3个大于－1的负分数_____.9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____.10、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么？专题二：数轴与相反数1、下面正确的是（ ）A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线B.离原点近的点所对应的有理数较小C.数轴可以表示任意有理数D.原点在数轴的正中间 2、关于相反数的叙述错误的是（ ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零3、若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定 4、在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是_____. 5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_____.6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____.7、数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为_____. 8、数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____. 9、在等式3215⨯-⨯=的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。
初中七年级上册数学基础习题练习：33.有理数及其运算专题
有理数及运算专题复习姓名： 日期：【知识要点归纳总结】1. 有理数的分类2. 数轴的三要素3. 若a+b=0，则a 与b 的关系是4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数的关系是 5．若a =a -,则a 0，若a =a,则a 0.6.倒数等于它本身的数是 ，平方等于它本身的数是 ， 立方等于它本身的是巩固练习A一、选择题．1．下列语句中正确的是（ ） A 、若a 为有理数，则必有0||=-a a B 、两个有理数的差小于被减数 C 、两个有理数的和大于或等于每一个加数D 、0减去任何数都得这个数的相反数2．点A 在数轴上距原点3个单位长度，将A 向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点所表示的数是（ ） A 、0B 、-6C 、0或-6D 、0或63．实数b a ,在数轴上的位置如下图所示，下列各式错误的是（ ） A 、0<-b aB 、0<+b aC 、0<abC 、a b >|| 4．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为21单位长度，则这个数是（ ）A 、21或21-B 、41或41-C 、21或41D 、21-或41-5．如果一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（ ） A 、正数B 、负数C 、正数或负数D 、整数6．下列各式中不正确的是（ ） A |4||4|=-、 B 、)3(|3|--=- C 、|3||7|->- D 、0|5|<-二、填空题1．今年我省元月份某一天的天气预报中，A 市最低温为C ︒-6，B 市最低气温为C ︒2，这一天A 市的最低气温比B 市的最低气温低 ．2．绝对值小于3的整数有 ．3．在有理数9,4,8,8.3,0,71,6.2,5,4----中，请找出其中的整数 ．4．一根长70厘米的弹簧，一端固定，若另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克，便可使弹簧增长2厘米，则在正常情况下挂x 千克的物体弹簧的长度增长到 厘米． 5．若a a -=||，则a 是 ．6．若b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，则=++20082003)()(cd b a ． 7．数轴上表示3的点和表示-6的点的距离是 ．8．87-与1513-的大小关系是 ．9．若a a =2，则=a ，若a a =3，则=a 。
有理数及其运算知识归纳及练习
第二章 有理数及其运算班级**〔一〕有理数知识点1：正数和负数1、设上升为正，上升200米记作米，则下降300米应记作，不升不降应记作.200+2、〔2021·〕如果零上记作，则零下可记作〔 〕.5C o 5C +o 7C oA. B. C. D. 7C -o 7C +o 12C +o 12C -o知识点2：有理数及其分类3、大于零的数叫______，在正数前面加上“﹣〞〔读作负〕的数叫______；____既不是正数，也不是负数。
4、〔2021•〕如果收入50元，记作+50元，则支出30元记作( )元. A.+30 B.-30 C.+80 D.-805、把以下各数填在相应的大括号：1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，52正整数集｛…｝；非负整数集｛ …｝正分数集｛…｝；负分数集｛ …｝正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝〔二〕数轴知识点1：数轴的定义6、数轴的三要素：______，________，_________.知识点2：数轴上的点与有理数的关系7、比拟有理数的大小： ①数轴上右边的数总比左边的数__；②正数都______零；③负数都_____零；④正数______一切负数.8、〔1〕数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数是________；〔2〕和表示的点距离等于4个单位的点所表示的数是_________；5-9、〔2001•呼和浩特〕在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是〔 〕A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数10、〔2021•莱芜〕如图，在数轴上点A 表示的数可能是〔 〕A ．1.5B ．－1.5C ．－2.4D ．2.411、数轴上A 、B 两点表示的数分别为a 、b ，且点A 在点B 的左边，以下结论正确的选项是( )A ．a ＋b ＜0B ．a ＋b ＞0C ．a －b ＜0D ．a －b ＞012、以下说法错误的选项是〔 〕A ．数轴是一条直线 B ．数轴上的原点表示数0C ．数轴上表示数－a 的点在原点的左边 D ．0是正数与负数的分界点〔三〕绝对值知识点1：相反数13、只有符号不同的两个数互为_______；数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离且分别在原点的两边；0的相反数是___；a 的相反数是_____；互为相反数的两个数相加和为_____.14、〔2005•〕如果□+2=0，则“□〞应填的实数是〔 〕A ．﹣2B ． C. D.2212115、以下关于相反数、数轴的说法，不正确的选项是〔 〕A ．符号相反的两个数互为相反数 B ．假设a=－a ，则数轴上表示a 的点是原点C ．数轴上关于原点对称的两个点表示相反数 D ．假设a ＋b=0，则a 、b 互为相反数16、写出以下各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来：知识点2：绝对值17、(1)数a 的点与原点的距离叫做，数a 的绝对值记作∣a∣；(2)意义：假设a ＞0，则∣a∣＝. 假设a ＝0，则∣a∣＝____. 假设a ＜0，则∣a∣＝___ ；两个负数比拟大小,绝对值越大的负数反而____；两个点a 与b(a ＜b)之间的距离为：______。
有理数及其运算-专题复习
有理数及其运算 专题复习 (三)一、学习目标：1、理解乘方的意义，掌握有理数的乘、除、乘方及简单的混合运算；2、理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；3、会用科学记数法表示较大的数．二、知识链接1．有理数乘法法则：2.有理数除法法则：3．若干个非0有理数相乘除，结果的符号由 确定.当负因数有 时，结果的符号为负；负因数有 时，结果的符号为正4．乘方的定义：求n 个相同因数积的运算叫乘方.即...n a a a a ⨯⨯⨯⨯=个a5.．n a 读作 ，其中a 叫 做 ，n 叫做 ，乘方的结果叫做 。
·6.幂的符号的确定：正数的任何次幂都是 ；负数的偶次幂是 ；负数的奇次幂是7、有理数混合运算的顺序：先算 ，再算 ，然后算 ，有括号的 。
三、考点分析：（近三年郑州市期末试题）2009-2010年调考分析1、考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：科学记数法& 2考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算2010-2011年调考分析1、考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：科学记数法2、考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算?2011-2012年调考分析5、考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：倒数的概念6、考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算 四、典型例题:有理数乘、除法1. 12()2⨯-的结果是（ ）A ．－4 B ．－1 C ．14- D ．32 2.计算：（1）)83()5.2()541(6.1-⨯-⨯-⨯ （2）)12()216141(-⨯-+（3）57)7(23⨯-÷-（4）3)21()74()75()4(--÷-⨯-3. 若a < c < 0 < b ，则abc 与0的大小关系是（ ）．A ．abc < 0B ．abc = 0C ．abc > 0D ．无法确定！4. 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( )A ．a + b ＞0B ．a - b ＜oC ．a b ＞0 D. a b＜0 有理数的乘方1.(-1)2 011的相反数是( ) A ．1 B ．-1 C ．2 011 D ．-2 0112. 计算(－3)3＋52－(－2)2的值（ ）A ．2 B ．5 C ．－3 D ．－63.计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．24. 计算|-1|+(-2)2＝ ，32- ＝ ，2)32(- ＝ ，322-＝5. 21(1)n +-= 2(1)n -=5.下列各题中，两个式子的值相等的是（ ）A. －23与（－2）32与23 C.（－2）2与－22 D.2-2与－2-2 }6. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的矩形．如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：．11111111248163264128256+++++++= 科学记数法根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人．这个数据可以用科学记数法表示为（ ）人 人 ×104人 人据中新社北京2011年l2月8日电2011年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）A ．75.46410⨯吨B ．85.46410⨯吨C ．95.46410⨯吨D ．105.46410⨯吨明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A. 51.2510⨯B.61.2510⨯C. 71.2510⨯D. 81.2510⨯过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10％的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨．把数3120000用科学记数法表示为&Ａ．×105 Ｂ．×106 Ｃ．×105 D ．×107太阳的半径为696000千米,把这个数据用科学记数法表示为（ ）A. 696×103千米.B. ×104千米. 千米. D. ×106千米.有理数的混合运算1. 计算：（1）)5(8)9()3(-⨯--⨯-； （2）)9(45763-÷+÷-；（3）32)23(23⨯--⨯-； (4）2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211(-8)-9-1452；：（5）])3(2[31)5.01(124--⨯⨯--- （6）； ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-----2452132324（7） （8）322121(3)2()42()433-÷⨯-+-⨯-2．小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”点，他们互给对方的牌上的数字如下：①黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；②方块1，草花3，草花7和红桃12．请你帮他们凑成“24”点．—。
专题01 有理数及其运算六大题型(解析版)
专题01 有理数及其运算六大题型
相反意义的量
【变式训练】
1．（广东省云浮市罗定第一中学2022~2023学年七年级下学期期末数学试题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上20℃记作20+℃，则零下10℃可记作（ ）A ．10-℃
B ．0℃
C ．10℃
D ．20-℃
【答案】A
【分析】根据正负数表示相反意义的量进行作答即可．
【详解】解：由题意可知，零下10℃可记作10-℃，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正负数表示相反意义的量．解题的关键在于理解题意．
求一个数的相反数、绝对值【变式训练】
科学记数法
【变式训练】
有理数比较大小
【变式训练】
【变式训练】
利用数轴比较大小
A ．a b
>B ．0a c ->【变式训练】
1．（2023上·广东东莞·七年级统考期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错
①a b <；②a b >；③0
b a ->
A．2B．1
故选：A
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题
三、解答题。
有理数及其运算(复习课)-教学课件
目录Biblioteka • 有理数的概念 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的复习题与解析
01 有理数的概念
定义与性质
定义
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
性质
有理数具有封闭性、传递性和有 序性等基本性质。
有理数的分类
01
正数
大于0的有理数，包括正整数和正分数。
02
负数
小于0的有理数，包括负整数和负分数。
03
零
既不是正数也不是负数的有理数。
有理数的表示方法
01
02
03
分数表示
如$frac{a}{b}$，其中$a$ 是分子，$b$是分母，且 $b neq 0$。
小数表示
如$a.bc$，其中$a$是整 数部分，$bc$是小数部分 。
在科学中的应用
在物理学中，有理数被广泛应用 于描述速度、加速度、距离等物
理量。
在化学中，有理数可以用来表示 化学反应中的比例关系和平衡常
数。
在工程学中，有理数被广泛应用 于设计、施工和计算等方面。
05 有理数的复习题与解析
基础题
总结词
掌握有理数的基本概念 和性质
题目1
判断正误：所有的有理 数都是整数。
运算技巧
拆项法
将复杂的混合运算拆分成更简单 的部分，便于计算。
凑整法
通过调整运算顺序或添加适当的项 ，使计算结果更易于观察和计算。
逆向思维法
在解决某些复杂问题时，从结果出 发，逆向推导，简化计算过程。
04 有理数的应用
在数学中的应用
01
有理数是数学中基本的概念之一，是代数、几何等领域 的基础。
第2章 有理数及其运算 小结与复习 (课件)北师大版(2024)数学七年级上册)
例 2 把下列各数填在相应的括号内：－16，26，
－12，－0.92, 35，0，314，0.1008，－4.95.
正数集合：{ 26, 3 ,3 1 , 0.1008, 54
…}；
负数集合：{ 26, 12, 0.92, 4.95, …}；
整数集合：{ 26, 26, 12, 0,
…}；
正分数集合：{ 3 ,3 1 , 0.1008, 54
大的数，也没有最小的数；正数的绝对值是正数，正数的相反数是负
数．因此只有②④正确．
针对训练
1.判断:
①不带“－”号的数都是正数 （ ）
×
②如果a是正数，那么－a一定是负数（ ） √
③不存在既不是正数，也不是负数的数（ ）
×
④一个有理数不是正数就是负数 （ ）
×
⑤ ０℃表示没有温度
（） ×
考点二 有理数的分类
A．1.94×10A10
B．0.194×1010
C．19.4×109
D．1.94×109
解析：194亿=19 400 000 000，根据科学记数法表示数的规律，当原数大于 10时，10的幂指数n＝原数整数位数－1，则194亿＝1.94×1010.故选A.
[归纳总结]
用科学记数法表示一个大于10的数，就是把这个数表示为a×10n(其 中a是整数位数只有一位的数，n是正整数)的形式．因此，准确地理 解科学记数法的概念，紧紧抓住a，n的条件是解决此类题的关键．
（1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值
5.比较两个负数的大小 两个负数，绝对值大的反而小．
三、有理数的运算
1.有理数的加法
(1)加法法则 (2)加法的运算律 2.有理数的减法
有理数及其运算复习课件(经典)
本课件全面回顾有理数的概念、运算规律及应用。通过丰富的图表和实例， 让您轻松掌握复杂的数学概念。我们开始吧！
有理数的概念及表示方法
通过例子和图示介绍有理数的定义以及常见的表示方法，如数轴、分数等。掌握有理数的基本概念和表示形式。运算规律和性质。通过实例演示绝对值在数轴上的 作用，帮助理解和掌握绝对值的概念。
有理数的比较与大小关系
介绍有理数的大小比较方法和运算规则。通过练习问题培养对有理数大小关 系的敏感性和判断能力。
有理数的加法与减法运算规律
总结有理数加法和减法的运算规律，提供实例演示。通过具体问题，培养对 有理数运算的理解和应用能力。
有理数的乘法与除法运算规律
详细介绍有理数乘法和除法的运算规律和性质。通过解决实际问题，巩固对 有理数乘除法的掌握。
有理数的运算性质及证明
探讨有理数运算的基本性质和证明方法。通过数学推理和证明题，加深对有理数运算性质的理解和运用。
有理数的约分与通分
教授有理数的约分和通分方法，通过实例演示和练习题，提高对有理数约分 和通分技巧的掌握。
有理数的混合运算
解释有理数的加减乘除混合运算规则，通过实际问题和练习题，提升对有理数混合运算的应用能力。
《第二章有理数及其运算》归纳总结
若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
2)有理数减法法则
减去一个数， 等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
课后作业
完成练习册本课时的习题
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点.
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正.
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算.
3.有理数的运算律
1)加法交换律 a+b=b+a
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分 配 律 a(b+c)=ab+ac
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7பைடு நூலகம்有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字
有理数及其运算专题
有理数及其运算专题【知识回顾】 1、有理数的分类：按定义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩( )( )( )( )有理数( )( )( ) 按正负性分：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩( )( )( )有理数( )( )( )( )2、数轴三要素：（1）________________(2)______________(3)______________3、__________的相反数等于它本身；__________的相反数大于它本身；__________的相反数小于它本身；__________的相反数不大于它本身；__________的相反数不小于它本身.4、若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5、_________的绝对值等于它本身；__________的绝对值等于它的相反数； __________的绝对值不等于它本身；绝对值最小的数是 ；绝对值相等的两个数的关系_____________6、运算顺序：先算 ，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算7、有理数乘方：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方，用字母表示： an na a a a a 个=⨯⨯⨯⨯，其中，a 为，n 为 ，乘方的结果叫做 .乘方的符号规律：正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 .负数的偶次幂是________.8、平方数等于它本身的数________；立方等于它本身的数________；平方相等的两个数的关系___________9、有理数运算的常见简便方法（1）一般把 的数加在一起． （2）遇有分数可把 结合起来相加．（3）遇有小数应当把相加得 的小数结合起来． （4）互为 两个数加在一起．（5）在有理数乘法运算中，常把小数化成 ，带分数化成 ，以简化运算． 【大展身手】 一、填空题1.下列说法中，正确的是( )A 、整数集合中仅包括正整数和负整数B 、零是正整数C 、分数都是有理数D 、正整数都是自然数2. 下列说法正确的是（ ）A a 表示一个正数B a 表示一个负数C a 表示一个整数D a 可以表示一个负数 3 一个数的相反数是非负数，这个数是（ ）A 负数B 非负数C 正数D 非正数 4. 下列各式中，正确的是（ ）A －｜－16｜＞0 Ｂ |0.2|>|－0.2| C －47>－57 D |－6|<05、有理数22-，3)2(-，2--，)21(+-按从小到大的顺序排列是（ ）A. 3)2(-<22-<2--<)21(+- B. )21(+-<2--<22-< 3)2(-C. 2--<)21(+-<22-<3)2(- D. 22-<3)2(-<)21(+-<2--6. 若|a|+|b|=0,则a 与b 的大小关系是（ ）A a=b=0B a 与b 不相等C a,b 异号D a,b 互为相反数 7. 绝对值等于其相反数的数一定是（ ）A 负数B 正数C 负数或零D 正数或零 8 下列叙述正确的是（ ）A 若|a|=|b|,则a=bB 若|a|>|b|,则a>bC 若a<b|,则|a|<|b|D 若|a|=|b|,则a=±b 9 绝对值大于2,而小于5的所有正整数之和为（ ） A 7 B 8 C 9 D 1010. 下列说法① 如果a=－13,那么－a=13, ② 如果a=－1,那么－a=－1, ③ 如果a 是负数,那么－a 是正数, ④如果a 是负数,那么１＋a 是正数, 其中正确的是（ ） A ①③ B ①② C ②③ D ③④ 11.一个数的相反数小于它本身,这个数是（ ）A 任意有理数B 零C 负有理数D 正有理数 12 如果a 和2b 互为相反数,且b ≠0,那么a 的倒数是（ ） A －12b B 12b C －2bD 2b 13.已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 14、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简b a c b a --++的结果是（ ） A 、c B 、a C 、a c 2- D 、c b -2 二 填空题1. 如果a －3与a+1互为相反数,那么a= .2. －323的相反数是 , －(－12)的相反数是 , 是13的相反数, 是13的倒数.3. 如果|2x －4|=2,则x= ;4. 绝对值小于2.5的整数有 ,它们的积为 ;5. 12的相反数的绝对值是 ,|－12|的倒数的相反数是 , －12的绝对值的相反数是 . 6. 一个点从原点开始,先向右移动1个单位,再向左移动5个单位后到达终点,这个终点表示的数是 .a b c7. 某次数学测验共20道选择题,规则是:选对一道的5分,选错一道的－1分,不选得零分,王明同学的卷面成绩是:选对16道题,选错2道题,有2道题未做,他的得分是 . 8若a 与b 互为相反数,则代数式73a+73b －5= .9.小名在写作业时不甚将一滴钢笔水滴在数轴上,根据图中的数值,判断墨迹盖住的整数之和为10. 如图是一个正方体盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别添入适当的数,使得他们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数,则添入正方形A 、B 、C 内的三个数之积为 .(第9题图) (第10题图)11某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出后的第n 天（n 是大于2的自然数）应收租金__________元。
第二章有理数及其计算(复习)
12. 计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝____ _；
计算： 11 12 1 2000 =_________。 13.当 x=___时， x 2 3 有最___值是_____;当 x=____时， 5 x 22 有最___值是______。
14.已知点 4 和点 9 之间的距离为 5 个单位，有这样的关系 5 9 4 ，那么点 10 和点 3.2 之间的距离是
3. 绝对值不大于 3 的自然数有_____________；绝对值小于 4 的负整数有_______________； 绝对值小于 100 的所有整数的积是__________、和是__________。
4．若 x y ，则 x 与 y 的关系是__________；若，则 x2 y 2 ，则 x 与 y 的关系是__Fra bibliotek_______；
若 x2 36, 则 x=________；若 x 2 3, 则 x=________。
5．已知 m 3 ＋（n＋２）2＝０，则 nm 的值为
；
如果∣ a 4 ∣与( b 3 ) 2 互为相反数，那么 (a b)2011 的值是_________。
6. 用“小于”号比较大小： 5 , 6 , 17 ：____________________________。 6 7 21
（3）75460≈__________（保留 1 个有效数字）；（4）90990≈__________（保留 2 个有效数 字） 7、有理数运算：①减去一个数等于____________________，符号表示：__________________；
②除以一个数等于____________________，符号表示：__________________。
有理数及其运算(28题)【真题实战】-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型(全国通用)(原卷版)
专题01 有理数及其运算一、计算题1．（2020·山东滨州·中考真题）下列各式正确的是（ ）A ．55--=B ．()55--=-C ．55-=-D ．()55--=2．（2021·山东滨州·中考真题）在数轴上，点A 表示-2．若从点A 出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．43．（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A 、B 分别表示a 、b ，且0a b +=，若6AB =，则点A 表示的数为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6-4．（2021·四川凉山·中考真题）下列数轴表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2021·山东潍坊·中考真题）下列各数的相反数中，最大的是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣26．（2020·四川内江·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）A ．0B ．12020-C ．5D ．1-7．（2020·山东枣庄·中考真题）计算2136⎛⎫--- ⎪⎝⎭的结果为（ ） A ．12- B ．12 C ．56- D ．56 8．（2021·湖北宜昌·中考真题）2021-的倒数是（ ）A ．2021B ．12021C ．2021-D ．12021- 9．（2020·湖南长沙·中考真题）()3-2的值是（ ）A ．6-B ．6C ．8D ．8-10．（2021·四川内江·中考真题）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长20%以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ） A ．120.410⨯ B ．10410⨯ C ．11410⨯ D ．110.410⨯11．（2021·四川德阳·中考真题）第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．1.41178×107B ．1.41178×108C ．1.41178×109D ．1.41178×101012．（2019·四川·中考真题）用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（ ）A ．131000B ．60.13110⨯C ．51.3110⨯D ．413.110⨯二、填空题13．（2021·湖北宜昌·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km 气温的变化量为6C -︒，攀登2km 后，气温下降__________C ︒．14．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A 、B 分别表示3-、2，则点__________离原点的距离较近（填“A ”或“B ”）．15．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2；第三次从A 2点起跳，落点为0A 2的中点A 3；如此跳跃下去……最后落点为OA 2019的中点A 2020.则点A 2020表示的数为__________．16．（2021·湖北随州·()012021π+-=______．17．（2021·云南·中考真题）已知a ，b 2(2)0b -=则a b -=_______． 18．（2020·湖北荆州·中考真题）若()1012020,,32a b c π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是_______．（用<号连接）19．（2021·陕西·中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．20．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是_____年．（用天干地支纪年法表示）21．（2021·四川自贡·中考真题）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．22．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________．23．（2021·青海西宁·中考真题）解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为________．三、解答题24．（2021·广西来宾·中考真题）计算：3121(13)2⎫⎛⨯-+÷- ⎪⎝⎭．25．（2021·广西柳州·中考真题）计算：31-26．（2021·广西桂林·中考真题）计算：|﹣3|+（﹣2）2．27．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．28．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m 本甲种书和n 本乙种书，共付款Q 元．（1）用含m ，n 的代数式表示Q ；（2）若共购进4510⨯本甲种书及3310⨯本乙种书，用科学记数法表示Q 的值．。
专题01 有理数及其运算(考点串讲)七年级数学上学期期中考点(华东师大版2024)
【(3详)−解3】13（+1）−−126
+−6
+−91
3
=+01+19
2
=
9
；
(4)( − 5.3) + −2.5 + ( − 3.2) − ( + 4.8)
（2）0 + −3.71 + +1.71 − −5 = 0 + −3.71 + 1.71 + 5 = 0 + −2 + 5 = 3
（3）−3
1 3
题型剖析
【详解】（1）解： − 2 = 3 表示数轴上表示 x 的点到 2 的距离为 3， ∴ − 2 = 3 或 − 2 =− 3，解得 = 5 或−1，
− 4 = + 2 表示数轴上表示 x 的点到表示 4 和−2 的距离相等，因此到 4 和−2 距离相 等的点表示的数为4+ −2 = 1，
2
题型剖析
题型二：两点间距离
【典例 4】点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 ，则在数轴上 A、 B 两点之间的距离 = − ．所以式子 − 2 的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 2 的点之间 的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是
（4）原式=
−4 7 − −5 1 − −4 1
8
2
4
− +3 1 =− 39 + 11 + 17 − 25
8
8248
11 17 39 25 39
7
= 2 + 4 − 8 + 8 = 4 −8= 4
题型剖析
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有理数及其运算 专题复习 (三)
一、学习目标：
1、理解乘方的意义，掌握有理数的乘、除、乘方及简单的混合运算；
2、理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；
3、会用科学记数法表示较大的数．
二、知识链接
1．有理数乘法法则： 2.有理数除法法则：
3．若干个非0有理数相乘除，结果的符号由 确定.当负因数有 时，结果的符号为负；负因数有 时，结果的符号为正 4．乘方的定义：求n 个相同因数积的运算叫乘方.即...n a a a a ⨯⨯⨯⨯=
个a
5.．n
a 读作 ，其中a 叫 做 ，n 叫做 ，乘方的结果叫做 。
6.幂的符号的确定：正数的任何次幂都是 ；负数的偶次幂是 ；负数的奇次幂是
7、有理数混合运算的顺序：
先算 ，再算 ，然后算 ，有括号的 。
三、考点分析：（近三年郑州市期末试题）
2009-2010年调考分析
1、
考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：科学记数法
2
考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算
2010-2011年调考分析
1、
考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：科学记数法 2、
考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算
2011-2012年调考分析
5、
考试题型：选择题，分值：三分，考试知识：倒数的概念 6、
考试题型：解答题，分值：六分，考试知识：有理数混合运算
四、典型例题
1.1 有理数乘、除法
1. 12()2
⨯-的结果是（ ）A ．－4 B ．－1 C ．14- D ．3
2
2.计算：（1）)83()5.2()54
1(6.1-⨯-⨯-⨯ （2）)12()2
1
6141(-⨯-+ （3）57)7(23⨯-÷- （4）3)2
1()74()75()4(--÷-⨯-
3. 若a < c < 0 < b ，则abc 与0的大小关系是（ ）． A ．abc < 0 B ．abc = 0 C ．abc > 0 D ．无法确定
4. 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( )
A ．a + b ＞0
B ．a - b ＜o
C ．a b ＞0 D.
a
b
＜0 1.2 有理数的乘方
1.(-1)2 011
的相反数是( ) A ．1 B ．-1 C ．2 011 D ．-2 011 2. 计算(－3)3＋52－(－2)2的值（ ）A ．2 B ．5 C ．－3 D ．－6
3.计算(-1)2+(-1)3
＝( )A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2
4. 计算|-1|+(-2)2
＝ ，3
2- ＝ ，2
)3
2(- ＝ ，322-＝
5. 21
(1)
n +-= 2(1)n -=
5.下列各题中，两个式子的值相等的是（ ）
A. －23与（－2）3
B.32与23
C.（－2）2与－22
D.2
-2
与－2
-2
6. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2
的长方形，接着把面积为
12的长方形等分成两个面积为1
4
的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为1
8
的矩形．如此进行下去，
试利用图形揭示的规律计算：．
11111111248163264128256
+++++++= 1.3 科学记数法
根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人．这个数
据可以用科学记数法表示为（ ） A .4.456×107人 B .4.456×106人 C .4456×104人 D .4.456×103
人
据中新社北京2011年l2月8日电2011年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A ．75.46410⨯吨
B ．85.46410⨯吨
C ．95.46410⨯吨
D ．105.46410⨯吨 明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ） A. 5
1.2510⨯ B.6
1.2510⨯ C. 7
1.2510⨯ D. 8
1.2510⨯
过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10％的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨．把数3120000用科学记数法表示为 Ａ．3.12×105 Ｂ．3.12×106 Ｃ．31.2×105 D ．0.312×107 太阳的半径为696000千米,把这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 696×103千米.
B. 69.6×104千米.
C.6.96×105千米.
D. 6.96×106千米. 1.4 有理数的混合运算
1. 计算：（1）)5(8)9()3(-⨯--⨯-； （2）)9(45763-÷+÷-；
（3）3
2
)23(23⨯--⨯-； (4）2
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1211(-8)-9-1452；
（5）])3(2[31)5.01(124
--⨯⨯--- （6）； ()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-----2452132324
（7） （8）322121(3)2()42()433
-÷⨯-+-⨯-
2．小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”点，他们互给对方的牌上的数字如下：①黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；②方块1，草花3，草花7和红桃12．请你帮他们凑成“24”点．。