运筹学之运输问题
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运筹学之运输问题
主讲人：罗九晖
§3.1 运输问题的基本概念
◆运输问题是研究物资调配的学问，这是物流管理
的核心问题之一。尤其是企业到达一定规模之后， 拥有了在广大空间上资源配置的自由度，可以通 过优化多个供方与多个需方之间的匹配关系，使 整体的物流效率最高。
◆一般的运输问题是解决如何将某种物品从若干产 地（供应地）调运到多个销地（目的地），在每个 产地的供应量、每个销地的需求量和各地之间的运 输单价均已知的前提下，如何在满足需求条件下确 定一个运送货物的最佳路径（总的运输成本最小）。
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
此问题的另外的解如下：
• • • • • • •
起 至 销点 发点 1 2 ---------------1 2300 0 2 400 100 3 0 200 此运输问题的成本或收益为:
3 4 5 ------------0 1700 0 1000 0 0 0 0 300 9220
答：从山西供2300t 到一区，1700t到三 区；从河北供500t 到一区，1000t到二 区即可满足需求， 又使总运费最小， 为9220元。
1 ’区 1.65 1.60 0 300
2区 1.70 1.65 M 1000
3区 1.75 百度文库.70 M 1700
3 ’区 1.75 1.70 0 300
产量 4000 1500 500
1区分为两个部分，一部分为 2区必须满 3区供应量不少 必须满足需求量的区域，在这 足供应量 于1700 个区域里运费取为很大的M， （1）增加虚设的产地或销地； 这说明没有煤从虚设产地运往 （2）根据题目条件正确填写运 1区。而另一部分的运费则可 输费用表。 以取为0.
运输问题的数学模型
解题思路：①明确此问题属于供销平衡问题；
②确定决策变量，写出满足产地产量的约束条件；
③写出满足销地销量的约束条件； ④写出使运输费用最小的目标函数 ⑤利用计算机求解。
解： 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列 运输量表： 销地 B1 B2 B3 产量 产地 A1 x11 x12 x13 200 A2 x21 x22 x23 300 150 150 200 销量
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
有条件的产销不平衡的运输问题
某研究院有三个区。每年分别需要用煤3000t、 1000t、2000t，由河北临城、山西盂县两处煤矿 供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500t、 4000t，运价如下表。由于需求大于供给，经研究 提出，1区供应量可减少0—300t，2区必须满足需 求量，3区供应量不少于1700t，试求总费用为最 低的调运方案。
山西盂县 河北临城 需要量 1区 1.65 1.60 3000 2区 1.70 1.65 1000 3区 1.75 1.70 2000 产量 4000 1500
需求大于供给， 可增加虚设的 供产地
有条件的产销不平衡的运输问题
1区 山西盂县 1.65 河北临城 1.60 假想生产点 M 需要量 2700
§3.4产销不平衡的运输问题
产销不平衡问题的处理方式：
产销不平衡问题向产销平衡的问题转化
具体措施：
增加虚设的产地和产量或者增加虚设的销地和销 量
经济意义：
虚设的产地（或销地）可以将这些产地的“产品” 运往各销地（或各地的产品运往这些销地）。令这 些产地或销地运输路线上的运价为0。因此，虚设的 销地相当于在产地设了一个库房，虚设的产地相当 于在销地给了一个空头的承诺，而实际上都不安排 实质性的运输方案，再用产销平衡的模型进行求解
运输问题的模型求解
• • 最优解如下 ********************************************
• • • • • • •
•
起 至 销点 发点 1 2 3 4 5 ---------------------------1 2200 100 0 1700 0 2 500 0 1000 0 0 3 0 200 0 0 300 此运输问题的成本或收益为: 9220
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
主讲人：罗九晖
§3.1 运输问题的基本概念
◆运输问题是研究物资调配的学问，这是物流管理
的核心问题之一。尤其是企业到达一定规模之后， 拥有了在广大空间上资源配置的自由度，可以通 过优化多个供方与多个需方之间的匹配关系，使 整体的物流效率最高。
◆一般的运输问题是解决如何将某种物品从若干产 地（供应地）调运到多个销地（目的地），在每个 产地的供应量、每个销地的需求量和各地之间的运 输单价均已知的前提下，如何在满足需求条件下确 定一个运送货物的最佳路径（总的运输成本最小）。
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
此问题的另外的解如下：
• • • • • • •
起 至 销点 发点 1 2 ---------------1 2300 0 2 400 100 3 0 200 此运输问题的成本或收益为:
3 4 5 ------------0 1700 0 1000 0 0 0 0 300 9220
答：从山西供2300t 到一区，1700t到三 区；从河北供500t 到一区，1000t到二 区即可满足需求， 又使总运费最小， 为9220元。
1 ’区 1.65 1.60 0 300
2区 1.70 1.65 M 1000
3区 1.75 百度文库.70 M 1700
3 ’区 1.75 1.70 0 300
产量 4000 1500 500
1区分为两个部分，一部分为 2区必须满 3区供应量不少 必须满足需求量的区域，在这 足供应量 于1700 个区域里运费取为很大的M， （1）增加虚设的产地或销地； 这说明没有煤从虚设产地运往 （2）根据题目条件正确填写运 1区。而另一部分的运费则可 输费用表。 以取为0.
运输问题的数学模型
解题思路：①明确此问题属于供销平衡问题；
②确定决策变量，写出满足产地产量的约束条件；
③写出满足销地销量的约束条件； ④写出使运输费用最小的目标函数 ⑤利用计算机求解。
解： 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列 运输量表： 销地 B1 B2 B3 产量 产地 A1 x11 x12 x13 200 A2 x21 x22 x23 300 150 150 200 销量
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
有条件的产销不平衡的运输问题
某研究院有三个区。每年分别需要用煤3000t、 1000t、2000t，由河北临城、山西盂县两处煤矿 供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500t、 4000t，运价如下表。由于需求大于供给，经研究 提出，1区供应量可减少0—300t，2区必须满足需 求量，3区供应量不少于1700t，试求总费用为最 低的调运方案。
山西盂县 河北临城 需要量 1区 1.65 1.60 3000 2区 1.70 1.65 1000 3区 1.75 1.70 2000 产量 4000 1500
需求大于供给， 可增加虚设的 供产地
有条件的产销不平衡的运输问题
1区 山西盂县 1.65 河北临城 1.60 假想生产点 M 需要量 2700
§3.4产销不平衡的运输问题
产销不平衡问题的处理方式：
产销不平衡问题向产销平衡的问题转化
具体措施：
增加虚设的产地和产量或者增加虚设的销地和销 量
经济意义：
虚设的产地（或销地）可以将这些产地的“产品” 运往各销地（或各地的产品运往这些销地）。令这 些产地或销地运输路线上的运价为0。因此，虚设的 销地相当于在产地设了一个库房，虚设的产地相当 于在销地给了一个空头的承诺，而实际上都不安排 实质性的运输方案，再用产销平衡的模型进行求解
运输问题的模型求解
• • 最优解如下 ********************************************
• • • • • • •
•
起 至 销点 发点 1 2 3 4 5 ---------------------------1 2200 100 0 1700 0 2 500 0 1000 0 0 3 0 200 0 0 300 此运输问题的成本或收益为: 9220
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）