届上海市长宁区高三二模数学卷(含答案)

长宁区2016学年第二学期高三年级质量调研测试

数学试题

2017.04.05

（满分150分，答题时间120分钟）

考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．答题纸共2页．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1A x x x =

>-∈R ，，集合{}2B x x x =<∈R ，，则A B =I

______．

2．已知复数z 满足(23i)32i z -=+（i 为虚数单位），则._________||=z

3．函数

sin 2cos ()2cos sin x x f x x

x

=

的最小正周期是___________．

4．已知双曲线22

22

1(0)(3)x y a a a -

=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a =________． 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为_______

3cm （结果精确

到3

0.1cm ）．

6．已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪

+≤⎨⎪+≥⎩

，则2z x y =+的最大值是_________．

7．直线1

2x t y t =-⎧⎨

=-⎩

（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是_______．

8．已知函数220,()log 01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩，，

的反函数是1

()f x -，则11()=2f -________.

9．设多项式2

3*1(1)

(1)(1)(0n

x x x x x n ++++++++≠∈N )L ，的展开式中x 项的

B 1

D

A 1

C 1

D 1

A P C

第15题图

系数为n T ，则2

lim

n

n T n →∞=_________.

10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和

p ，

每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则

p =________.

11．已知函数

()f x x x a =-，若对任意[]12,3x ∈，[]22,3x ∈，12x x ≠，恒有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为___________． 12．对于给定的实数0k >，函数x

k

x f =

)(的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是_________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设a b ∈R ，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ）．

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分又不必要条件

14．如图，P 为正方体1111D C B A ABCD -中1AC 与1BD 的交点，则ΔPAC 在该正方体各

个面上的射影可能是（ ）．

①

②

③ ④ （A ）①②③④

（B ）①③

（C ）①④

（D ）②④

15．如图，AB 为圆O 的直径且4AB =，C 为圆上不同于A 、B

的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的

最小值是（ ）． （A ）4-

（B ）3-

（C ）2-

（D ）1-

16．设1210x x x L ，，，为1210L ，，，的一个排列，则满足对任意

正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的 不同排列的个数为（ ）．

（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64

θ A

B

C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点． （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为

π3

（即π

3ACB ∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可

利用长度足够大），记θ=∠ABC ．

（1）若π

4

θ=

，求ΔABC 的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大．问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．

A

B

C

D

1A

1B

F

E

1D

1C