数学建模第七章

第七章生态学模型

§7.1 微分方程稳定性理论简介

一．基本概念

考虑维空间中的向量值函数，当、时我们可以将之想象为平面或空间中一质点的运动曲线，它描述质点在时刻的位置。

许多物理或社会系统均可以被一组形如的微分

方程描述，简记为，其中，通常称之为自治的动力系统。

称点为动力系统的一个平衡点，若

。这时为动力系统的一个奇解。

平衡点在对一个动力系统的定性分析中具有特殊的意义，称动力系统的平衡点是（渐近）稳定的，若对该动力系统的任一解，均有。

例：求解微分方程组的平衡点，并讨论其稳定性。

解：很容易该微分方程组的唯一平衡点；

由已知微分方程组可以得到，进而

，对该微分方程组的任一解，

，因此，因此平衡点是稳定的。

读者可以自己验证是微分方程组的唯一平衡点，但不是稳定的。

对于一个齐次的线性微分方程组（为一阶实方阵），有如下结果：

定理：若非退化，则是线性动力系统

唯一平衡点，且平衡点是稳定的充分必要条件为的所有特征值的实部均小于0。

二．二阶方程平衡点的拓扑分类与判别

对于二维平面中（二阶方程）的情形，根据平衡点的局部拓扑性状分为结点、焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、中心这两类型的平衡点是不稳定的，而结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定与不稳定的情形，可参照示意图。

就二阶齐次线性微分方程组（），下表给出其平衡点的类型和稳定性：

二特征值，

，

，

稳定退化结点

，

不稳定退化结

，

，

，

，

（其中、分别表示复数的实部、虚部）

对于一般的非线性微分方程组的讨论，由于其平衡点不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部稳定的概念：称动力系统的平衡点是局部（渐近）稳定的，若存在，对该动力系统的任一解，只要存在某满足，均有。而对平衡点局部（渐近）稳定性的判别，只须对原微分方程的右端项取一阶Taylor展式，构造线性动力

系统进行讨论，这里。

§7.2 种群竞争

问题：在自然环境中，生物种群丰富多彩，它们之间通常存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食等这样的三种基本关系。在本章，我们将从稳定状态的角度，对具有如上提及的某种关系的两个种群的人口发展进行讨论。

设想有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力若的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展；还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？

这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。

一．模型假设

以、表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻的数量，

1．资源有限，设为，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；

2．种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；

3．各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，分别表示甲、乙二种群对对方以占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。比方，若时，表示在甲种群看来，乙种群是“奢侈的”，它可以在乙种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若时，说明甲

种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于甲种群，乙种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，反映了甲、乙二种群适应能力，越小、越大，则甲种群的相对适应能力越强；

4．分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

二．模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

经化简，得：

三．模型求解

令，可得该模型的四个平衡点：

、、、。

先讨论平衡点的稳定性，为此，将微分方程

的右端项以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统，

此时系数矩阵，其二特征值

（，，），故是不稳定性的（结点）；

就平衡点，将微分方程

的右端项以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统

，此时系数矩阵，其二特征值，当且仅当，平衡点是（局部）稳定的；

类似可以得平衡点是（局部）稳定的充要条件为；

平衡点只有在第一象限内方有实际意义，为此应有同时大于“1”或同时小于“1”，采用类似的分析，可以得到当同时大于“1”时，平衡点为一鞍点，是不稳定的；当

同时小于“1”时，平衡点为一稳定的结点。

§7.3 种群相互依存

问题：自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。

我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着一些什么样的定性性质呢？

一．模型假设

以、表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻的数量，1．种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；

2．两个种群均可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，均设为“”，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大

种群数量；此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源，为二折算因子，表示一个单位数量的乙可以充当种群甲的生存资源的量，表示一个单位数量的甲可以充当种群乙的生存资源的量；

3．分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

二．模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

经化简，得：

三．模型求解

令，可得该模型的四个平衡点：

、、、。

类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点均不稳定，

而只有当时，平衡点为第一象限内的点，可以论证它是稳定的。

§7.4 弱肉强食模型

问题：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在。两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？

一．模型假设

以、表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻的数量，

1、甲种群只以乙种群为食物资源，为两个折算因子，分别表示一个单位数

量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种