求解平行线三招[下学期]--北师大版-
求平行线三招
已知： 如图4， 例 3 已知 ： 如图 ， ∠ 1+∠2=180° ， ∠ ° E G 求证： 求证：∠3=∠4 ∠
分析： 分析：∠1、∠2和∠3、 、 和 、 在位置上没有直接联系， ∠4在位置上没有直接联系， 在位置上没有直接联系 更无数量关系。 更无数量关系。∠1、∠2互 、 互 补有何用？ 补有何用？ 可以推出两线平行吗？ 可以推出两线平行吗？
A
1 5 3
B D H
C
6 2
4
F 图3
不是同旁内角， 但∠1、∠2不是同旁内角，是否可以转换？ 、 不是同旁内角 是否可以转换？ 从图形中不难发现： 从图形中不难发现：∠1=∠5，∠2=∠6。 ∠ ， ∠ 。 故∠5+∠6=∠180°。 ∠ ∠ ° 由此可得AB∥ 。 由此可得 ∥CD。 所以∠ ∠ 立即可得 立即可得。 所以∠3=∠4立即可得。
已知：如图1， ∥ 例1 已知：如图 ，AB∥CD, BC∥DE ∥ 求证： 求证：∠B+∠D=180° ∠ ° 分析： 分析：由AB∥CD可知 ∥ 可知 内错角∠B=∠C， 内错角∠ ∠ ， 类似地， 类似地，从BC∥AD可得 ∥ 可得 ∠C+∠D=180°， ∠ ° 故∠B+∠D=180°。 ∠ °
E
故∠BCD=∠1+∠2=∠B+∠D。 BCD=∠1+∠2=∠B+∠D。
由结论分析。 分析二 由结论分析。 本 题 求 证 结 论 是 BCD=∠C+∠D， ∠BCD=∠C+∠D， 从其结构看很象“ 从其结构看很象 “ 三 D 角形的一个外角等于不 相邻的两个内角之和” 相邻的两个内角之和”，
B C
求解平行线问题的三招
在学习平行线这节内容时常常会出现这 样的情况， 样的情况，有的同学一方面对平行线的性 判定定理背得头头是道， 质、判定定理背得头头是道，另一方面题 目到手却又毫无头绪，不知如何下手。 目到手却又毫无头绪，不知如何下手。究 其原因， 其原因，主要是对平行线问题的解题策略 领会不够，分析问题思路不畅所至。 领会不够，分析问题思路不畅所至。下面 向同学们推荐求解平行线问题的三个妙 招．
平行线的判定++平行线的性质++知识考点梳理(课件)2024-2025学年北师大版数学八年级上册
∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
又 ∵AD∥BC，
∴EF∥AD（平行于同一条直线的两条直线平行）；
7.4 平行线的性质
重
难
题
型
突
破
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（2）由（1）知∠FCB=38°，又 CE 平分∠FCB，
∴∠BCE=
∠FCB=19°（角平分线的定义）.
在同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线
如图，∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c
平行
其他
方法
如 图 ，∵a ∥b，a ∥c，
平行于同一条直线的
两条直线平行
∴b∥c
7.3 平行线的判定
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归纳总结
考
点
要判断两条直线是否平行，首先要观察图形中与要判断
清
单 的两条直线有关的同位角、内错角、同旁内角的关系，这是
7.3 平行线的判定
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［解析］汽车行驶的方向不变，则汽车拐弯前与拐弯后
重
难
题 的行驶路线互相平行，如图所示.先右转后左转的两个角是
型 同位角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项 D 正确
突
破 ．
［答案］ D
7.3 平行线的判定
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变式衍生 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平
重
难
∵∠1=60°（已知），∠ABC=∠1（对顶角相等），
∴∠ABC=60°（等量代换）.
∵∠2=120°（已知），
∴∠ABC+∠2=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵∠2+∠BCD=180°（平角的定义），
北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总
北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总1. 什么是平行线平行线指在同一平面上两条不相交且方向相同的直线。
平行线在数学、物理学、几何学等领域都有广泛的应用，是基础中的基础。
2. 如何判断两条直线是否平行有多种方法可以判断两条直线是否平行，以下为其中两种:•角度判定法：若两条直线的夹角为90度，则两条直线平行。
反之，若夹角不为90度，则两条直线不平行。
•转换法：两直线在同一平面上，若它们的任意一点所形成的角的大小相等，则这两条直线是平行线。
3. 相交线的性质相交线指在同一平面内相交的两条直线。
以下为相交线的性质：•两个非垂直的交叉线形成的夹角相等。
这一性质通常被用于计算角度。
•在两个相交的直线中，如果一个角是内角并且位于两条直线的异侧，那么它所对的相邻角也是内角，位于同一侧。
4. 平行线的性质平行线也具有很多重要的性质，包括：•平行线的夹角相等；•平行线切割同一交线时，交线上的对应角相等；•平行线切割同一交线时，与交线同侧内角互补，与交线异侧内角相等。
5. 平行线的应用平行线的应用非常广泛，以下为其中的几个例子：•平行线在建筑设计和绘图中起着重要的作用，如钢结构建筑的构造和设计建筑图。
•在物理学中，平行线的概念可以用于描述电场线，在流体力学中可以用于描述流线。
•在地理学中，平行线可以用于表示longitude(经度)和latitude(纬度)等概念。
6.本文介绍了什么是平行线、如何判断两条直线是否平行、相交线的性质和平行线的性质和应用。
希望能够对读者了解平行线和相交其他的相关概念有所帮助。
北师大七年级数学下册 第二章 应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧
阶段技巧专训 6．如图，直线 AB，CD 被 EF 所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN
＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
阶段技巧专训
解：由对顶角相等，得∠CNF＝∠END. 因为∠CNF＋∠BMN＝180°， 所以∠END＋∠BMN＝180°.所以 AB∥CD. 所以∠EMB＝∠END. 又因为∠1＝∠2，所以∠END＋∠2＝∠EMB＋∠1， 即∠ENQ＝∠EMP.所以 MP∥NQ.
阶段技巧专训
当点 P 与点 D 重合时，∠3＝0°，如图③所示． 因为 l1∥l2，所以∠2＝∠1. 因为∠3＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3. 综上所述，当点 P 在线段 CD 上运动时， ∠1，∠2，∠3 之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.
阶段技巧专训
因为∠EOF＝x＋∠COF＋∠EOD＝170°， 所以∠COF＋∠EOD＝170°－x. 又因为∠COD＋2∠COF＋2∠EOD＋∠AOB＝360°， 则 x＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°， 所以 x＋2(170°－x)＋90°＝360°. 所以 x＝70°，即∠COD＝70°.
阶段技巧专训 4．如图，由点 O 引出六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，
且 AO⊥OB，OF 平分∠BOC，OE 平分∠AOD.若∠EOF＝ 170°，求∠COD 的度数． 解：设∠COD＝x. 因为 AO⊥OB，所以∠AOB＝90°. 因为 OF 平分∠BOC，OE 平分∠AOD， 所以∠COF＝12∠BOC，∠EOD＝12∠AOD.
阶段技巧专训 7．为了实地测量某塔外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小，张扬
同学设计了两种测量方案． 方案一：作 AB 的延长线，量出∠CBD 的度数，便知∠ABC 的度数； 方案二：作 AB，CB 的延长线，量出∠DBE 的度数，便知∠ ABC 的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？
求解平行线三招[下学期]--北师大版-(201911整理)
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例4 如图，已知AB∥DE。 B
A
求证：∠BCD=∠B+∠D。
C
分析一 从条件联想
联想（1） 条件AB∥DE有 D 何用？
1
FE
按平行线的性质，可得到相等的同位角、内错角及 同旁同角。 为此，延长BC交DE与F，
则 ∠ B=∠1 。 又 ∠ BCD=∠D+∠1 （ 一 外 角 等 于 不 相邻的两内角之和），从而∠BCD=∠B+∠D。
1
F
E
角形的一个外角等于不
相邻的两个内角之和”，
但 图 中 没 有 三 角 形 。 故 延 长 BC 交 DE 于 F （或延长DC交AB），
此时∠BCD=∠1+∠D=∠B+∠D。
注：分析二和分析一（1）中所添辅助 线完全一样，但其思维过程却不尽相同。 分析一（1）是从找一条完整的截线为 出发点延长BC，分析二却是从构造三角 形使∠BCD为一外角作为出发点而延长 BC。
角 。 本 题 中 ， 选 用 ∠ 1=∠2 ， ∠ 3+∠2+∠B=180°
这 两 个 关 系 较 好 。 由 CD 平 分 ∠ ACB 知
∠ 1=∠ACB=×50°=25° ， 由 ∠ B=70° 知
∠ 3+∠2=180° － 70°=110° ， 故
∠BDC=∠3=110°－∠2=85°。
二、角 的 等 补 推 平 行
类似地，延长DC交AB也可证得此题。
联想（2）
B
A
BC 、 CD 作 为 AB 、 DE 的 截 线 是 短 了 些 ，
F
1C
2
为此过C作CF∥AB， D
E
由AB∥DE知CF∥DE，
北师大版初一数学下册平行线的性质与判定中常用辅助线的作法
平行线的性质和判定中常用辅助线的作法
【教学目标】1.利用平行公理及推论、平行线的性质和判定进行逻辑推理；
2.会做恰当的辅助线进行角的转化，归纳理解两种基本图
形特征及解题方法。
【教学重点】运用平行线进行推理。
【教学难点】如何添加辅助线的问题与熟练推理。
【教学过程】
一、课前任务
1.观看微课视频，完成课前自测题.
2.课前自测题
（1）如图，已知∠1=∠2=∠3=∠4，则图形中平行的是（ ）
A．AB∥CD∥EF
B．CD∥EF
C．AB∥EF
D．AB∥CD∥EF且BC∥DE
（2）(2015.河南）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，
∠3=125°，则∠4的度数为（）
间的关系吗？请说明理由.
例4.如图，AB∥DE，则∠BCD、∠B、∠D有何关系？请说明理由.
三、课堂总结
我认识了：
解决此类问题常用辅助线的作法是:
主要应用的知识有:
拓展1.如图，AB∥DE，则∠BCD、∠B、∠D有何关系？请说明理由.
（四）课后反思
度数.
(1)解：过点C作CF∥AB，
则∠B+∠BCF=180°（)，
∵∠B=135°（），
∴∠BCF=180°-=180°-=，
又∵AB∥ED(已知)，
∴CF∥ED（），∴Leabharlann ），又∵∠D=145°（），
∴∠DCF=180°-=，
∴∠BCD=+=+=.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之
∴∠BEC=∠1+∠2（等量代换）
北师大版数学七年级下册章2.2.1用“同位角、第三直线”判定平行线课件
D．EF∥BC 如图，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它
即点M，P，N在同一条直线上．所以∠MPN＝180°. (1)找出这对同位角是哪两条直线被第三条直线所截
解本：题A运B用∥导转CD化，引思E想F∥：，G把H要说. 明判∠MP定N＝哪180°两转化条直线平行，就是要确定∠1，∠2是哪
合作探究
知识点 3 平行线的确定性
(1) 经过点C可以画几条直 a
线与直线AB平行？ A
(2) 过点D画一条直线与
AB平行.
b
C
B D
(3) 通过画图，你发
经过直线外一点，有且只
现了什么？
有一条直线与这条直线平行；
例4 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已 知直线平行；②一条直线的平行线只有一条； ③过直线外一点，有且只有一条直线与这条 直线平行．其中正确的有( C ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
向 右画射线PN∥BC交AC于点N； (2)在(1)中画出的图形中，∠MPN的度数一定等于 180°，你能说明其中的道理吗？
导引：在(1)中，按照过直线外一点画已知直线的平行线的方 法画图即可．在(2)中，要说明∠MPN＝180°，可转 化为说明点M，P，N在同一条直线上．
解： (1)画出的射线PM，PN，如图. (2)因为射线PM∥BC，射线 PN∥BC，所以直线PM∥BC， 直线PN∥BC. 根据平行线的基本性质1，可知直线PM与直线PN是 同一条直线， 即点M，P，N在同一条直线上．所以∠MPN＝180°.
【答案】C
4．如图，若∠1＝_∠_2__，则 a∥b(同位角相等，两直线平行)．
求解平行线三招[下学期]--北师大版-
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例3 已知：如图4，∠1+∠2=180°，
求证：∠3=∠4
EG
分析：∠1、∠2和∠3、
A
1
B
5
3
∠4在位置上没有直接联系，
更无数量关系。∠1、∠2互
C6
2
4
D
补有何用？
可以推出两线平行吗？
F
H
图3
但∠1、∠2不是同旁内角，是否可以转换？
从图形中不难发现：∠1=∠5，∠2=∠6。 故∠5+∠6=∠180°。 由此可得AB∥CD。
求解平行线问题的三招
在学习平行线这节内容时常常会出现这 样的情况，有的同学一方面对平行线的性 质、判定定理背得头头是道，另一方面题 目到手却又毫无头绪，不知如何下手。究 其原因，主要是对平行线问题的解题策略 领会不够，分析问题思路不畅所至。下面 向同学们推荐求解平行线问题的三个妙 招．
一、平 行 找 角 等 或 补
图1
∠C+∠D=180°，
故∠B+∠D=180°。
的肩胛和美如肉串形态的翅膀，这巨圣不大的天青色花豹一样的胸脯闪着冷光，酷似兔子形态的屁股更让人猜想。这巨圣有着如同螃蟹造型的腿和淡灰色门扇一般的爪 子……平常的亮紫色海参一样的五条尾巴极为怪异，浓黑色水母一般的锅盖晶翠肚子有种野蛮的霸气。天青色粉条形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种浅灰色 金钵一样的气味，乱叫时会发出暗白色黄豆模样的声音。这个巨圣头上橙白色蜜桃形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似钉子形态的铃铛似乎有点琢磨不透又神奇。这 时那伙校霸组成的巨大轮胎号耳怪忽然怪吼一声！只见轮胎号耳怪摇动有朵红缨的淡青色的细小兔子造型的羽毛，一哼，一道雪白色的幽光威猛地从灰蓝色腰鼓样的气 味里面飞出！瞬间在巨轮胎号耳怪周身形成一片淡灰色的光盾！紧接着巨大的轮胎号耳怪最后轮胎号耳怪抖动老态的犄角一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的税 收恶浪……只见一望无际的税收轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的陛下在一个个小轮胎号耳怪的指挥下，从轰鸣翻滚的税收中冒了出来！“这个玩法不错？ ！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大轨道明魂圣 也怪吼一声！只见轨道明魂圣扭动浓黑色水母一般的锅盖晶翠肚子，转，一道鹅黄色的粼光狂傲地从动听的暗白色黄豆模样的声音里面滚出！瞬间在巨轨道明魂圣周身 形成一片纯灰色的光幕！紧接着巨大的轨道明魂圣像深蓝色的三喉戈壁鸟一样怒咒了一声，突然搞了个倒地抽动的特技神功，身上瞬间生出了八只活像灯笼般的钢灰色 脚趾……最后轨道明魂圣转动肥胖的淡灰色门扇一般的爪子一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的寒潮巨浪……只见一望无际的戈壁轰鸣翻滚着快速来到近前，突 然间飘飘洒洒的菜农在一个个小轨道明魂圣的指挥下，从轰鸣翻滚的戈壁中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着税收和寒潮的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体 和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭， 垂死挣扎的轮胎号耳怪如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由女无赖契温娆嘉妖女和 另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的榛子凶肾怪！这个巨大的榛子凶肾怪，身长二百多米，体重七十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分梦幻的凶肾！这巨怪 有着淡黑色
北师大版七年级下册平行线的性质及尺规作图讲义-精选文档
平行线的性质及尺规作图教 学 目 的:1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念.3．了解尺规作图的基本知识及步骤；4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.【考点梳理】知识点1：平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.知识点2：两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离．知识点3：尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题讲解】考点1：平行线的性质1．如图所示，如果AB ∥DF ，DE ∥BC ，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．解：∵ DE ∥BC ，∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB (已知)，∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴ ∠3＝115°(等量代换)．举一反三：【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .【答案】48°，132°，48°【变式】(山东威海)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是()．A．40°B．60°C．70°D．80°【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是()A．75°B．65°C．55°D．50°【答案】B 考点2：两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则() ．A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B考点3：尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．考点4：平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行【随堂练习巩固】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是()．A．①B．②和③C．④D．①和④【答案】A；2．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于()．A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C；3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()．【答案】Ｂ；４．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是()．A．70°B．80°C．100°D．110°【答案】Ｂ；５．(南通)如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为()．A．60°B．70°C．80°D．120°【答案】Ｂ；６．(山东德州)如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于()．A．55°B．30°C．65°D．70°【答案】C；二、填空题7．如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是________的长，BC、AD间的距离是________的长．【答案】线段CE，线段AC；8. 画线段AB，延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=•AC，则线段CD＝______AB．【】6；9. (浙江湖州)如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．【答案】60；10．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝_______．【答案】180°11．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．【答案】90°；12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．【答案】15°；三.解答题13．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)．∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)．∴∠MNH＝12∠MNC，∠NMG＝12∠BMN(角平分线定义)．∴∠MNH＝∠NMG，∴NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．9.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．【答案】95°；10.（四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3＝．【答案】60°；11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．【答案】20°；12.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是_．【答案】内错角相等，两直线平行；13.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：①∠A＝∠EDF；②∠1＋∠2＝180°；③∠A＋∠B＋∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号) 【答案】①②③④；。
专题12 平行线的证明压轴题的三种考法(解析版)(北师大版)
专题12平行线的证明压轴题的三种考法类型一、三角形折叠问题(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC '∠=︒，则C ∠＝，可以发现ADC ∠的数量关系是；(2)如图2，当点C 落在ABC 内部时，且42BEC '∠=︒，20ADC '∠=︒，求C ∠的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC 外部时，若设BEC '∠的度数为x ，ADC '∠的度数为y ，请求出C ∠与x ，y 之间的数量关系．【答案】(1)29︒，互余(2)31︒(3)11C x y ∠=-∵,BEC x ADC y ∠∠=''=，∴180,1180CEC x ∠∠∠=︒-=︒+'由折叠得：11190CDE C DE ∠∠∠+'===︒(1)如图1，点P 与点E 重合时，用含α的式子表示DEF ∠；(2)当点P 与点E 不重合时，①如图2，若22.5,AP α=︒平分,BAE PD ∠交AB 于点G ，猜想,,AC AF DG∠，∵AE平分BAC∠=∠，∴FAE CAE∥，∵EF CA∴AEF CAE ∠=∠，∴22.5FAE CAE AEF a ∠=∠=∠==︒，∵AH AF =，HAE FAE =∠∠，AE AE =，∴()SAS AEH AEF ≌，∴22.5AEH AEF ∠=∠=︒，∴22.522.545AHC EAH AEH ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵90C ∠=︒，∴HCE 为等腰直角三角形，∴CE CH =，根据折叠可知，CAP DAP ∠=∠，ADG ACE ∠=∠，AD AC =，∵AP 平分BAE ∠，∴BAP PAE ∠=∠，∴DAP BAP CAP EAP ∠-∠=∠-∠，即DAG CAE ∠=∠，∴ADG ACE ≌，∴CE DG =，∴DG CH =，∴AC AH CH AF DG =+=+；②当点P 在点E 的左侧时，如图所示：∵AE 平分BAC ∠，∴FAE CAE ∠=∠，∵EF CA ∥，∴AEF CAE ∠=∠，∴FAE CAE AEF a ∠=∠=∠=，即2BAC α∠=，∵BAD β∠=，∴2DAC BAC BAD a b ∠=∠+∠=+，∵2BAC α∠=，BAD ∠∴DAC BAC BAD ∠=∠-∠根据折叠可知，CAP ∠∴90APD DAP ∠=︒-∠【答案】（1）122A ∠=∠+∠（2）15︒（3）1124360BAC +=-︒∠∠∠，证明见解析【分析】（1）由折叠的性质可知1AED A ED ∠=∠，1ADE A DE ∠=∠，再根据平角的定义得到11801190122ADE A DE ︒-===︒-∠∠∠∠，12902AED ∠=∠+︒，根据三角形外角的性质可得11290190122A ++︒=+︒-∠∠∠∠，即可得出结论；（2）根据（1）的结论求出30A ∠=︒，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出1152N A ︒∠=∠=即可；（3）先推出11801190122ADE A DE ︒-===︒-∠∠∠∠，118029022AED A ED ︒-===︒-∠∠∠∠，再由三角形外角的性质推出111222A =+∠∠∠，190BAC A =︒+∠∠，即可得到结论．(1)如图1，当点B 落在直线A ′E 上时，猜想两折痕的夹角∠(2)当∠A ′EB ′=13∠B ′EB 时，设∠A ′EB ′=x ．①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数．②探究EB ′是否可能平分∠FEG ，若可能，求出此时∠由．【答案】(1)90FEG ∠=︒，理由见解析x∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B∴∠B′EB=3x，∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∴∠BEG=12∠BEB′=32x，∠∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF（3）解：设EAD CAD ∠=∠=∵AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE EAD ∠=∠=+∠∠∴6BAD α∠=，∵AD BC⊥∴90ADE ∠=︒，∴90906B BAD α∠=︒-∠=︒-(1)求证：CD AB ⊥；(2)若2ACB ABE ∠=∠，求证：AC BC =；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BE 至点G ，连接AG ，CG 求线段AB 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【答案】(1)见解析(2)见解析(1)如图1，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个内角ABC ∠，ACB ∠的平分线，说明D ∠=的理由．例．如图①，已知AB CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，EFB B ∠=∠，FH FB ⊥，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知70EFD ∠=︒，求B ∠的度数；(2)求证：FH 平分GFD ∠．(3)在（1）的条件下，若30FQH ∠=︒，将FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH 与平行？(4)在（3）的条件下，直接写出DFQ ∠与GFH ∠之间的关系．【答案】(1)35︒(2)见解析∴FH 平分GFD ∠．（3）解：①QH 与EFB △的边BF 平行时，如下图1及图4，如图1，∵BF HQ ∥,∴180H BFH ∠+∠=︒,又60H ∠=︒,∴120BFH ∠=︒,1201209030BFQ HFQ α=∠=︒-∠=︒-︒=︒；如图4，60HFB H ∠=∠=︒,123360()360(6090)210HFB HFQ α=∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒；②QH 与EFB △的边BE 平行时，如下图2，1335==︒∠∠，2430∠=∠=︒，∴12353065BFQ α=∠=∠+∠=︒+︒=︒；③QH 与EFB △的边EF 平行时，如下图3，330Q ∠=∠=︒,∴1233511030175BFQ α=∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒，综上，旋转角为30α=︒或65︒或175（4）解：30α=︒时，DFQ ∠=∠9090GFH EFB BFQ ∠=︒-∠-∠=︒65α=︒时，653530DFQ ∠=︒-︒=175α=︒时，17535DFQ ∠=︒-︒=210α︒=时，21035175DFQ ∠=-︒=综上，DFQ ∠与GFH ∠相差20︒．∥ AB CD ，50PMF BPM ∴∠=∠=︒．在MPF △中，PFM α∠=︒18050130MPF α∴∠=︒-︒-=PN 平分MPF ∠，1652NPM MPF ∴∠=∠=︒-PE CD ⊥ ，90PEM ∴∠=︒，905040EPM ∴∠=︒-︒=︒，【答案】（1）见解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：2α【分析】（1）由AEB AEF BEF ∠=∠+∠，再结合两直线平行内错角相等即可证明；（2）过点E 作EF AD ∥，交AB 于点F ，再结合（1）证明计算求值即可；（3）①设2DAC a ∠=，ABC β∠=，根据两直线平行同旁内角互补可得()22180ABC DAB ββααβ∠+∠=++=+=︒，求得90αβ+=︒即可；②第一问根据三角形内角和，求得45ABE AEB ∠=∠=︒，由30EBC ∠=︒得到75CAB ABC ∠=∠=︒，进而可得30ACD ACB ∠=∠=︒，再分CG 和AB 所在直线垂直、CG 和AD 所在直线垂直于、CG 和CD 所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得75ACF α∠=︒-，进而可得ACD ∠，再由180ADC BCD ∠+∠=︒计算角度差即可解答；【详解】解：（1）∵AD EF ，∴DAE AEF ∠=∠，∵BC EF ∥，∴CBE BEF ∠=∠，∴AEB AEF BEF DAE CBE ∠=∠+∠=∠+∠；（2）如下图过点E 作EF AD ∥，交AB 于点F ，∵EF AD ∥，AD BC ∥，∴BC EF ∥，∵30DAE AEF ∠=∠=︒，∴40BEF AEB AEF ∠=∠-∠=︒，∵CBE BEF ∠=∠，∴40CBE ∠=︒；∠=︒-∠-∠=︒，ACG MAC AMC18015如图CG和AD所在直线垂直于点G时：∥，∵AD BC⊥，∴CG BC60ACG BCG BCA ∠=∠-∠=︒，如图CG 和CD 所在直线垂直于点C 时：120ACG ACD DCG ∠=∠+∠=︒，∴15ACG ∠=︒或60ACG ∠=︒或120ACG ∠=︒；2.2：由2.1可知75CAB ABC ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，∵75BAC AFC ACF ∠=∠+∠=︒，∴75ACF α∠=︒-，∵CG 是ACD ∠的平分线，∴21502ACD ACF α∠=∠=︒-，∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ∠+∠=︒，∴1802ADC BCA ACD α∠=︒-∠-∠=；【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．课后训练【答案】54︒∥，根据角平分线的定义，设【分析】过点A作AG PM,90NBC ABC αADE MDE β∠=∠=∠=∠=︒-，则2ADP β∠=，2ABN α∠=，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．【详解】解：过点A 作AG PM ∥，BC 平分ABN ∠，DE 平分ADM ∠，∴设,90NBC ABC αADE MDE β∠=∠=∠=∠=︒-，则2ADP β∠=，2ABN α∠=，2BAG ABN α∴∠=∠=，MP NQ ∥ ，AG PM ∴∥，2DAG ADP β∴∠=∠=，22BAD BAG DAG αβ∴∠=∠+∠=+，DE AC ∥ ，180180(90)90CAD ADE ββ∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，在ABC 中，180********CAB ABC C αα∠=︒-∠-∠=︒--︒=︒-，6322632CAD CAB BAD ααβαβ∴∠=∠+∠=︒-++=︒++，63290αββ∴︒++=︒+，27αβ∴+=︒，2254αAD βB +=︒∴∠=．故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键．4．（1）如图1，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．则A A DC A EB ''∠∠∠、、之间的数量关系为：_______；（2）如图2，若将（1）中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，则此时,A A DC A EB ''∠∠∠、之间的数量关系为：_________；（3）如图3，将四边形纸片ABCD 状，若115D EC '∠=︒，A FB '∠=（4）在图3中作出D ∠点E 在DC 边上向点C 件不变），上述EG ，FH 【答案】（1）2DAE ∠=（4）位置不改变，EG沿DE 折叠A 和A '重合，∴DAE DA E'∠=∠∵A EB EA A EAA '''∠=∠+∠，A ∠∴A EB A DC EA A EAA '''∠+∠=∠+∠沿DE 折叠A 和A '重合，∴DAE ∠∵A EB EA A EAA '''∠=∠+∠，A ∠∴A DC A EB DA A DAA '''∠-∠=∠+∠（3）如图，延长BA ，CD 交于点由（2）的结论可得：2Q ∠=∴21154570Q ∠=︒-︒=︒，∴∵90C ∠=︒，∴90ABC ∠=︒-（4）EG FH ∥，理由见解析如图，EG 平分D EC '∠，FH ∴1D EG CEG D EC ''∠=∠=∠由对折可得：Q EF QEF '∠=∠，Q FE QFE '∠=∠，由（2）的结论可得：2D EC A FB Q ''∠-∠=∠，即2D EC A FB Q''∠=∠+∠∴D EG A FH Q ''∠=∠+∠，∴D EG D EF BFE BFH A FH Q QEF BFH BFE '''∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠，∴FEG HFE Q QEF QFE '∠+∠=∠+∠+∠，∴180FEG HFE Q QEF QFE ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴EG FH ∥．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键．5．如图1至图2，在ABC 中，BAC α∠=，点D 在边AC 所在直线上，作DE 垂直于直线BC ，垂足为点E ；BM 为ABC 的角平分线，ADE ∠的平分线交直线BC 于点G ．(1)如图1，延长AB 交DG 于点F ，若BM DG ∥，30F ∠=︒．①ABC ∠=________；由八字模型可得，ABM 和NMD △中，BND ABN BAC MDN∠=∠+∠-∠()119022ABC ACB =∠+-︒-∠α1()452ABC ACB =∠+∠+-︒α1(180)452=︒-+-︒αα，由四边形的内角和得，113609022BND ABC ADE ∠=︒-︒-∠-∠1270()2ABC ADE =︒-∠+∠由八字模型可得，BND ABM ADG ∠+∠=∠∴()1118022BND ADE a ABC ∠=∠+︒--∠()()119018022ACB ABC =︒-∠+︒--∠α()1180452ACB ABC =︒+︒--∠+∠α()1225180=︒--︒-αα。
求解平行线三招[下学期]--北师大版-(新201907)
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平行线的判定--北师大版
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
格推 式理
A 1= A （已知）
B---C---//--A--D--
（同位角相等，两直线平行）
D
B 1
C
如图①，∠１和∠Ｃ是同位角吗？ 如图②，∠１和∠２是同位角吗
① ②
１．测量∠１和∠３（或者∠２和∠４） 若∠１＋∠３＝１８０°（或∠２＋∠４＝１８０°）
则两边缘平行
１．２．３．
平行线的判定
；/ MES软件 ；
啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着一脸漠然の陆羽,用半开玩笑の轻松语气道,“陆陆,这玩笑开不得,看,有人生气了.”陆羽转头一看,神情冷淡の柏少华正站在她身边不远,目光清冷地盯着自己.“我没说过,是她自己说の.”她冷静地解释一句.康荣荣忙点头,“确实是我说の,对不起,我们只是开个玩笑,你们别当真.” 有了之前の那番话,如今不管她承不承认,在大家心里已经认定是陆羽说の.这一点康荣荣清楚,陆羽也明白,所以多说无益.柏少华拄着拐杖慢慢来到她跟前,在他冷漠の注视下,不知怎の,一股委屈涌上心头,陆羽秀眉轻颤,眼眶微热.为这事哭太糗了.她忙收回目光准备离开,一只长臂挡住她の 路,随即腰间被两只手掌箍住往上一提,她已经坐在栏杆边.柏少华站在她跟前,与她目光平衡对视,搂着她の腰,一手抚上她の脸庞抹去眼底の委屈.“我知道不是你,别哭.”温声说罢,手掌伸至她の后脑勺,倾身上前吻住她紧抿の唇瓣.这次不再是轻尝,而是尽可能地辗转
专题2.3 平行线的性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.3 平行线的性质-重难点题型【北师大版】【题型1 两直线平行同位角相等】【例1】（2021春•环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答过程】解：如图：因为a∥b，∠1＝60°，所以∠3＝∠1＝60°．因为∠2+∠3＝180°，所以∠2＝180°﹣60°＝120°．故选：D．【变式1-1】（2021秋•长沙期中）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（ ）A．42°B．48°C．52°D．58°【解题思路】根据FG∥BC，得∠DBE＝∠AFG＝42°，由DE⊥AB，得∠BDE＝90°，由∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE即可解答．【解答过程】解：∵FG∥BC，∠AFG＝42°，∴∠DBE＝∠AFG＝42°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE＝180°﹣42°﹣90°＝48°．故选：B．【变式1-2】（2021春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝65°，那么∠2的度数为（ ）A．15度B．30度C．25度D．65度【解题思路】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．【解答过程】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝65°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣65°＝25°，故选：C．【变式1-3】（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．32°B．34°C．36°D．38°【解题思路】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形内角和，即可求出∠C的度数．【解答过程】解：设AE与CD交于点O，如图所示：∵AB∥CD，∠A＝56°，∴∠DOE＝∠A＝56°．∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．故选：D．【题型2 两直线平行内错角相等】【例2】（2021春•宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．【解题思路】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC 的大小．【解答过程】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．【变式2-1】（2021春•沂水县期末）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠ABF＝35°，则∠BDC的度数为（ ）A．25°B．35°C．45°D．55°【解题思路】根据BD⊥CF，得到∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，根据AB∥CD，即可得∠BDC的度数．【解答过程】解：∵BD⊥CF，∴∠DBF＝90°，∵∠ABF＝35°，∴∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA＝55°．故选：D．【变式2-2】（2021秋•凤山县期中）如图，若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是（ ）A．38°B．42°C．80°D．138°【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使l1与l2平行，则∠1和∠2相等，再根据∠2的度数和图形中原来∠1的度数，从而可以得到若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数．【解答过程】解：若l1与l2平行，则∠1和∠2相等，∵∠2＝42°，∴∠1＝42°，∴若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是80°﹣42°＝38°，故选：A．【变式2-3】（2021•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝ ∠DCE （角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝（ ∠CDE ），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（ 已知 ），∴ ∠DEF ＝∠CDE（ 两直线平行，内错角相等 ），∠DCE＝∠BEF（ 两直线平行，同位角相等 ），∴ ∠DEF ＝ ∠FEB （等量代换）．∴EF平分∠DEB（ 角平分线的定义 ）．【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．【解答过程】证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．故答案为：∠DCE；∠CDE，已知，∠DEF，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．【题型3 两直线平行同旁内角互补】【例3】（2021春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？【解题思路】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．【解答过程】解：∠BFC等于30度，理由如下：∵AB∥GE，∴∠B+∠BFG＝180°，∵∠B＝110°，∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，∵AB∥CD，AB∥GE，∴CD∥GE，∴∠C+∠CFE＝180°，∵∠C＝100°．∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．【变式3-1】（2021秋•北碚区校级期末）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？【解题思路】先根据AB∥CD得出∠A的度数，再由CD∥EF求出∠E的度数，进而可得出结论．【解答过程】解：∵AB∥CD（已知），∴∠A＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF（已知），∴∠E＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∴∠A＝∠E．∴∠A和∠E都是120度，它们相等．【变式3-2】（2021•怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（ ）A．155°B．145°C．135°D．125°【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．【解答过程】解：如图：根据题意得∠2＝60°，∠β＝85°，∵∠2＝60°，∠1+∠2+∠β＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠β＝180°﹣60°﹣85°＝35°，∵AB∥CD，∴∠α+∠1＝180°，∴∠α＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．故选：B．【变式3-3】（2021春•汉阳区期中）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF ＝20°，（1）求∠DAC的度数．（2）求∠FEC的度数．（3）当∠B为多少度时，∠BAC＝3∠B？并说明此时AB与AC的位置关系．【解题思路】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；（2）利用已知得出EF∥CB，进而得出答案；（3）利用∠BAC＝3∠B，利用平行线的性质得出∠B＝30°，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵CE平分∠BCF，∴设∠BCE＝∠FCE＝x，∵∠DAC＝3∠BCF，∴∠DAC＝6x，∵AD∥BC，∴∠DAC+∠BCA＝180°，∴6x+2x+20°＝180°，∴x＝20°，∴∠DAC＝120°；（2）∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥CB，∴∠FEC＝∠BCE＝20°；（3）当∠B＝30°时，∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠B，又∵∠BAC＝3∠B，∴∠DAC＝4∠B＝120°，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【题型4 平行线的判定与性质的综合应用】【例4】（2021春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（ ）A．120°B．115°C．130°D．110°【解题思路】求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．【解答过程】解：如图，∵∠1＝50°，∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，∵GM平分∠BGF，∴∠BGM=12∠BGF＝65°，∵∠1＝∠2＝50°，∴AB∥CD，∴∠3＝∠BGM＝65°，∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，故选：B．【变式4-1】（2021春•五华区期末）如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）A．70°B．60°C．50°D．40°【解题思路】先由邻补角互补求出∠5，然后根据∠2＝∠5判断出l1∥l2，再根据平行线的性质得出∠3＝∠6，而∠4＝∠6从而求出∠4．【解答过程】解：如图所示：∵∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣60°＝120°＝∠2，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6，∵∠3＝70°，∴∠6＝70°∵∠4＝∠6，∴∠4＝70°．故选：A．【变式4-2】（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝ 61或119 °．【解题思路】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G 时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．【解答过程】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF=12∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．【变式4-3】（2021春•奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 15或22.5 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解题思路】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．【解答过程】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分两种情况：①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为15或22.5．【题型5 单拐点作平行线】【例5】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（ 已知 ），∴ ∠CAB +∠ACD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵PG∥AB（ 已知 ），∴∠BAP＝ ∠APG （ 两直线平行，内错角相等 ），且PG∥ CD （平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝ ∠PCD （两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠ BAC ，∠PCD=12∠ ACD ．（ 角平分线定义 ），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD＝90°（ 等量代换 ），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 互相垂直 ．【解题思路】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．【解答过程】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（已知），∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵PG∥AB（已知），∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠BAP=12∠BAC，∠PCD=12∠ACD（角平分线定义），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD=90°（等量代换），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．【变式5-1】（2021•河北模拟）如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．55°【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF ＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵∠1＝135°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，∴∠DCF＝∠D，∵∠ACD为直角，∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，∴∠D＝45°．故选：C．【变式5-2】（2021•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（ ）A．127°B．133°C．137°D．143°【解题思路】过点E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：∵AC∥EF，AC∥BD，∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，∴∠2+∠DEF＝180°，∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．故选：C．【变式5-3】（2021春•重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN 交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出∠GQH∠MPN的值．【解题思路】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得∠GQH∠MPN =1 4．【解答过程】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如图2，过点N作NK∥CD，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，设∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENE＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∠GQH∠MPN=14∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x=83 y，∴x﹣y=83y―y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分线，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴∠GQH∠MPN=14，故答案为1 4．【题型6 多拐点作平行线】【例6】（2021春•青县期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数【解题思路】分别过A、B作l1的平行线AC和BD，则可知AC∥BD∥l1∥l2，再利用平行线的性质求得答案．【解答过程】解：如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，∵l1∥l2，∴AC∥BD∥l1∥l2，∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．【变式6-1】（2021春•莱州市期末）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝ 180° （2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝ 360° ，并说明理由（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° （4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （n﹣1）•180° （直接写出你的结论，无需说明理由）【解题思路】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（3）过∠2、∠3的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（4）过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答过程】解：（1）∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°；（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠CEF+∠3＝180°，∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，即∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）•180°．故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1）•180°．【变式6-2】（2021秋•金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【解题思路】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．【变式6-3】（2021春•硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．①求证：PM⊥PN；②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．【解题思路】（1）利用∠1＝∠HGB，再利用等量代换，即可解决；（2）①过Q作QK∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥QK，则∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，所以∠MQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，利用∠MQN ＝30°，得到x+y＝30°，又∠MPN＝3x+3y，代入即可解决．②如图，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，利用AB∥CD，可以得到SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，设∠EGL＝∠LGB＝x，∠CNK＝∠KNP＝y，利用平行线的性质，分别用x，y表示出∠EKN和∠GLP，因为∠EKN+∠GLP＝170°，得到x与y的关系式，整体代入运算，即可解决．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，∴∠HGB+∠2＝180°，（2）①过Q作QK∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴QK∥AB∥CD，∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，∵∠MQN＝30°，∴x+y＝30°，∴∠MPN＝3x+3y＝90°，∴PM⊥PN；解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，∵AB∥CD，∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，∵GL平分∠EGB，∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，∵IS∥AB∥PW′，∴∠ILG＝∠LGB＝x，∠SLP＝∠LPW′，∵PW′∥CD，∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，∵AB∥KW∥CD，∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，∵∠EKN+∠GLP＝170°，∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，∴y﹣x＝55°，∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．。
求解平行线三招[下学期]--北师大版-
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2.3平行线的性质++平行线中的基本模型专题课件2023-2024学年北师大版数学七年级下册
解：由折叠的性质可得∠3=∠1=10° ∵纸带对边平行 ∴∠4=∠1+∠3=20° ∵CD∥BE，AC∥BD ∴∠EBD=180°-∠4=160° 又∵CD∥BE ∴∠2=180°-∠CBD=180°-160°=20°
2.如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠FGE=70°，∠1=（55°）
DC
F E
AB
M
解：如图，延长DE交AB的延长线于M点. ∵AB∥CD ∴∠D=∠M ∵∠FBE+∠DEB=180° ∴DM∥BF ∴∠M=∠ABF ∴∠D=∠ABF ∵BF平分∠ABE ∴∠ABE=2∠ABF ∴∠ABE=2∠D
考点三 平行线中的其他模型（牛角,鸭脚模型）
1.如图，已知AB∥CD,∠A=72°，∠C=58°，则∠E=（ 14°）
4.（成都实外）已知直线AB//CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点F，E，点H在直线AB上. （1）如图1，点P在线段EF上，求证：∠HPE=∠FHP+∠PED. （2）如图2,EM平分∠FED,P为线段EF上一点，且HM平分∠BHP.若∠HPE=100°
求∠M的度数.
AH F
B
图1 M
P
CE
（2）图2中，∠B+∠E1+∠D=（
）
（3）图3中，∠B+∠E1+∠E2+...∠En-1+∠En+∠D=（
AB
(n+）1)×180 °
图
1C
D
A
B
图
2
C
D
解：（1）180°（2）360°
（3） 过每一个拐点一次作EnFn∥CD
北师大版七年级下册数学[平行线的判定(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行线的判定（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) .A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数是() .（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个【答案】B2.证明：平行于同一直线的两条直线平行．【答案与解析】已知：如图，a//c,b//c．求证：a//b．证明：假设直线a与直线b不平行，则直线a与直线b相交，设交点为A，如图．a//c,b//c，则过直线c外一点A有两条直线a、b与直线c平行，这与平行公理矛盾，所以假设不成立．．a//b【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．类型二、平行线的判定3.（2015春•荣昌县校级期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠A BC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF．【思路点拨】根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∠DBF=∠ECB，再根据∠DBF=∠F，得出∠ECB=∠F，即可证出EC∥DF．【答案与解析】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠DBF=∠ECB，∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F，∴EC∥DF．【总结升华】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等，两直线平行，关键是证出∠ECB=∠F．举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．图B显然不同向，因为路线不平行．图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．只有图A路线平行且同向，故应选A．4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．【答案与解析】解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，∴AB∥EF(平行线的传递性)．解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°，∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．举一反三：【变式】（2015秋•巨野县期末）如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．【答案】证明：延长BE交CD于F．∵∠BED+∠DEF=180°，(平角的定义)∴∠DEF+∠D+∠EFD=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠BED=∠D+∠EFD，（等量代换）又∠BED=∠B+∠D，∴∠B=∠EFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．。
2025年北师大版七年级下册数学阶段拔尖专训3 平行线的性质与判定中常见辅助线的作法
所以∠ = ∠ + ∠ = 50∘ + 30∘ = 80∘ .
（2）∠,∠,∠三者之间有怎样的数
量关系？试说明理由.
【解】∠ + ∠ − ∠ = 180∘ .
理由如下：
由（1）得∠ = ∠，∠ + ∠ = 180∘ ，
所以∠ = ∠ − ∠ = ∠ − ∠.
所以∠ + ∠ = ∠ + ∠ − ∠ = 180∘ .
解这种类型的题目时，通常是过“拐点”作平行线，
∠ + ∠ = 180∘ ，
所以∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360∘ ，
即∠ + ∠ + ∠ = 360∘ .
（2）①如图②，直线//，点，在直线，之间，
且点，在直线的同侧.试探究∠，∠，∠，
∠之间的数量关系，并说明理由；
类型2 过“拐点”作平行线法
题ห้องสมุดไป่ตู้1
“
”形图
4.【问题背景】同学们，观察小猪的
猪蹄，你们会发现熟悉的几何图形，
我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模
型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系.
【问题探究】
（1）如图①，//，为，之间一点，连接，
.则∠与∠，∠之间有怎样的数量关系？请说明理由.
则∠ =( B
A. 14∘
)
B. 16∘
C. 18∘
D. 20∘
【点拨】如图，延长交于点.
因为∠ = 70∘ ，
所以∠ = 180∘ − ∠ = 110∘ .
因为//，
所以∠ = ∠ = 110∘ .
因为∠ = 126∘ ，
北师版数学下册《相交线与平行线》2.2.1用“ 同位角、第三直线”判定平行线(练习题课件)
14．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＝ ∠4，则a与c平行吗？为什么？ 解：a与c平行． 理由：因为∠1＝∠2(___已__知_____)， 所以a∥b(__同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__)． 因为∠3＝∠4(_已__知_________)， 所以b∥c(__同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__)． 所以a∥c(平__行__于__同__一__条__直__线__的__两__条__直___线__平__行_)．
9．下列推理正确的是( C ) A．因为a∥b，c∥d，所以b∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
10．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人 在桥上行走的路程，有利于游人 更好地观赏风光．如 图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了 桥的长度，其中蕴含的数学道理是( A ) A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
解：在同一条直线上．理由如下： 因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l平行，而过直线外 一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以AB，BC为同一 条直线．所以A，B，C三点在同一条直线上．
(2)如果AB⊥l，BC⊥l，那么A，B，C三点在同 一条直线上吗？为什么？
解：在同一条直线上．理由如下： 因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l垂直，而在同 一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以AB，BC为同一条直线． 所以A，B，C三点在同一条直线上．
13．如图，已知∠1＝68°，∠2＝68°，∠3＝112°. (1)因为∠1＝68°，∠2＝68°，
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