2020版文数(北师大版)练习：第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性

2020年精品试题

芳草香出品

课时作业

A 组——基础对点练

1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴

的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( )

A ．f (0)

B ．f (0)>f (3)

C ．f (0)＝f (3)

D ．无法确定

解析：由题意知f (x )的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选

B.

答案：B

2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x

在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x

<1，∴k ≥1，故选D. 答案：D

3．已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图像大致为( )

解析：依题意得f ′(x )＝e x －2.

当x ＜ln 2时，

f ′(x )＜0，f (x )是减函数，

f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2；

当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，

因此对照各选项知选C.

答案：C

4．函数f (x )＝sin x 2e

x 的大致图像是( )

解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝sin (－π2)2e －π2＝－12e π2＜0，排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝sin (－π4)2e －π4

＝－24e π4＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4

)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2

)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A. 答案：A

5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( )

A ．(0，322

] B ．(0，322) C ．(－∞，322) D ．(－∞，322

] 解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成

立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤ (3x ＋6x )min ，又3x ＋6x

≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x ，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322

. 答案：C

6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( )

A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2)

B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)

C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3)

D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2)

解析：设F (x )＝f (x )ln x 2，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2

＝f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2)

2＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故f (e )ln e 2＜f (e 2)ln e 4＜f (e 3)ln e 6，即f (e )2＜f (e 2)4＜f (e 3)6

，所以6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)．选B. 答案：B

7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1