届高考数学一轮总复习66直接证明与间接证明PPT课件
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A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件，即② ⇒①，所以①是②的必要条件．
答案 B
3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边 分别为a，b，c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
出所要证明的结论成立
知条件、定理、定义、公理等)为止
内容 实质
框图 表示
文字 语言
综合法 由因导果 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
…→ Qn⇒Q 因为…所以… 或由…得…
分析法 执果索因 Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件
要证…只需证…即证…
知识点二
间接证明
反证法：假设命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论 不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ．因此说明假设错
2.分析法作为一种证明方法，较少单独考查，但这种方法可 以用来寻找解题思路.
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知识梳理
知识点一
直接证明
内容
综合法
分析法
利用已知条件和某些数学定 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成
义、公理、定理等，经过一 立的充分条件，直至最后，把要证明的 定义
系列的推理论证，最后推导 结论归结为判定一个明显成立的条件(已
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程和特点．
2.了解反证法的思考过程和特点.
备考知考情
1.对本节内容的考查，一般贯穿在对其他知识的考查中，主 要涉及综合法、反证法等证明方法，多以解答题为主，难度中 等．
误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
对点自测
知识点一
直接证明
1.要证明 3 ＋ 7 <2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最
合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
解析 要证明 3 ＋ 7 <2 5 成立，可采用分析法对不等式两 边平方后再证明．
答案 B
2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的 ()
高频考点
考点一
综合法的应用
【例1】
已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－
1 2
x2＋
1 3
x3，
函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
听 课 记 录 (1)f′(x)＝1＋1 x，g′(x)＝b－x＋x2， 由题意得gf′00＝＝f0g′，0， 解得a＝0，b＝1. (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x>－1)． h′(x)＝x＋1 1－x2＋x－1＝x－＋x13.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
知识点二
间接证明
Байду номын сангаас
4.用反证法证明命题“如果a＞b，那么 3 a ＞ 3 b ”时，假设 的内容应是( )
A.3 a＝3 b
B.3 a＜3 b
3 C.
a＝3
b且3
a＜3
b
D.3 a＝3 b或3 a＜3 b
解析 用反证法证明的第一步是假设结论不成立． 假设3 a＞3 b不成立，即3 a≤3 b成立．
答案 D
5．已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证：
1＋b a
，
1＋a b
中至少有
一个小于2. 证明 假设1＋a b，1＋b a都不小于2，
则1＋a b≥2，1＋b a≥2.
因为a>0，b>0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b，
变式思考 1 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，
Sn是其前n项的和．记bn＝
nSn n2＋c
，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，
且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明 由题意得，Sn＝na＋nn2－1d. 由c＝0，得bn＝Snn＝a＋n－2 1d. 又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4， 即a＋d22＝aa＋32d， 化简得d2－2ad＝0. 因为d≠0，所以d＝2a.
(2)分析法证题的一般规律： 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发， 倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
问题2 反证法证明命题注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现 多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证 都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从 结论的反面出发进行推理，就不是反证法． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假 设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显 的．
所以1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b.
这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立．
即1＋a b，1＋b a中至少有一个小于2.
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问题探究 问题1 综合法与分析法证明的一般规律是什么？ (1)综合法证题的一般规律： 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是 能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件 所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0， 即f(x)≤g(x)．
【规律方法】 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已 知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合 法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论 的正确性．
解析 分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件，即② ⇒①，所以①是②的必要条件．
答案 B
3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边 分别为a，b，c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
出所要证明的结论成立
知条件、定理、定义、公理等)为止
内容 实质
框图 表示
文字 语言
综合法 由因导果 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
…→ Qn⇒Q 因为…所以… 或由…得…
分析法 执果索因 Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件
要证…只需证…即证…
知识点二
间接证明
反证法：假设命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论 不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ．因此说明假设错
2.分析法作为一种证明方法，较少单独考查，但这种方法可 以用来寻找解题思路.
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知识梳理
知识点一
直接证明
内容
综合法
分析法
利用已知条件和某些数学定 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成
义、公理、定理等，经过一 立的充分条件，直至最后，把要证明的 定义
系列的推理论证，最后推导 结论归结为判定一个明显成立的条件(已
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程和特点．
2.了解反证法的思考过程和特点.
备考知考情
1.对本节内容的考查，一般贯穿在对其他知识的考查中，主 要涉及综合法、反证法等证明方法，多以解答题为主，难度中 等．
误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
对点自测
知识点一
直接证明
1.要证明 3 ＋ 7 <2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最
合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
解析 要证明 3 ＋ 7 <2 5 成立，可采用分析法对不等式两 边平方后再证明．
答案 B
2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的 ()
高频考点
考点一
综合法的应用
【例1】
已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－
1 2
x2＋
1 3
x3，
函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
听 课 记 录 (1)f′(x)＝1＋1 x，g′(x)＝b－x＋x2， 由题意得gf′00＝＝f0g′，0， 解得a＝0，b＝1. (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x>－1)． h′(x)＝x＋1 1－x2＋x－1＝x－＋x13.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
知识点二
间接证明
Байду номын сангаас
4.用反证法证明命题“如果a＞b，那么 3 a ＞ 3 b ”时，假设 的内容应是( )
A.3 a＝3 b
B.3 a＜3 b
3 C.
a＝3
b且3
a＜3
b
D.3 a＝3 b或3 a＜3 b
解析 用反证法证明的第一步是假设结论不成立． 假设3 a＞3 b不成立，即3 a≤3 b成立．
答案 D
5．已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证：
1＋b a
，
1＋a b
中至少有
一个小于2. 证明 假设1＋a b，1＋b a都不小于2，
则1＋a b≥2，1＋b a≥2.
因为a>0，b>0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b，
变式思考 1 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，
Sn是其前n项的和．记bn＝
nSn n2＋c
，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，
且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明 由题意得，Sn＝na＋nn2－1d. 由c＝0，得bn＝Snn＝a＋n－2 1d. 又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4， 即a＋d22＝aa＋32d， 化简得d2－2ad＝0. 因为d≠0，所以d＝2a.
(2)分析法证题的一般规律： 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发， 倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
问题2 反证法证明命题注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现 多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证 都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从 结论的反面出发进行推理，就不是反证法． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假 设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显 的．
所以1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b.
这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立．
即1＋a b，1＋b a中至少有一个小于2.
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问题探究 问题1 综合法与分析法证明的一般规律是什么？ (1)综合法证题的一般规律： 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是 能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件 所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0， 即f(x)≤g(x)．
【规律方法】 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已 知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合 法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论 的正确性．