第二节 洛必达法则

1
【例12】 求 lim (cot x)ln x . x0
( 0 )
【解】
取对数得 (cot
1
x)ln x

1 ln(cot x )
e ln x
,
11
lim 1 ln(cot x) lim cot x sin2 x
x0 ln x
x0
1
lim x
1,
【定理1】 设 (1)当x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
.
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2. 【∞－∞】型
【步骤】 1 1 0 0 0 . 0 0 00 0
【例9】 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
【解】 原式 lim x sin x lim 1 cos x x0 x sin x x0 sin x x cos x
lim

x0 bcos bx sin ax
lim
x0
cos ax cos bx
1.
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【例5】 求 lim tan x . x tan 3 x
2
()
【解】
原式

lim
x
sec2 3 sec 2
x 3x

1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
lim f ( x) lim f ( ) A. xa F ( x) a F ( )
【证完】
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【注】(1) 如果 f ( x) 仍属 0 型，且 f ( x),F( x) 满足 F( x) 0
定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
利用复合函数的外层函数的连续性：极 限符号与函数符号交换位置，结合洛必 达法则求极限.
1
【例11】 求 lim x1x . ( 1 ) x1
【解】
1
原式
1 ln x
lim e1x
lim
e x1
ln x 1 x

lim
e x1
x 1

e 1 .
x1
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x
故洛必达法则失效。但
原式 lim (1 1 cos x) 1.
x
x
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三、小结
洛必达法则
型
f
g1
g1
f
0 ()
1 g1 f 0
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
取对数 uv evlnu
0 型
f g f 1g
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【定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
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【证】 定义辅助函数
f ( x), x a
f1( x)
0,
, xa
F( x), x a
F1( x)
0,
, xa

在 U(a, )内任取一点x, 在以a 与 x 为端点的区间上 ,
x0 cos x sin x
x 原式 e1.
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【注意】洛必达法则的使用条件：充分条件，不必要
【例13】 求 lim x cos x .
x
x
极限振荡不存在
【解】 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
极限 lim f ( x) 可能存在、也可能不存 在．通 xa F ( x)
( x)
常把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
【例如】 lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
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()
【解】 相继应用洛必达法则n次，得
xn
lim
x
e
x

lim
x
nx n1
ex


lim
x
n! x 0
nex
0
【教材例5】
求
lim
x
ln x xn
(n 0)
【解】
lim
x
ln x xn

lim
x
1
x
nx n1
1

lim
x
nx
n

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arctan x
【例3】求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
【解】 原式

lim
x

1
1 x
2

1 x2

x2
lim x1
x2

1.
【例4】求 lim ln sin ax .
()
x0 ln sin bx

【解】原式
a cos ax sin bx
【思考题】
设lim f ( x) 是不定型极限，如果 f ( x) 的极
g( x)
g( x)
限不存在，是否 f ( x) 的极限也一定不存在？ g( x)
举例说明.
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【思考题解答】
不一定．
例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然
lim
第二节 洛必达法则
一、0型及型未定式解法 :洛必达法则 0
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0型未定式解法 三、小结 思考题
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一、0型及 型未定式解法： 洛比达法则 0
【定义】 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末
0
1. 【0·∞】型
注：以下写法仅是记号
【步骤】 0 1 , 或 0 0 1 0 .

00
【例8】 求 lim x2e xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. x
( 0 )
【解】
原式

lim
x
ex x2
lim e x lim e x x 2 x x 2
x0
6x
3 x0 x
1. 3
或
上式

lim
x0
sec2 x 3x2
1

lim
x0
tan2 x 3x2

x2
lim
x0
3
x
2

1 3
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二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 ( 0 ), ( )
0
()
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【注意】洛必达法则是求未定式极限的一种有效方 法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
【例7】
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
【解】
原式

lim
x0
tan x x3
x

lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim 2sec2 x tan x 1 lim tan x
0 .
【例10】 求 lim x x . ( 00 )
x0
ln x
e 【解】原式 lim e xln x x0
lim x ln x
lim
x0
1
x0
e x
1
e lim x0

x 1
x2
e0 1.
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【实质】 先化为复合函数： uv evlnu
2
2
0
0

1 lim 6cos3x sin 3x lim sin 6x 3 x 2cos x sin x x sin 2 x
2
2
lim 6cos6x 3. x 2cos 2x
2
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【例6】
求
xn
lim
x
e
x
(n 为正整数， 0)
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件 , 则有
f (x) F(x)

f F
( (
x) x)

f (a) F (a)

f ( F (
) )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
lim f ( ) A, a F ( )

lim
x0
x
sin x2
x
lim 1 cos x lim sin x 0
x0 2x
x0 2
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3. 【00,1∞,∞0】 型——幂指函数类
【步骤】
00 1

取对数
0 ln 0 ln1

0

0 ln

lim
x1
3
3 x2
x2
3 2x
1

lim 6x x1 6 x 2

3. 2
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【注意】（1） 上式中 lim 6已x 不是未定式， x1 6 x 2
不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果. （2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
lim
sin x
0.
x0 2cos x x sin x
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【说明】 上式中 lim x sin x 可结合等价无穷小 x0 x sin x
代换更简单。先代换，再用洛必达法则
sin x ~ x ( x 0)
lim
x0
x sin x x sin x
应的洛必达法则.
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【例1】 求 lim tan x .
(0)
x0 x
0
【解】
原式 lim (tan x) x0 ( x)
lim sec2 x x0 1
1.
【例2】
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
【解】
原式
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xa F ( x) xa F ( x) xa F ( x)
(2) 当x 时,该法则仍然成立 .
lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
（即定理2）
(3)当x a, x 时的未定式 ,也有相
x
f ( x) g( x)

lim 1
x
cos 1
x
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
lim x sin x 1
x
x
极限存在．
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