立体几何综合测试题

《立体几何》综合测试题

一．

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知直线m 、n 和平面α，则m //n 的一个必要不充分的条件是（ ）

（A ）m //α、n //α， （B ）m ⊥α、n ⊥α (C) m //α、n α (D)m 、n 与α成等角。 2．a 、b 是异面直线，以下命题正确的是（ ）

（A ）过不在a 、b 上的一点P ，一定可以作一条直线和a 、b 都相交； （B ）过不在a 、b 上的一点P ，一定可以作一个平面和a 、b 都平行； （C ）过a 一定可以作一个平面与b 平行； （D ）过a 一定可以作一个平面与b 垂直。

3．如图1，正方体AB CD —A 1B 1C 1D 1中，EF 为异面直线A 1D 和A C 的公垂线，则直线EF 与B D 1位置关系是（ ） （A ）异面直线 （B ）平行 （C ）相交且垂直 （D ）相交且不垂直

4．如图2，三棱柱AB C —A 1B 1C 1中，侧棱BB 1在下底面上射影平行于A C 。如果侧棱BB 1与

底面所成的角为300，∠B 1B C=600，则∠A C B 的余弦应为（ ）

（A ）

33 （B ）3 （C ）23 （D ）6

3

5．在直截面是直角三角形的圆锥内，有一个内接圆柱，

它的全面积等于圆锥的侧面积，此圆锥的顶点到圆柱上底的距离等于圆锥母线长的（ ） （A ）

21； （B ）31； （C ）41； （D ）3

2 6．已知P 为矩形AB CD 平面外一点，P A ⊥平面AB CD ，P 点到B 、C 、D 三点的距离分别为

5、17、13，则P 点到B D 的距离是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

7．圆柱的轴截面的对角线长为定值，为了使圆柱的侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角为（ ）

C 1

A 1

C 图1

B 1 图2

B

C

C 1

A 1 A

（A ）

3π （B ）4π （C ）6π （D ）12

5π 8．如果四面体的四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面一共有（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）4 个 （D ）7个

9．若a 、b 是异面直线，P 是空间一点，过P 点与a 、b 成600角的直线有且只有3条，则异面直线a 、b 所成的角是（ ）

（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）750

10．如图3，正方体AB CD —A 1B 1C 1D 1中上，点P 在侧面B CC 1B 1及 其边界上运动，并且总是保持A P ⊥B D 1，则动点P 的轨迹是（ ） （A ）线段B 1C （B ）线段B C 1

（C ）BB 1中点和CC 1中点连成的线段 （D ）B C 中点和B 1C 1中点连成的线段

11．一张长方形纸片AB CD 沿一条折痕EF 对折，使A 、C 两点重合，再把它展成700的二面角A —EF —C ，则A C 与EF 所成的角为（ ）

（A ）600 （B ）700 （C ）800 （D ）900 12．正四面体AB CD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，且

λλβ+α=λλ==)(,f FD

CF

EB AE 记 （其中λα表示EF 和A C 所成的角，λβ表示EF 和B D 所成的角），则（ ） （A ）)(λf 在(0，+∞)上单调递增； （B ）)(λf 在(0，+∞)上单调递减；

（C ）)(λf 在(0，1)上单调递增,)(λf 在(1，+∞)上单调递减； （D ）)(λf 在(0，+∞)上为常数；

二．

填空题：（本大题共4小题，每题4分，共16分）

13．如图4，P 是平面α外一动点，A 、B 是平面α内两定点， C 是平面α内一动点，且P A ⊥α，PC ⊥B C ，则动点C 的轨 迹是 ；

14．如图5，三棱台AB C —A 1B 1C 1中，已知S △AB C =S 1，2111S S C B A =∆， 高为h ，则四面体A C B 1C 1的体积为

。

15．北纬300圈上的甲、乙两城市分别位于东经1200和西经1200线上，设地球的半径为R

C C 1

A

B

P D 1

D A 1

B 1 图3 A

B

C A 1

B 1

C 1 图5

P

图4

千米，沿地球表面铺设石油管道，最少需要管道 （千米）（不考虑地形和埋设深度）。

16．在三棱锥P —AB C 中，作平行于A C 与B P 的截面EFGH ，给出下列五个条件： ①点P 在平面AB C 上的射影是AB C 的垂心；②PC ⊥AB ，P A ⊥B C ；③AB C 是正三角形；④侧面AB P 与侧面B CP 是全等三角形；⑤BA =B C ，且∠P BA =∠P B C 。上述条件中能使截面EFGH 是矩形的某一条件是 （把你认为符合条件的序号都填上）

三． 解答题：（本大题共6小题，共74分）

17．在二面角α—MN —β中，等腰Rt ΔABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成的角的正弦为4

6

，求AB 与平面β所成的角。（12分）

18．如图6，已知正方体AB CD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a 。 （1）判断平面A 1C 1B 与对角面BB 1D 1D 是否垂直，并加以证明。 （2）求点D 到平面A 1C 1B 的距离。（12分）

19．如图7， △S AB 是圆锥SO 的轴截面，C 是底面圆周上一点，∠A SC=900，CD ⊥AB 于D ， （1）求证：平面S A C ⊥平面SCD ；

（2）若圆锥的底面半径为3，高为3，求二面角B —A S —C 的大小。（12分）

B

图7 A 1

B 1

C 1

D 1

A

B

C

D

图6