分段函数与映射PPT课件
高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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14
1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
高中数学《分段函数与映射》课件
13 D. 9
13
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课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
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x＋1，x≤1， (3)已知函数 f(x)＝1－x2，x>1， 若 f(x)＝－3，则 x＝ _－__4_或__2__.
14
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解析 (1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，f(5) ＝f(21)＝24.
(1)映射的定义： □2 设 A，B 是两个非空的集合，
如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的
任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y
与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合
B 的一个映射
．
(2)函数是一种特殊的映射 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是
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第一章 集合与函数概念
1．2 函数及其表示 1．2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数与映射
1
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2
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1．分段函数 (1)如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同
2．做一做
x＋2，x≤－1，
(1) 已 知 f(x) ＝ x2，－1<x<2， 2x，x≥2，
则它的定义域是
_______(_－__∞__，__＋__∞__)______．
课件5：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定 义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是 B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．
[正解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应， ∴A 中的元素 1,2,3，对应 B 中的元素 4,7,10. ∴a34k＝＋110＝，a2＋3a 或a32k＋＋31a＝＝a14.0. ∵a，k∈N， ∴ak＝＝52.， 这就是所求 a，k 的值．
[分析] 判断一个对应 f 是否为从 A 到 B 的映射，主要从 映射的定义入手，看集合 A 中的任意一个元素，在对应关系 f 下在集合 B 中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对 应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对 应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对 于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元 素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满 足映射的定义，能构成映射．
第一章 1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射
1.分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的_ _对__应__关__系__的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集．
2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任__意__一__个__元素x，在 集合B中都有__唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射． [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．
第9课时：分段函数与映射【课件】(1)(1)(1)
重难点
重点：分段函数的概念及解析式、映射的概念. 难点：分段函数的图象性质及其应用.
创设情境
已知某地出租车收费方法如下:起步价6元,可行3 km(含 3 km),3 km后到10 km(含10km)每走1 km加价0.5元,10 km 后每走1 km加价0.8元.若某人坐出租车走了12 km,则他应付 费多少？
x 0.
0
B.0
x为有理数; x为无理数.
则f
(
g
(π))
______
C. 1
Dπ.
(2)
设函数f
(
x)
x2
2
2x
x 2;若f x 2.
(x0 )
8, 则x0
______
练习1、若f
(x)
x
x
2
x 0;若f (a) 4,则实数a _______ x 0.
A.3
B.6
C.8
D.9
(3) 若A {a1, a2 , a3}, B {b1, b2}, 则从A到B可以建立多少个映射
小结
1.分段函数求值,一定要先找所给值的范围,再代 入相应的解析式求值.
2.对含绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝 对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段 函数再求解.
3.映射是一种特殊的对应,它具有： (1)方向性(2)唯一性
分段函数
一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 解析式不同,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,其 定义域是各段自变量取值集合的并集,其值域是各段函数值集 合的并集.
探究一、分段函数的求值问题
分段函数及映射 课件
类型三 映射的概念及应用
【典例3】(1)(2022·重庆高一检测)设集合
A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应关系f中,
不能构成A到B的映射的是 ( )
A.f:x→y=x2
B.f:x→y=3x-2
C.f:x→y=-x+4
D.f:x→y=4-x2
(2)(2022·吉安高一检测)已知集合A=B=R,x∈A, y∈B,f:x→y=ax+b,若6和9在f作用下分别与4和10对应, 则19在f作用下与________对应.
【方法总结】 1.求分段函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解 析式求值,直到求出值为止.特别地,当出现f(f(x0))的 形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母的值的四个步骤 (1)讨论:对字母的取值范围分类讨论. (2)代入:由不同取值范围,代入对应的解析式中. (3)求解:通过解方程求出字母的值. (4)检验:检验所求的值是否在所讨论的区间内.
f
1
3
1 3
.
所以
f(
f
1
3
)
f( 1) 3
1 (1 )2 3
8. 9
答案：8
9
【延伸探究】 1.本例条件不变,求f(a)的值. 【解析】当a≤1时,f(a)=1-a2, 当a>1时,f(a)=a2-a-3.
2.本例若增加条件f(a)+f(-1)=3,求a的值. 【解析】因为-1<1,所以f(-1)=1-(-1)2=0,当a≤1 时,f(a)+f(-1)=1-a2=3,无解. 当a>1时,f(a)+f(-1)=a2-a-3=3, 即a2-a-6=0,所以a=3或a=-2(舍). 所以a=3.
高一数学同步课件：1-2-2-2分段函数及映射(新人教A必修1)
第2镌分段函数及映射时•【课标要求】•1.通过具体实例，了解简单的分段函数, 并能简单应用.• 2. 了解映射的概念.•【核心扫描】• 1.分段函数的图象及求值.（重点）• 2.对映射概念的理解.（难点）01» 新知探究教材为本探究学习• 3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思•新知导学• 1・分段函数如果函数y = f(x), xG/4,根据自变量x在力中不同的取值诡魅有着不同的则称这样的函数为分段函数.温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.• 2.映射•设力、B是聲个______ 的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合力中的任n蠹雌个元素x ,在集合B冲黑筋的元秦y与之对应，那么就祿对应为从集合力到集合B的一个映射.•互动探究•探究点1 “分段函数是几个函数”这句话正确吗？•提示不正确，分段函数是一个函数z而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.•探究点2映射一定是函数吗？•提示映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集力到非空数集B的映射，对映射而言,A , 3不一定是菲空数集,所以映射不一定是函数,函数一(2)(2013-成都高一检测)已知函数/(x) = x2+l(x^0), 一2x(x<0),= 10,贝!)x= _________［思路探索］判断自变量满足的范围分段函数确定适宜的函数式字母变量冬分类讨论-求值2解析⑴当兀=3>1时，于(3)=3<1,(2\ (2\ 13・•・/(/⑶)=闱=［寸+1=&•(2)当兀$0 时，/(x)=x2+l = 10, Ax=3(舍去一3)；当兀V0 时，f(x)=—2x=109 Ax=—5.综上知，兀的值为一5或3・答案(1)D (2)-5 或3•［规律方法］1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得・若题目含有多层5.应按“由里到外”的顺序层层处理.• 2 .如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想.x—2, IxlWl, 【活学活用1】⑴已知函数/（兀）=1+兀2,比＞i,x+1, x^O,（2）已知函数于（兀）=］丄、x<0,若/（兀）=2,则x=1 1 1若x<0,由匚|=2,得x = +y 舍去兀= 综上可知，兀=1或X=—2* 答案(l)y (2)1 或一*解析⑴由于t W1,所以r 3) 訝=4—沪 i+〔—「 I 2丿(2)若由兀+1=2,得x =1 ；29类型二分段函数的图象与解析式°【例2】⑴(2013讪头高一检测)作/(对=兀+¥的图象. (2)如图，根据函数y=/(x)的图象，写出它的解析式.［思路探索］(1)去绝对值号，化简/(兀)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象.(2)根据图象列出每一段的解析式,合在一起形成介兀)的解析式.[x+l(x>0), 一 ~ t解(听尸L_gvo),图象如图・⑵当OWxWl 时，/(x)=2x；y/当 1 VxV2 时，/(x)=2；r当x^2时，/(x)=3.o X>-12x, OWxWl,/故 /(兀)=(2, 1<X<293, x^2.•［规律方法］1 •对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数的图象・•2・由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题・•3 •根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式.x2, —lWxWl,【活学活用2】已知并）=1,—或*_].（1）画出/（对的图象；⑵求/（兀）的定义域和值域.解⑴利用描点法，作出/（兀）的图象，如图所示.（2）由条件知，函数/（X）的定义域为R.由图象知，当一lWxWl时，/&）=”的值域为[0,1], 当兀＞1或兀V —1时，/（x） = 1, 歹类型三映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合〃的映射:(1)A=N\ 对应关系兀f lx-31；(2)A = ｛平面内的圆｝, B = ｛平面内的矩形｝,对应关系/：“作(3)A = ｛高一⑴班的男生｝, B=R9对应关系/：每个男生对应自己的身高；(4)A = {xlOWxW2}, B={ylOWyW6}, 对应关系X—j=|x.•［思路探索］根据映射的定义，只要检验对力中的任何元素，按对血关系匚是否社B申都有唯一的元素与之对应.•解(1)力中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而0GB,故不是映射.-(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合力中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射.-(3)对力中任何一个元素，按照对应关系f,在B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.• (4)是映射，因为力中每一个元素在f：x-^y=x •［规律方法］判断对应f ：力是否是力到B 的映射,必须做到几点:(1)明确集合力z B 中的元素・⑵根据映射定义判断力中每个元素是否在£申能找至！］睢一确定的对应元臺z 可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射.【活学活用3】判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？(2)A=Z, B = Q,对应关系/： x-*j=p (3)设A = ｛矩形｝, B = ｛实数｝,对应关系/：矩形和它的面积对 应. •解(1)对于集合力中任意一个非负数在集合 B 中都有唯一元素1与之对应，对于力中任意 一个负数在(1)A=R, B = {O,1},对应关系于： [1(x^0),ba vo ),集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射.•(2)集合力中的元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射.•(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合力到集合B的映射.易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误【示例】己知函数金J若f(x)=3f求" 的值.［错解］由”一1=3,得x=±2；由2x+l=3，得x=l,故x的值为2, —2或1.［错因分析］要紧扣"分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视兀的取值范围. •［正解］当沧0时，由0 —1=3,得x=2或x=-2（舍去）；当xvO时，由2x+1=3,得X— 1 （舍去），故x=2.•［防范措施］（1）分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数体现了数学的分类讨论思想分段求解”是解决分段函数问题的基本原则・•⑵“对号入座”，根据自变量取值的范围 ,准确确定相应的对应关系,转化为一般函数在指定区间上的问题・不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因■03» 感悟提升总结评价反思提高 C D•课堂达标 是映射的是•解析结合映射的定义可知A、B、C均满足M 中任意一个数x,在2中有唯一确定的y 与之对应,而D中元素1在2中有m , b两个元素与之对应,故不是映射・•答案D• 2.函数r=|x|的图象是)•解析C-101\xD •••B选项正确.答案Bfx2+l(x^0),3.函^/(X)=|2_X(_2^X<0)的值域是 ---------------- •解析当xMO时，/(x&l, 当一2WxV0 时，2V/(x)W4, .V(x)1 或2V/(x)W4,即/(兀)的值域为［1, +8).答案［1，+8)4-已知从集合A到集合〃的映射是/1：x-2x-l,从B到C的映射是力：丁〜召，则从A~c的映射为____________ 解析依题设2(2^1=占•••A-C的映射为兀一吕亍答案x4x—1⑴求于(2), /[/⑵]的值；(2)^/(x 0) = 8,求兀o 的值.5. 己知函数/3)=“ x 2—4, 0WxW2 2x, x>2.解(l)T0WxW2 时，/(x)=x2—4,•\/(2)=22-4=0,加2)]=/(0)=02_4=_4・⑵当0Wx()W2时，由-Vo—4=8,得x0=±2^3(舍去)；当兀0>2时，由2xo=8,得Xo=4.•・兀0=4・•课堂小结• 1.对映射的定义，应注意以下几点：•⑴集合力和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.•(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.• 2.理解分段函数应注意的问题：•(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏. •(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.•(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画岀来，从而得到整个函数的图象.。
1.2.2第二课时 分段函数与映射
(A)只有①②
(B)只有①④
(C)只有①③④ (D)只有③④
4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作
从A到B的映射的是( D )
(A)f:x→y= 1 x (B)f:x→y= 1 x
8
4
(C)f:x→y= 1 x (D)f:x→y=x 2
5.(分段函数)设 函数
解:当 m≤-2 时,m+1>3m-5,即 m<3, 所以 m≤-2. 当-2<m<2 时,m2+2m>3m-5,
即 m2-m+5>0.由 m2-m+5=(m- 1 )2+ 19 >0 知, 24
-2<m<2. 当 m≥2 时,2m-1>3m-5, 即 m<4,即 2≤m<4. 综上可知,满足 f(m)>3m-5 的实数 m 的取值范围为(-∞,-2]∪(-2,2)∪[2,4)=(-∞,4).
解之得 a= 2 -1 或 a=- 2 -1(舍去). 同理当 t=2 时,f(a)=2,则 a2+2a-2=0.
解之得 a= 3 -1 或 a=- 3 -1(舍去). 综上可知当 f[f(a)]=3 时,a= 2 -1 或 a= 3 -1.
变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.
变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.
解:令 t=f(a),则 f(t)=3, 由例 1(2)的解法知 t=1 或 t=2. 当 t=1 时,f(a)=1.由于 x≤-2 时,x+1≤-1, x≥2 时,2x-1≥3. 因此只有-2<a<2 时,能满足 f(a)=1, 即 a2+2a-1=0.
分段函数及映射 课件
3.若函数f(x)=
x, x 0, x2, x 0,
则f(-2)=______.
【解析】∵-2＜0，∴f(-2)=(-2)2=4.
答案：4
1.对分段函数的三点认识 (1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对 应关系不一样. (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由 函数定义中的唯一性决定的. (3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线， 也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等.作图时， 要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示.
(1)解题过程中，当字母参数的取值有多种可能时，
题
启
要分类讨论，求出参数的值后要注意验证.
示
(2)审题要细，考虑问题要全面，避免不必要的失误.
【规范训练】(12分)已知函数
f
x
4x
x
2
x x
0，若f(m)=16， 0，
求m的值.
【解题设问】(1)此题需要分类讨论吗？_需__要__
(2)m与0的大小关系是m__<__0_或__m__≥_0
分段函数的图象和综合应用 【技法点拨】
1.作分段函数图象的注意点 求作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定 着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开 处是实点还是空心圈. 2.利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言； (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型； (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.
【解题指导】
【规范解答】∵A中的元素x与B中的元素y=3x+1对应，……1分
∴A中的元素1，2，3，k对应B中的元素4,7,10,3k+1. ……3分
1.2.2第二课时 分段函数与映射
f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )=3-2 3 .f(- 5 )=- 5 +1=- 3 ,而-2<- 3 <2,
22
2
2
所以 f(f(- 5 ))=f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )= 9 -3=- 3 .
2
2
2
24
4
(2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. (3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5,解得m<4, 又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).
H(x)=
400x
40000
x2
x
0 x
200
,
200
,
其中
x
是
仪器的月产量.(利润=总收入-总成本)
(1)将利润表示为月产量x的函数;
解:(1)设月产量为 x 台时的利润为 f(x), 则总成本 t=7 500+100x, 又因为 f(x)=H(x)-t,
所以利润
f(x)=
x2 300x 7500
分段函数及映射 课件
探究提示： 1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式. 2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段 函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.
【解析】1.选C.当x∈［-1,0］时，设f(x)=ax+b,由图象过点
(-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x∈(0,1］
(4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元 素与之对应.
【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法 判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足： (1)集合A中元素在B中都有元素与之对应且唯一. (2)对应是一对一或多对一.
映射与函数的关系 【典型例题】 1.下列对应为A到B的函数的是( ) A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x| B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2 C.A=Z,B=Z,f:x→y= x D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0
【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B, 故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的 函数；对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但2 无意义，故C不是A到B的 函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函 数. 2.①②是映射，但②中A不是数集，所以②只能是映射，而不是 函数.③中当x=0时，在集合B中没有元素与之对应. 答案：①② ①
2.对映射概念的理解 (1)非空集合：集合A,B可以是数集、点集或其他集合，但一 定是非空的. (2)顺序性：集合A，B有先后顺序，从A到B的映射和从B到A 的映射是不同的. (3)唯一性：A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应， 即要求对应是“一对一”或“多对一”.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
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反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
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变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
1.2.2-2 分段函数及映射》课件
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？
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1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，
有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函
思路分析：由题目可获取以下主要信息： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应
关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元 素在B中是否都有唯一元素与之对应．
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解： ) 1 ( 集合A＝N中元素1在 对 应 关 系 为0， 而0∉N*，即A中元素1在 对 应 关 系 下 之对应， 故 不 是 映 射 ． ) 2 ( A中元素6在 对 应 关 系
答案：(－3,1)
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5． 已 知
x＋1 f(x)＝π 0
(x>0) (x＝0) ， 求 f{f[f(－ } ]) 3 (x<0)
．
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已 知 函 数
f(x)＝
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x＋2 (x≤－3) 2 x (－3<x<3)， 2x (x≥3) 求 f{f[f(－ } ]) 4 的值．
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|x|－x 已 知 函 数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 ) 1 ( 用 分 段 函 数 的 形 式 表 示 该 函 数 ； ) 2 ( 画 出 该 函 数 的 图 象 ； ) 3 ( 写 出 该 函 数 的 值 域 ．
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象
• 原象 (2)给定一个集合A到集合B的映射时，a∈A， b∈B如果b和a对应，那么我们把元素b叫做 ，元素a叫做b的 ．
• 本节重点：①分段函数概念的理解；②映 射定义理解． • 本节难点：①函数图象的画法；②分段函 数的理解应用；③用映射理解函数的定 义．
• (1)分段函数的定义域是各段自变量取值集 合的并集；值域是各段函数值集合的并集； 最大 ( 小 ) 值是各段上最大 ( 小 ) 值中的最大 (小)者．研究分段函数常借助图象进行． • (2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A， 象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B 的对应法则 f. 两个集合 A、 B 可以是数集， 也可以是点集或其它集合．对应法则f可用 文字表述，也可以用符号表示．映射是一 种特殊的对应，它具有：
• 总结评述：在一个给定的映射f：A→B中， A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对 应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A 中元素对应B中元素的集合实际上是集合B 的一个子集．在涉及元素的对应问题中， 常常需要建立方程组求解．
下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A．A＝B＝N*，对应法则 f：x→y＝|x－3| B．A＝x→y＝ 0，(x＜0)
C．A＝B＝R，对应法则 f：x→y＝± x 1 D．A＝Z，B＝Q，对应法则 f：x→y＝ x
• [答案] B • [分析] 判断两个集合之间的对应是否为映 射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中 的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的 元素和它对应．
[解析]
|x| 由 于 y ＝ |x － 1| ＋ x ＝
－x，(x＜0)， 2－x，(0＜x＜1)， x，(x≥1)， 其图象如图所示：
•
总结评述：函数的图象可以是一些线段， 一段曲线，甚至是一些点．表示函数的式 子也可以不止一个，这类用几个式子表示 的函数叫做分段函数．分段函数是一个函 数，而不是几个函数，必须分段画出函数 图象，尤其需注意特殊点．
• [ 例 3] 已知集合 A ＝ B ＝ {(x ， y)|x 、 y∈R} ， 给定映射f：A→B，使得集合 A中的元素 (x， y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应． • (1)求A中元素(－2,3)的象； • (2)求B中元素(2，－3)的原象； • *(3)判断集合 A中是否存在元素与 B中形如 (a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不 存在，说明理由． • [分析] 由对应法则，可以根据A中元素与 B 中元素的对应关系建立起关于 x 、 y 的方 程组．其中第(3)问即是判断相应的方程组
• ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到B的映射与从B到A的映射是不同的； • ②任意性：集合 A 中的任意一个元素都有 象，但不要求 B 中的每一个元素都有原象； • ③唯一性：集合 A 中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
• [分析] 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应法则为 依据，采用列表、描点法作图．
x＝－1， 或 y＝3；
即 B 中元素(2，－3)的原象为
(3，－1)和(－1,3)两个；
(3)假设 A 中的元素(x，y)与 B 中元素(a，a2)对应，则有
x＋y＝a， 2 xy ＝ a ；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当 且仅当 a＝0 时， B 中形如(a， a2)的元素在 A 中存在相对应的 元素为(0,0)；而当 a≠0 时，这样的元素不存在．
• [解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于 是A中有一个元素在B中没有元素和它对应， 故不是映射；在C中，集合A中的负数在B 中没有元素和它对应，故也不是映射；(或 者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中， 集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而 0在B中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义，故选B.
• [ 例 2] 设 f ： M→N 是集合 M 到集合 N 的映 射，下列说法中正确的是 • ( ) • A．M中每一个元素在N中必有元素与之对 应 • B．N中每一个元素在M中必有元素与之对 应 • C．M中的元素在N中可以有不同元素与之 对应
• [解析] 在映射中允许集合N中的某些元素 在集合M中没有元素对应，所以B是错误的； 又因为映射中允许集合M中不同元素对应集 合N中相同的元素，就是说可以“多对一”， 因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的， 故C错，∴选A.
[解析]
(1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A
中元素(－2,3)的象是(1，－6)； (2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应
x＋y＝2， 法则有 xy＝－3； x＝3， 解得 y＝－1；
所以 x、 y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根，
图中的图象所表示的函数的解析式为( 3 A．y＝2|x－1|(0≤x≤2) 3 3 B．y＝2－2|x－1|(0≤x≤2) 3 C．y＝2－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[答案] B
)
[解析]
可将原点代入，排除选项
3 A，C，再将点1，2
代入 D 项，不符合，所以选 B.
• 1 ．当自变量 x 在不同的取值区间 ( 范围 ) 内 分段函数 取值时，函数的对应法则也不同的函数为 ． • 分段函数是一个函数，不是几个函数，只 是在定义域的不同范围上取值时对应法则 不同，分段函数是普遍存在又比较重要的 一种函数． 任何 唯一 • 2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种 对应关系f，对于集合 A中的 一个元素， f： A→B 在集合B中有 确定的元素和它对应， 那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f) 叫做集合A到B的映射，记作 .