运用转化与化归思想方法解题老师汇总
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
转化与化归思想第二篇_转化与化归思想在握_何愁函数问题_王佩其
点拨数学有数充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果．如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误．例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持．同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外．我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法．正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！■王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一．一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力．面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1．已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且［0，＋∞）在上是增函数．当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞f（0）对所有的θ∈［0，π2］均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）＝0．又在［0，＋∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数．由题设条件可得f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞0．又由f（x）为奇函数，可得f（cos2θ－3））＞f（－4m＋2m cosθ）.∵f（x）是R上的增函数，∴cos2θ－3＞－4m＋2m cosθ.即cos2θ－m cosθ＋2m－2＞0．令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1．于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－m t＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m（t－2），即m＞t2－2恒成立．又∵t2－2t－2＝（t－2）＋2t－2≤4－22姨，当且仅当t＝2－2姨时取等号．∴m＞4－22姨．∴存在实数满足题设的条件，m＞4－22姨．点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题．二、利用特殊化将抽象向具体转化例2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）A．x2＋x－15B．x2＋x＋15C．x2－15D．x2＋15解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解，即x－g（x）＝0有实数解．这样很明显得出结论，B选项能使x－g（x）＝0没有实数解，故本题选B．点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松．像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m．对数函数型：f（xy）＝f（x）＋f（y）．幂函数型：f（x＋y）＝f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归．三、通过换元实现函数之间的转化例3．已知函数f（x）＝（1）x，x∈［－1，1］，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a）．（1）求h（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为［n，m］时，值域为［n2，m2］．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由f（x）＝（1）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t＝（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）．因为x∈［－1，1］，所以（13）x∈［13，3］.设（13）x＝t，t∈［13，3］，则g（x）＝φ（x）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2．当a＜13时，h（a）＝φ（13）＝289－23a；当1≤a≤3时，h（a）＝φ（a）＝3－a2；当a＞3时，h（a）＝φ（3）＝12－6a．所以h（a）＝28－2a，（a＜1）3－a2，（13≤a≤3）12－6a.（a＞3∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈）34广东教育·高中2015年第2期GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG（2）由（1）知当m＞n＞3时h（a）的表达式，考察h（a）在［n，m］上的单调性，结合其值域［n2，m2］，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．因为m＞n＞3，a∈［n，m］，所以h（a）＝12－6a．因为h（a）的定义域为［n，m］，值域为［n2，m2］，h（a）且为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2∈，两式相减得6（m－n）＝（m－n）（m＋n）.因为m＞n，所以m－n≠0.故有m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．四、正难则反转化例4．若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）＝x3＋（m＋2）x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数．g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立．由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥2x－3x当x∈（t，3）时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2－3x当x∈（t，3）时恒成立，则m＋4≤2－9，即m≤－37．∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为－373＜m＜－5．点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．五、主与次的转化例5．已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋＋3x2－5，－1≤a≤1．对－1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，∴φ（1）＜0，φ（－1）＜0∈，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0∈，解得－2≤x≤1．故当x∈［－2，1］时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0．点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［－1，1］内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．六、函数、方程、不等式之间的转化例6．设f（x）＝ln（x＋1）＋x＋1姨＋ax＋b（a，b∈R，且为常数），曲线y＝f（x）与直线y＝3x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜9xx＋6．解析：（1）把函数问题转化为方程问题．由y＝f（x）的图像过点（0，0），代入得b＝－1．由y＝f（x）在（0，0）处的切线斜率为32，知y′│x＝0＝（1＋12x＋1姨＋a）│x＝0＝3＋a＝3，得a＝0．（2）把不等式问题转化为函数单调性问题．证：由基本不等式，当x＞0时，2（x＋1）·1姨＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1姨＜x＋1.记h（x）＝f（x）－9xx＋6，则：h′（x）＝1x＋1＋12x＋1姨－54（x＋6）2＝2＋x＋1姨2（x＋1）－54（x＋6）2＜x＋64（x＋1）－54（x＋6）2＝（x＋6）2－126（x＋1）4（x＋1）（x＋6）2.令g（x）＝（x＋6）3－216（x＋1），则当0＜x＜2时，g′（x）＝3（x＋6）2－216＜0.因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）＝0，得g（x）＜0，所以h′（x）＜0．因此h（x）在（0，2）内是减函数，又由h（0）＝0，得h（0）＜0．于是当0＜x＜2时，f（x）＜9x．点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”．函数与导35广东教育·高中2015年第2期广东教育·高中2015年第2期点拨数学有数图2yyO－2Q P 2P 1数的综合性问题，历来是高考的压轴题．解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢■毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”．高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”．三角函数，善于转化才会赢．那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1．求函数y ＝5sin x ＋cos2x 的最值．解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一．y ＝5sin x ＋（1－2sin 2x ）＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2（sin x －54）2＋338．∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π（k ∈Z ）时y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π（k ∈Z ）时y m ax ＝－2×1＋33＝4．点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y ＝A sin （ωx ＋φ）＋b 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 等形式，进而采用相应的方法求最值．二、利用数形结合转化函数的表现形式例2．当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图像，要使不等式sin πx 2≥kx 成立，由图1可知，需k ≤1．点评：图像是函数的另一种表现形式．数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x ≤1时，不等式sin πx ≥kx 恒成立，即当0≤x ≤1时，函数y 1＝sin πx 2的图像在函数y 2＝kx 的上方．作出两函数图像后比较，即可轻易得出k ≤1．三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3．若方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，等价于求a ＝8的值域．∵3sin x ∈［13，3］，∴2·9sin x ＋4·3sin x ＋1∈［239，31］，则a 的取值范围为8≤a ≤72．点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”．四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4．求函数y ＝3姨cos x 2＋sin x的最大值和最小值．解析：联想斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2，将原式变形为y 3姨＝cos x －0，则求y 的最值可转化为求点（sin x ，cos x ）与点（－2，0）的连线的斜率范围．设点P （sin x ，cos x ），Q （－2，0），则y 3姨可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如图2：设直线OP 1的方程为y＝k （x ＋2），即kx－y＋2k ＝0，则圆心（0，0）到它的距离d ＝│2k │k 2＋1姨＝1．解得k 1＝－3姨3或k 2＝3姨3，所以－3姨3≤y 3姨≤3姨3，即－1≤y ≤1．故y m ax ＝1，y min ＝－1．点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cos x 和sin x 的一次式．五、通过合理变角转化例5．已知tan （α－β）＝1，tan α＝17，且α∈（0，π），β∈（π，π），求α－2β．解析：α－2β＝（α－β）－β，而已知条件没有β的三角函数式，所以首先要求出tan β的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan （α－2β）的值进而求出α－2β的度数．∵tan （α－β）＝15，tan α＝177，图1xyy 1＝sin πx2y 2＝kx36。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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李 文靖
江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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让学生学会运用“转化”思想解题
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比 较 两 种 思 路 ， 路 一 比较 繁 ， 生 思 学 不易做对 ， 也不符合解填空题的要求 ，小 “ 题大做 ” 了。究其原 因是思路一解题时落 入俗套 ， 没有认 真体会题意 ； 思路 二从题 意 出发 ， 过 等 价 转 化 ， 通 简化 解 题 过 程 ， 避 免 分 类 讨论 ， 此 ， 好 转 化 思 想 解 题 的 因 用 前 提 条件 就 是 读 懂 题 意 ， 用好 等 价 转化 。 二 、 难 而 思 。 施正 反 转 化 遇 实 例 ２ 已 知 三 条 抛 物 线 Ｃ．
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数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
如何利用化归转化思想进行解题
如何利用化归转化思想进行解题作者：林敏燕来源：《广东教育·高中》2011年第06期化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为熟悉的规范性的问题来解决的思想方法.化归转化思想是考生解决难题时常用的手段，也是高考数学中思想方法的重要内容.在解题实践中，大部分试题的条件与目标的联系不明显，能否根据问题的特点和解题中出现的具体情况“随机应变”，调整思路，转换策略，是我们能否顺利解题的一个关键因素，也是思维灵活性的一个重要体现，强化解题过程中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧.因此，在平时的学习中，当同学们遇到困难时，要不停地问自己：“我能把这个问题转化吗？转化为自己熟悉的问题？更一般的问题？更简单的问题？”在转化的过程中，就能很自然地提高自己的解题能力.下面举例说明.一、化定点（定值）问题为函数恒成立问题在解析几何中，定点（定值）问题是一个难点，常常会使考生陷入困境.如果能把定点（定值）问题转化为函数的恒成立问题，那么问题的解决就会有了一个好的方向.例1．已知动圆过定点（，0），且与直线x=-相切，其中p＞0.（I）求动圆圆心C的轨迹方程；（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.[分析与解]本题的难点是第二问，二条直线的倾斜角是二个锐角，且不是特殊角.利用这二个角的和是定值，可以得到一个方程，因此，要解决第二问，只有从这个方程来入手.解法如下：（I）如图，设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，由题意知：｜MF｜=｜MN｜，即动点M到定点F与定直线x=-的距离相等.由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F（，0）为焦点，x=-为准线，所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；（II）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2且x1，x2≠0，所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=，x2=，将y=kx+b与y2=2px（p＞0）联立消去x，得ky2-2py+2pb=0，由韦达定理知y1+y2=，y1•y2=…①由+=，得tan=1==.将①式代入上式整理化简可得：1=.此时，直线AB的方程可表示为y=kx+2p+2pk即k（x+2p）-（y-2p）=0，把该式看成为一个关于k的一次函数恒等于0，令x+2p=0,y-2p=0x=-2p，y=2p，所以AB直线恒过定点（-2p,2p）,故当=时直线AB恒过定点（-2p,2p）.[反思]这是一道难度较大的的试题，得到最后的直线方程含有多个变量，我们把直线的斜率看成主变量，从而把问题转化为一次函数恒成立问题.在证明直线经过一个定点时，往往这个点落在坐标轴上，而本题没有这个特殊性，这是使很多同学在考试中陷入困境的一个原因.在证明直线经过一个定点时，我们也常常先取特殊值，把定点先求出来，而本题也不行，这是使很多同学在考试中陷入困境的另一个原因.从本题可以看出，掌握一般的解题方法，把恒过定点的问题转化为一次函数的恒成立问题，就达到了化难为易的效果.二、合理利用几何性质对问题进行转化在解题过程中，我们常常会遇到一些比较复杂的计算问题，如果我们能合理地利用一些几何性质，往往能够使计算量大为减少.例2．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．２B．６ C． 3 D ． 2[分析与解]直接假设在直线AB上的点C的坐标，再利用反射的性质求出在OB上的点D 的坐标，最后利用二点的距离公式，把距离之和表示出来.这个思路理论上可行，但是计算能力要求很高.因此，直接求解显然太耗时间，我们得把问题进行转化.事实上，我们作出点P点关于直线AB的对称点Q，点P关于直线OB的对称点H，由对称性，就可以把线段进行转化，再利用二点之间线段最短的原理可知H，D，C，Q四点共线时，线段QH的长度即为所求.要求出|QH|，只需求出Q、H的坐标即可.而H点显而易见，故只需求出点Q的坐标即可.由上分析可知，设点Q（a，b），依题意有：=1，+=4a=4，b=2.而显然H（-2，0），故｜QH｜=2，选A.[反思]这是一道较难的选择题，不会转化的同学即使做出来了，也会用去太多的时间.当遇到求几条线段之和的最值时，一定要考虑几何性质的利用.通过对线段的转化，把一个较为复杂的问题转化为求一个已知点关于定直线的对称点的简单问题.可见转化是多么的重要！三、巧妙地利用数形结合，把复杂的变量求法转化为简洁的图像问题在求数学的通项公式时，往往条件会比较多，让我们找不到解题的方向.如果把数列中的变量视为平面直角坐标系中的横（纵）坐标，那么就可以把问题转化为另一个问题来处理.例3．设等差数列｛an｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.若a1≥6，a11≥0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.[分析与解]是一道条件比较多的数列题，显然，解方程是不能把首项和公差求出来的，条件给出了三个不等式，而且还有整数的条件，由此想到能否转化为线性规划的整点问题来处理.由S14≤77，a11≥0，a1≥6，得２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，a1≥6.把上式看成是关于a1，d两个变量的关系式中的一个可行域，只须求可行域内的整点即可.在可行域中可以看出－≤d≤-.又d∈Z,故d＝－１,代入２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，得１０≤a1≤１２.又a1∈Z,故a1＝１０，１１，１２.所以，所有可能的数列｛an｝的通项公式是an ＝１1-n，an＝１２-n，an＝１３-n.[反思]本题把一道数列题的问题转化为一个线性规划问题，而这样的线性规划问题是常见的整点问题.相对而言，解不等式组是比较困难的，而且很容易犯错，所以，只要同学们准确地作出可行域，问题就迎刃而解了.四、曲线与方程的等价转化在高三复习中，常常会有对曲线的性质进行描述的语句，因此，我们需要对这些语句进行等价转化，把问题转化为简单的方程问题来处理.例4．已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m．设f（x）=.若曲线y=f（x）上的点Ｐ到点Q（０，２）的距离的最小值为2，求m的值.【分析与解】本题对二次函数y=g（x）进行了多方面的描述，因此需要对这些条件用代数式来表示出来.曲线的最值也需要进行转化，转化为我们熟悉的最值问题来解决.依题可设g（x）=a（x+1）2+m（a≠0），则g′（x）=2a（x+1）=2ax+2a.又g′（x）的图像与直线y=2x平行，∴2a＝2，a＝１.∵g（x）＝（x+1）2+m＝x2＋2x＋m＋1，∴f（x）=＝ x＋＋2.设P（x0，y0），则｜PQ｜2=x20+（y0-2）2=x20+（x0+）2=2x20++2（m+1）≥2｜m+1｜+2（m+1）.当且仅当2x20=时，｜PQ｜2取得最小值，即｜PQ｜取得最小值2.当m+1＞0时，（2+2）（m+1）=4m=2-3;当m+1＜0时，（2-2）（m+1）=4m=-3-2.[反思]本题的困难之处就是在于最值问题的转化，当我们把这个最值是如何得到的问题解决时，解题思路一目了然.因此，高三在复习导数与最值方面时，特别要注意条件的转化，借助函数与方程来解决问题.五、利用曲线的几何性质来进行转化圆锥曲线问题是高三复习的难点，一旦出现在大题中，很多同学会望而生畏，原因很简单，就是未知数多，计算量大，而且思路难找到.有时我们可以思考一下曲线的几何性质，进行转化一下，可能问题就变得简单了.例5．已知抛物线L：x2=2py和点M（2，2），若抛物线L上圆锥存在不同两点A、B 满足+=0．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．[分析与解]（第一问略）这是一道难度相当大的试题，第一，知识点繁多，包括了圆，抛物线，向量，直线等内容；第二，未知数太多，计算量大；第三，思路不清晰，不知从何处下手.先看假设的点的坐标，有三个点A，B，C，再看条件，圆与抛物线有相同的切线，可以得到二个信息，一个是切线的斜率可以用导数来表示，二是弦切角等于圆周角，而圆周角的正切值可以用点的坐标来表示.假设存在这样的点C满足题意，依题意，可设A（2x1，x21），B（2x2，x22），C（2x3，x23），记圆在点C处的弦切角是，切线为直线l，从而有∠CBA=，∴KCA=，KBA=，KBC=，Kl=x3.又+=0，故有：=2，=2.由tan∠CBA=tan可得：=，把上式代入可得：=.把=2，=2代入，化简整理可得：x23+（x1-2）x3+2x1-8=0x3=-2，x3=4-x1.显然，x3=4-x1x2=x3，故舍去.所以x3=-2.当点C的坐标是（-4，4）时，满足题意.[反思]这是一道高考模拟题的压轴题，极少的同学能把它做对.但是，一道如此复杂的题利用圆的几何性质和斜率公式竟然能使计算量大大减少，是一件很不可思议的事情.如果利用三点共圆及抛物线的性质进行去计算，那么计算量会让很多同学望而却步，实在复杂！如果同学们有兴趣，不妨一试.从上述几例可以看出，转换化归思想就是要把复杂的困难的问题转化为常规的熟悉的的问题来处理，最重要的就是让问题得到简单处理，让计算量大为减少.同学们如果在平时的复习中，养成了一题多思的习惯，思维能力就会有很大的提高，在解题中能快捷地转化为自己熟悉的题型来处理.（作者单位：汕尾市华南师大附中汕尾学校）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用
第7讲化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
化归与转化思想在解题中的应用
化归与转化思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化．常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决．3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始．5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见．6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化．7、函数与方程的转化二、典例剖析例1．函数极限的值为（）.A．B．C．D．分析：依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.解：由导数的定义可知．故选C．点评：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数在处的导数．例2．数列中，，，则＝______________.解：通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，选C.点评：利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.例3．（2005年湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）A．B．C．D．分析：以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决．解析：以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有＝28×55种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有(28×55－12×6)种取法，∴以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为，选(A)．点评：当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去掉（这在排列组合、概率题中常用），或验证问题的反面不成立（反证法），从而使问题得以解决．B1C1中，底面为直角三角形，∠例4．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．分析：这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.点评：此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．例5．已知函数的部分图象如图(，且)．(1)求的值；(2)若关于的方程（，且）有两个不等实数根；①若证明在（－π，）内有两个不等实数根；②上述①的逆命题是否成立，并证明．解：(1）由图象易知函数的周期为（π）=2π．∴，上述函数的图象是由的图象沿轴负方向平移个单位得到的，其解析式为．∴(2）①由得||≤∴＞－1．同样||≤∴＜１．令，显然而二次函数的对称轴∈(－1,1)．∴二次方程两实根在（－1，1）中．∴关于的方程在（－，）内有两个不同实根．②逆命题不成立．反例，关于的方程为．显然方程在（－，）内有两个不等的实根，并=＋=1．例6．（2007安徽卷理）设，．（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有．分析：（1）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；（2）要证当时，恒有，可转化为证时，亦即转化为时恒成立；因，于是可转化为证明，即在上单调递增，这由（1）易知．解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调递增．所以当时，，即．故当时，恒有．点评：对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之．这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到．例7．（2007年全国Ⅱ理）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．分析：（1）已知数列的递推公式，求数列的通项，常通过变形使之转化为形式的等差或等比数列来解决；（2）比较与的大小，这里由于式子里含有根号，因此可通过平方化无理为有理，比较与的大小．解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得．（2）方法一：由（1）可知，故．那么，又由（1）知且，故，因此为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由可得，即.两边开平方得．即为正整数．点评：数列是每年高考的必考内容．已知数列的递推公式或已知数列前n项和与的关系求数列通项也是常考内容．若已知数列的递推公式为（）的形式，求数列的通项时常通过变形使之转化为形式的等比数列来解决；若已知数列前n项和与的关系式求数列通项，则常用将与的关系式化归转化为与（或与）间的递推关系再进一步求解．例8．（2007年全国卷II理）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．分析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点的曲线的切线方程，曲线有三条切线可转化为方程有三个相异的实数根，即函数有三个零点，故只需的极大值大于零且的极小值小于零．解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型．例9．已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点．①若，求函数的解析式；②求的取值范围．解：（1）三个函数的最小值依次为1，，，由，得．∴，故方程的两根是，．故，．，即．∴．（2）①依题意是方程的根，故有，，且△，得．由．；得，．由（1）知，故，∴，．∴．②（或）．由（1）知．∵，∴，又，∴，，（或）．∴．例10．（2007年福建理）已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．分析：（1）求出的导函数，易得的单调区间；（2）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围．解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（3），，，由此得，．故.点评：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（2）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间上问题来讨论．例11．已知、是方程（）的两个不相等实根，函数的定义域为．（1）求；（2）证明：对于（），若，则有．解：（1）设，则因为、是方程（）的两个不相等实根，所以，即，从而有，所以函数在区间上是增函数，由此及，得；（2）证明：当且仅当，即（）时取得等号，从而，而，当且仅当时取得等号，故有．冲刺练习一、选择题1．定义集合运算：A⊙B=｛z|z= xy(x＋y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．182．设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆的个数是（）A. 43B. 72C. 86D. 904．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.5B.4C.3D.25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48B. 18C.24D.366．点P到点A(，0)，B(，2)及到直线x＝－的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A. B.C.或D.－或7．如果二次方程x2－px－q=0(p，q∈N*) 的正根小于3，那么这样的二次方程有（）A. 5个 B. 6个C. 7个D. 8个8. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0－9和字母A－F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E＋D=1B，则（）A.6EB.72C.5FD.B010．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义f(P)=(λ1，λ2，λ3)，若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），则（）A. 点Q在△GAB内B. 点Q在△GBC内C. 点Q在△GCA内D. 点Q与点G重合[提示]二、填空题11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形．不必证明．类比性质叙述如下：_____________________．12．规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是_____________________．13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是_____________________．14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_____________________．15．设函数f (x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0，]上的面积为___________；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为______________.16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）[答案]三、解答题17．设函数．y=f(x)图像的一条对称轴是直线．（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3）证明直线与函数的图像不相切．[答案]18．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为．(1)求P0，P1，P2；(2)求证:．(3)求玩该游戏获胜的概率．[答案]19．如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.（1）分别用不等式组表示W1和W2；（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.[答案]20．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且＝＋；②且＝．（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M 成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．提示：1、当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D．2、A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C．3、根据题意，是不大于10的正整数、是不大于8的正整数．但是当时是圆而不是椭圆．先确定，有8种可能，对每一个确定的，有种可能．故满足条件的椭圆有个．选B．4、由题意至少可得f(0)=f(2)=f(－2)=f(3)=f(－3)=f(－5)=f(5)=f(1)=f(4)=0，即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5，选(D)．5、正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D．6、（思路一）点P在抛物线y2=2x上，设P(，y)，则有（＋）2=（－）2＋(y－2)2，化简得(－)y2－4y＋2＋=0，当=时，符合题意；当a≠时，Δ=0，有－＋＋=0，( ＋)(2－＋)=0，=－．选D.（思路二）由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=－时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D.7、由△=p2＋4q>0，－q<0，知方程的根为一正一负．设 f(x)=x2－px－q，则 f(3)=32－3p－q>0，即 3p＋q<9.由于p，q∈N*，所以 p=1，q≤5 或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．8、设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n，直线 m、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．故选D．9、∵A=10，B=11，又A×B=10×11=110=16×6＋14，∴在16进制中A×B=6E，∴选A．10、由题f(p)=若G为.而与之比较知．．故选A．11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．（4）在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变．（5）在空间，射线上任意一点到平面、、的距离之比不变．12．13．25914．(0.1＋p)a 15．16．①③④⑤提示：12、由得，解得k=1，所以f(x)=，f(x)在（0，＋∞）内是增函数，故f(x)＞1，即f(x)的值域为．13、第1行第1个数为1＝，第2行第1个数为2＝，第3行第1个数为4＝，…，第9行第1个数为＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259．14、设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为Eξ=x(1－p)＋(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1＋p)a．即顾客交的保险金为(0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a．15、由题意得：y=sin3x在上的面积为，在上的图象为一个半周期，结合图象分析其面积为．16、B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤．17．（1）解：∵是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴，∴，∵－，∴．（2）由（1）知，因此．由题意得，所以函数的单调增区间为．（3）证明：∵｜｜=|(|=||≤2．所以曲线y=f(x)的切线的斜率取值范围是[－2，2]，而直线5x－2y＋c＝0的斜率为＞2，所以直线5x－2y＋c＝0与函数的图象不相切．18．解：(1)依题意，得P0=1，P1=，.(2)依题意，棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能：第一种，棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为．∴．∴．即．(3)由(2)可知数列{}(1≤n≤99)是首项为公比为－的等比数列，于是有=．因此，玩该游戏获胜的概率为.19．解：（1）（2）直线直线，由题意得即由知所以即所以动点P的轨迹方程为（3）当直线与轴垂直时，可设直线的方程为由于直线、曲线C 关于轴对称，且与关于轴对称，于是的中点坐标都为，所以的重心坐标都为，即它们的重心重合.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为由，得由直线与曲线C有两个不同交点，可知，且设的坐标分别为则设的坐标分别为由从而所以所以于是的重心与的重心重合.20．解：（1）．．（2），（3）．∴，，．，，等．即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立．。
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（）.分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.【例２】设x、y∈Ｒ且3x2+2y2=6x，求x2+y2的X围.分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的X围的问题.其中要注意隐含条件，即x的X围.解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法2：由所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.【例３】求值：cot10°-4cos10°分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.解法：cot10°-4cos10°【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.【例4】球面上有３个点，其中任意两点的球面距离都相等于大圆周长的，经过３个点的小圆周长为４π，那么这个球的半径为（）.分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法.由任意两点球面距离相等，则这三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的，则任意两点与球心构成的圆心角为，即，且任意两点与球心构成过这两点大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意二点的平面距离.运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这小圆上内接正三角形的边长.解：设Ａ、Ｂ、Ｃ为球面上三点，过其中Ａ、Ｂ两点的大圆，如图，Ｏ为球心，则∠ＡＯＢ＝=，且ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.则ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.同理ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝Ｒ，∴△ＡＢＣ为等边三角形.设过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的小圆为⊙Ｏ′，如图２，半径为r，则由2πr=4π，得r=2，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝Ｒ＝2rsin=4=2. ∴应选Ｂ.【点评】这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求△ＡＢＣ的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的”.【例5】（某某卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：（Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；（Ⅱ）－２＜<-1；（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.思路分析：对于（Ⅰ），应首先看系数3a是否为０.若a=0，则b=-c，f（０）f（１）＝c（３a+2b+c）=－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.从而有对于（Ⅱ），结论等价于（+1）（＋２）＜０.故由条件中消去c，有（a+b）（2a+b）<0，除以a2即可.对于（Ⅲ），应将转化为关于的表达式，即，再利用（Ⅱ）的结论求解.【点评】本题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进.（Ⅱ）、（Ⅲ）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.【例6】（某某卷）设a为实数，设函数f（x）＝a+的最大值为g（a）.（Ⅰ）设t=，求t的取值X围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.思路分析：（Ⅰ）１. ∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∴t的取值X围是［，２］.由①得c osθ-sinθ+cosθ=2cosθ，由于所以，即t∈［，2］，f（x）＝acos2θ+t.又t＝3. 令则t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［，２］.从而求出m（t）的解析式.（Ⅱ）、（Ⅲ）略.【点评】本题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基本知识，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f（x）的基本思路，只要经过换元很容易转化为常规的二次函数问题，其中的分类讨论对学生思维的周密性考查得力，具有很大的区分度.本题（Ⅰ）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了t的取值X围以及m（t）的解析式.【例7】（某某卷）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求：（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间.解：（Ⅰ）解法1:∴当时，f（x）取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是｛xx=kπ+，k∈Z｝.解法２：∵f（x）＝（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+ 1+cos2x=2+sin （2x+）.∴当取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（Ⅱ）f（x）＝２＋sin（2x+）.由题意得2kπ-≤因此，f（x）的单调增区间是【点评】本题两问的求解都需同学们将f（x）准确而合理地转化为的形式，即考查同学们对三角函数式的转化与化归的能力，这也是高考试题重点考查的能力之一.【例8】（某某卷）已知数列｛a n｝满足2a n（n∈N+）.（Ⅰ）证明：数列｛an+1-an｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅲ）若数列｛b n｝满足（n∈N+），证明｛bn｝是等差数列.解：（Ⅰ）证明：a1=2为首项，２为公比的等比数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得（Ⅲ）证明：∵,∴∴｛b n｝是等差数列.【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查综合解题能力.【例9】如图，在五面体ＡＢＣＤＥＦ中，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线的交点，面ＣＤＥ是等边三角形，棱ＥＦＢＣ.（１）证明ＦＯ∥平面ＣＤＥ；（２）设ＢＣ＝CD，证明ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.解：（１）证明：取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＯＭＢＣ，又ＥＦＢＣ，则ＥＦＯＭ.连结ＥＭ，于是四边形ＥＦＯＭ为平行四边形. ∴ＦＯ∥ＥＭ.又∵ＦＯ平面ＣＤＥ，且ＥＭ平面ＣＤＥ，∴ＦＯ∥平面ＣＤＥ.（２）证明：连结ＦＭ，由（１）和已知条件，在等边△ＣＤＥ中，ＣＭ＝ＤＭ，ＥＭ⊥ＣＤ且ＥＭ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＥＦ.因此平行四边形ＥＦＯＭ为菱形，从而ＥＯ⊥ＦＭ，∵ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＤ⊥ＥＭ∴ＣＤ⊥平面ＥＯＭ，从而ＣＤ⊥ＥＯ，而ＦＭ∩ＣＤ＝Ｍ，所以ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.【点评】立体几何是考查转化与化归的重要截体，如本题中的位置关系转化（第（Ⅰ）问中的线线平行与线面平行的转化，第（Ⅱ）问中的线线垂直与线面垂直的转化），空间向平面的转化、等积转化等等.【例10】. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,π2)，若x1、x2∈(0,π2)且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x x122)【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
转化与化归思想在解题中的应用
转化与化归思想在解题中的应用
杜加强
【期刊名称】《考试（高考数学）》
【年(卷),期】2012()3
【摘要】转化有等价转化与不等价转化．等价转化要求转化过程的前因与后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得的结果为原题的结果；不等价转化其过程则是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．不等价转化要对所得结论进行必要的修正（如解无理方程转化为解有理方程，要进行验根）．
【总页数】2页(P70-70)
【作者】杜加强
【作者单位】江苏省盱眙中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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培养学生用转化与化归思想解题的点滴做法
时， Ｙ 有最小 值一 ；当 “ ｊ ｊ 时，即 ｘ ＝ 矗 时， Ｙ 有 最大 值２ ， 因此 ， ｙ ｅ １ ． ， ２ １ 。至此学生感觉这两个 题目 实质上是一样的，
恍然大悟后 ，更深刻 的感受到利用 换元 法把复杂 问题转化成
简单 问题 的意义 。
切ｘ （ ｏ ， 成立 ， 则ｎ 一 ； ， 所以ａ 的最小值为一 ｉ ．
２ ，因此 ， ｅ 、 ， ； ， ２ ｌ ；接着，我又提出了第二个 问题：请同
学们 比较 一下两个题 目的异 同，你 认为二者有怎样 的关系 ？
学 生易 发现 了，从而想 到 需根据 Ｘ的范 围求 出２ ｘ 了
系 式 的值 域 求 出 ａ的 范 围 ，进 而 求 出 ａ的 最 小 值 。
解决这 一问题需要应用 二次 函数 以及 二次方程 区间根 原理 ，
二、利用数与形 的联系实现转化
例２ ， 已知 Ｏ ＜ ｘ ＜ １ ， Ｏ ＜ ｙ ＜ ｉ ， ｛ 蕊 ＋ ： 丽
求证 ：
， ＿ ２ ４ ｉ
可想而 知 ，困难重重 ， 相 当复杂 ，如果 能注 意到条件ｐ ［ ０ ， ４ 】
１
《
培养学生用转化与化 归思想解题的点滴做法
山西省 太原二 十 九 中 安修 富
在 中学数学 的教 学中 ，有一些数 学问题 ，直接求解 比较 困难 ，需利用转 化与化归 的思想 方法进行 适当 的转化解 决 ， 而学 生作为初学 者 ，对于如何 实现转化 ，常 常觉无从下手 ，
，
＿ ，（ ）： 、 丁 了＝ 『
＋
＋ √ ＿＿ｊ 丁了
，
设 Ａ （ ２ ， ３ ｌ （ ６ ， １ ） ｅ （ ｘ ， ｏ ）
例析解题教学中转化与化归思想方法的渗透
>2020年7月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯作者简介:彭永宁(1979-),本科学历,中学高级教师,从事高中数学教学,曾获市优秀班主任荣誉称号.例析解题教学中转化与化归思想方法的渗透彭永宁甘肃省敦煌中学736200［摘要］数学思想是解题的精髓,只有在解题中注重数学思想的渗透,才能不断深化和拓宽学生的思维.文章以多个典型例题为例,研究了转化与化归思想的几种解题方法,揭示转化与化归思想对于数学解题的深刻意义,从而提高学生的数学解题能力.［关键词］高中数学;解题教学;转化与化归;数学思想;渗透数学思想源于数学知识与方法,而又高于具体的数学知识,它扮演着高位引领的角色,起到了指导知识与方法运用的作用,具有一定的实践性和发展性.在多年的教育教学中,笔者关注到大量数学题型更倾向于考查学生的转化与化归能力,自然而然便萌生了研究转化与化归思想在解题中渗透这一课题的意愿.本文主要研究了转化与化归思想的几种解题方法,揭示转化与化归思想对于数学解题的深刻意义,从而提高学生的数学解题能力.法在高中数学教学过程中,换元法作为一种非常重要的数学思想,起到了统领作用.借助换元来解决数学问题,可以联结分散条件,显现隐含条件,关联条件与结论,从而达到简化并快速得出结果的效果,可以有效提升学生的实际解题能力,同时促使学生深刻把握数学思想.例1：已知实数a ,b ,c 满足a+b+c=0,a 2+b 2+c 2=1,试求出a 的最大值.分析:在换元的过程中,可以使解题过程化繁为简.本题的解题思路为:首先,换元转化;接着,建立模型;最后,将其转化为关于a 的式子,从而获解.解:令b=x ,c=y ,则有x+y=-a ,x 2+y 2=1-a 2.此时直线x+y=-a 和圆x 2+y 2=1-a 2有交点,则圆心到直线的距离d=a 2√≤1-a 2√,解得a 2≤23,所以a 的最大值为6√3.说明:换元法在本题中显露无遗.这一类型的问题意在引导学生通过换元将问题转化为直线与圆的位置关系问题,从而简化问题,彰显换元法的强大生命力,旨在提升学生的眼界与认知力,与此同时逐步体会其巨大作用.化法直接转化法是解题中最常见的一种解题方法.首先通过审视题目,直接从问题的条件出发,合理运用好一些概念、定理、公式、法则等,通过有效沟通,进行变形、推理、计算后,将原问题转化为一些基本问题,从而得出结论.例2：已知数列{a n }的前n 项和是S n ,且有a 1=3,a n =2S n-1+3n (n ≥2),试求出数列{a n }的通项公式a n .分析:从知识角度而言,不少学生可以找到正确的处理路径.本题的转化需要整体思维的辅助,从而关注到其一步步转化问题的过程.首先,通过递推关系转化;接着,利用整体思维实现转化;然后,借助公式求解;最后,规范作答.解:因为a n =2S n-1+3n ,所以a n-1=2S n-2+3n-1(n ≥3).两式相减,可得a n -a n-1=2a n-1+2·3n-1,即a n =3a n-1+2·3n-1,所以a n 3n =a n-13n-1+23(n ≥3).又a 2=2S 1+32=2a 1+32=15,a232=53=a 13+23,所以数首项为1、公差为23的等差数列,所以an 3n=1+(n -1)×23,所以a n =(2n+1)3n-1.说明:本题的难点在哪里?笔者认为学生无法巧妙运用到整体思维,实现数列向等差数列的转化.这种转化思想762020年7月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯是如何想到?笔者认为,在使用直接转化法解题时,其根基主要源于扎实的基本知识技能,同时也需要具备一定的视野和灵活思维,从而找到解决问题的捷径.数转化法在含有多个变量的问题中,若从常规思路出发来确定主元,极易导致问题的复杂化.此时不妨再去探究题目的结构特征,摆脱思维定式的束缚,变换思维进行分析,选择某个参变量作为主元,也就是反客为主,转移变元的位置,常常可以使问题迅速获解.例3：设不等式mx 2-2x -m+1<0对于满足m ≤2的一切m 都成立,试求出实数x 的取值范围.分析:本题为一道典型的需要借助参数转化法解题的问题.在所给出的方程中,x 是主变元,m 为参变量,只有将主变元与参变量的位置交换,才能另辟蹊径.本题的解题思路为:首先,从题目条件出发进行参数转化;接着,去分析转化后的问题;最后,快速汇总得出结论.解:设f (m )=(x 2-1)m +1-2x ,则有m ≤2时,f (m )<0恒成立,所以f (2)=2x 2-2x -1<0,f (-2)=-2x 2-2x+3<0,解得7√-12<x<3√+12.所以实数x 的取值范围为x 7√-12<x<3√+12.说明:本题仅仅是对参数转化法使用的一般性探究,利用该法还可以解决分解因式、证明不等式、求参数取值范围、求最值等问题,它在高中数学中有着广泛的应用性.通过思维角度的变化,不仅可以使解题思路清晰,而且可以让解法简洁,体现了普遍联系及和谐统一的哲学观点,若可以灵活运用并总结提炼,必将收到事半功倍的效果.转化法等价转化法,即当面对一个未知的问题的时候,要注意从已知知识范围内检索,以便寻求到解决问题的思路,有效拓展解题的思路.在转化中,要注意等价性,其中的因果关系必须既是充分的又是必要的,从而保证转化后的结果还为原问题的结果.如含有根号的问题、绝对值的问题、复合函数的问题等,在求解时都离不开等价转化的参与,解决问题的关键在于去根号、去绝对值、简化复合函数等等,并借助运算法则和函数性质来完成,从而使问题简捷化.例4：若不等式x +2x+3≤a 的解集为空集,试求出实数a 的取值范围.分析:等价转化总是将抽象化为具体,将复杂化为简单,将未知化为已知,在迅速变换与合理寻找中,选择解决问题的路径.本题的解题思路是:首先,确定零点;接着,通过去绝对值分类实现等价转化;然后,逐步求解;最后,汇总得出结果.解:不等式x +2x+3≤a 可等价转化为x<-32,-x -(2x+3)≤a ,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或-32≤x ≤0,-x+(2x+3)≤a ,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或x>0,x+(2x+3)≤a.即x<-32,x ≥-a+33,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐或-32≤x ≤0,x ≤a -3,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或x>0,x ≤a -33.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐又不等式x +2x+3≤a 的解集为空集,则有-a+33≥-32,a -3<-32,a -33≤0,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐解得a<32,所以实数a 的取值范围为a a<32.说明:历年高考中,运用等价转化思想解题的例子数不甚数.学生若能谨慎入题,把握题目的主脉,从中体会到转化思想的价值,则可以不变应万变,发挥出较好的水平.本题属于一道具有一般性、典型性、综合性和抽象性的题型.通过转化意识的建立,利于学生化难为易,形成正确的、简捷的解题路径.化法所谓的特殊转化法,就是充分挖掘出题目条件中的特殊性,赋予题设条件一个最简单的特殊值,借助它的特殊性来快速求解,此方法最适宜用于填空题与选择题的解答中.例5：已知△ABC 中,点M ,N 满足AM=2MC ,BN=NC 若有MN=xAB+yAC ,则x=________,y=________.分析:首先,借助找寻条件中的特殊关系,较快地建系,进而可以确定相应的点和向量的坐标;然后借助坐标运算建立关系式,结合坐标相等关系快速求解,并作答.本题涉及三角形的特殊化,试问学生特殊三角形有哪些?学生很快形成了解题策略.解:取一个特殊△ABC ,不妨设△ABC 为直角三角形,且AC ⊥AB ,AB=4,AC=3,以A 为坐标原点,且以AB 和AC 所在直线分别为x 轴与y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系,则有A (0,0),B (4,0),C (0,3),M (0,2),N (2,32),那么MN=2,AB=(4,0AC=(0,3).MN=x AB+yAC可得2,=x (4,0)+y (0,3),即2,(4x ,3y ).则有4x=2,3y=-12,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐解得x=12,y=-16.xOyC M NB 图1说明:较为常用的特殊转化法往往有:取特殊数值、取特殊数列、取特殊函数、取特殊图形、取特殊点、取特殊角、取特殊位置等等.这种转化得益于扎实的基本功,从而快速准确地找到特殊路径.借助特殊转化法解题,可以激发学生的数学思维和认知心理,调动学生的学习积极性,并形成稳定而清晰的转化与化归思想.综上可以看出,数学解题中处处存在数学思想,教学中处处可以渗透数学思想,转化与化归思想存在于整个高中数学的解题过程中.笔者认为,在教学过程中,只有让数学思想始终浸润课堂,才能将这一思想根植于学生的思维中,学生才能充分体会其中的精髓和魅力;学生只有将上述转化与化归思想的根基打牢,才能发现陌生数学问题情境中的转化路径,使问题获解,从而真正提高学生的解题能力.77。
运用转化与化归的思想方法解题2
运用转化与化归的思想方法解题2方法技巧与总结将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．核心考点：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞- D ．[)(]3,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A 1-B1C ．2D ．2【答案】A 【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r ，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1， 1.-选A.例3．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e (2e ,]2.故选：D核心考点：运用“正难则反原则”转化化归问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E 翻折前5AC =，易知存在一个状态使3AC =，满足222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC ⊥不成立，故C 错误；故选：A例5．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，24221k d k -=≤+即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例6．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.。
运用化归与转化思想解答高考试题举例
（ 求证 ： Ｉ） ＭＮ ／ Ａ Ｄ Ａ。 ／面 Ｄ 。 ； （Ｉ Ｉ）求 二面角 Ｐ— Ａ Ｅ— Ｄ 的大小 ；
（ ｍ）求三棱 锥 Ｐ— Ｄ Ｎ 的体积 ． Ｅ
分析 ： 题 第 （１ 本 ｎ）问若 直 接 求 解 ． 算 量 较 运 大． 行等体 积转 化 为后求 解 ， 进 运算 量较 小 ．
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解题研究
运 用化 归 与转化 思想 解答 高考试题 举 例
（ 四川 省攀枝 花 市教 育科 学研 究所 ６ ７ ０ ） 刘 志 刚 １ ０ ０ 所谓 化 归与转 化 思想 是指 在研 究解 决数 学 问
题 时采 用某 种手 段 将 问题 通 过 变换 使 之转 化 ， 进
一
／（２ ＞ ｌ ｌ ２１ ）ｌ —Ｘ ． Ｘ
分析 ： 本题 第 （ Ｉ）问可直 接代 人 ， 段 比较 即 分 可求 证． （Ｉ 问难度 较 大 ， 先将 命题 进行 等价 第 Ｉ） 可
转化 ．
６ 。故 选 （ ． ０， Ａ）
２ 转 化结 论 ． 让解 答变 得更 简捷 例 ２ （０ ６年 四川 ２０ 理 １ ）如 图 ｌ 在 长 方体 ９ ，
期
ｏ＜ ， ＞ ｓ 葡 ＋ｌ
一。 甘
Ｘ ＋ ＋口眦 （ ０ ，（） 。 ｌ ＞ ）厂 的导函数是 ／（） ．
对 任意 两个 不相等 的 正数 。 ， 明 ： 、 证 。
（ Ｉ） 当 口 ≤ ｏ 时 ， ＞
Ｃ Ｓ Ｔ— Ｂ）＋ ｃ ｓ — Ｏ Ｏ （ｆ ｏＣ 甘
ｃｓ ｏ Ｂ— ｃｓ ＝ Ｂ — Ｃ（ Ｃ为 ＡＡＢ 的内角 ） ｏＣ ＞ Ｂ、 Ｃ
浅谈转化与化归思想在高中数学教学中的应用研究
浅谈转化与化归思想在高中数学教学中的应用研究发布时间：2022-12-05T03:32:01.646Z 来源：《教育学文摘》2022年15期7月作者：关力华[导读] 通过调查走访可知，高中数学教师在课堂教学过程中仍采用传统的、单一的教学方关力华广西贵港市高级中学 537100【摘要】：通过调查走访可知，高中数学教师在课堂教学过程中仍采用传统的、单一的教学方式．这种教学方式难以为学生创造一个高效的课堂，无法让学生做到自主学习．由此，化归思想得到了广泛应用，并受到广大高中数学教师的认可．化归思想不仅是一种重要的解题思想，也是一种基本的思维策略，是将复杂的问题简单化．在高中数学课堂教学中运用化归思想，有助于提升数学教学质量．因此，本文首先概述转化与化归思想在高中数学教学中的应用现状，而后给出具体的应用措施．【关键词】：转化；化归；数学思想；高中数学引言数学核心素养背景下，教师在组织和开展课堂教学的过程中不应局限于数学知识、解题技能的传授，还应培养和发展学生的数学思想，将其渗透到课堂教学的每一个环节，真正提升学生的数学综合素养。
转化与化归思想是一种非常重要的数学思想，将其融入课堂教学中不仅有助于提高学生的学习效果，还可以促使学生在数学学习中发展自身的数学思维能力以及提出问题、分析问题和解决问题的能力，真正落实数学核心素养下的教学目标。
一、转化与化归思想在高中数学教学中的应用现状（一）应用意识比较弱从转化与化归思想的内涵来说，主要是运用分析、观察、类比、联想等方式对未知的问题、难以解决的问题进行转化，将其归结到自己已知的知识范围之内，最终对其进行解决。
但在现实中，多数学生在解决数学问题的时候常常没有思路或者陷入解决的困惑中，无意识将问题进行转化与化归，难以将其转化为自己熟悉、已经掌握的数学知识和方法；还有一部分学生在解决问题时一味套用数学公式、数学定理等，并未对题目中的已知条件和未知条件存在的关系进行分析，或者缺乏对未知知识进行转化的意识。
第二部分第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
例谈转化与化归在解题中的运用
2017年12月解法探究>教学--参谋例谈转化与化归在解题中的运用!南京师范大学第二附属高级中学朱斌等价转化的思想方法是数学思想方法中的重要思 想方法，但很多学生在解题过程中，缺乏等价转化思想 的应用，有时根本想不到用等价转化的思想方法解题， 因此，笔者结合自身的教学实践，剖析如何在教学中灵 活运用等价转化思想解题，从而促进解题能力的提高.一、领会题中条件意义是转化与化归的重 要前提所以 c 〇s "=.+c 2—-=—^，则"'30。
.2b c++322.~+^c 23众所周知，根据向量共线定理，对于两个不共线的非零向量%$与%$，若当且仅当！’0'〇时成立.本题考查了学生等价转化的思想和灵活运用数学思想方法的能力.一般来说，题目中所给条件含有丰富的内容，因此 要引导学生认真读题，仔细审题，依据所给的条件步步 为营，稳扎稳打，不断朝着目标转化.例1 ""#$的内角为"，#，$，点％为""#$的重心，若s i n A M "+s i n B M 6+ 小为______.3sin $M $'0,则内角"的大对于这道题，学生人手很困 难，如何正确认识题中条件，如 何转化条件是最大的障碍.可以 引导学生从重心人手：如图1所"示，点％为'"#$的重心，则%$&%$+%$'0(因为%$'_2%$)，结合已知条件解出%$'-%$-%$，代人已知等式sin 4%$+s i n B M B &sin $M $'0，得(sin " -sinC 1 %%"sinB -3 3sinC | M B ' 0，即 | sin " ■3sinC | M "■&^sinC -s i n B j M $，但％"与％$为不共线的非零向sin "-~&^sinC '0,量，所以即 a 'b :+3sinC -sinB '0,二、数形结合是转化与化归中的重要方法在方程与函数这类问题中，常常涉及方程解的问 题、恒成立问题或函数交点等问题.若能根据题意，利用 数形结合的思想，灵活转化方程或函数，便可迅速、快捷 地解决问题.例 2 已知函類2)'22+-2_士(2<0)与 4<2)'22+ln (2+ -)图像上存在关于5轴对称的点，则-的取值范围是转化1"由题意知，存在2〇2 (_#，0)满足/(2。
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运用转化与化归思想方法解题1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程．2．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．3．常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；A，而（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合（10）补集法：eAUU 获得，通过解决全集及补集把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U原问题的解决．化归思想练习题（1）一、选择题2＝12y的焦点，A，C：xB，C为抛物线上不同的三点，F1．(2015·武汉调研)设为抛物线→→→若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．3B．9 C．12 D．18 答案D解析设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，因为A，B，C为抛物线上不同的三点，则A，B，3321212＝12y的焦点为F(0,3)C：x，准线方程为y＝－3.C可以构成三角形．抛物线→→→因为FA＋FB＋FC＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为△ABC的重心，从而有x1＋x＋x＝0，y＋y＋y＝9.又根据抛物线的定义可得|FA|＝y－(－3)＝y＋3，1231312|FB|＝y－(－3)＝y＋3，|FC|＝y－(－3)＝y＋3，3223118.9＝＋3＋y＋3＝y＋y＋y＋y所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋3＋y3113222x2上任意一点，为椭圆C)已知点F是椭圆C：＋y＝1的左焦点，点P．2(2015·唐山调研2)P，则当|PQ|＋|PF|取最大值时，点的坐标为(点Q的坐标为(4,3)14B答案D．(2，0) B．(0，－1) C．(，) A．(，－20) 33，根据椭圆的定E(1,0)(解析由题意知椭圆的左焦点为F－1,0)，设椭圆的右焦点为E，则|PE|)，易知|＝PQ22＋(|PQ|－|PE|，所以|PQ|＋|PF|＝|PQ＋|22－|PE|义，知|PF|＝22－|时，等号成1)的坐标为(0，－P|PE|≤|QE|，当且仅当是QE的延长线与椭圆的交点，即P－．，－1)2，此时点P22＋的坐标为32＝(0立，故|PQ|＋|PF|的最大值为522＋|QE|＝16411)(＝1，则＋的最小值为(2015·南昌调研)若正数a，b满足＋3．ba1ba－－1A 答案D．49 B．25 C．36 A．1611 ab，a＋b＝，b>0，＋＝1，所以因为解析a ba20a－4b＋16b－＋a－16420. a－所以＋＝4b ＋16＝＝1b＋－＋abb－b1－aaa－－1ab4a11b42＋4×)≥20＋4()(＋)＝20＋＝4(b ＋4a)＝4(＝·36，b＋4a又4b＋16a abababb4a113当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．baab2416≥36－20＝16.＋所以－1b－1aππ4．若α、β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是()2222 答案βD．αD > βα＋>0 C．α<βA．α>βB．πππ解析令f(x)＝xsinx，∵x∈[－，]，f(x)为偶函数，且当x∈[0，]时，f′(x)≥0，222ππ]上为增函数，在[－，0]上为减函数．∴αsinα－，∴f(x)在[02222α|??|α|>|ββsinβ>0?f(|α|)>f(||)β. β>→→→→5．(2015·九江模拟)在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，点D满足2BD＝3DC，∠BAC＝60°，→→)(·ADBC＝则9898D．－ C. D 答案B. A．－5555→→→→→→→→→→→→333)＋AB ＝BD＋ABAD，所以BCBD，所以DC3＝BD因为解析2＝＝BCAB－AC＋AB＝(5552→→→→→→→→→→→→→→→2313232322AB－－AB·AC)·(AC－AB)＝AC)·.所以AD·BC ＝(AC＋ABBC＝(AC＋AB＝AC＋AB5555555559231222. ＝－cos60°－×3＝×2－×2×3×5555)≤2x1≤f(logx，若在[1,8]上任取一个实数x，则不等式f6．(2015·太原模拟)已知函数(x)＝020)成立的概率是(1211C 答案 D. B. C. A. 243724－2，∴所求概率为2≤x ≤4)≤2?1≤log≤2?.解析1≤f(xx＝000271－8的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的)棱长为a7．(2015·广州调研)(体积为3333aaaaC 答案 D. A. B. C.12463棱锥的底面为正方形且边长为所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，解析3a2a212. ＝)·＝2×(aa，高为正方体边长的一半，∴V2262318．(2015·保定模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间＋xf(－1,1]上方程f(x)－mx －m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()1111A．[0，) B．[，＋∞) C．[0，) D．(0，] 答案D2232解析方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点．因为当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，，1][0，xx，∈??1?在同一平面直角坐标系内作出＝f(x)－所以f(x)＝1，所以11＋x，∈－1－1，x??1x＋直线y＝m(x＋1)与函数f(x)，x∈(－1,1]的图像，由图像可知，当直线y＝m(x＋1)与函数f(x)31 ，]．1,1]－上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0的图像在区间(2 二、填空题22分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直4－2)＝＋y9．过点(1，2)的直线l将圆(x________. k＝线l的斜率2由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直答案解析2垂直时，弦长最短．此时直线，2)的连线与直线(2,0)与点(1l的距离最大，所以当圆心线l2. ＝的斜率kl22两点，与抛BM(3，0)的直线与抛物线相交于10．设抛物线yA＝2x的焦点为F，过点，4S△BCF△ACF的面积之比＝________.答案|物线的准线相交于点C，BF|＝2，则△BCF与5S△ACF222x并整理，得k＝的直线方程为0)y＝k(2x－3)，代入y解析如图所示，设过点xM(3，223k22. ＝x＋x2)3k＋x＋3k＝0.则(221k3132，所是方程的一个根，可得k′|＝2.不妨设x＝－BB因为|BF|＝2，所以|232223－22.＝以x11d|BC|·24′|2SBB|BC||△BCF. ＝＝＝＝＝5′|11S|AC||AA△ACF＋|·d|2AC22ππ11．(2015·山西四校联考)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f()＝f(－)，则函数f(x)图像的对称412轴为________．4ππππk)xf()＝f(－)，所以πk∈Z)解析易知函数f(x)的最小正周期为，而f(x答案＝＋( 124212πππk )．x＝＋(k∈Z x图像的一条对称轴为x＝，故函数f()的图像的对称轴为12122，x)>0′(x)－f(＝是定义在R上的偶函数，且f(2)0，当x>0时，xf12．(2015·河北五校联考)已知f(x)(0,2)2)∪答案(－∞，－则不等式xf(x)<0的解集是________．xffx是奇＝)，可知g((x)<0与不等式x<0同解．记g(x)xf解析显然x≠0，故不等式xxxfx－xff，g(2)＝＝0为增函数，又>0，此时函数，且当x>0时，g′(x)＝g(x)22xxf，的解集为(－∞，即不等式∞，－2)∪(0,2)xf(x所以不等式g(x)＝)<0<0的解集为(－x 2)∪(0,2)．－22yx为椭圆上一PF，设a＝1(>b>0)的两个焦点分别为F，13．(2015·衡水月考)已知椭圆＋2221ba，，S的垂线，垂足分别为，过F，F分别作lR点，∠FPF的外角平分线所在的直线为l22112 aS所形成的图形的面积为________．答案π当P 在椭圆上运动时，R，解析|PF|PF|＋|F是∠FPM的平分线，所以|MP|＝|P|，可得⊥如图，△PFM中，PRFM且PR211111M＝2，即动点aPF|＝2a，所以|MF|||PM＝||＋|PF|＝MF|，根据椭圆的定义，可得|PF＋|22212的轨迹是以点的中点，所以RO为FM的中点，为FFa到点F的距离为定值2，因为R2112所形S为圆心，半径为的轨迹是以点Oa的圆．故R，O为圆心，半径为a的圆．同理点S2.成的图形的面积为πa）转化与化归思想（2一、选择题13)－＝(1．(2014·衡水二调)sin 170°cos 10°D ] [答案．－．－．．A4 B2 C2 D4－cos 10°3sin 10°－1313 ＝＝－＝－解析[]1sin 10°cos 10°cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°sin 20°252sin 20°－D. 4，故选＝＝－1sin 20°222yx⊥上一点，若PF>b>0)F为焦点的椭圆＋＝1(a2．(2014·南昌模拟)已知点P是以F，22112ba)＝(PFF＝2，则椭圆的离心率ePF，tan ∠1221125A [答案] A. B. C. D. 2333，|＝1F＝2，得|PFPF[解析]由题意可知，∠F＝90°，不妨设|PF|＝2，则由tan ∠PF2112125FF|2c|2122. ＝5，所以离心率2e＝从而|FF＝|＝1＝＋213a2||PFPF||＋21的对称中心，过曲线y＝1＋sin πx(0<x<2)3．(2014·福建质检)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)21) 则＋的最小值为(baC ]22 D．6[ B．42 C．3答案＋A.2＋1，过点(1,1)1＝0(a>0，b>0)＝∵y1＋sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax＋by－[解析] a2b??，＝21a12b2??ba?＋，当且仅当＋2≥32即＋＝a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)3＋∴??babaab??，1a＋b＝?，a＝2－1?C. 时取等号．故选?22－b＝Bsin 若asin A ＋baABC中，角A，B，C所对的边长分别为，b，c.4．(2014·益阳质检)在△) sin B．则角C等于－csin (C＝3a5ππππA [答案]D. C. A. B.63643222222，C，∴cos ＋bC－c＝][解析利用正弦定理，得到a＝＋b2－caba＝3ab，又cos 2π.＝<π，∴C又0<C6成等差数列，aa，a＝1，公比q≠1，且a，泉州质检5．(2014·)已知等比数列{a}的首项31n21)(则其前5项的和S＝5C][答案．A．31 B．15 C．11 D52＝a＝2q，解得q＋1，∴aa＝2a＝2，∴aq＋成等差数列，且∵[解析]a，a，aa＝11123311255－1－a－q1＝11.故选)，∴S ＝＝C.1(－2或q＝舍去5－1－1－q2nπ*)，若数列{a}的a＝cos(n∈N＋＝a7．(2014·锦州模拟)数列{}满足a＝a1，a＋a n2nn11n2n＋＋3前n项和为S，则S的值为()2 013n671A．2 013 B．671 C．－671 D．－[答案]D22π1[解析]因为a＋a＋a＝a＋a＋a＝…＝a＋a＋a＝cos＝－，3613n3n3512342n＋＋＋2361π2n??*－671×＋a＋a)∈N＝)以3为周期，所以S＝671×(acos＝所以a＋a＋a＝(n??3n21n22 013n1＋＋23671D. －，故选2→→→)，则边BC的值为(AC＝2，向量BC⊥(AB＋3AC)8．在△ABC中，AB＝2C][B.3 答案C.6 D．6 A.2→→→→→→→→→→→→AB)·(所以(AC－AB)所以BC·(AB＋3AC＝0，[解析]因为BC＝AC－AB，BC与AB＋3AC垂直，1→→→→→→→→→→→22＝|cos A|AC|·|AB·AB＝0，即AC·AB＝－，所以＋3AC)＝0AC·AB－AB＋3AC，所以－3AC2111222所以，2×2×1×＝6|·|AC|cos A＝4＝－，所以|BC|＋＝|AB|1＋|AC|＋－2|AB－，所以cos A442C.6.|BC|故选＝，≤00，x??有零点m)＋x－则使函数g(x)＝f(x10．(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f(x)＝?x，>0e，x??)的实数m的取值范围是(1)∞，B．(－A．[0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]1]C．(－∞，∪(2，＋∞)D[答案]的＋x＝m－m的零点就是方程f(x)([解析]函数gx)＝f(x)＋x，≤0，xx??的＝mx根，作出h()＝的图象，观察它与直线y?x>0，xe＋x??xx)＋g(x)＝f(交点，得知当m≤0时或m>1时有交点，即函数－m有零点．上的可∞，0)(x)是定义在(－11．(2014·长春二次调研)设函数f2x，则不等式xf′(x)>x(2导函数，其导函数为f′(x)，且有f(x)＋2)f(－2)>0的解集为＋2 014)(f(x＋2 014)－4C (．－2 016,0)[答案]．(－∞，－2 016) D2 012,0) A．(－∞，－2 012) B．(－C232232，则)f(x<0，令F(x＋x)f′(x)<x＝，即[xxf()]′<xx))解析[]由2f(x＋xf′(x)>x，x<0，得2xf(x2，x＋x(2 014＋)2 014)·f(在x)(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2 014)＝x当x<0时，F′()<0，即F(上是减函数，，0)x)在(－∞因为所以原不等式即为F(2 014＋x)－F(－2)>0.F(fF(－2)＝4(－2)，C.，故选－2，即x<2 016)>F(－2)，得2 014＋x<－x所以由F(2 014＋B－AC22)C的最大值为3cos(＋5cos＝4，则tan ABC12．(2014·杭州二检)在△中，若22234B] [答案．－22 CA．－B．－．－D434A－B11＋＋cos C－ABC22＋＝4，得3·5·＝4，][解析由已知3cos＋5cos22220.C5cos ＝BA则3cos(－)＋1 cos 0)＋5cos()－3cos(AB－AB＝，化简得，Atan Atan Bsin A＝Bcos 4sin ，则B，＝47B＋tan tan A )＝－C＝－tan(A＋B又由此可知，tan A>0，tan B>0.tan Btan 1－tan A44 ＝1，≥2tan Atan B(tan A＋tan B)≤－，其中tan A＋tan B＝－334B.C的最大值为－，故选因此tan 3 二、填空题Cbcos c，且满足ccos B－ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，设△13．(2014·大连模拟)1tan B3 ]＝a，则＝________.[答案4C5tan3 A，sin Bcos C＝sin [解析]由正弦定理，得sin Ccos B－53 )，展开右边并整理，得＝sin(B ＋Csin Ccos B－sin Bcos C51tan B.，所以＝＝8sin Bcos C2sin Ccos B4Ctan224|－|PB＝－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|14．(2014·苏州调研)在直角坐标系xOy中，已知A(222 ________．[x答案＋y]＝4上的点P的个数为且在圆222222，化简－1)4＋y＝－x－，B(0,1)则|PA|(－|PB|y＝(x＋1))[解析]设P(x，y，又A(－1,0)22到直(0,0)＝4－2＝0与圆x的交点问题．由圆心＋y得x＋y－2＝0.问题可转化为直线x＋y2|0|0＋－2.，所以直线与圆相交，故交点个数为＝r＝2＜线的距离，得d2＝222和圆＝0x－：x4＋yy－4}((2014·长春调研)已知数列{an＝1,2,3，…，2 012)，圆C15．1n22 ________．{a}的所有项的和为，若圆C平分圆C的周长，：x＋y则－2ax－2ay＝0C n2n21n2 013－4 024][答案2222－xy＋4x－4yC交于A，B两点，则直线AB的方程为：x－＋y(－[解析]设圆C与圆210.＝－2)y＋a－2)x(a2ax－2ay)＝0，化简得，(nn2 013n2 013n－－a＋AB的方程得：aC(2,2)，将C(2,2)代入又圆C平分圆C的周长，则直线AB过n110132 n12－4 024. ＝1 006×4a＋a)＝a)＋(a＋)＋…＋(＋＝4，∴a＋a＋…a＝(a＋a1 007222 012111 0062 0122 01121x＋2y＋222＝πx的最小值＋cos1)＋(y，则xx16．(2014·宁德质检)若实数，＋y满足1y＋2x2]答案为________．[21＋2yx＋12，又20yπx＞≤2，∴x＋[解析]＋＋2y＝x∵1≤1＋cos y＋22yxx＋1y＋2≥2x＝2(当且仅当x＋2y＝1时取等号)，x＋2y，＝kx?2?，x＝1，＝kπZ k∈，ππx2cos??12y＋＋x??2?＝xπ＋cos2，∴)，k∈Z(1∴＝??k －1y＋x2，＝11＋x2y＝，x＋2y＝y??????233k3－9955??????222222222－1－k≥×1)(y＋，∴2＋＝，故x＝k＋(∴x＋y1)＝＋，∵＋k∈Z x＋??????55455422的最小值为2.1)y＋(＋8。