张量基础知识PPT课件
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张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
《张量基础知识》课件
2 线性变换(linear transformation)
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
张量分解学习PPT课件
.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数
按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
最新张量分析第一章ppt课件
132,321,213
0,当 i , j , k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
21
矢量叉积 a b ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 ( a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 用置换符号可写成
a b c ( ijka jb k ) ( c i)
23
1.2 恒等式 ijk istjs kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
ir is it ijkrst jr js jt
a b abco s
点积满足
abba
a ( b c ) a b a c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 aba1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3a3b2)e1(a1b2a2b1)e3(a3b1a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
O
b
a -axb
12
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
0,当 i , j , k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
21
矢量叉积 a b ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 ( a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 用置换符号可写成
a b c ( ijka jb k ) ( c i)
23
1.2 恒等式 ijk istjs kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
ir is it ijkrst jr js jt
a b abco s
点积满足
abba
a ( b c ) a b a c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 aba1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3a3b2)e1(a1b2a2b1)e3(a3b1a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
O
b
a -axb
12
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
《张量分析本科》课件
2
流体力学
流体力学中的张量可描述液体和气体的流动性质，从而帮助工程师设计和优化流体系 统。
3
材料科学
张量在材料的力学行为、热膨胀和磁性等方面的研究中起着重要作用，有助于材料性 能的改进。
经济学中的张量应用
金融风险评估 市场分析 关联性， 对风险评估和投资决策具有重要意义。
《张量分析本科》PPT课 件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工 程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重 要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算 和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科， 促进了不同学科之间的交流与 合作，推动了学科发展的跨越 性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等 是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助 初学者快速入门和掌握张量分析的基本概 念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分 析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析可以用于挖掘大规模数据集中的模 式和趋势，为经济预测和决策提供准确和可 靠的依据。
张量分析的重要性
科学研究
张量分析在各个学科的科学研 究中发挥着重要作用，帮助解 决复杂问题和揭示自然规律。
技术发展
随着科技的发展和应用领域的 拓展，张量分析为新技术的发 展提供了关键理论基础。
张量的坐标表示和变换规律
张量分析课件-1.6 张量的基本概念
T ij βki βl jT kl
T
i j
Tij βik β ljTkl
j k j l T β β i i l T k
β β T
l j
i k
k l
同一坐标系内，张量的逆变、协变、混变分量之间 满足指标升降关系。m 阶张量可以有 nm 种分量的集合。 n 维空间中 m 个矢量分量进行并乘运算所得到 nm 个数的集合可构成 m 阶张量。例如：
t Tijk βir β s β j k Trst
T
ij k
β β β T
t k
i r
j s
rs t
t r T i jk βri β s β T j k st
1.6.2.1 张量的实体表示法（并矢表示法）
j i T T ij gi g j Tij g i g j T i j gi g j T i g gj k i j k T T ijk gi g j gk Tijk g i g j g k T ij g g g T g g g k i j jk i
基张量（基矢量的并矢）线性无关。
在张量的实体表示法中，分量指标的排列顺序和相配 基矢量的排列顺序是一一对应的，不能随意更换。例如
T T gi g j T g j gi T gi g j T g j gi
ij ji ji ij
1.6.3
度量张量
G g ij gi g j gij g i g j δ ij gi g j δi j g iT
st i
T
ij
β β T rs
r i s j rs s j r s s r
张量概念及其基本运算ppt课件
11
则：
a1b1 a1b2 a1b3
aibj a2b1
a2b2
a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aijck bijck ； 或 (aijbk )cm aij (bkcm )
12
C、张量函数的求导：
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
1
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
9
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33 6
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，Ai j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
则：
a1b1 a1b2 a1b3
aibj a2b1
a2b2
a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aijck bijck ； 或 (aijbk )cm aij (bkcm )
12
C、张量函数的求导：
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
1
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
9
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33 6
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，Ai j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
《张量基础知识》课件
总结词
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
《张量及应用》课件
和模式，提高模型的性能和计算效率。
信号处理中的张量
要点一
总结词
处理多维信号和多媒体数据
要点二
详细描述
在信号处理中，张量用于表示和处理多维信号，如音频、 图像和视频数据。通过张量分解和变换，可以实现信号的 降噪、压缩和特征提取，广泛应用于多媒体处理和通信领 域。
04
张量在数学领域的应用
微分几何中的张量
感谢观看
THANKS
张量的性质
总结词
张量具有标量、矢量和矩阵的性质
详细描述
张量具有标量、矢量和矩阵的性质。标量是只有大小没有方向的量，而矢量既有大小又有方向。矩阵 则表示二维或三维空间中各元素之间的关系。张量的性质还包括对称性、反对称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正定性等。
张量的运算
总结词
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等
详细描述
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等。点乘和叉乘是两种重要的向量运算，分别用于计算两个向量的内积 和外积。缩并运算则是将多个相同类型的张量进行组合，以形成更高阶的张量。求导运算则是用于计算张量函数 的导数，以便分析其变化规律。
03
张量在工程领域的应用
计算机图形学中的张量
总结词
实现高效渲染和逼真效果
详细描述
在计算机图形学中，张量被用于描述 三维物体的几何形状和属性，如位置 、方向和速度。通过张量运算，可以 实现高效的光线追踪和渲染算法，创 造出逼真的视觉效果。
机器学习中的张量
总结词
提高模型性能和计算效率
详细描述
机器学习中，张量被用作高维数据的数学工 具，如图像、文本和时间序列数据。通过张 量分解和优化算法，可以提取数据中的特征
自然语言处理
利用张量处理大规模文本数据，实现文本分类、情感 分析等任务。
信号处理中的张量
要点一
总结词
处理多维信号和多媒体数据
要点二
详细描述
在信号处理中，张量用于表示和处理多维信号，如音频、 图像和视频数据。通过张量分解和变换，可以实现信号的 降噪、压缩和特征提取，广泛应用于多媒体处理和通信领 域。
04
张量在数学领域的应用
微分几何中的张量
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张量的性质
总结词
张量具有标量、矢量和矩阵的性质
详细描述
张量具有标量、矢量和矩阵的性质。标量是只有大小没有方向的量，而矢量既有大小又有方向。矩阵 则表示二维或三维空间中各元素之间的关系。张量的性质还包括对称性、反对称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正定性等。
张量的运算
总结词
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等
详细描述
张量的运算包括点乘、叉乘、缩并和求导等。点乘和叉乘是两种重要的向量运算，分别用于计算两个向量的内积 和外积。缩并运算则是将多个相同类型的张量进行组合，以形成更高阶的张量。求导运算则是用于计算张量函数 的导数，以便分析其变化规律。
03
张量在工程领域的应用
计算机图形学中的张量
总结词
实现高效渲染和逼真效果
详细描述
在计算机图形学中，张量被用于描述 三维物体的几何形状和属性，如位置 、方向和速度。通过张量运算，可以 实现高效的光线追踪和渲染算法，创 造出逼真的视觉效果。
机器学习中的张量
总结词
提高模型性能和计算效率
详细描述
机器学习中，张量被用作高维数据的数学工 具，如图像、文本和时间序列数据。通过张 量分解和优化算法，可以提取数据中的特征
自然语言处理
利用张量处理大规模文本数据，实现文本分类、情感 分析等任务。
张量和应力张量PPT课件
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。
• 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
a11b32
x13
a12b32 x23
a13b32
x33
y13
y33
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为 标量。例如距离、时间、温度等。
• 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称 为矢量。 例如位移、速度、力等。
• 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等， 需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。
• 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为： 由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所 组成的集合称为张量。
• 物理量P
– 在j=1空，间2，坐3标)；系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i，
– 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新 分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已 确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐 标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该 点的应力分量之间应该存在一定的关系。
• 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)；
– 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’，
张量ppt
示多重求和。
例如：
33
aij xi xj
aij xi x j
i1 j1
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
3
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibici i 1
24
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi aici
bi ci
两边消去ai导得
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d xj d xi d xi d xj d xj
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而 自动消失。
29
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
符号ij 与erst
➢ 常用实例
1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质：
✓ 每个基矢量的模为1，即 ei e j 1 (当i＝j时) ✓ 不同基矢量互相正交，即 ei e j 0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i1
Appendix A.1
张量基本概念
➢求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
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如： ajixi bj
akixi bj akixi bk
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的
对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标
系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义
的张量。
.
2
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
有相同的方向，此时J与E的关系变为
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
.
5
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
.
6
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
.
8
一、坐标变换
如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
位矢为 e1,e2,e3,经过旋转
变换为新的坐标系
OX'IX'2X'3，在新的坐标系
里的单位矢为 e'1,e'2,e'3,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为aij （j=1,2,3 )
，则
.
9
e'1 a e11 1 a e 12 2 a e13 3 e'2 a e21 1 a e 22 2 a e23 3 e'3 a e31 1 a e 32 2 a e33 3
第二章 张量的基本知识
.
1
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这
样的指标为哑指标。
.
15
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
.
16
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
.
3
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
或简写为
3
e'i ae ij j （ i1,2,3) j1
反之，有
3
ei ajei 'j (i1,2,3)
j1
.
10
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13e1
a23e2
e'3
a31
a32
a33e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cose'(iej)
X1 X2 X3 (老坐标轴)
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
.
17
2.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
ajixi bj j 为自由标
j 1 a 1x 1 1a 1x 2 2a 1x 3 3b 1
.
18
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13
ij(i, j 1,2,3)～21
22
2
3
31 32 33
.
14
求和约定 哑指标和自由标 1. 求和约定和哑指标
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标出了新老坐标之. 间变换的规律。
11
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
.
7
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
pp1e1p2e2p3e3 p*1e*1p*2e*2p*3e*3
.
12
即为
P 1 *
P 2 *
P 3 * e e 1 2 * * P 1 *
P 2 *
a 11a 12a 1 3e 1
e 1
P 3 * a 21a 22a 2 3 e2 P 1 P 2 P 3 e2
e3 *
a 31a 32a 3 3 e3
e3
于是得
PP*A
P*PA 1
注：此处P与P*均为行向量
.
13
为了表示方便我们下面引入指标符号的概念
指标符号：
x1,x2xn 记作
xi(i1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
.
4
三、张量
先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具