换元法解分式方程

换元法解分式方程

毛彩猛

换元法，就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系的解题技巧。下面用运用“换元法”了解分式方程的几个例子。

例1 解方程()()x x x x ++++=151

602 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。

解 设

x x y +=1

，于是原方程变形为y y 2560++= 解得y y 1232=-=-，

当时，，解得；当时，，解得。经检验，均为原方程的根。y x x x y x x x x x 11221231334212233423

=-+=-=-=-+=-=-=-=-

例2 解方程6122x x

x x +=++ 分析 方程左边分式分母为x x 2+，可将右边x x 2+看成一个整体，然后用换元法求解。

解 设x x y 2+=，则原方程变形为61y

y =+ 解得，当时，，此方程无实根。

当时，，解得，。

经检验，，都是原方程的根。

y y y x x y x x x x x x 121222121232

33222121=-==-+=-=+==-==-= 例3 解方程122103+

++=x x x 分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。 解 原方程为

x x x x +++=22103

设，则原方程可变形为x x y y y +=+=21103 解得，当时，，解得y y y x x x 1211313

32314===+==

当时，，解得y x x x 221321394

=

+==- 经检验，都是原方程的根。x x 121494

==- 例4 解方程131131

422x x x x x x -+⋅+-+=() 解 设131

42-+=+=x x y xy x y ，则原方程变形为() 又由韦达定理，知，是方程的两根解得，即或xy x y x x x x x xy x y z z z z xy x y xy x y ++=-++++=+-+====+=⎧⎨⎪⎩⎪=+=⎧⎨⎪⎩⎪()1311311313420676776

22212

所以，，，x x x x 1234163232===+=- 经检验，，，都是原方程的根。x x x x 1234163232===+=- 练习：

1. 解方程821312112222()()x x x x x x

+-+-+= 2. 解方程243321

022x x x x -----= 3. 解方程6356235602x x x x

-+-+=2 提示：1. 设x x x y 2221

+-= 2. 设x x y 221--=

3. 设x x y x x

y +=+=-112222，则。