多元向量值函数的导数与微分

工科数学分析基础
李换琴 西安交通大学理学院
hqlee@mail.xjtu.edu.cn
第五章
多元函数微分学及其应用
第一节 n维Euclid空间点集的初步知识 1 第二节 多元函数的极限与连续性 第三节 多元数量值函数的导数与微分 第四节 多元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多元向量值函数的导数与微分 第六节 多元函数微分学在几何上的应用 第七节 空间曲线的曲率和挠率
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.3 微分运算法则
定理5.2 设向量值函数 f , g都在 x处可微， u是 x处可微
的数量值函数，则 (1) D( f g )( x ) Df ( x ) Dg ( x ) T T D f , g ( x ) f Dg ( x ) g Df ( x ) ( 2) D( uf )( x ) uDf ( x ) f Du
并将
0
0
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当m=n时，该方阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式。 记为 ( f 1 , f 2 , , f n ) J f ( x0 ) ( x1 , x 2 , , x n ) x 0 特别的 当m=1时， f 为数量值函数
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5.4 由方程组确定的隐函数的导数
F1 ( x1 ,, xn , y1 ,, ym ) 0 F ( x , , x , y , , y ) 0 2 1 n 1 m Fm ( x1 ,, xn , y1 ,, ym ) 0 记 x ( x1 ,, xn ), F ( F1 ,, Fm )T , yi f i ( x1 , x2 ,, xn ) i 1,2,, m
a (a1 , a2 , , am ) R m , 则
lim f ( x ) a lim f k ( x ) ak . x x x x
0
0
k 1,2,, m
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m n 元向量值函数 f : A R ( m 2 )
每个分量 f i ( i 1, , m )在点 x0处可微，则称 f在x0处可微。
f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) x x x n 1 2 df1 ( x0 ) dx1 f 2 ( x0 ) dx2 df ( x ) f 2 ( x0 ) f 2 ( x ) 2 0 df ( x0 ) x1 x 2 x n dxn df m ( x0 ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) x 2 x n x1 称为f 在x0处的微分. 称为f 在x 处的导数. 记为 Df ( x ).
在 x0可微的充要条件是 f的每个分量都在 x0处可微 .
f ( x0 )dx） 且当 f在 x0处可微时，有 df ( x0 ) f ( x0 )x（或 .
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5.2 向量值函数的导数与微分
定义5.3 设f : R n R m为n元向量值函数，如果 f 的
f ( x0 ) Df ( x 0 ) x1 f ( x0 ) x2
0
f ( x0 ) f ( x0 ) x n
定义 D 2 f ( x 0 ) D ( Df ( x )T ) 为f 在 x0 处的二阶导数. x 则有
2 ( ) f x 2 0 H f ( x0 ) T D f ( x0 ) x x j i nn
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定理5.3(链式法则) T n 设g ( g1 , g2 , , g p ) 在x0 R 可微， f ( f1 , f 2 , , f m )T p 在对应点 u0 g ( x0 ) R 可微，则 w f g是x0处可微， 且 Dw ( x0 ) Df ( u0 ) Dg ( x0 )
特别地， m n p时, 有
( w1 , w2 ,, wn ) ( f1 , f 2 ,, f n ) ( g1 , g2 ,, gn ) ( x1 , x2 ,, xn ) ( u1 , u2 ,, un ) ( x1 , x2 ,, xn )
这个公式与一元复合函 数的求导公式类似，便 于记忆。
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第五节 多元向量值函数的导数与微分
1.多元向量值函数的导数与微分 2.由方程组确定的隐函数的微分法 习题5.5 2(3)，3(1)(2), 5(1)，6, 8, 9
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回顾 一元函数可微 多元函数可微


类似于一元数量值函数，亦可以定义一元向 量值函数的高阶导数.
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sin 2 x 2 x 例1 设f(x) x e , 求f ( x ). cos x m 设 f : U ( x ) R R , x 0 x U ( x 0 ), 若 定义5.2 0 若存在一个与 x无关的向量 a (a1 , a2 , , am ) R m , 使得 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) a x ( x ) 则称 f在x0处可微。并称 ax为f在x0处的微分 , 记作 df ( x0 ). 定理5.1 一元向量值函数 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ))T
( F1 , F2 , , Fm ) （x0，y0 ） 0 2) J F ( y1 , y2 , , ym )（x ，y ）
0 0
则在 x0 邻域内存在唯一连续可 微函数 y f ( x )， 满足 F ( x , f ( x )) 0.
f ( x0 x ) f ( x0 ) 存在，则称 f在x0处可导。 lim x x 0 导数 记为 f ( x0 ), 或Df ( x0 )
f在区间I上可导, 记为 f ( x ), 或Df ( x )
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设 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ),, f m ( x ))T , 利用极限存在的充要条 件知
2 x1 x2 u 例4 1 u2 2 2 2 设w f ( u) u2 u3 , u g ( x ) x1 x2 , 求D( f g ) 2 u 1 x1 x2 3
y f ( x)
y1 f1 ( x1 , x2 ,, xn ) y2 f 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ym f m ( x1 , x2 ,, xn )
5.1 一元向量值函数的导数与微分 定义5.1 设 f : U ( x 0 ) R R m , x 0 x U ( x 0 ), 若
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u u v v 函数， 求 ， ， 和 . x y x y 解法1 将所给方程的两边对 x 求导并移项
u x x y u x v y u x , v x v x
例 5 设 xu yv 0， yu xv 1确定 u，v 是 x，y 的
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例2
设A为m n常数矩阵，f ( x ) Ax ( x Rn )， 试求Df ( x )
设有二元向量值函数 f ( x , y ) x , xy , y
3
解
Df ( x ) A
2 T
例3
, 试求 f
在点(1,1)T 处的导数和微分 .
f ( x0 x ) f ( x0 ) 存在 lim x x 0 f i ( x0 x ) f i ( x0 ) lim 存在 x x 0 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ))T 在x可导 f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x )均在 x可导 且 T ( x) f ( x ) f 1( x ), f 2 ( x ), , f m
其中x ( x1 , x2 )T , u ( u1 , u2 , u3 )T , w ( w1 , w2 , w3 )T , ( w1 , w2 , w3 ) 求 D( f g ) ( 1, 0 ) , 及 . ( x1 , x2 ) (1, 0 )
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f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) , x o( x ) 1x1 2 x2 n xn o( x )
n元向量值函数的极限
设A R n , f ( f1 , f 2 , , f m ) : A R m 为n元向量值函数 ,
y ( y1 ,, ym ), f ( f1 ,, f m )T y f ( x)
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F ( x, y) 0
?
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定理5.4(隐函数存在定理) 设F连续可微，且满足 ）F（x0，y0 ） 1 0;
3 ( 3) 若f : R R , g : R R 3 则D( f g )( x ) Df ( x ) g Dg ( x ) f
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定理5.3(链式法则) T n T 设g ( g1 , g2 , , g p ) 在x0 R 可微， f ( f1 , f 2 , , f m ) p 在对应点 u0 g ( x0 ) R 可微，则 w f g是x0处可微， 且 Dw ( x0 ) Df ( u0 ) Dg ( x0 )
解
3 x2 0 Df ( x , y ) y x 0 2y
3 0 Df (1,1) 1 1 0 2
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3 0 x 3x df (1,1) 1 1 x y 0 2 y 2y