多元向量值函数的导数与微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
§10.3 多元函数微分法-2全微分 2016
二．全微分
1．增量 ⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加
x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。
0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在.
小结 曲面的切平面与法线
*例
试证函数
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y f ( x, y) 在 0, ( x , y ) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0) 不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
定理 若z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 可微分，则 z=f(x,y)在 ( x0 , y0 ) 的偏导数
z z , x ( x0 , y0 ) y
( x0 , y0 )
必定存在，且
z z dz dx dy x y
10
二元函数可微的几何意义
设二元函数z=f(x,y)
7
⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取
得增量时，函数z的增量称为全增量。
如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变， 这时面积的改变量（增量）就是全增量。
《多元函数的全微分》课件
1 近似计算
2 可微性判断
3 优化求解
全微分可以用于近似计 算。
全微分可以用于判断多 元函数的可微性。
全微分可以用于优化问 题的求解。
总结
新的函数
全微分是一个新的函数，用于表示微小变化 量。
多种计算方法
计算方法包括偏导数法和向量法。
具有可加性和路径无关性
全微分具有可加性和路径无关性。
广泛应用
全微分在近似计算、可微性判断、优化求解 等方面有广泛应用。
《多元函数的全微分》 PPT课件
多元函数的全微分是指对多元函数进行微分得到的一个新的函数。
概念介绍
1 定义
2 表示方法
全微分是对多元函数进行微分得到的一个 新的函数。
全微分的常用表示方法为 $df = rac{partial f}{partial x}dx + rac{partial f}{partial y}dy + rac{partial f}{partial z}dz$。
Hale Waihona Puke 全微分的性质1 可加性
全微分具有可加性，即 $df = df_1 + df_2$。
2 路径无关性
全微分的微分形式与路径无关。
计算方法
偏导数法
通过对多元函数中每个变量分别求偏导数，得 到全微分的表达式。
向量法
在 $R^n$ 空间中，将全微分理解为函数在某一 点的切向量，用向量的内积表示全微分。
应用
多元函数微分学-讲稿
∂f = 0. ∂ρ
7. 设 函 数 f ( x, y ) 可 微 ， f ( 0, 0 ) = 0, f x ( 0, 0 ) = m, f y ( 0, 0 ) = n, ϕ ( t ) = f t , f ( t , t ) , 则
(
)
(
(
) ) ，求 ϕ (1) , ϕ ′ (1) .
2
（4）设 f ( x, y ) 具有一、二阶连续的偏导数，且 f xx′′ ( x, y ) = f yy′′ ( x, y ) , f ( x, 2 x ) = x ,
f x′ ( x, 2 x ) = x, 试求 f xx′′ ( x, 2 x ) 与 f xy′′ ( x, 2 x ) . （赛.1994.苏）
多元函数微分学
一．极限.连续.偏导数及微分
【例 1】求下列极限
xy x2 + y2 x3 + y 3 （1） lim 4 ； （2） lim 2 ； （3） lim 2 ； x →+∞ x + y 2 x →∞ x + y 4 x →0 x + y 2 y →+∞ y →∞ y →0 x2 y + 1 − 1 xy ( y − x) x ； ； （5） lim （4） lim （6） lim 2 2 2 x →+∞ x + y 2 x →0 x →0 x +y x2 + y 2 y →+∞ y →0 y →0
∂z ∂z + x = 0. 并求 z. ∂x ∂y
u = x − 2 y ∂2 z ∂2 z ∂2 z （2）写出方程 6 2 + − 2 = 0 在变量置换 下的新方程的形式，并求其 ∂x ∂x∂y ∂y v = x + 3y
多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集二元的序实数组x y 的全体 即R 2RR {x y |x y R }就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作E {x y | x y 具有性质P } 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {x y | x 2y 2r 2} 如果我们以点P 表示x y 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r }邻域设P 0x 0 y 0是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0x 0 y 0距离小于的点P x y 的全体 称为点P 0的邻域 记为U P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义 U P 0 表示xOy 平面上以点P 0x 0 y 0为中心、 >0为半径的圆的内部的点P x y 的全体 点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注 如果不需要强调邻域的半径 则用U P 0表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种1内点 如果存在点P 的某一邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的内点2外点 如果存在点P 的某个邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的外点3边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点 则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E例如 设平面点集E {x y |1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点x y 都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点x y 都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点x y 也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E 为闭集开集的例子 E {x y |1<x 2y 2<2}闭集的例子 E {x y |1x 2y 22}集合{x y |1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域或开区域 连通的开集称为区域或开区域 例如E {x y |1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {x y |1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EUO r其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{x y |1x 2y 22}是有界闭区域 集合{x y | xy 1}是无界开区域集合{x y | xy 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n表示n 元有序数组x 1 x 2 x n 的全体所构成的集合 即R nRRR {x 1 x 2 x n | x i R i 1 2 n } R n中的元素x 1 x 2 x n 有时也用单个字母x 来表示 即x x 1 x 2 x n 当所有的x i i 1 2 n 都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2或R 3中的元素分别与平面或空间中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x x 1 x 2 x n 也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 Rn中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量为了在集合R n 中的元素之间建立联系 在R n中定义线性运算如下 设x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n 为R n 中任意两个元素 R 规定xy x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n x x 1 x 2 x n这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间R n中点x x 1 x 2 x n 和点 y y 1 y 2 y n 间的距离 记作x y 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ显然 n 1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至R n中元素x x 1 x 2 x n 与零元0之间的距离x 0记作||x ||在R 1、R 2、R 3中 通常将||x ||记作|x | 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x采用这一记号 结合向量的线性运算 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x 在n 维空间R n 中定义了距离以后 就可以定义R n中变元的极限设x x 1 x 2 x n a a 1 a 2 a n R n如果||xa ||0则称变元x 在R n中趋于固定元a 记作xa 显然xa x 1a 1 x 2a 2 x n a n在R n中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到nn 3维空间中来 例如设a a 1 a 2 a n R n是某一正数 则n 维空间内的点集U a {x | x R nx a }就定义为R n中点a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V r 2h这里 当r 、h 在集合{r h | r >0 h >0}内取定一对值r h 时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{V T | V >0 T >0}内取定一对值V T 时 p 的对应值就随之确定 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系2121R R R R R +=这里 当R 1、R 2在集合{ R 1 R 2 | R 1>0 R 2>0}内取定一对值 R 1 R 2时 R 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D上的二元函数通常记为zfx y x yD或zfP PD其中点集D称为该函数的定义域x y称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值x y相对应的因变量z的值也称为f在点x y处的函数值记作fx y即zfx y 值域fD{z| zfx y x yD}函数的其它符号zzx y zgx y等类似地可定义三元函数ufx y z x y zD以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间R n内的点集D映射f D R就称为定义在D上的n元函数通常记为ufx1x2x n x1x2x n D或简记为uf x x x1x2x n D也可记为ufP Px1x2x n D函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf x时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数z ln xy的定义域为{x y|xy>0}无界开区域函数z arcsin x2y2的定义域为{x y|x2y21}有界闭区域二元函数的图形点集{x y z|zfx y x yD}称为二元函数zfx y的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在Px yP0x0y0的过程中对应的函数值fx y无限接近于一个确定的常数A则称A 是函数fx y当x yx0y0时的极限定义2设二元函数fPfx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时 都有|fPA ||fx yA |成立 则称常数A 为函数fx y 当x yx 0 y 0时的极限 记为 Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(0或fx yA x yx 0 y 0也记作AP f P P =→)(lim 0或fPAPP 0上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ=则当δ<-+-<22)0()0(0y x即),(),(δO U D y x P⋂∈时 总有|fx y 0|因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x 必须注意1二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A2如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点0 0有无极限 提示 当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f 当点Px y 沿y 轴趋于点0 0时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P x y 沿直线ykx 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→ 因此 函数fx y 在0 0处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解 y xy xy xxy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122 四 多元函数的连续性定义3 设二元函数fPf x y 的定义域为D P 0x 0 y 0为D的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→ 则称函数f x y 在点P 0x 0 y 0连续如果函数f x y 在D 的每一点都连续 那么就称函数f x y 在D 上连续 或者称f x y 是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数fP 上去例6设fx ,y sin x 证明fx y 是R 2上的连续函数证 设P 0x 0 y 0 R 20 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|xx 0|时 有|sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域UP 0 则当Px yUP 0 时 显然 |fx yfx 0 y 0||sin x sin x 0|即fx y sin x 在点P 0x 0 y 0 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续证 对于任意的P 0x 0 y 0R 2因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→ 所以函数fx ,y sin x 在点P 0x 0 y 0连续 由P 0的任意性知 sin x作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义4设函数fx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果函数fx y 在点P 0x 0 y 0不连续 则称P 0x 0 y 0为函数fx y 的间断点 例如 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2O 0 0是D 的聚点 fx y 当x y 0 0时的极限不存在 所以点O 0 0是该函数的一个间断点又如 函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {x y |x 2y 21} 圆周C {x y |x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而fx y 在C 上没有定义 当然fx y 在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin xy 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数fP 在点P 0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 )()(lim 00P f P f p p =→例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim解 函数xy yx y x f +=),(是初等函数 它的定义域为D {x y |x 0 y 0}P 01 2为D 的内点 故存在P 0的某一邻域UP 0D 而任何邻域都是区域 所以UP 0是fx y 的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x 一般地 求)(lim 0P f P P →时 如果fP 是初等函数 且P 0是fP 的定义域的内点 则fP 在点P 0处连续 于是)()(lim 00P f P f P P =→例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x多元连续函数的性质性质1 有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若fP 在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切PD 有|fP |M 且存在P 1、P 2D 使得 fP 1max{fP |PD } fP 2min{fP |PD }性质2 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zfx y 如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对x 的导数 就称为二元函数zfx y 对于x 的偏导数定义 设函数zfx y 在点x 0 y 0的某一邻域内有定义 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量x 时 相应地函数有增量fx 0x y 0fx 0 y 0如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在 则称此极限为函数zfx y 在点x 0 y 0处对x 的偏导数 记作0y y x x x z==∂∂ 00y y x x x f ==∂∂0y y x x xz == 或),(00y x f x例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000类似地 函数zfx y 在点x 0 y 0处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记作y y x x y z==∂∂y y x x y f==∂∂y y x x yz == 或f y x 0 y 0偏导函数 如果函数zfx y 在区域D 内每一点x y 处对x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x 、y 的函数 它就称为函数zfx y 对自变量x 的偏导函数 记作x z ∂∂ xf ∂∂ x z 或),(y x f x偏导函数的定义式x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0求xf∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x求导数 求yf∂∂时只要把x 暂时看作常量而对y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确),(),(00y y x x x x y x f y x f ===),(),(00y y x x y y y x f y x f ===0]),([),(000x x x y x f dx d y x f == 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数ufx y z 在点x y z 处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0其中x y z 是函数ufx y z 的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求zx 23xyy 2在点1 2处的偏导数解 y x x z 32+=∂∂ yx y z 23+=∂∂ 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz例2 求zx 2sin 2y 的偏导数解 y x x z 2sin 2=∂∂ yx y z 2cos 22=∂∂例3 设)1,0(≠>=x x xz y求证zy z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证 1-=∂∂y yx x z xx y z y ln =∂∂zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-例4 求222z y x r ++=的偏导数解 r x z y x x x r =++=∂∂222 r y z y x y y r =++=∂∂222例5 已知理想气体的状态方程为pV =RTR 为常数求证 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p证 因为V RTp = 2V RT V p-=∂∂p RT V = p RT V =∂∂RpV T =R Vp T =∂∂所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数zfx y 在点x 0 y 0的偏导数的几何意义f x x 0 y 0fx y 0x 是截线zfx y 0在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率f y x 0 y 0 fx 0 y y 是截线zfx 0 y 在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00),(222222y x y x y x xy y x f在点0 0有 f x 0 00 f y 0 00 但函数在点0 0并不连续提示0)0 ,(=x f 0) ,0(=y f0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时 有0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点Px y 沿直线ykx 趋于点0 0时 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 故函数fx y 在0 0处不连续类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0二 高阶偏导数设函数zfx y 在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂ ),(y x f y z y=∂∂那么在D 内f x x y 、f y x y 都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zfx y 的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zfx y 在区域D 内的偏导数f x x y 、f y x y 也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zfx y 的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂ yx z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)( x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)( 22)(y zy z y ∂∂=∂∂∂∂同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 设zx 3y 23xy 3xy 1 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z∂∂∂2解 y y y x x z --=∂∂32233 xxy y x y z --=∂∂23922226xy x z =∂∂ 2336y x z =∂∂196222--=∂∂∂y y x y x z 196222--=∂∂∂y y x x y z由例6观察到的问题 y x zx y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数zfx y 的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+= 所以22y x xx z +=∂∂22y x y y z +=∂∂222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u其中222z y x r ++=证 32211r xr x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂同理5232231r y r y u +-=∂∂ 5232231r z r z u +-=∂∂因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r zu y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂33)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r提示 6236333223)()(r x rr x r r r x x r rx x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂§8 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分fxx yfx yf x x yxfxx yfx y 为函数对x 的偏增量 f x x yx 为函数对x 的偏微分fx yyfx yf y x yyfx yyfx y 为函数对y 的偏增量 f y x yy 为函数对y 的偏微分全增量 z fxx yyfx y计算全增量比较复杂 我们希望用x 、y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数zfx y 在点x y 的全增量 z fxx yyfx y 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ 其中A 、B 不依赖于x 、y 而仅与x 、y 有关 则称函数zfx y 在点x y 可微分 而称AxBy 为函数zfx y 在点x y 的全微分 记作dz 即dzAxBy如果函数在区域D 内各点处都可微分 那么称这函数在D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zfx y 在点x y 可微则 z fxx yyfx yAxByo 于是 0lim 0=∆→z ρ从而),(]),([lim ),(lim)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ因此函数zfx y 在点x y 处连续 可微条件定理1必要条件如果函数zfx y 在点x y 可微分 则函数在该点的偏导数x z∂∂、y z ∂∂必定存在 且函数zfx y 在点x y 的全微分为yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 证 设函数zfx y 在点Px y 可微分 于是 对于点P 的某个邻域内的任意一点P xx yy 有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim从而偏导数x z ∂∂存在 且Ax z =∂∂同理可证偏导数y z ∂∂存在 且B y z =∂∂所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 简要证明设函数zfx y 在点x y 可微分 于是有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00从而x z ∂∂存在 且A x z =∂∂同理y z ∂∂存在 且B y z =∂∂ 所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 偏导数x z∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点00处虽然有f x 0 00及f y 0 00但函数在00不可微分即zf x 0 0xf y 0 0y 不是较高阶的无穷小这是因为当x y 沿直线yx 趋于0 0时ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x定理2充分条件 如果函数zfx y 的偏导数x z∂∂、y z ∂∂在点x y 连续 则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯x 、y 分别记作dx 、dy 并分别称为自变量的微分则函数zfx y 的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf x y z 的全微分为dzz u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂= 例1 计算函数zx 2y y 2的全微分解 因为xy x z 2=∂∂ yx y z 22+=∂∂所以dz 2xydxx 22ydy例2 计算函数ze xy在点2 1处的全微分解 因为xy ye x z =∂∂ xyxe y z =∂∂ 212e x z y x =∂∂== 2122ey z y x =∂∂==所以 dze 2dx 2e 2dy 例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分解 因为1=∂∂x u yz ze y y u +=∂∂2cos 21 yzye z u =∂∂ 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf x y 在点P x y 的两个偏导数f x x y fyx y 连续 并且|x | |y |都较小时 有近似等式z dz f x x yxf y x yy即 f xx yy fx yf x x yxf y x yy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm 增大到20 05cm 高度由100cu 减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V 则有V r 2h已知r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有VdVV r rV h h 2rhrr 2h2201000 052021200 cm 3即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm 3例5 计算1 04202的近似值解 设函数f x yx y显然 要计算的值就是函数在x 104y 202时的函数值f 104 202 取x 1 y 2 x 004 y 002 由于f xx yy fx yf x x yxf y x yyx y yx y 1xx yln x y所以10420212212100412ln1002108例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T lg π=现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±、T =2±.问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |.由于|Δl ||ΔT |都很小因此我们可以用dg 来近似地代替Δg 这样就得到g 的误差为||||||T T g l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆T l T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322Tl T l T δδπ+=其中l 与T 为l 与T 的绝对误差 把l =100 T =2, l =, δT =代入上式 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π.02225.0210045.0=⨯=ππδg g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z =fx, y , 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x 、y , 即|Δx |x , |Δy |y , 则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||z 的相对误差约为yx z z y z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||§8 4 多元复合函数的求导法则 设zfu v 而ut vt 如何求dt dz设zfu v 而ux y vx y 如何求x z∂∂和y z ∂∂1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数ut 及vt 都在点t 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zft t 在点t 可导 且有dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明1 因为zfu v 具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=又因为ut 及vt 都可导 因而可微 即有dt dt du du = dtdt dv dv = 代入上式得dt dtdv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dtdt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂= 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明2 当t 取得增量t 时 u 、v 及z 相应地也取得增量u 、v 及z 由zfu v 、ut 及vt 的可微性 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂= t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ令t 0 上式两边取极限 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=注0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ推广 设zf u v w u t vt wt 则zf t t t 对t 的导数为dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=上述dt dz称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数ux y vx y 都在点x y 具有对x 及y 的偏导数 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zf x y x y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂推广 设zfu v w ux y vx y wx y 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂讨论 1设zfu v ux y vy 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2设zfu x y 且ux y 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 这里x z∂∂与xf ∂∂是不同的 x z∂∂是把复合函数zfx y x y 中的y 看作不变而对x 的偏导数 xf∂∂是把fu x y 中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数 y z∂∂与yf ∂∂也有类似的区别3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理3 如果函数ux y 在点x y 具有对x 及对y 的偏导数 函数vy 在点y 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zfx y y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂例1 设ze u sin v uxy vxy 求x z∂∂和y z ∂∂解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vye ucos v 1 e x yy sin xy cos xyy vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vxe ucos v 1 e xyx sin xy cos xy 例2 设222),,(z y x ez y x f u ++== 而y x z sin 2= 求x u∂∂和y u ∂∂解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze yez y xz y xcos 222222222⋅+=++++yx y xey y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例3 设zuv sin t 而uetv cos t 求全导数dt dz解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ve tu sin t cos t e tcos te tsin t cos t e t cos t sin t cos t 例4 设wfxyz xyz f具有二阶连续偏导数 求x w∂∂及z x w ∂∂∂2解 令uxyz vxyz 则wfu v 引入记号u v u f f ∂∂='),(1 v u v u f f ∂∂∂='),(12同理有2f '11f ''22f ''等 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂z f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''= 注 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂ 2221222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂例5 设ufx y 的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式122)()(y u xu ∂∂+∂∂ 22222y u x u ∂∂+∂∂ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 ufx yf cos θ sin θF θ 其中x cos θ y sin θ 22yx +=ρx yarctan=θ应用复合函数求导法则 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u两式平方后相加 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u yu x u 再求二阶偏导数 得x x u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u两式相加 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u全微分形式不变性 设zfu v 具有连续偏导数 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂= 如果zfu v 具有连续偏导数 而ux y vx y 也具有连续偏导数 则dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=dyy v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv v z du uz ∂∂+∂∂= 由此可见 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分解 dv v z du uz dz ∂∂+∂∂= e u sin vdu e ucos v dv e u sin vy dxx dy e u cos vdxdy ye u sin v e u cos vdxxe u sin v e ucos v dye xy y sin xy cos xydx e xyx sin xy cos xydy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数Fx y 在点Px 0 y 0的某一邻域内具有连续偏导数Fx 0 y 00 F y x 0 y 00 则方程Fx y 0在点x 0 y 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx 它满足条件y 0fx 0 并有yx F F dx dy-= 求导公式证明 将yfx 代入Fx y 0 得恒等式 Fx fx 0 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F由于F y 连续 且F y x 0 y 00 所以存在x 0 y 0的一个邻域 在这个邻域同F y 0 于是得yx F F dx dy-=例1 验证方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx 并求这函数的一阶与二阶导数在x 0的值解 设Fx yx 2y 21 则F x 2x F y 2y F 0 10 F y 0 120 因此由定理1可知 方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx yx F F dx dyy x -=-= 00==x dx dy332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=1022-==x dx yd隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程Fx y 0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程Fx y z 0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2设函数Fx y z 在点Px 0 y 0 z 0的某一邻域内具有连续的偏导数 且Fx 0 y 0 z 00 F z x 0 y 0 z 00 则方程Fx y z 0在点x 0 y 0z 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zfx y 它满足条件z 0fx 0 y 0 并有zxF F x z -=∂∂ zyF F y z -=∂∂公式的证明 将zfx y 代入Fx y z 0 得Fx y fx y 0 将上式两端分别对x 和y 求导 得0=∂∂⋅+x z F F z x 0=∂∂⋅+y zF F z y因为F z 连续且F z x 0 y 0 z 00 所以存在点x 0 y 0 z 0的一个邻域 使F z 0 于是得zx F F x z -=∂∂ zy F F y z -=∂∂例2. 设x 2y 2z 24z 0 求22x z∂∂解 设Fx y z x 2y 2z 24z 则F x 2x F y 2z 4 z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂24223222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0可以确定一对二元函数uux y vvx y 例如方程xuyv 0和yuxv 1可以确定两个二元函数22y x y u +=22y x x v +=事实上 xuyv 0 u yx v =1=⋅+u y x x yu 22y x yu += 2222yx x y x yy x v +=+⋅=如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设Fx y u v 、Gx y u v 在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又Fx 0 y 0 u 0 v 00 Gx 0 y 0 u 0 v 00 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点Px 0 y 0 u 0 v 0不等于零 则方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uux y vvx y 它们满足条件u 0ux 0 y 0 v 0vx 0y 0 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0确定一对具有连续偏导数的二元函数uux y vvx y 则偏导数x u ∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数y u ∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xuyv 0 yuxv 1 求x u ∂∂ x v ∂∂ y u∂∂和y v ∂∂解 两个方程两边分别对x 求偏导 得x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u当x 2y 2时 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得y u∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x 当x 2y 2时 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y x yvxu y v ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udxvdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22yx yu xv y u +-=∂∂22y x xv yu x v +-=∂∂ 22y x yv xu y v ++-=∂∂例 设函数xxu v yyu v 在点u v 的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x1证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点x y u v 的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uux y vvx y2求反函数uux y vvx y 对x y 的偏导数 解 1将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论2将方程组7所确定的反函数uux yvvx y 代入7 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x vv x x u u x 01由于J 0 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1 u xJ y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 xt yt zt 这里假定t t t 都在 上可导在曲线上取对应于tt 0的一点M 0x 0 y 0 z 0及对应于tt 0t 的邻近一点Mx 0+x y 0+y z 0+z 作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 当MM 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量T t 0 t 0 t 0就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 t 0xx 0t 0yy 0t 0zz 00例1 求曲线xt yt 2zt 3在点1 1 1处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t 2t z t 3t 2而点1 1 1所对应的参数t 1 所以T 1 2 3 于是 切线方程为 312111-=-=-z y x法平面方程为x 12y 13z 10 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 yx zx问其切线和法平面方程是什么形式提示 曲线方程可看作参数方程 xx yx zx 切向量为T 1 x x2 若曲线的方程为Fx y z 0 Gx y z 0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 yx zx 曲线的参数方程为xx yx zx由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dxdz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz 切向量为) ,,1(dx dz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26 xyz 0在点1 2 1处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydxdz z dx dy y x解方程组得z y xz dx dy --= z y yx dx dz --=在点1 2 1处 0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点1 2 1处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dx dz dx dydx dz dx dy 解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0。
多元函数及隐函数求导
多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得 最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向 的点；
极值点可能是连续函数的 不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如 果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值 （或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描 述机械运动、流体动力学等物理 现象。
在生物学中，隐函数可以用来描 述种群增长、生态平衡等生物现 象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等 统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶 导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微 分，它表示函数在该点附近的小变化。 全微分等于各个偏导数与相应变量的乘 积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或 差的微分等于它们微分的和或差。全微分 还具有连续性，即如果函数在某点可微， 则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例
应用数学基础 第四章-向量值函数的导数
2!2! 13
§4.2－4 方阵函数 性质
性质1 (Euler公式) XCnn, 有
eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .
两边对应的 数项幂级数 具有此性质
性质2 XCnn及 t C, 有
d eAt = AeAt = eAt A ,
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
12
§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
9
定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
m0
i,j=1,2,…,n,
定义 设ACnn 的谱 (A) = {1, 2,…, s }, A的最小多项式()= (-1) (m1 1) … (-s) (ms 1), f (z)是复变函数.
若对j=1, 2,…, s, f(j), f (j),…, f (mi 1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
数学分析23.2向量函数的微分(含习题及参考答案)
第二十三章 向量函数微分学2 向量函数的微分一、可微性与可微条件定义4：设D ⊂R n 为开集, x 0∈D, f: D →R m . 如果存在某个线性变换△(只依赖于x 0), 使得x ∈U(x 0)⊂D 时, 有f(x)-f(x 0)=△(x-x 0)+o (0x x -)或00)()()(limx x x x x f x f x x --∆--→=0, 则称向量函数f 在点x 0可微(或可导).若与上述线性变换△相联系的矩阵为A m ×n , 则称△(x-x 0)=A(x-x 0)为 f 在点x 0的微分，并称A 为f 在点x 0的导数, 记作Df(x 0)或f ’(x 0). ∴△(x-x 0)=A(x-x 0)=Df(x 0)(x-x 0)=f ’(x 0)(x-x 0)是f(x)-f(x 0)的一个线性逼近, 当m=1时，它是一个实数，而当m>1时，它是一个m 维向量. 若f 在D 上任何点可微，则称f 为D 上的可微函数.设f=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m f f 1, A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯mn m n a a a a 1111 =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T m TA A 1, 其中A i =(a i1,…,a in )T, i=1,2,…m.则可微条件等价于f i (x)-f i (x 0)= A i T (x-x 0)+o (0x x -), i=1,2,…m, 即f 的所有坐标函数f i , i=1,2,…m 在x 0可微. 由实值函数可微性知, a ij =x x jix f =∂∂,j=1,2,…,n;i=1,2,…m.当f 在x 0可微时, f 在x 0的导数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂n m m n x f x f x f x f 1111=f ’(x 0)=Df(x 0).定理23.8：若向量函数f 在x 0可微, 则f 在x 0连续.定理23.9：若向量函数f 在x 0可微, 则f 的所有坐标函数f i (i=1,2,…m)在x 0关于每个自变量x j (j=1,2,…n)的一阶偏导数0x x ji x f =∂∂都存在. 由这些偏导数组成的矩阵(如上)便是f 在x 0的导数.定理23.10：若向量函数f 在点x 0的某邻域U(x 0)内处处存在一阶偏导数jix f ∂∂(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), 且所有这些偏导数在点x 0连续, 则f 在点x 0可微.例1：设X={(x 1,x 2)|-∞<x 1<+∞, x 2>0}⊂R 2, 向量函数f: X →R 4为 f(x)=f(x 1,x 2)=(x 12x 23,21x x e +,x 2,x 1lnx 2)T . 求f ’(x), x ∈X 和f ’(1,1).解：∵11x f ∂∂=2x 1x 23, 21x f ∂∂=3x 12x 22；12x f ∂∂=21x x e +, 22x f∂∂=21x x e +； 13x f ∂∂=0, 23x f ∂∂=1；14x f ∂∂=lnx 2, 22x f ∂∂=21x x； ∴f ’(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2122221321ln 10322121x x x e e x x x x x x x x , f ’(1,1)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10103222e e , 由定理23.10知f 在X 上可微.定理23.11：设D ⊂R n 为开集, x 0∈D ，f: D →R m . 则f 在x 0可微的充要条件是：存在一个(m 行n 列的)矩阵函数F: D →R mn , 它在x 0连续(相当于它的n 个列向量函数都在x 0连续), 并使得f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), x ∈D. 证：[必要性]根据可微的定义，当x ≠x 0时, 存在η: D →R m , 0lim xx →η(x)=0,使得f(x)-f(x 0)=f ’(x 0)(x-x 0)+η(x)0x x -=f ’(x 0)(x-x 0)+)(x x x -η(x-x 0)T (x-x 0)=[f ’(x 0)+0)(x x x -η(x-x 0)T ](x-x 0). 令F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧='≠--+'00000),(,)()()(x x x f x x x x x x x x f T η, ∵)()(0x F x F -=00)()(x x x x x T--η≤)(x η→0(x →x 0), ∴F(x)在x 0连续.∴f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), x ∈D.[充分性]若存在F(x) 在x 0连续且f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), 则有 f(x)-f(x 0)=F(x 0)(x-x 0)+[F(x)-F(x 0)](x-x 0)=F(x 0)(x-x 0)+0)()(x x x F x F --(x-x 0)0x x -,令η(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠---00000,0),()()(x x x x x x x x x F x F , 由F 在x 0连续知0lim x x →η(x)=0. 又f(x)-f(x 0)=F(x 0)(x-x 0)+η(x)0x x -, ∴f 在x 0可微且 A 由矩阵F(x 0)确定, 即f ’(x 0)=F(x 0).二、可微函数的性质 注：以下集合D ⊂R n 均为开集.定理23.12：设f,g: D →R m 是两个在x 0∈D 可微的函数, c 为任意实数,则cf 与f ±g 在x 0也可微，且有(cf)’(x 0)=cf ’(x 0), (f ±g)’(x 0)=f ’(x 0)±g ’(x 0). 证：由定理23.11关于可微的充要条件知, 存在矩阵函数F, G: D →R mn 在x 0连续, 且满足f(x)-f(x0)=F(x)(x-x0), g(x)-g(x0)=G(x)(x-x0), x∈D. 于是有(cf)(x)-(cf)(x0)=c[f(x)-f(x0)]=cF(x)(x-x0);(f±g)(x)-(f±g)(x0)=[f(x)-f(x0)]±[g(x)-g(x0)]=(F±G)(x)(x-x0).又由连续函数性质可知, 当F,G在x0连续时，cF, (F±G)(x)在x0连续. ∴cf与f±g满足定理23.11的条件, cf与f±g在x0可微.又f’(x0)=F(x0), g’(x0)=G(x0), ∴(cf)’(x0)=cf’(x0), (f±g)’(x0)=f’(x0)±g’(x0).定理23.13：设f: D→R m在x0∈D可微；D’⊂R m为开集, f(D)⊂D’;f: D’→R r在y0=f(x0)可微. 则复合函数h=g◦f: D→R r在x0可微, 且h’(x0)=(g◦f)’(x0)=g’(y0)f’(x0).证：由定理23.11关于可微的充要条件知,存在矩阵函数F: D→R mn在x0连续, G: D’→R rm在y0连续, 且满足f(x)-f(x0)=F(x)(x-x0), x∈D; g(y)-g(y0)=G(y)(y-y0), y∈D’. 于是有h(x)-h(x0)=g(f(x))-g(f(x0))=G(f(x))[f(x)-f(x0)]=G(f(x))F(x)(x-x0)=H(x)(x-x0),其中H(x)=G(f(x))F(x). 由连续函数性质可知, 当f, F在x0连续时，G在y0=f(x0)连续, 从而H在在x0连续. ∴h=g◦f满足定理23.11的条件, 即h在x0可微. 又f’(x0)=F(x0), g’(y0)=G(y0), 从而证得：h’(x0)=H(x0)=G(f(x0))F(x0)=G(y0)F(x0)=g’(y0)f’(x0). (链式法则)注：若令u=g(y), y=f(x), 用雅可比矩阵表示(g◦f)(x)的导数的链式法则：01111x x n r r n x u x u x u x u =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂ =01111y y m r r m y u y u y u y u =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂1111x x n m m n x u x y x y x y =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂ .例2：设D ⊂R 2, f: D →R 2, f(D)⊂D ’⊂R 2, g: D ’→R, 则当f,g 均可微时， 试用两种形式表示h ’(x).解：复合函数h=g ◦f : D →R 在D 上可微, 且h ’(x)=(g ◦f)’(x)=g ’(y)f ’(x), 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂21x u x u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂21y u y u ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂22122111x y x y x y x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂222211122111x y y u x y y u x y y u x y y u .例3：设w=[f(x,u), g(y,v)]T , u=ψ(x,y,v), v=φ(x,y), 试计算w ’(x,y). 解：(x,y)T ↦(x,y,v)T ↦(x,y,u,v)T ↦(w 1,w 2)T , 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v y x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(y x y x ϕ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u y x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛v v y x y x ),,(ψ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21w w =⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(v y g u x f , 则 w ’(x,y)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v x v y y xy y x x xv v y v xv v u y u xu v y y y xyv x y x x x v w uw y w x w v w u w y w xw 22221111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛y xv y x v yu xg g f f ϕϕψψψ1001100010001000=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x v yv u yu xu x g g f f f f ϕϕψψψ10010=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++y v y x v v y u y u v x u x u x g g g f f f f f ϕϕψϕψψϕψ.定理23.14(微分中值不等式)：设D ⊂R n 是凸开集, f: D →R m . 若f 在D 内可微，则对任何两点a,b ∈D, 必存在点ξ=a+θ(b-a), 0<θ<1, 使得)()(a f b f -≤a b f -')(ξ.证：令φ(x)=[f(b)-f(a)]T f(x), 则φ是D 上的一个实值函数, 且 满足中值定理的条件. ∴存在ξ=a+θ(b-a), 0<θ<1, 使得φ(b)-φ(a)=φ’(ξ)T (b-a), 其中φ’(ξ)T =[φx1(ξ),…,φxn (ξ)]=[f(b)-f(a)]T f ’(ξ). 又φ(b)-φ(a)=[f(b)-f(a)]T [f(b)-f(a)]=)()(a f b f -2,∴)()(a f b f -2=[f(b)-f(a)]T f ’(ξ)(b-a)≤a b f a f b f -'-)()()(ξ, 即)()(a f b f -≤a b f -')(ξ.三、黑赛矩阵与极值概念：对一元向量子数x: I →R n , I ⊂R, 即x 1=x 1(t),…,x n =x n (t),t ∈I, 只要x i (k)(t), i=1,2,…,n 存在, 按向量函数的导数定义, x 的k 阶导数 x (k)t=[x 1(k)(t), x n (k)(t)]T 也存在.对n 元实值函数f: D →R, D ⊂R n 为开集, 若f 在D 可微, 则由 f ’(x)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂n x f x f ,,1确定f 的导函数f ’: D →R n是一个向量函数(f 的梯度). 如果f ’在D(或D 内某点)上可微，则称f 在D(或D 内某点)上二阶可微, 并定义(f ’)T 的导数为f 的二阶导数, 记作f ”(x)或D 2f(x), 且f ”=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂22112212nn rnx f x x ux x f x f. (黑赛矩阵) 当f 的二阶混合偏导数连续时, 该矩阵对称. 这时f 在x 0的二阶泰勒公式可简单写成 f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+21(x-x 0)T f ”(x 0)(x-x 0)+o(20x x -).定理23.15：(极值必要条件)设D ⊂R n 为开集, 实值函数f: D →R 在x 0∈D 可微, 且取极值，则 (1) x 0必为f 的稳定点，即f ’(x 0)=0;(2)又若f 在x 0的某邻域U(x 0)⊂D 存在连续二阶偏导数, 则 当f(x 0)为极小值时, f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为正定或正半定； 当f(x 0)为极大值时, f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为负定或负半定. 推论：若f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为不定时，则f 在x 0不取极值.定理23.16：(极值充分条件)上述函数f 若在U(x 0)⊂D 存在连续二阶偏导数,且f ’(x 0)=0,则当f ”(x 0)为正定(负定)时, f 在x 0取严格极小(极大)值.例4：试讨论二次函数f(x)=21x T Ax+b T x+c 的极值. 其中x ∈R n 为变量, A 为n ×n 对称矩阵, b 为n ×1向量, c 为实数.解：由f ’(x)=x T A+b T =0求得f 的稳定点x 0=-A -1b(A 可逆).又f ”(x)=A, 即当A 正定时f(x 0)为极小值；当A 负定时f(x 0)为极大值. f(x 0)=21(A -1b)T A(A -1b)-b T (A -1b)+c=21b T A -1b-b T A -1b+c=-21b T A -1b+c.当A 为不定阵时, 稳定点x 0相当于一个鞍点，这时x 0不是f 的极值点.习题1、证明定理23.12. 证：见定理23.12.2、求下列函数的导数：(1)f(x 1,x 2)=(x 1sinx 2,(x 1-x 2)2,2x 22)T , 求f ’(x 1,x 2)和f ’(0,2π)； (2)f(x 1,x 2,x 3)=(x 12+x 2,x 2e x1+x3)T , 求f ’(x 1,x 2,x 3)和f ’(1,0,1).解：(1)f ’(x 1,x 2)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2212121240)(2)(2cos sin x x x x x x x x . f ’(0,2π)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-πππ2001. (2)f ’(x 1,x 2,x 3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++31313122112x x x x x x e x e e x x . f ’(1,0,1)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000122e .3、设D ⊂R n 为开集, f,g: D →R m 均为可微函数. 证明：f T g 也是可微函数,且(f T g)’=f T g ’+g T f ’.证：对任x 0∈D, 由定理23.11关于可微的充要条件知, 存在矩阵函数F, G: D →R mn 在x 0连续, 且满足 f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), g(x)-g(x 0)=G(x)(x-x 0), x ∈D. 且有f ’(x 0)=F(x 0), g ’(x 0)=G(x 0), 于是有(f T g)(x)-(f T g)(x 0)=[(f T g)(x)-f T (x)g(x 0)]+[f T (x)g(x 0)-(f T g)(x 0)]=f T (x)[g(x)-g(x 0)]+[f(x)-f(x 0)]T g(x 0)=f T (x)[g(x)-g(x 0)]+g T (x 0)[f(x)-f(x 0)] =f T (x)G(x)(x-x 0)+g T (x 0)F(x)(x-x 0)=H(x)(x-x 0),x ∈D. H=f T (x)G(x)+g T (x 0)F(x).由f T (x),G(x),F(x)在x 0连续知,H(x)在x 0连续,由定理23.11, f T g 在x 0可微. 且有(f T g)’=f T g ’+g T f ’.4、定义函数f, g,h,z,t ：f(x 1,x 2)=x 1-x 2, g(x)=(sinx,cosx)T , h(x 1,x 2)=(x 1x 2,x 2-x 1)T , s(x 1,x 2)=(x 12,2x 2,x 2+4)T , t(x 1,x 2,x 3)=(x 1x 2x 3,x 1+x 2+x 3)T . 试依链式法则求： (1)(f ◦g)’；(2)(g ◦f)’；(3)(h ◦h)’；(4)(s ◦h)’；(5)(t ◦s)’；(6)(s ◦t)’.解：(1)(f ◦g)’=(1,-1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin cos =cosx+sinx.(2)(g ◦f)’=21sin cos x x y y y -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-(1,-1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------)sin()sin()cos()cos(21212121x x x x x x x x .(3)(h ◦h)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==11111212122211x x y y x x y x x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12212121221122x xx x x x x x . (4)(s ◦h)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11102002121211x x y xx y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--112222221221x x x x . (5)(t ◦s)’=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===1020021111422131322322211x y y y y y y x y x y x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++328416412122121221x x x x x x x x . (6)(s ◦t)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111020022*******211x x x x x x y xx x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111222222322212322123221x x x x x x x x x .5、设u=f(x,y), v=g(x,y,u),w=h(x,u,v), 应用链式法则计算w ’(x,y). 解：(x,y)T ↦(x,y,u)T ↦(x,u,v)T ↦w, 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(y x f y x , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛),,(u y x g u x , w=h(x,u,v), 则w ’(x,y)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂y f x fy y x yy x x x u g yg x g u u y u xu u x y x x x v h uh xh=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y xu yx v ux f f g g g h h h 1001100001=[])()(y u y v y u x u x v x u x f g g h f h f g g h f h h +++++.6、设D ⊂R n 为开集, f: D →R m 为可微函数, 证明： (1)若在D 上f ’(x)≡0(零矩阵)，则f(x)为常向量函数； (2)若在D 上f ’(x)=c (常数矩阵)，则f(x)=cx+b, x ∈D, b ∈R m .证法一：(1)设p 和p ’为开域内任两点，可用一条完全在D 内的折线 px 1…,x n-1p ’连接pp ’, 在直线段px 1上的每一点p 0存在邻域U(p 0)⊂D, U(p 0)是凸开域, f(x)在其上可微, 依定理23.14, 对任一x ∈U(p 0), 有)()(0p f x f -2=[f(x)-f(p 0)]Tf ’(ξ)(x-p 0), ξ=p 0+θ(x-p 0)∈U(p 0)⊂D, (0<θ<1),又矩阵f ’(ξ)≡0, ∴)()(0p f x f -2≡0. 即f(x)=f(p 0), 即 在U(p 0)内f(x)是常向量函数. 由p 0的任意性知f(p)=f(x 1). 同理可证f(p)=f(x 1)=…=f(p ’), ∴f(x)为D 上的常向量函数.(2)令g(x)=f(x)-cx, (x ∈D), 则g 在D 上可微且g ’(x)=f ’(x)-c=0, (x ∈D). 从而由(1)知：在R m 中存在向量b ，使g(x)=b, 即f(x)=cx+b, (x ∈D). 证法二：∵f: D →R m 为可微函数, ∴f(x)-f(x 0)=f ’(x)(x-x 0).(1)当f ’(x)≡0时, f(x)-f(x 0)=0, 即f(x)=f(x 0), ∴f(x)为D 上的常向量函数. (2)当f ’(x)=c 时, f(x)-f(x 0)=c(x-x 0)=cx-cx 0=cx+b, x ∈D, b=cx 0∈R m .7、设f: R n →R m 为可微函数，试求分别满足以下条件的函数f(x)： (1)f ’(x)=I(单位矩阵)；(2)f ’(x)=diag(φi (x i )), 即以φ1(x 1), φ2(x 2),…, φn (x n )为主对角线元的对角矩阵, x=(x 1,…,x n )T .解：(1)由第6题(2)得 f(x)=Ix+b=x+b, 其中b 为n ×1常数阵. (2)设f(x)=(f 1(x),…,f n (x))T , (x ∈R n ), 则f i 在R n 上可微(i=1,2,…,n)且f ’(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂n nn n x f x f x f x f 1111(x ∈R n ). 由于f ’(x)=diag(φ1(x 1),…, φn (x n )) (x ∈R n ), ∴iix f ∂∂=φi (x i ), (i=1,2,…,n), 积分得f i (x)=⎰i i i dx x )(ϕ(i=1,2,…,n). ∴f(x)=(⎰111)(dx x ϕ,…,⎰n n n dx x )(ϕ) (x ∈R n ).8、求下列函数的黑赛矩阵，并判断该函数的极值点： (1)f(x)=x 12-2x 1x 2+2x 22+x 32-x 2x 3+x 1+3x 2-x 3； (2)f(x)=-x 12+4x 1x 2-2x 22+4x 32-6x 2x 3+6x 1x 3. 解：(1)f ’(x)=(2x 1-2x 2+1,-2x 1+4x 2-x 3+3,2x 3-x 2-1), 令f ’(x)=(0,0,0), 得f 的稳定点x 0=(617-,37-,32-)T. 又f ”(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210142022正定, ∴x 0是f 的极小值点.(2)f ’(x)=(-2x 1+4x 2+6x 3,4x 1-4x 2-6x 3,8x 3-6x 2+6x 1),∵f ”(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----866644642既不正定也不负定, ∴f 无极值.9、设f,g,h,s,t 为第4题中的五个函数：(1)试问：除第4题第6小题中的两个函数复合外, 还有哪些两个函数可以进行复合, 并求这些复合函数的导数； (2)求下列复合函数的导数：①(g ◦f ◦h)’；②(s ◦t ◦s)’. 解：(1)①(f ◦h)’(x)=f ’(y)h ’(x)=(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1112x x =(x 2+1,x 1-1). ②(f ◦t)’(x)=f ’(y)t ’(x)=(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛111213132x x x x x x =(x 2x 3-1,x 1x 3-1,x 1x 2-1). ③(h ◦g)’(x)=h ’(y)g ’(x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x y y x y x y sin cos 11cos sin 1221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x sin cos sin cos 22. ④(s ◦g)’(x)=s ’(y)g ’(x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y x y sin cos 102002sin 11=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x sin sin 22sin . ⑤(h ◦t)’(x)=h ’(y)t ’(x)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++==111112131321232123211x x x x x x y y x x x y x x x y=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-++++++111222213132221221321231321321322322321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (2)①(g ◦f ◦h)’(x)=g ’(u)f ’(y)h’(x)=122121sin cos x x x x yy u u u +-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1112x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--+--+-11)sin()sin()cos()cos(121221122112211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-+-+--+-+)sin()1()sin()1()cos()1()cos() 1(12211122121221112212x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .②(s ◦t ◦s)’(x)=s ’(u)t ’(y)s ’(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+====1020021111020021*******2123222113211x y y y y y y u x y x y x y y yy u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+===1020021112222221423222123221232212322211x y y y y y y y y y x y x y x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++3264)42()4(8)4(811222241222231x x x x x x x x x .10、设D ⊂R n 为开集, f: D →R m 在x 0∈D 可微. 试证明： (1)任给ε>0, 存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤()(0x f '+ε)0x x -；(2)存在δ>0, K>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤K 0x x -. (这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 证：(1)由f 在x 0可微的定义知：0000))(()()(lim 0x x x x x f x f x f xx --'--→=0.从而任给ε>0, 存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时,000)])(([)]()([x x x x x f x f x f --'--<ε.又)()()()(000x x x f x f x f -'--≤)])(([)]()([000x x x f x f x f -'--, ∴000)()()()(x x x x x f x f x f --'--≤000)])(([)]()([x x x x x f x f x f --'--<ε.即有, 当x ∈U(x 0;δ)时, )()(0x f x f -≤()(0x f '+ε)0x x -.(2)取ε=1, 令K=)(0x f '+1>0, 由(1)知：存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤K 0x x -.11、设D ⊂R n 为凸开集, g: D →R m 是可微函数, 且满足：对任何x ∈D 和任何非零的h ∈R n , 恒有h T g ’(x)>0. 试证明：g 在D 上是一一映射. 证：反证法，若g 在D 上非一一映射，则存在x 1,x 2∈D, 且x 1≠x 2,使 g(x 1)=g(x 2), 令h=x 2-x 1≠0, 记f(x)=[g(x)-g(x 1)]T h, 则f 是D 上的实值函数. 由g 在凸开集D 上可微知f 在D 上可微, 对f 用中值定理, 有 f(x 2)-f(x 1)=f ’(ξ)h, ξ=x 1+θ(x 2-x 1), θ∈(0,1). 又f(x 2)-f(x 1)=0, 且由第3题知 f ’(ξ)=h T g ’(ξ)=0与题设h T g ’(x)>0矛盾, ∴g 在D 上非一一映射.12、设φ: R →R 二阶可导, 且有稳定点；f: R n →R,且 f(x)=φ(a·x), a,x ∈R n , a ≠0. (1)试求f 的所有稳定点；(2)证明f 的所有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处, f ”(x)是退化矩阵(即在稳定点处det f ”(x)=0). 若A 为方阵，则detA 表示A 的行列式. (1)解：令t=a T x=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n , 则有(x 1,x 2,…,x n )↦t ↦y=f(x)，则有 f ’(x)=φ’(t)t ’(x)=φ’(t)[a 1,a 2,…,a n ]=φ’(t)a T . 由a ≠0知, φ的任意稳定点t 0=a T x 的解x 0均为f 的稳定点.(2)证：由(1)知(f ’(x))T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''')()()(21t a t a t a n ϕϕϕ , t=a T x=∑=n i i i x a 1, f ”(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯''⋯''⋯''],,,)[(],,,)[(],,,)[(21212211n nn n a a a t a a a a t a a a a t a ϕϕϕ . 又由(1)知，当x 0是f 的稳定点时, t 0=a T x 0为φ的稳定点，从而det f ”(x)=a 1,a 2,…,a n (φ”(t 0))nnnnna a a a a a a a a ⋯⋯⋯22221=0.∴f 所有稳定点都是退化的.。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
第十二讲(2多元函数微分法)
( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。
包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。
初学这些知识的时候，学生会明显觉得这些概念不难掌握，而且定义及计算公式也很容易记住，但总觉得差那么点东西，说又不知道从何说起。
反正笔者是这种感觉。
其实最根本的原因是没有理清这些知识间的关系，对这些知识并没有本质的理解。
不妨现在就跟笔者一起再重新认识下它们，看看是否解开了你内心得些许疑惑。
一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念关于导数和微分到底是个什么玩意，笔者在探讨一元函数微分的时候有清晰的描述，现在再复述一遍，如下：导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。
说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。
因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。
而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度，是一个变化的量。
我们知道在一元函数中，函数从一点到另一点的变化只有一个方向，就是沿着函数曲线移动就行了。
而且函数在某一点处的切线也只有一条，因此函数的变化快慢只由这个切线（的斜率）决定。
然而多元函数就不同了，多元函数往往是一个面，这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西，催生那么多概念。
但是不要怕，其实多出的东西只是一元函数微分的拓展，本质都是一样的，不信请跟着笔者往下看，不难的，万变不离其宗。
我们来看图1。
现在跟着笔者，咱们一起像数学家一样来思考（其实学会从数学家的角度来思考问题，往往最能达到理解知识的本质的目的）。
描述函数的变化，一个是描述函数的变化快慢，一个是描述函数变化多少。
比如图1中，类似于一元函数的探讨，我想知道函数在A点变化的快慢趋势，以及从A点到B点变化的幅度是多少。
另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题，就是函数可以固定一个变量，让另一个变量来变化，那么这又是与一元函数的十分不同的变化了，其实这是一个变化维度的问题。
多元函数微积分初步
多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。
而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。
一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。
对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。
这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。
而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。
有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。
同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。
二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。
同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。
但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。
多元导数可导可微连续的关系
多元导数可导可微连续的关系多元导数可导可微连续的关系在数学中，多元函数的导数、可导性和可微性是非常重要的概念。
它们之间存在着密切的关系，理解这些关系对于深入理解多元函数的性质和特点至关重要。
在本篇文章中，我们将深入探讨多元导数可导可微连续的关系，并从简到繁，由浅入深地展开讨论。
1. 多元函数的导数让我们简单回顾一下多元函数的导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，而函数的导数可以表示为▽f =(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ...,∂f/∂xn)。
多元函数的导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化率，是研究多元函数性质的重要工具。
2. 可导性和可微性的概念接下来，我们来进一步讨论多元函数的可导性和可微性。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一个点 (a1, a2, ..., an)，使得极限lim┬(Δx→0)〖(f(a1+Δx1, a2+Δx2, ..., an+Δxn)-f(a1, a2, ..., an)-∂f/∂x1Δx1-∂f/∂x2Δx2-...-∂f/∂xnΔxn)/│(Δx1,Δx2, ..., Δxn)│ 〗= 0成立，那么我们说函数在点 (a1, a2, ..., an) 可导，此时函数的导数就是由偏导数所构成的向量，即▽f(a1, a2, ..., an)。
如果一个函数在定义域内的每个点都可导，我们就称这个函数在该定义域内可导。
而可微性则是指函数在可导的情况下，函数的微分近似于其导数的线性变换。
3. 多元导数和可导可微的关系那么，多元导数与可导可微的关系是怎样的呢？在多元函数可导的情况下，它一定是连续的。
因为可导的定义本身需要对极限的存在进行要求，而对极限的要求可以保证函数在该点连续。
但是，可导并不一定代表可微，可导代表了在该点附近存在线性逼近，而可微代表了在该点的微分存在且近似于其导数的线性变换。
多元向量值函数的导数与微分
u l
x0
gradf
( x0 ) l
gradf ( x0 ) cos
其中 ( gradf ( x0 ), l ) (cos1,cos2, ,cosn )
6
n元向量值函数的 导数、微分
7
对于一般的n元向量值函数：
f : A Rn Rm
f1( x) f1( x1, x2 ,
f
(
P.84例5.1
10
定义5.2: 一元向量值函数 f 的微分为：
f : U( x0 ) R Rm(m 2),
能表示
f ( x0 x) f ( x0 ) ax ( ) x
df ( x0 ) ax
a (a1,a2 , ,am )
定理5.1： f :U(x0 ) R Rm可微
f 的任意分量 fi :U(x0 ) R R可微
x2
w2 w2
x1
x2
wm
wm
x1 x2
w1
xn
f1 f1
u1
u2
w2
xn
f2
u1
f2 u2
wm
fm fm
xn
x0
u1
u2
f1
uP
g1
x1
g1 x2
f2
up
g2
x1
g2 x2
fm
g
p
g p
up u0 x1 x2
g1
xn
g2
xn
g p
定理5.2
f 和 g 为向量值函数
x ( x1, x2 , , xn )
f ( x) f1( x), , fm ( x)T g( x) g1( x), , gm ( x)T
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
多元函数微分学的几何应用
t t0
向量值函数极限存在、连续、可导 的充分必要条件
向量值函数f ( t )当t t0时的极限存在的充分必要条件是： 在函数f ( t )当t t0时的极限存在时，其极限 lim f ( t ) lim f 1 ( t )， lim f 2 ( t )， lim f 3 ( t )
t t0 t t0 t t0 t t0
f ( t )的三个分量函数f1 ( t )，f 2 ( t )，f 3 ( t )当t t 0时的极限存在；
（5 ）
向量值函数f ( t )在点t0的某一邻域内有定义，若 lim f ( t ) f ( t0 )
t t0
则称向量值函数f ( t )在点t0 连续.
二、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x y y zz
(t0 ) (t0 ) (t0 )
0
0
0
定义2 向量值函数f ( t )在点t 0的某一邻域内有定义，如果 f ( t 0 t ) f ( t 0 ) lim t 0 t 存在,那么就称这个极限向量为向量值函数r f ( t )在t 0处
多元函数微分
多元函数微分在结束了一段旅途之后，我们重新回到了微积分的世界中。
但你我都知道，经历过线性代数世界的我们，有些事已经发生了改变。
在将微积分从一元推广向多元以前，先来重新复习一下导数与微分的概念。
导数与可微我们知道，对于一元函数，其在一点 x_0 处的导数定义为：f\prime(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}如果我们切换一下视角，实际上可以将这个式子看作：f(x)-f(x_0)\approx f\prime(x_0)(x-x_0)换句话说， x_0 处的导数 f\prime(x_0) 实际上起到的作用是使得在该点处附近的自变量差值与函数差值近似的形成一个倍乘关系。
如果我们将 f\prime(x_0) 记作一个确定数值，比如 k ，而后将 x_0 附近的自变量差值记作为新的自变量，比如\delta ，则我们可以将导数的这个近似函数写作：\Delta f(x)=g(\delta)\approx k\cdot \delta这个简单而熟悉的倍乘关系，一下子就能让你联想到我们在《线性代数-0.线性》一文中提到的线性性质之一——齐次性，即 f(kx)=kf(x)而，微分的定义，函数增量（差值）的线性主部，即将这个函数中的近似符号改为等号：df(x)=k\cdot \delta可以看到，当我们说函数在一点处可微，实际上就是将函数在一点处附近看作是线性的。
不过由于对于一元函数，其定义域与值域一般来说是实数域到实数域的映射，即标量到标量的映射，故一般只能体现出线性的齐次性。
但是，当我们从一元推广到二元后，定义域与值域的情况就有了新的变化。
对于二元函数 f(x,y) ，参照一元函数的导数定义进行推广，即在一点 (x_0,y_0) 处的函数差值与自变量差值的比值。
其中，函数差值的部分没有问题，即 f(x,y)-f(x_0,y_0) ，但自变量的差值就出现了变化，即该如何定义 (x,y)-(x_0,y_0) 的差值。
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y f ( x)
y1 f1 ( x1 , x2 ,, xn ) y2 f 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ym f m ( x1 , x2 ,, xn )
5.1 一元向量值函数的导数与微分 定义5.1 设 f : U ( x 0 ) R R m , x 0 x U ( x 0 ), 若
y ( y1 ,, ym ), f ( f1 ,, f m )T y f ( x)
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F ( x, y) 0
?
向量值函数的导数与微分 西安交通大学 李换琴
定理5.4(隐函数存在定理) 设F连续可微，且满足 ）F（x0，y0 ） 1 0;
工科数学分析基础
李换琴 西安交通大学理学院
hqlee@
第五章
多元函数微分学及其应用
第一节 n维Euclid空间点集的初步知识 1 第二节 多元函数的极限与连续性 第三节 多元数量值函数的导数与微分 第四节 多元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多元向量值函数的导数与微分 第六节 多元函数微分学在几何上的应用 第七节 空间曲线的曲率和挠率
2 x1 x2 u 例4 1 u2 2 2 2 设w f ( u) u2 u3 , u g ( x ) x1 x2 , 求D( f g ) 2 u 1 x1 x2 3
f ( x0 ) Df ( x 0 ) x1 f ( x0 ) x2
0
f ( x0 ) f ( x0 ) x n
定义 D 2 f ( x 0 ) D ( Df ( x )T ) 为f 在 x0 处的二阶导数. x 则有
2 ( ) f x 2 0 H f ( x0 ) T D f ( x0 ) x x j i nn
在 x0可微的充要条件是 f的每个分量都在 x0处可微 .
f ( x0 )dx） 且当 f在 x0处可微时，有 df ( x0 ) f ( x0 )x（或 .
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5.2 向量值函数的导数与微分
定义5.3 设f : R n R m为n元向量值函数，如果 f 的
并将
0
0
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当m=n时，该方阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式。 记为 ( f 1 , f 2 , , f n ) J f ( x0 ) ( x1 , x 2 , , x n ) x 0 特别的 当m=1时， f 为数量值函数
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定理5.3(链式法则) T n 设g ( g1 , g2 , , g p ) 在x0 R 可微， f ( f1 , f 2 , , f m )T p 在对应点 u0 g ( x0 ) R 可微，则 w f g是x0处可微， 且 Dw ( x0 ) Df ( u0 ) Dg ( x0 )
解
3 x2 0 Df ( x , y ) y x 0 2y
3 0 Df (1,1) 1 1 0 2
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3 0 x 3x df (1,1) 1 1 x y 0 2 y 2y
f ( x0 x ) f ( x0 ) 存在 lim x x 0 f i ( x0 x ) f i ( x0 ) lim 存在 x x 0 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ))T 在x可导 f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x )均在 x可导 且 T ( x) f ( x ) f 1( x ), f 2 ( x ), , f m
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5.4 由方程组确定的隐函数的导数
F1 ( x1 ,, xn , y1 ,, ym ) 0 F ( x , , x , y , , y ) 0 2 1 n 1 m Fm ( x1 ,, xn , y1 ,, ym ) 0 记 x ( x1 ,, xn ), F ( F1 ,, Fm )T , yi f i ( x1 , x2 ,, xn ) i 1,2,, m
其中x ( x1 , x2 )T , u ( u1 , u2 , u3 )T , w ( w1 , w2 , w3 )T , ( w1 , w2 , w3 ) 求 D( f g ) ( 1, 0 ) , 及 . ( x1 , x2 ) (1, 0 )
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f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) , x o( x ) 1x1 2 x2 n xn o( x )
n元向量值函数的极限
设A R n , f ( f1 , f 2 , , f m ) : A R m 为n元向量值函数 ,
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例2
设A为m n常数矩阵，f ( x ) Ax ( x Rn )， 试求Df ( x )
设有二元向量值函数 f ( x , y ) x , xy , y
3
解
Df ( x ) A
2 T
ห้องสมุดไป่ตู้
例3
, 试求 f
在点(1,1)T 处的导数和微分 .
类似于一元数量值函数，亦可以定义一元向 量值函数的高阶导数.
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sin 2 x 2 x 例1 设f(x) x e , 求f ( x ). cos x m 设 f : U ( x ) R R , x 0 x U ( x 0 ), 若 定义5.2 0 若存在一个与 x无关的向量 a (a1 , a2 , , am ) R m , 使得 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) a x ( x ) 则称 f在x0处可微。并称 ax为f在x0处的微分 , 记作 df ( x0 ). 定理5.1 一元向量值函数 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ))T
3 ( 3) 若f : R R , g : R R 3 则D( f g )( x ) Df ( x ) g Dg ( x ) f
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定理5.3(链式法则) T n T 设g ( g1 , g2 , , g p ) 在x0 R 可微， f ( f1 , f 2 , , f m ) p 在对应点 u0 g ( x0 ) R 可微，则 w f g是x0处可微， 且 Dw ( x0 ) Df ( u0 ) Dg ( x0 )
每个分量 f i ( i 1, , m )在点 x0处可微，则称 f在x0处可微。
f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) x x x n 1 2 df1 ( x0 ) dx1 f 2 ( x0 ) dx2 df ( x ) f 2 ( x0 ) f 2 ( x ) 2 0 df ( x0 ) x1 x 2 x n dxn df m ( x0 ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) x 2 x n x1 称为f 在x0处的微分. 称为f 在x 处的导数. 记为 Df ( x ).
( F1 , F2 , , Fm ) （x0，y0 ） 0 2) J F ( y1 , y2 , , ym )（x ，y ）
0 0
则在 x0 邻域内存在唯一连续可 微函数 y f ( x )， 满足 F ( x , f ( x )) 0.
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5.3 微分运算法则
定理5.2 设向量值函数 f , g都在 x处可微， u是 x处可微
的数量值函数，则 (1) D( f g )( x ) Df ( x ) Dg ( x ) T T D f , g ( x ) f Dg ( x ) g Df ( x ) ( 2) D( uf )( x ) uDf ( x ) f Du
a (a1 , a2 , , am ) R m , 则
lim f ( x ) a lim f k ( x ) ak . x x x x
0
0
k 1,2,, m
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m n 元向量值函数 f : A R ( m 2 )
f ( x0 x ) f ( x0 ) 存在，则称 f在x0处可导。 lim x x 0 导数 记为 f ( x0 ), 或Df ( x0 )
f在区间I上可导, 记为 f ( x ), 或Df ( x )
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设 f ( f1 ( x ), f 2 ( x ),, f m ( x ))T , 利用极限存在的充要条 件知
特别地， m n p时, 有
( w1 , w2 ,, wn ) ( f1 , f 2 ,, f n ) ( g1 , g2 ,, gn ) ( x1 , x2 ,, xn ) ( u1 , u2 ,, un ) ( x1 , x2 ,, xn )