公平席位分配

公平的名额分配

摘要：公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。多年以来，

我们都在努力寻找“真正的公平”，就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名为d’Hondt方法，并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原则，对两种基本方法进行深入剖析。

对于10个名额（席位）的分配，我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到2：3：4，然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍，这就是常用且简单的比例加惯例分配法。当然若按照Q值方法，就必须舍弃所谓惯例，建立新的衡量指标——不公平度，按此指标计算，则多的一个名额应给C宿舍。十个名额如此，十五个亦然。

d’Hondt法，对于名额（席位）不多的情况更易实施：只需将A,B,C三宿舍人数依次除以自然数列，商数按名额取大值即可，直观简单。

最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。模型简化后，可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，则说明分配合理，反之，则是不合理。

关键词：比例惯例不公平度Q值方差。

一、问题的重述

我们身边时时刻刻都能遇到分配问题，大到一个国家的政策，小到你我家庭中的琐事，任何一个处理不好，都可能引发意想不到的恶果。因此，公平分配就显得尤为重要。

现在我们已知某校学生要组织一个一定人数的委员会，各宿舍人数给定，总人数亦可知道。摆在我们面前有三种分配方案，我们需要做的是找到一种方案，这个方案一方面满足委员会的要求，另一方面也让个宿舍成员满意。怎样做才既能让委员会发挥已有的作用，又不失公平。这是个问题。

二、模型假设与符号说明

假设：

1、学校近期没有学生转入或转走现象

2、此A,B,C三宿舍人员不再变动（即没有搬入，搬出或互换）。

3、此委员会需三个宿舍共同参与，且此三宿舍均想参与委员会管理。

4、此委员会中无职位差别。

符号表示：

n0i

比例法得到的整数部分

Pi

参与分配各方的人数

N分配名额总数P参与分配总人数di模型衡量指标

m

参与分配的单位数量

m’

初次分配后待定名额

ni各方最终分配名额

[qi

qi向左取整

]-

[qi

qi向右取整

]+

Z目标函数

z0

变量名

、z01

三、问题分析与模型建立

有了以上的假设，我们可按下面的思路得到分配方案的结果

模型一：

第一步：按各宿舍占总人数比例，计算得到固定名额部分

第二步：将比例法所得各数取小数部分比较大小，剩余待定名额大者得。

具体步骤如下：

步骤一计算n0i=int(Pi*N/P)；

步骤二如果Pi*N/P全为整数，则分别分配第i个单位n0i个席位，席位分配完毕，退出；否则执行步骤三；

步骤三计算di=Pi*N/P-n0i，并从大到小进行排序；

步骤四计算m’=N-∑n0i，赋给di值最大的前m’个单位n0i+1个席位，赋给其他单位n0i个席位，席位分配完毕。

模型二：

第一步同模型一

第二步：将比例法所得各数取其整数部分（即已定名额部分），计算各个宿舍Q值并比较大小，同样剩余的一个名额赋给Q值较大者的。此时如果名额已完毕，即可结束。否则继续计算此时的Q值，比较大小，将下一个名额赋给Q 值较大者。循环执行此过程，直到分配结束。

具体步骤如下：

步骤一、二同模型一；

步骤三计算di=Pi^2/(n0i+1)*n0i，并从大到小进行排序；

步骤四将n0i+1分配给di最大的一方，继续执行步骤三，直到所有名额分配完毕。

模型三：

对于d’Hondt法，则直接按其要求，一次随自然数列求商，将所得商数从小到大取前十个，分别统计各宿舍入围个数，即是最终委员会名额分配结果。（详见附录）

模型四：

最小方差原则的资源（席位）公平分配整数规划模型：

min Z=∑(P/N-Pi/ni)^2

s.t. ∑ni=N(3)

其中ni为整数，i=1,2,…,m

如何求解这一非线性规划？有用Hamiltom方法的,有将模型(3)化为动态规划求解的；在求解过程中有采用遗传算法，也有采用贪婪算法及其他算法等等。但这些算法还是偏于繁复，计算量偏大，当N增大时算法的有效性受到质疑。同时模型和算法也或多或少出现一些不太“良好”的性质，如：分配给某些单位的席位名额ni过分偏离n0i；当席位总数N增加时，有时会出现某单位席位名额反而减少的不合理状况。可以认为最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。因而对模型(3)的约束条件做进一步的合理限制，构成模型（４）: ni为int(Pi*N/P)或int(Pi*N/P)+1，i=1,2,…,m

即ni只能取n0i和n0i+1其中之一，如此可以避免出现“席位名额ni过分偏离n0i”的不合理状况。在模型中可将目标函数Z改写为

Z=∑(P/N-Pi/n0i)^2+∑[(P/N-Pi/(n0i+1))^2-(P/N-Pi/n0i)^2]

令

z0=∑(P/N-Pi/n0i)^2,

z01=∑[(P/N-Pi/(n0i+1))^2-(P/N-Pi/n0i)^2]，

于是Z=z0+z01，z0是一常数，要求Z最小也就是求z01最小，所以基于最小方差原则的资源（席位）公平分配整数规划模型(4)的求解过程可按如下步骤进行：

步骤一、二同模型一；

步骤三计算di=(P/N-Pi/(n0i+1))^2-(P/N-Pi/n0i)^2，并从小到大进行排序；

步骤三计算m’=N-∑n0i，赋给di值最小的前m’个单位n0i+1个席位，赋给其他单位n0i个席位，席位分配完毕。

四、模型求解

（一）比例加惯例：