数列知识点归纳及习题总结

等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点

N

2

c

a

b

+ =

定义:

n

n n n n n a a

a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：a

b

c 成等比数列ac b =⇒2

基本概念

推广m n m n q a a -⋅=

前n 项和=n S )

1(11)1()

1(11

1≠--=--=q q

q

a a q

q a q n a n n 等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+

}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21

成等比

基本性质 当

1

01>>q a 或

1

001<<

当

1

01>

1

001<<>q a 时 {}n a 为递减数列

当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列

二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列

数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；

一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨

⎧≥-===-)2()

1(111n S S n S a a n n

n

（二）等差数列

1．等差数列的概念

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--

2．等差数列的判定方法

（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 3．等差数列的通项公式

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 [说明]：该公式整理后是关于n 的一次函数。 4．等差数列的前n 项和 （1）．2)(1n n a a n S +=

（ 2.） d n n na S n 2

)

1(1-+

= [说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

5．等差中项

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2

b

a A +=

或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 6．等差数列的性质

（1）．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

（2）.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n

a a a a a a ，如图所示：444484444764443

44421Λn

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321

（3）．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，

k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示：

444444444448

4444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ （4）．设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：①奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯ ②偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯

③)1()1(2

1211

21+⋅=+⋅+=+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n

⋅=⋅+=

+1222

偶所以有⎩

⎨⎧==-⋅

+=+⋅=+++中偶奇中偶奇a a S S a n n a S S n n 11)12()12(

n n 1

S S +=偶奇；12S S S S S S S n +=-+=-n 偶

奇偶奇偶奇 n n a n n a a S n ⋅=⋅+=

-221

21奇项，则若有偶数项 122

2

+⋅=⋅+=n n

a n n a a S 偶 所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+⋯+-+-=--1223412奇偶

（5）．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为

'12-n S ，则

'

1

2

1

2--=n n n n S S b a 。 （三）．等比数列 1．等比数列的概念 [定义]：

成等比数列}{)0,0,2(1

n n n n

a q a n q a a ⇔≠≠≥=- [等比中项]

如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么G

b a G =，即ab G =2

。

2．等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若

)0(1

≠=+q q a a n

n ，则数列{}n a 是等比数列。 （2）等比中项：对于数列{}n a ，若2

12++=n n n a a a )0(≠n a ，则数列{}n a 是等比数列。

3.等比数列的通项公式

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为1

1-=n n q a a 。

4.等比数列的前n 项和

⎪⎩

⎪

⎨⎧

≠--=--==)1(11)1()1(111q q q

a a q q a q na S n n n 5.等比数列的性质

（1）等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且

n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=

（2）.对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅