行列式典型例题

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行列式习题解答

④ 1 c b c 1 a ba 1
111 (b) c a b(a)(c) (b)1 b 1 (a) a 1 (c) c a2abc abc 0
b c 0
⑥0 1 1 1 0 1 11 2 110 a a2 a3
⑦ b b2 b3 c c2 c3
f ( x) 中旳常数项是(1) 2 31 (1) 3 31 3
x 030 15.已知 0 0 0 2 1, 求 x
0 x00 4 000
x 030
解
0 0
0 x
0 0
2 0
24 x
1, 所以
x
1 24
4 000
16.用行列式性质证明下列等式
证明 ①
a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3
00
解 ②此行列式刚好只有处于不同旳行与不同旳列旳
n个非零元素 a12 , a23 , a(n 1)n , an1 ,故非零项只有一项 a12a23 a(n 1)n an1 ,该项所带旳符号为 (1) 23 n1 (1)n1 , 所以 D (1)n11 2 (n 1) n (1)n1 n!
解 ① (38162754) 2 3 0 4 3 1 1 14
所以 38162754 为偶排列
② (3712456) 2 2 0 1 1 1 7
所以 3712456 为奇排列
③ 246 (2n)135 (2n 1)
n (n 1) 2 1 n(n 1) 2
所以当 n 4k 或 n 4k 3 时为偶排列;当n 4k 1
或 n 4k 2 时为奇排列.
6.选择 i, j, k,使排列 21i36 jk97为偶排列.
解当 i 4, j 8, k 5 时， (214368597 6), 为为偶排列，当 i 5, j 4, k 8时， (215364897 6), 为偶排列，当 i 8, j 5, k 4时， (218365497 10),

线性代数行列式经典例题

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行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．n D =11aa解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D 11c nc a-⋅=101a aaa-=11()n a a a--=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D n 1r r -=111a aa --1nc c +=111a aa +-=na -2n a-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．n D 1c 展开=1n aaa -+11001(1)0n n a a +--而 11001(1)0n n a a+--最后列展开=21(1)n +-2n aa -=2n a--n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -方法4 利用公式A O OB=A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．n D =2(2)(1)n --11a aa=11a a2n aa -=na -2n a-方法5 利用公式A O OB=A B ．例2.2 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001010n na a ab b b --- 1112,,1jj c c b j n -+=+=111211121000000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：12111111111n na a Da ++=+其中120n a a a ≠．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111na a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211n i i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n naD a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=121111100101na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n=按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭例２.4 设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf . 证因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且0331221111)0(=------=f ,101(1)1110121f =-=-由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .例2.5 计算D =222244441111ab c d a b c d a b c d ．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．D 2433221r a r r ar r ar ---=222222222111100()()()0()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---------1c 展开=()()()b ac ad a ---222111()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开=()()()b a c a d a ---（333111bc d b c d +222111a b c d b c d ）其中333111b cd b c d 23221r b r r br --=222211100()()c bd b c c b d d b ---- =()()c bd b --11()()c c bd d b ++=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+由于222111bcd b c d 是范德蒙行列式，故222111b c d b c d =()()()c b d b d c --- D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 213141c c c c c c ---=222222244444441000ab ac ad aa b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开=()()()b ac ad a ---222222111()()()()()()b ac ad a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131c c c c --=()()()b ac ad a ---221()()b a c b d b b a b a x y+--++ 1c 展开=()()()b ac ad a ---c b d b xy--其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：5D =22222333334444411111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为4545(1)A D D +=-=-又利用计算范得蒙行列式的公式得5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43[()]x a b c d x -++++其中3x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++由3x 的系数相等得：D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 例2.6 设4322321143113151||-=A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为4142431111A A AA ⋅+⋅+⋅+⋅，故A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=1602102310121000-==41602(1)023012+--=62100320261=-- 例2.7 求解方程:11111111()01121111(1)x f x x nx-==---解方法1()f x 12,,i r r i n-==111100000100(2)x xn x-=---=)2()1()1(1+----n x x x n由题设知0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成)2()1()(+--=n x x Ax x f于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:2,,1,0121-===-n x x x n例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=11111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.9 计算行列式221111220000000b d b d c a c a D =．解方法1 按第一列展开：1121120000a c D a d b b =-0000111122b d c a c d =111122b d c ab a -111122b d c a c d=（22b a -111122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：11232311(1)a c D d b +++=-2222a c db =（11b a 11dc -）（22b a 22d c -）例2.10 计算2n D =1111nnnna b a b c d c d ，其中未写出的元素都是0．解方法1 利用公式A O OB=A B ．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到2n D =2(22)(1)n --1111111100000n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -==()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----1111()a d b c -=1()ni i i i i a d b c =-∏方法2 利用行列式展开定理进行求解．2n D 1r 展开=11111111n n nn n na b a b a c d c d d ----+12(1)n n b +-111111110n n n n na b a b c d c d c ----上面第1个行列式是A O OB的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+---- =()n n n n a d b c -2(1)n D - ==1()ni i i i i a d b c =-∏例2.11 计算5100011000110001100011a a aa D a a a a a ---=------．解方法１采用递推的方法进行求解．5D 125c c c ++=1000010001100011011a a aa a a aaa-------- 1c 展开=1001100110011a a a a a a a -------+51000100()(1)110011a a a a a a aa+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+故 234551D a a a a a =-+-+-方法2 采用降阶的方法进行求解．5D 12(1)r a r +-=2210011000110001100011a a a a a a a a a a a -+---------213(1)r a a r +-+=232301011000110001100011a a a a a a a a a a a a a-+--+--------2314(1)r a a a r +-+-=23423400111000110001100011a a a a a a a a a a a a a a a-+-+-+---------23415(1)r a a a a r +-+-+=23450001110001100011011a a a a a a a a aa a a-+-+---------1r 展开=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-⋅--=23451a a a a a -+-+-例2.12 证明D n =121100010nn n xxa a a xa ----+=111n n n n x a x a x a --++++证方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n xxx-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n== x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=2112101001000n n n n x x xa xa a a xa -----++213c x c +=3212123110000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a x a--------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n xxx----=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++或 D n21123n nc xc x c x c -++++=122110000100001n n x x fa a ax a -----+1=按c 展开1(1)n f +-1111n x xx----=11(1)(1)n n f +---=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=112200000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x)=111n n n n a a x a x x --++++ 方法4n r nD =按展开1(1)n na +-1000101x x ---+21(1)n n a +--000010001x x --+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()n a x -+10000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n n n n a a x a x x --++++例2.13 计算n阶“三对角”行列式Dn=001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)0000101n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入上式得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋＋1n nαββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==00010000101ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33 D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,3)i A i =是A 的第i 行, 则行列式312122A A A A -=______.解312122A A A A -=312122A A A A -=3212A A A =12322||4A A A A -=-=例2.15 判断题(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ．（） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-．（）解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2) 错误，例如取3003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2002B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15A B A B -=≠-=．例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()R A =3，则k = 解由于111111111111k k A k k =124r r r ++=3333111111111k k k k k k k++++=1111111(3)111111k k k k +=11110100(3)00100001k k k k -+-- =3(3)(1)k k +-由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 211)(2--．解 C B A C T 211)(2--=23112T C A BC -- =223112TC A BC-=22312A B=2例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．解由E B A B A =--2，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+由于 201030202A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，180A E +=≠ 001010200A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-1001001/2010010200100--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以2/1||=B ．例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1*1()32A A --的值．解方法1 化为关于*A 的形式进行计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A-=，1n A A -*=有1*1()32A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -=*2A -=3*(2)A -=23(2)A -=32-方法2 化为关于1A -的形式计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A -=，1A -=1A，有 1*1()32A A --=1123A A A ---=14A --=3(4)-1A=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1*2-B A 的值．解 1*2-BA =1*2-BA n =n21-n AB1⋅=n 212-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．解如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -例2.23 计算行列式OB AO B A ，，||||，其中12112(1)121121n n x n x n A x n n x n n -+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪=⎪+- ⎪ ⎪+-⎝⎭， 100002000010000B n n ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 ||A =12112(1)121121n n x n x nx n nx n n-+-++-+-12,,12100000ir ri nn n x x x x x x x-=-+-=--1,,1n j c c j n +=-=(1)12120000000n n n x x x x +-+这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)(1)()2n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2)1(()1(2-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．注这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则O AB O=(1)mn -A B ．例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足TAA E =，0A <，求 A E +．解方法1 由TAA E =有A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +=A ()TE A +=A E A +=A A E +即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=TE A +=A E +即 A E +A =A E +有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法 3 由TAA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2A =1，又因为0A <，所以有1A =-，故A E +=A 1E A -+=T E A -+=E A -+即2A E +=0，A E +=0．例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1．证方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ==，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ+=，于是1(1)(1)1n λλ++>．方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有11n P AP λλ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭ （0,1,2,,i i n λ>=）即 11n A P P λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111n A E P P PP λλ--⎛⎫ ⎪+=+⎪ ⎪⎝⎭=1111n P P λλ-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭A E +=1111n PP λλ-++=1(1)(1)1n λλ++>例2.26 设11112222aa A nn n n a +⎛⎫⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭，求A解利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ=．11112222aa A nn n n a +⎛⎫ ⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭=100000000a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭+11112222a nn n n a ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭==11112222aE n n nn ⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭矩阵11112222n n n n⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为11122nna a aλ=++=(1)2n n+，23nλλλ====0所以A特征值为(1),,,2n na a a++，故A=1(1)[]2nn na a-++．21。

线性代数行列式经典例题22998

线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法由于因此升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。

行列式展开与应用例题和知识点总结

行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义对于一个\（n\）阶方阵\（A ＝（a_{ij}）＼），其行列式\（｜A|＼）定义为：＼｜A| ＝＼sum_{＼sigma\in S_n}（－1)＾｛＼tau(＼sigma)｝a_{1\sigma(1)｝a_{2\sigma(2)｝＼cdots a_{n\sigma(n)｝＼其中\（S_n\）是\（n\）个元素的全排列集合，＼（＼tau(＼sigma)＼）是排列\（＼sigma\）的逆序数。

对于二阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼）对于三阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼）二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。

2、对换行列式的两行（列），行列式变号。

3、行列式中某行（列）的公因子可以提到行列式外面。

4、若行列式中有两行（列）元素成比例，则行列式为零。

5、若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则行列式可以拆分成两个行列式之和。

6、把行列式的某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

三、行列式的展开1、按行展开设\（A ＝（a_{ij}）＼）是\（n\）阶方阵，＼（A_{ij}＼）是\（a_{ij}＼）的代数余子式，则\（｜A| ＝ a_{i1}A_{i1} ＋ a_{i2}A_{i2} ＋＼cdots ＋ a_{in}A_{in}＼）（＼（i\）为任意行）2、按列展开类似地，＼（｜A| ＝ a_{1j}A_{1j} ＋ a_{2j}A_{2j} ＋＼cdots ＋a_{nj}A_{nj}＼）（＼（j\）为任意列）四、应用例题例 1：计算行列式\（＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0＼＼ 4 ＆ 1 ＆ 5\end{vmatrix}＼）解：按照三阶行列式的展开公式计算：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 1 ＆5\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 0 ＼＼ 1 ＆ 5\end{vmatrix} （－1)＼times\begin{vmatrix}1 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 5\end{vmatrix} ＋3\times\begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＼＼ 4 ＆ 1\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times5 0\times1) ＋ 1\times(1\times5 0\times4) ＋3\times(1\times1 2\times4)＼＼＝＆2\times10 ＋ 5 ＋ 3\times(－7)＼＼＝＆20 ＋ 5 21\＼＝＆4＼end{align}＼例 2：已知\（＼begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＆ 3 ＼＼ 2 ＆ 3 ＆ x ＼＼ 3 ＆x ＆ 1\end{vmatrix} ＝ 0\），求\（x\）的值。

行列式典型例题

行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列式值，计算方法为对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关，它们都可以通过行列式进行计算或判断。
行列式有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等，这些性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上的元素乘积，计算过程相对简单，因为除了主对角线元素外，其他元素都为零，所以可以直接将主对角线上的元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序，对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。

大学行列式典型例题

=
= = =
= = =
方法2利用行列式展开定理进行求解．
+
上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以
=
= = =
例2.11计算．
解方法１采用递推的方法进行求解．
+
即，，
，
故
方法2 采用降阶的方法进行求解．
=
例2.12证明
D = =
证方法1递推法按第1列展开，有
D = x D +（－1） a = x D + a
= = =
D = = -2
= =
于是猜想，下面用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立，假设当n k时成立．
当n=k+1是，由递推公式得
D = D － D
= — =
所以对于n N ，等式都成立．
第二部分
这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．
方法2因为正定矩阵是对称矩阵，因此可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵有
（）
即
=
= =
例2.26设，求
解利用特征值法进行求解，即利用公式．
= +
= =
矩阵的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为
= ， =0
所以特征值为，故 = ．
A41+A42+A43+A44
= =
例2.7 求解方程:
解方法1
=
由题设知
所以是原方程的解.
方法2 由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成

第一章行列式典型例题

第一章行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式11110111101111------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点余子式和代数余子式的概念解析11110111101111------,212121111111(1)10101211101A M +--=-=--=--=--- 答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ; 00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 . 测试点行列式按行(列)展开的定理解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = .测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 解因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质 1）.T A A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a++=（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点行列式的性质解111111122222223a b c a b ac a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式1111112113114111的值.测试点行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a aa x a a a ax a a a ax测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 333000300030x a a ax a a a a x a a a a a x a a x ax a a x a D a ax a x a ax a x a a a a xx a a axx a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式000000000 000000n a b a ba D ab b a=测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解111111110000000000 ==+(1)(1) 000000n n n n n n n a b a ba D aA bA aMb M a ba bb a++=+-=+-例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()139********x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。

行列式典型例题

下面讨论行列式的计算方法: 行列式计算的基本方法是利用行列式的性质,将行列式化成特殊的行列式,再求值.常用方法有:降阶法、递推法、折项法、加边法等. 1 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 ri r2 2 2 2 2 i2 例6 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 n 0 0 0 0 n2
1
-2
.
解
方法一:由行列式的定义 f ( x) 2 x ( x) x 2 x 3 x 2 x 2 x3 x
方法二:按第一行展开,得 f ( x) 2 x
【评注】方法一适用简单情形,方法二适用较复杂情形. 1 1 设 1 1 1 1 左边 1 1 1 1 1 x 1 1 1 2 3 2 4 15 1 x 2 x3 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 4 8 0 ,求该方程的根. 4 15 0 2 5 12 x 2 x3 1 x x 2 x3 1 8 0 ,即 27 x3
xn
bn
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1) mn A B
* Bn
Am O
.
二. 典型例题
2x 1 2 1 x ,则 x3 的系数是 x
例1
设 f ( x) x x
x 1 2 2 x 4
例5
设 f ( x) 2
,证明 f ( x) 0 有小于 1 的正根.
3 x2 4 x
证且
方法一: f ( x) 是 x 的多项式,则 f ( x) 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,

高等代数《行列式》部分习题及解答

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列）例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

行列式按行列展开法则例题

行列式按行列展开法则例题
行列式按行列展开法则是求解行列式的方法之一，它可以将一个n阶行列式转化为n个n-1阶行列式的和，具体规则如下：对于n阶行列式A，选择其中一行（或一列），记为第i行（或第i列），将该行（或列）中的每个元素乘以它的代数余子式，再加上符号“+”或“-”，即得到一个新的n-1阶行列式Bi，其中符号“+”表示该元素所在的行号和列号之和为偶数，“-”则表示为奇数。

然后对这n个n-1阶行列式Bi依次按行列展开法则进行计算，最终得到n阶行列式A的值。

以下是一个使用行列式按行列展开法则求解行列式的例题：
已知矩阵A为：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
求A的行列式。

解法如下：
选择第一行进行展开，得到：
|A| = 1×(5×9-6×8) - 2×(4×9-6×7) + 3×(4×8-5×7) = 1×(-3) - 2×(-6) + 3×(-3)
= -3
因此，A的行列式为-3。

以上就是使用行列式按行列展开法则求解行列式的一个例题。

在实际运用中，需要根据具体情况选择适当的行或列展开，以方便计算。

行列式典型例题

可作为公式记下来．例 2.3 计算 n 阶行列式：
2
1 + a1
1
⋯
1
Dn =
1 ⋮ 1
1 + a2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 1 + an
其中 a1a2 ⋯ an ≠ 0 ．解这道题有多种解法．方法 1 化为上三角行列式
ri − r 1
Dn =
i = 2,⋯,n
1 + a1 − a1 ⋮ − a1
1
1
1
1
1
a b c d D5 = a 2 b 2 c 2 d 2 a3 b3 c3 d 3 a4 b4 c4 d 4
x x2 x3 x4
D5 按第 5 列展开得到的是 x 的 4 次多项式，且 x 3 的系数为
A45 = ( −1)4+5 D = −D
又利用计算范得蒙行列式的公式得
D5 = (b − a )(c − a )(d − a )(x − a ) (c − b )(d − b )(x − b ) (d − c)( x − c)( x − d )
a a
(−1)2 n+1
0 n −1
而
(−1)
n +1
最后列展开
=
⋱
= −a n−2
a
0 n −1
a n−2
Dn = a ⋅ a n −1 - a n− 2 = a n - a n − 2
方法 4 利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式
A O = A B． O B
将最后一行逐行换到第 2 行，共换了 n − 2 次；将最后一列逐列换到第 2 列，也共换了 n − 2 次．
a1
r i −r n i =1,⋯, n−1

n阶行列式的典型例题

n阶行列式的典型例题1. 行列式的基本概念行列式，听起来是不是有点高深莫测？其实，它就像一个数学界的小魔法，能够帮助我们解决很多复杂的问题。

简单来说，行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以告诉我们很多关于这个矩阵的秘密，比如它的可逆性、解的个数等等。

想象一下，你在厨房里，面前摆着一堆食材，行列式就像一个神奇的食谱，告诉你哪些食材组合在一起才能做出美味的菜肴。

真是妙不可言，对吧？那么，n阶行列式又是什么呢？其实，n阶行列式就是指有n行n列的矩阵的行列式。

它的计算方式有很多，最常见的就是通过展开法和加减法。

说到这里，你可能会想，听起来好像挺复杂的。

但别担心，咱们一步一步来，就像拆解一个拼图游戏。

2. 行列式的计算方法2.1 展开法展开法就像是一场数学的拆迁大会，逐步拆掉复杂的部分，最后留下简单的结果。

我们可以选择行或列来进行展开，通常选择包含零的行或列，能省不少力气哦！就拿一个三阶行列式来说吧，设它是这样的：D = begin{vmatrixa_{11 & a_{12 & a_{13 。

a_{21 & a_{22 & a_{23 。

a_{31 & a_{32 & a_{33。

end{vmatrix那么，计算方法就可以是这样的：D = a_{11 cdot begin{vmatrix。

a_{22 & a_{23a_{32 & a_{33end{vmatrix a_{12 cdot begin{vmatrix。

a_{21 & a_{23a_{31 & a_{33end{vmatrix + a_{13 cdot begin{vmatrix。

a_{21 & a_{22a_{31 & a_{32end{vmatrix看起来是不是像在做数学魔法呢？一拆就明了。

只要你熟悉这些基本步骤，就能轻松搞定。

2.2 其他方法除了展开法，还有很多其他的方法，比如拉普拉斯展开、伴随矩阵法等等。

大学线性代数典型例题解析

0 -10 £)=-6-1973Li-10；十1严-II—6-19 5-13 20 120 D=I-19 5-13 20 I=(-1 严20 -19I -13大学线性代数典型例题解析一•行列式计算的典型例题分析:1•利用降阶法。

计算3 5 1()2 14 5D =17 4 2-3511解邂第三列乘权-3和-5分别加到第一列、第二列■然厂按第一行展开.得再将第三列乘以6加到第一列:按第三片展开’探「I以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆町用行列贰性质变为等置的n-1阶行列式, 2•利用化三角形法计算。

a -b —c la计算D 二2b b-c-a2c 2cIff：将第二廿与弟三打都加到第一打上，帯提出公阖子(a+b+cj,得a + h + 匸口 + A + u o + /)+ cD - 2b b -c — a 2A2c 2c c-a-bI 1 I—(a h + c) 2b b^c —a 2b2c 2c c —a — Z?再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行，得1 IID = (a + fr + c)0 ^[a +b +c)= (a ^-b + c)3 =0 0 —(a + Z? + c)3.利用升阶法。

D-II=fl “y)(i+£亠n 这里设a^A(f=I 52,3,4) i±i t±］人・吗这个结论可以推广到n 阶疔列式的情兀即a,4.利用范德蒙公式。

10 0 0 011 1 1 1■4a Q \-^iZ — d ■0 0 0 -a za 2Za 2 5=0 0 -码Ja%-码0 0 A - a 3 0码zA - a 4^列代帥到第—列上條第3列急倍9.5已知1 11I0 1 1 1 0 0 1 I 0 0 0 I锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI ：1 r i X1 11 1]4 Sx 2 -3 5 ] -3 9-27x z 49 25 1■25 125F 8-2712= (2-_r)(-3 -工)(5 -工)(-3 - 2)(5 - 2)(5 + 3) = 0(方程的解为x = 2,x = -3,x = 5)H.矩阵i vp| = i^a 用伴随矩阵法I I 1 岛】=0 I 1 = 1, Z 】2 = A 、、= A }i = 00 0 1ft m 悭方程X1 525 =00 I 0 00 =0 =0A=且|出| =#03可逆，由三儒块求逆法.宀-0鞘口2 切卑丫变耳広1 1 1 1 1 0 0 0_10 0 0 1 -1 0 厂0 1 1 1 0 1 0 0 町一牛0 1 0 0 0 1 -1 0 00 1 10 0 1 0 巾•口0 0 1 0 0 0 1 -1 _0 0 0 10 0 0 1_0 0 0 11超法(4)分块法'I I 0 Id J = - - ■-*b0 0 0 00 0 -1 0 I -I其忙0 |1 00 0_故f50 1 勺0 ©17 ;求X使XA=B F这里川二 1 -3 -2・B — 5 3 05 21\|126 0>分析；根辦矩阵乘法规则,X应为3阶方阵.若A可連，则XA-B两恻同乘T T［即可得X = BA'\箏注_:先求(5 0 I =10 0^I -3-2,10[-5 2 1 : 0 0 1>fl-3-2 ；0 1 (?| f ] -3_勺J i 0i d\0 9 2 i 1010 15i 7 5 8lo -13-9 ； 051〔0 22i 10 1/11II00 :fl -：1-2 =0 丨0、R4895110 1 5 : 7 5g010 :04lo 0-8 : -13 -100u I J西4515\848丿(I 2 3、.'.A~x- 9 10 11< —13—10—15>103(123、fl—3则x = BA~{=-530910 11—456A<26o「10-15;<7 £9Kt鯉因削執右佻因此匕別二血环是沪乩姊上狛于俯等式馳同时右乘八降二：= f可以看成-些初等矩阵Z札它储乘B,用当于对B进行碱换.Ift这輕初等斛桶A.删L即和細斷同軸列初等变礼IE A变切时出把B变为启旳=⑷(H卩1因此iii_^si4…=…/丿册"丿N10i 0円S001S24 -12317 48 4562d 71S9V 2孙 /. X = 4 5 6<7 8 9丿(51 0-3 「-2r i 9 0 - 3 0、-11{ 1 0 0 亠3 0 12-5 2 1-92ID *-3 21-80 0-8 0 8 -8 0 8-3 0_5 -35-14-3 171-2 -6 0 J1-2 -62 J1-20-6 26；( 10 0A (\0 0、胖法一；AX=2X+B. !^ij (A-21) X=B若 A-21 可迎，则X = (A~2/)-1 B. fl 0 0) f s先求(A-2I)-l .^j A _2f= 0 “ -I 为准載筲矩阵，呦只需戒匚.T ；'的逆.I 】2丿f \0 0'二（月- ■2/)-1 =0 -2 7<0 1L&：8:设卫二0 1一|10 1 4>% 「B= 1】'求X 便AX=2X-B i& 70 £ -89 （说朝：斌二阶方阵用件随陈求逆也很方熾）I I5 0(p卩'3:.X =0 -2-I1]=-411<0 11丿12 -匀13無法二：X = （A-2irB,^（A-2iy'^当于一些初等阵之积，它们右乘氐相当于对已进疗行初等变唤=丙此（A -21,8} F"苇孚臭・片人X）.f\ 0 0 3 6^<10 0 3 6、r l 0 0 30 10-410 -I -1 1 I—>0 1 1 -1 -1—>1<0122 -3；<0013 -2y<0 0 1 3:3 6> 二x = -4 1例1D设占为ri阶可逆方阵点证：①（・』尸=卜1严八②卜』厂=・犷③（屮）—卩厂鼻证：①设A = （a.t）^中®的代叢余子式为坷则卜牛卜附卜卜1）%|且・切的代数余子式为卜叮1尙于是（卜旷如~卜旷4）=卜1严屮②证法1：由定几卜川・卜沪）=（-1）小（」）才上卜1"才T 故卜川“ =-<\证法2:由公式③当A可逆时,才=|车J故（/（*）*=（|J|Z）*=|彳州•悴于=14 -p-j—tr1）-1\A\说明;这里几个等试证明中用到了以下结论：⑴片呵=昇・网(2) (k -B)-1⑶町卜『③也可有如下解法:AA^ = \A\-1设f =艮则B*B=\B\1 由AA* = \A\I t^\A\ \A•|=p|-/| = |^ v A可逆，屮|* 0. |叶|犷,即网="I j H 0而#T = A AA^ = \A\* l t：. -^A^A* = 1)HI 同冷十「冷八|旷/•向量和线性方程组附已脳产(即)角=(”1入妒®』)嘲*为Mtta［岛角職暂弱血滩牝泌泌拋联糊谓加佝脚t跆*：墟IB于翡附箭$ “+铤+竝广0抽&&只有黠脑泌曲魁无关;抑詁有丰需轨鸟卫擲I 3 2D=2 -I3◎二*于是孔] -i 日十] 1124?+8I1 -1 20盘+】011110 1-120 1 a 2占+】0 2 ・2 “5 27 j + = 0弓+ 3血=03^( + 2k2 + ak3=0 果数吁列式3 2—1 3 = -7(i? - 5)0 a-5⑴ 当D=-7(fl-5) HO时.方程#汀!有寧劣闵此当a W时.a：,他4』线性无关. ⑵ 当0=-7(<2-5>0时’方程组有非零解，因此当d =5时.4“如线性相关.设or, =k\a{+k\ a2则(3. 2, 5) = (#'3+3k\ f2k\ -k'2,3k\ ^-2k\)比+3心3B|l! ^2k\-fc'2= 2探'严2码二5a t = (1023)匚勺=(143.5)7,«3 =(l,-l,a +2>l)r t a<= (1^4,0 +8)r, 0 = (】」』+3上卩问a,b为何值时，0不能表示f&a]f a2 f a3f a4的线性组合;日，b为何虫时.0 口丁以由a n a iy a ir a4线性表示，且表示法>€—・輕：如俛6分析，上述问邇等价于0二禺％ +虬s +咫乙是否有崩即)11 1 ■\_■ 1 ■0 1-12工：1=2 3 o + 2 4d+33 5 1 a+^£5是否育第氐为供10设j1 A =11■—1 2 5 2 3 7 3 4 9 45 1110 )316=1#0,而所有包含D 的三阶子式为D* = 囲此秩A=2方法2I 12 I 23=0. I 34I I 5 2 =1 II I 7D 6 =I 2 10 1 4 16=0.兀中kr : + r 表不矩阵第i 吁乘収k 加到第j 行，因此,当b=0时丫方程组有无穷梦解，戸可以表示J&s 卫 2*的线性组合. 当廿二7上勿吋，方程魁育无穷爹隨此讨阿匕表示成色,/的线性坦今, 但表示注不唯一.天■的就分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒’h 直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不为零子式的阶数. 2+利用初等变换來求矩阵的秩.方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙112 5 71125 7 1 2 3 7 10 (-1) x f] +<0 11231 3 4 913i =2.3,4 0 2 246,」4 5 II 160 3 36 9I I 2I I 5I 1 7I 23=0, D 、=I 2 7 =0*Dy = 1 2 1C1 4 51 3 91 3 13聲方法一：貞有一介二阶子式D ：D = 节＜7H-1时,0可以唯一；卫农示2b « + 6+ 10 0_1125 7(-2小5 十口 0 I 1(_3)卩 + 心0 0 0 0 0 0Alft] r(B)=2,因此 r (A) =2例5.判断务=(h 2 3), a2 =(3t2 J),勺=(kN I)是否线性相关.分析：研究向量弐％,並「…，宜般的线性相关的问題卜由定丈时知.就是考寰是否存在血个不全为零的数虬和，…，斤十便线性组劭兔&+$&+…+S出=0口/】+◎九姑因此.向量组S •’ 是否线性用关，等价于齐次线性方程组(引是否有非孚矮. 若方程红⑶有菲寧鹘.则务，线性期关.若方程经⑶只有零倒L则码j线性无关.那苗究向去间是否线性祁关同建•实质上就是硏究齐次线柱方程组⑶着没有零解问亂解法一设存在一组数昭出，灯使禺住1 +紿勺+ k i a i= 0 ■ 即^(1,2,3) +^13,23) + ^(133)= (0,0, Oh 亦即(A p. + 3& + &,2& + 2k2+ 3心,3A | + k2+ RJ = (0,0,0)・k}+3A F:+A J = 02A: +2A:+3k z= 03k -k2 +Aj =0_1 3 r系软矩忑2 2 3 =A.可以通过初等行变换求得r(A)=3. K'J此齐状线性方程鉉3 I 1■ ■只有零轉故碍住"住3统性无关.覚'r 1 h(4)如皿汕％馳表示等价刊济熾住方程姐⑷是唯-的昶表示•若方灘（4）有无球性表示*但表乐法不唯一•若方程矩（4）无罠则 :…珂飙表示例6巳观产（MUM 厂仲厂卜加讦仏7卜1也小47卯小対1）试務像示加i 角角和住■的唆齣含.分析:硏究某-向量雄否用向量釦角严几濾性表示糠歸有皿个救匕岛「化使為0=&卫|祜角+"#屁虑立,N 占皿也杆叫A = Aa t J. + 偽屁 4Tor J. =h.u l孟■占"n* 皿 4眦向童滩否用向量脸崗否有麒着方脏沖）謎一亀M能妝q 穷多幣忖能用#能用©心解^P-k a也听+叭+也加即（1,2昇）詁伸山1）也（1」厂lHHMThTM—1」）£ + h + k3+£ = Iti +i, - L - k k= 2即0二一叭—a3 __g四.特征值与特征向量UJ例］.求矩阵的特征值和特征向量-1 r\ -3 4_ 4 = 2 0 1：.B =4 -7 81 -1 26 -7<-1 1(X「1 1 0\◎_2 4 -1 <2 = 0即:0 0 1X, = 0I -11 0>E 丿<< 0 0 oj <x 3©⑴fP解1 t :* A, 1 比q W)是屈F2的特证覚:ft ：4U/f-2 】-I Yx,竝于久严1；方程组好一旳X = Q 即为-2 1 -I<—1 1 —UL X 3>1刀■理=乂-31-1-】Z -*1-x-2 14-2 ZZ — = (z-2)|z- 1)1 1 01 Z 1-2 1 120 1Z — 10 1 1婆ir i -rJi 0 ©(0 -1 1 x 2 = 0 =>0 T I= 0<0 o o>\ J ><0<00 oj卫二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z ;: = 2P 方f^£(2l -AH=0, UI^J二解为1「出的持征置为2. 2. I . A的属于2的特征向量为仪I # 0),〔0丿◎I (帕RM二艺于2=1的持征向量T& 2向*切是属于-啲特征向量 I 】丿 4.1 (k 2 #0)是属于朝勺特征向董 WA 的属于1的特征向盘为& 1 (*2 *0) JJ= + "l =(A-3)(A + l)2 A 丹的特征值为右二心二一1,妇二3r■■f-23 -4\对于A, = =-l,^方程组C-I-A)X=0,^!(-Z-J)= 2 -I 0 J 7- jfo 2Ja -I <P0 -P (C0 —>10 1 lo o_2 —>0 I -2 *•!向童為=(2llj10 4一爲o y0 Ojf 2 3 -4X<2 3 -4^ 就于久严N 方程组(討「/1)X= a 3/-A =23 -40 16 -16厂6 7k 0 0 0 ；「2 o -r ((yT O 1 -1 解向量5 b 1・・/的特征值为T,-I3LO 0 0Jlb注I:求特社懐时戌难在于计算疔列式•应尽盘便中疔列式性质•理昊行(列)化成有冥国一阴子(2的一次式人然后再计算•这样易于暹多项式区式分髀"由此化还可看出.半特花值是重根时，不一宦有2个线性无关的特征向量.昂外，还可从解(AJ - A)X = 0中可验证所求的特征值是否正确.(当(A1-A)X = O^有军解时，可以说明诸几不是特征值)注2：特tz 尙量是非零向量这要牢记.五.二次型L:将二次型 f = （x, J = + 2x} + 4x 占 + 2x }心 +4x 內 + 2毛屯+2兀心+2®兀表示成矩陈形式，井我该二次型的秩•勢：将二次型表示成矩阵形式X\4X H\其中A 是对帐矩阵’•且2化即为二巧阿系数（2丿）血叫即为疋的柬熱出此即得:几其秩为氛f 而该二诜A ->。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
+L + a2n xn MMM
=
b2
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的系数行列式 D
≠
0 ，则方程组有唯一解 x1
=
D1 D
（
i=1，2，…，n），其中 Di 是 D 中第 i
列元素（即 xi 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
2．如果线性齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0．同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
）， x 3 的系数为（
）．
3 2x 1

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分注意R-行，C-列例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．n D =11a a解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D 11c nc a-⋅=101a aa a-=11()n a aa--=n a -2n a-方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D n 1r r -=111aaa -- 1nc c +=111a a a +-=na -2n a-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式（直接展开）．n D 1c 展开=1n a aa -+11010(1)0n n aa +--而 110010(1)0n n aa +--最后列展开=21(1)n +-2n aa - =2n a -- n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -方法4 利用公式A O OB=A B ．性质行列式中两行或者两列互换,行列式的值只改变一个符号.将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．n D =2(2)(1)n --11a aa=11a a2n a a -=na -2n a-方法5 利用公式A O OB=A B ．例2.2 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+(120n b b b ≠ )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001nna a ab b b ---1112,,1jj c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)n n na ab b b b b +++ 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠ ．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111na a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n n a D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a ---11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011n a a a ++由于12111111111a a ++ 1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+ 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+ =12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭ =12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭例２.4 设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf .证因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且0331221111)0(=------=f ,101(1)1110121f =-=-由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .例2.5 计算D =222244441111ab c d a b c d a b c d ．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．D 2433221r a r r ar r ar ---=222222222111100()()()0()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---------1c 展开=()()()b ac ad a ---222111()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开=()()()b a c a d a ---（333111bc d b c d +222111a bc d b c d ）其中333111b c d b c d 23221r b r r br --=222211100()()c bd b c c b d d b ---- =()()c bd b --11()()c c bd d b ++=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+由于222111bc d b c d 是范德蒙行列式，故222111b c d b c d =()()()c b d b d c ---D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 213141c c c c c c ---=222222244444441000ab ac ad aa b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开=()()()b ac ad a ---222222111()()()()()()b ac ad a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131c c c c --=()()()b ac ad a ---221()()b a c b d b b a b a x y+--++ 1c 展开=()()()b ac ad a ---c b d b xy--其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：5D =22222333334444411111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为4545(1)A D D +=-=-又利用计算范得蒙行列式的公式得5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43[()]x a b c d x -++++ 其中3x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++由3x 的系数相等得：D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---巧妙解法例2.6 设4322321143113151||-=A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为4142431111A A AA ⋅+⋅+⋅+⋅，故A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=1602102310121000-==41602(1)023012+--=62100320261=-- 例2.7 求解方程:11111111()01121111(1)x f x x n x -==---解方法1()f x 12,,i r r i n-==111100000100(2)x x n x-=---=)2()1()1(1+----n x x x n由题设知0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成)2()1()(+--=n x x Ax x f于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:2,,1,0121-===-n x x x n例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.9 计算行列式221111220000000b d b d c a c a D =．解方法1 按第一列展开：1121120000a c D a d b b =-0000111122b d c a c d =111122b d c ab a -111122b d c a c d=（22b a -111122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：11232311(1)a c D d b +++=-2222a c db =（11b a 11dc -）（22b a 22d c -）例2.10 计算2n D =1111nnnna b a b c d c d，其中未写出的元素都是0．解方法1 利用公式A O OB=A B ．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到2n D =2(22)(1)n --1111111100000n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -= =()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c ----- 1111()a d b c -=1()ni i i i i a d b c =-∏方法2 利用行列式展开定理进行求解．2n D 1r 展开=11111111n n nn n na b a b a c d c d d ----+12(1)nn b +-111111110n n n n na b a b c d c d c ----上面第1个行列式是A O OB的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+----=()n n n n a d b c -2(1)n D - = =1()ni i i i i a d b c =-∏例2.11 计算5100011000110001100011a a aa D a a a a a ---=------．解方法１采用递推的方法进行求解．5D 125c c c ++=1000010001100011011a a aa a a aaa-------- 1c 展开=1001100110011a a a a a a a -------+51000100()(1)110011a a a a a a aa+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+故 234551D a a a a a =-+-+-方法2 采用降阶的方法进行求解．5D 12(1)r a r +-=2210011000110001100011a a a a a a a a a a a -+---------213(1)r a a r +-+=232301011000110001100011a a a a a a a a a a a a a-+--+--------2314(1)r a a a r +-+-=23423400111000110001100011a a a a a a a a a a a a a a a-+-+-+---------23415(1)r a a a a r +-+-+=23450001110001100011011a a a a a a a a aa a a-+-+---------1r 展开=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-⋅--=23451a a a a a -+-+-例2.12 证明D n =121100010nn n xx a a a x a ----+=111n n n n x a x a x a --++++证方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n xxx-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是 D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n= = x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，，第n 列的x 1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=2112110010000n n n n x x x a xa a a x a -----++213c x c +=32121231010000100010n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++= =111x fx--- n r =按展开1(1)n f+-1111n xxx----=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++或 D n21123n nc xc x c x c -++++=122110000100001n n x xfa a a x a -----+1=按c 展开1(1)n f +-1111n x xx----=11(1)(1)n n f +---=f其中111n n n n f a a x a xx --=++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=1122000000000n n nnn n nx x xa a a a a a k xx x ---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x)=111n n n n a a x a x x --++++方法4 n r n D =按展开1(1)n n a +-1000100001x x --- +21(1)n n a +--0000100001x x -- + +212(1)n a --1000000001x x --+21(1)()n a x -+100000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n n n n a a x a x x --++++ 例2.13 计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入上式得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋＋1n nαββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋000100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式000100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==000100001000001ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33 D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,3)i A i =是A 的第i 行, 则行列式312122A A A A -=______.解312122A A A A -=312122A A A A -=3212A A A =12322||4A A A A -=-=例2.15 判断题(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ．（） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-．（）解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2) 错误，例如取3003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2002B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15A B A B -=≠-=．例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()R A =3，则k = 解由于111111111111k k A k k =124r r r ++=3333111111111k k k k k k k++++=1111111(3)111111k k k k +=11110100(3)00100001k k k k -+-- =3(3)(1)k k +-由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 211)(2--．解 C B A C T 211)(2--=23112T C A BC -- =223112TC A BC-=22312A B=2例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．解由E B A B A =--2，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+由于 201030202A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，180A E +=≠ 001010200A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-1001001/2010010200100--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以2/1||=B ．例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1*1()32A A --的值．解方法1 化为关于*A 的形式进行计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A-=，1n A A -*=有1*1()32A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -=*2A -=3*(2)A -=23(2)A -=32-方法2 化为关于1A -的形式计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A -=，1A -=1A，有 1*1()32A A --=1123A A A ---=14A --=3(4)-1A=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1*2-B A 的值．解 1*2-BA =1*2-BA n =n21-n AB1⋅=n 212-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．解如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -例2.23 计算行列式OB AO B A ，，||||，其中12112(1)121121n n x n x n A x n n x n n -+⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪=⎪+- ⎪ ⎪+-⎝⎭， 100002000010000B n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 ||A =12112(1)121121n n x n xn x n n x n n-+-++-+-12,,121000000i r r i nn n xx x x x x x-=-+-=--1,,1n j c c j n +=-=(1)121200000000n n n x x x x +-+这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)(1)()2n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2)1(()1(2-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．注这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则O AB O=(1)mn -A B ．例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足TAA E =，0A <，求 A E +．解方法1 由TAA E =有A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +=A ()TE A +=A E A +=A A E +即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=TE A +=A E +即 A E +A =A E +有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法 3 由TAA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2A =1，又因为0A <，所以有1A =-，故A E +=A 1E A -+=TE A -+=E A -+即2A E +=0，A E +=0．例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1．证方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ== ，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ+= ，于是1(1)(1)1n λλ++> ．方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有11n P AP λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（0,1,2,,i i n λ>= ）即 11n A P P λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111n A E P P PP λλ--⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ =1111n P P λλ-+⎛⎫⎪ ⎪⎪+⎝⎭A E +=1111n PP λλ-++=1(1)(1)1n λλ++>例2.26 设11112222a a A nn n n a +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭ ，求A 解利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ= ．11112222aa A nn n n a +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭ =100000000a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +11112222a nn n n a ⎛⎫ ⎪+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭= =11112222aE n n n n ⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭矩阵11112222n n n n⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为11122nna a aλ=++ =(1)2n n+，23nλλλ====0所以A特征值为(1),,,2n na a a++ ，故A=1(1)[]2nn na a-++．21。

行列式典型例题

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线性代数行列式经典例题

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线性代数行列式经典例题22998

行列式展开与应用例题和知识点总结

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