“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用

“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用

简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。

标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能

一、“弹簧双振子模型”的含义

振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。

二、高中物理中弹簧特性

在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。

中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。弹簧的力是变力，其做工、冲量等不可依据经典力学中处理恒力的方法进行处理，特殊情况下用平均作用力代替变力进行计算，这种方法并不常用。使用功能关系以及守恒定律进行计算是最常见的办法。

中学阶段对于简谐运动的研究有限，答题总结为两种状态：其一是弹簧处于最大形变时刻，弹簧的弹性势能最大时的情况；其二是弹簧回复原来长度，形变为零，则弹簧的弹性势能也为零。这两种典型状态发生的过程中存在形变过程，研究形变过程的能量转换。

三、“弹簧双振子模型”运用到的物理模型探讨

（一）完全弹性碰撞模型在双振子系统中，甲、乙两个质点由弹簧连接，合力为零或者不受外力的条件下，系统与外界没有能量与动量的传递。甲、乙弹簧构成孤立的系统。系统动量守恒、能量守恒，甲与乙的碰撞过程为弹性碰撞。设甲与乙的质量分别为m1、m2，初速度为v1、v2，末状态速度为v1’’、v2’。由动能守恒与动量守恒定律可得方程组：

m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’

12m1v12+12m2v22=12m1v1’2+12m2v2’2

解方程组得到结果：

设v2为0，即乙的初始状态为静止状态，则可以得到

將此模型应用于处于水平面上的弹簧双振子系统中，系统从弹簧处于未经伸长也未经压缩的自由状态开始，受到外界的瞬间扰动，经过简谐运动过程，弹簧恢复原状态，求甲、乙的速度分别为多少？弹簧的初始状态是自由的，系统中的能量只有甲、乙两振子的动能，弹簧恢复到初始长度时，弹簧弹性势能为零，系统又只有两振子的动能，这样就可以根据两振子的能量转换量化甲、乙的初始速度与最终速度。将弹性碰撞模型应用于这个例子当中，可以轻松求出振子在最终状态的速度[1]。

（二）完全非弹性碰撞模型相互作用的甲与乙两个振子及弹簧组成的系统，在外力为零或者合外力为零的状态下，系统动量守恒，能量守恒。与完全弹性碰撞模型不同的是，系统的动能损失最大，也就是动能转化为了其他形式的能量最多。系统的运动学特征为甲、乙两振子的最终速度为共同速度v，由动量守恒及动能守恒可得方程组：

若乙振子的初始速度为零，即v2=0，则可以得出

运用这一模型可以得出系统最终状态动能损耗量，即转化为其他形式能量（弹性势能、重力势能或者内能等）的量化数值以及最终状态的速度。系统中弹簧的形变（包括拉伸与压缩）达到最大时，甲、乙两振子的共同速度满足非弹性碰撞模型的使用条件。可以看到，求弹簧的弹性势能应用这一模型是最方便的，解决了高中阶段对于弹性势能计算方法较少的问题。完全弹性碰撞与完全非弹性碰撞的模型总是结合起来使用的[2]。

（三）人船模型。在解决动量守恒的问题中经常用到人船模型，该模型将一个物体放置在另一个物体上方，并且量物体产生相对运动，这一模型的特点是，系统的初始动量为零，质心的位置是不变的。一般这种模型也经常被用来求两物体相对位移，用于弹簧双振子模型中可以分析两个振子的位移。

（四）等形变模型。双振子模型中，弹簧在不同外力作用下两次发生同样的形变，求此时物体的运动状态，例如速度、位移、加速度等。运动过程中弹簧形变量位置，弹力与弹性势能都是不确定的，给定量计算带来障碍。经过仔细分析，如果两次形变相同，则具有相同的弹力与弹性势能，分别对两次运动过程列出方程组，则弹力与弹性势能都能够通过方程消去，从而得到解。这类解决问题的模型称为等形变模型。（五）磁場中的“弹簧双振子模型”。如图一所示，有两条足够长的平行光滑导轨放置于磁感应强度为B、方向向下的均匀磁场中，两根导轨之间的距离为l。现有两根质量均为m 的金属杆ab、cd分别放置于x=x0和x=0处，由导轨和金属杆构成的回路的自感系数为L，导轨和金属杆的电阻都为零。现在给予金属杆ab向右的初速度v0，假设金属杆运动过程中回路的自感系数L 不变，求任意时刻t两杆的位置和电流i的变化。

解析：金属杆在切割磁感线时会产生感应电流，由于回路具有自感系数L ，所以会产生自感电动势，金属杆与导轨的电阻都为零，由欧姆定律可知，E+EL=0，在合外力为零的情况下，导轨和金属杆构成的系统质心做匀速直线运动，质心的运动速度为：

V质心=mv0/2m=1/2v0

当金属杆ab在初始位置右侧的时候，受到的安培力指向左方，当金属杆ab 在初始位置左侧的时候，受到的安培力指向右方，cd杆同理，金属杆ab、cd相对于质心做简谐运动，简谐振动的恢复力为：

任意时刻t，金属杆ab相对于质心的位置：

任意时刻t，金属杆ab相对于地面坐标系的位置：

任意时刻t，金属杆cd相对于地面坐标系的位置：

任意时刻t，回路中的电流：

在这道题目中，一眼看去只是个普通的切割磁场的运动，但是通过深入分析我们可以发现，这道题将原本的弹簧换成安培力，在运动的方式上与前面的例二是完全相同的，因此在解决这道题时只要能够发现金属杆相对于质心时的间歇运动，就能够通过匀速直线运动中的简谐运动去解决这一道题。

四、弹簧双振子模型在物理竞赛中的应用

（一）双振子碰撞模型。

例一：研究原子核物理理论，对于核子与核子关联的最有效途径的研究方向为“双电荷交换”反映。该反应前半部分的过程类似弹簧双振子模型。两个小球A、B以弹簧相连，弹簧为轻质弹簧。系统在光滑的平直轨道上静止。在系统左侧有