基于有限体积法的二维水流.ppt

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绪论
2，课题的现实意义 本课题的浅水模型可以用来实现河流、河 口、湖泊、近海的水流水位模拟；而对流扩散 方程是水质模型的基本控制方程，可以实现污 染物（BOD，COD）、泥沙、热、盐的数值模 拟 ，具有重大的现实意义。 应用举例：河道流量及洪水预报、溃坝决 堤、洪水漫滩、河口潮汐、盐水入侵、都市排 水、海上油膜扩散等。
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第一章 浅水动力学的控制方程
1，何谓浅水 这里所说的浅水（Shallow Water）并非是指水深 比较浅的水，而是具有它自身特定的含义。我们把满 足以下四个方面的水称为浅水： 有自由表面； 以重力为主要驱动力，同时考虑风应力 和地转柯氏力； 水平流速沿垂线近似均匀分布； 水平运动尺度远大于垂直运动尺度；
式中： h－水位；v－流速；g－重力加速度；S0－水底坡度；
Sf－摩阻坡度；x－水平距离；t－时间；
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第一章 浅水动力学的控制方程
下面我们来推导以一维浅水方程，考虑以下的一维单元模型：
Q
Q
Q x x Q x x
单元左侧进水流量为Q，右侧出水可以表示
右减左，得到该单元上的净出流量为 Q 内的净出水量为： xt 。
基于有限体积法的二维水流水 质模拟及其可视化研究
疯狂猫
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目录
绪论 浅水动力学的控制方程 有限体积法原理 浅水模型的程序实现 数据可视化 验证算例
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绪论
1，本课题的主要工作 使用有限体积法（Finite Volume Methods） 在无结构网格上离散二维浅水方程，求得水流 速度场，并把求得的流场作为输入条件进一步 求解对流扩散方程得出污染物浓度场。 同时，计算过程将会产生大量的数据，本 课题使用Delphi语言＋DirectX技术实现流场和 浓度场的可视化。
把计算域分为有限个单元，分单元对解逼近，使微 分方程空间积分的加权残差极小化。FEM在数学上适于求解 椭圆型方程的边值问题，不适合求解以对流为主的输运问题。
有限体积法（Finite Volume Methods）
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第一章 浅水动力学的控制方程
有限体积法和有限元一样将计算域分成若干单元。在计算出每个 控制体边界沿法向输入（出）的流量和动量通量之后，对每个控 制体分别进行水量和动量平衡计算，得到计算时段末各控制体的 平均水深和流速。因此，FVM正是对于推导原始微分方程所用控 制体途径的回归。 本课题使用FVM进行浅水方程的求解。 上述三种方法在具体应用中并没有绝对的好，和绝对的坏，根据 具体问题的不同，可以用不同的数值方法。比如，DHI的二维浅 水动力学软件Mike 21采用的就是差分中的ADI－Quick格式，而 著名的SMS（Surface Water Modeling System）使用的是有限元法， 英国Wallingford的InfoWorks中的RS（River Simulation）模块使用 的是最为传统的四点差分格式。
h (hu) (hv) t x y 0 －－－－－－－－－－－连续方程 gh2 (hu) 2 ( hu ) (huv) bx －－－－X向运动方程 t x 2 y (hv) gh2 2 (huv) (hv ) by －－－－Y向运动方程 t x y 2
按照同样的思路，我们可以推导出动量方程：
QV
( QV ) QV x x
在Δt时刻内，左右界面净输出动量为 x xt ； 2 ( gh /2 ) / x ] x； 左右界面水压差为[ 水重在流向的分量为hgS0 Δx; 底摩阻力在流向的分量为－hgSf Δx; Q / t ) x t 控制体内的动量增量为：( 由控制体动量平衡得出动量方程。
b ( 0 , gh ( S S ), gh ( S S )) 0 x fx 0 y
T fy
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第一章 浅水动力学的控制方程
4，求解浅水方程常用的数值方法
有限差分（Finite Difference Methods） FDM以Taylor级数展开为工具，对微分方程中的导 数项用差分项来逼近，通过求解差分方程得到近似解。优点： 简单易学，处理效率高。缺点：使用的矩形网格对边界逼近 较差。 有限元（Finite Element Methods）
满足浅水假设的包括：河流、湖泊、河口和近海。
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第一章 浅水动力学的控制方程
2，一维浅水控制方程
浅水方程又称圣维南方程（Saint－Venant），是由圣维南 1871年在法国科学院汇刊73卷中提出的，它的一维形式为：
0 h hv －－－－－－－－－－－－－连续方程 t x 2 v v h ( )g g(S0 Sf ) －－－－运动方程 t x 2 x
x
Q x x
Q
。
，在Δt时刻
h
同时考虑Δt时刻内，单元控制体内水量增加为 ( t )tx。
Q h 根据单元水量平衡可以得到： x t x t 0 x t
令Δt－>0 ,Δx－>0,可以得到连续性方程。
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第一章 浅水动力学的控制方程
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第一章 浅水动力学的控制方程
或写成向量形式：
式中：
q F G b t x y
T q ( h ,hu ,hv ) 2 2 T F ( hu , hu gh / 2 , huv )
2 2 T Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( hv , huv , hv gh / 2 )
(QV )
根据以上两个方程的推导，我们可以看到，其实浅水方 程就是物理守恒定律（水量和动量）在有限体积上的应 用。
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第一章 浅水动力学的控制方程
3，从一维到两维
我们上述的浅水方程是在只考虑横向尺度（X方向）的情况下 得到的，对上述方程进行纵向尺度（Y方向）扩展，可以很容易 地得到二维的浅水方程：