第五章平面体的投影

Ⅱ
( )
2
三棱锥表面上取点Ⅲ
（3'）
3
Ⅲ
(
)
3
§5.2 平面与平面立体截交
平面与立体相交，可设想为立体被平面所截切。这 个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交 线。截交线所围成的图形称为截断面。
截断面
截平面
截交线
平面与平面立体截交
目的： 求截交线。 截平面
截交线
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。 截交线的每条边是截平面与参与相交棱面和底面的交 线；截交线的每个端点是截平面与参与相交的棱线和 底边的交点。
F
N
M
2、檐口线相交的两坡屋面必 相交于斜脊或天沟，它们的水 平投影为两檐口线水平投影的 角平分线。当两屋檐正交时， c '(e') 在水平投影中斜脊或天沟与檐 e 口线成45°角。 斜脊
3、在屋面上如果有两斜脊、 两天沟或一斜脊一天沟相交 于一点，则该点处必有第三 条交线通过（即屋脊线）。
c
(1)同坡屋面
棱柱的投影特性：
将正六棱柱底面平行 于H面，前后两棱面 平行于V面放置。 在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面； 前后两侧棱面是正平 面，其余四个侧棱面 是铅垂面。 其一个投影为多边形， 另外两个投影轮廓线 为矩形。
六棱柱的投影图
下图是斜三棱柱及其在两投影面上的投影，该棱 柱的底面为水平面，向上、向右、向前倾斜。
相贯线是两相交立体表面的共有线，相贯线上的点是 两相交立体的共有点。两立体相贯后应把它们视为一个整 体，因而一立体位于另一立体内的部分是不存在的，不应 画出。
根据两相贯立体相贯位置的不同，有“全贯”和“互 贯”两种情况。当一个立体全部贯穿另一个立体时，称为 全贯，有两组相贯线，（如图a）；当两个立体互相贯穿时， 称为互贯，有一组相贯线（如图b）。
其一个投影为多 边形，另外两个投影 轮廓线为三角形。
三棱锥的投影图
S
C
B
A
§5.1.2 平面体表面上的点
点的可见性判别： 若点所在的平面的投影可见，点的投 影也可见；否则点的投影不可见。
一、棱柱表面上取点
（a）
a
二、三棱锥表面上取点Ⅰ
r
1
( )
1
r
R
Ⅰ
1
三棱锥表面上取点Ⅱ
2 2
★ 空间分析 ★ 投影分析 截平面与立体 交线的形状？
a'' (c'')
例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影
例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影
s' P为水平面
Q为侧平面
s''
截平面Q 截平面P
1(2)
a' b' (d') d c' d''
2
●
1
●
a'' (c'')
b''
a
s
a' m '(d') b' (h')g' n '(f') f a 屋脊 天沟 d m g n b h a ″(b″) h ″ g ″ e ″(f ″) e″ (f ″) (f e ″) ″
（2）同坡屋面的投影
本章结束
一、求一形体参与相交的各表面与另一形体表面的交线。 二、求所有参与相交的侧棱对另一形体表面的交点，然后依 据一定的规则将交点连接而得到相贯线。 同时位于两立体的同一表面上的两点，才能进行连接。 判别相贯线可见性的原则：只有位于两形体都可见的表面 上的交线，是可见的。两立体只要有一个表面不可见，面上的 交线就不可见。
2 1
c
注意：
要逐个截平面分析和 绘制截交线。当平面体只 有局部被截切时，先假想 为整体被截切，求出截交 线后再取局部。
b
例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影
绘制截切体投影图的一般方法和步骤：
• 1.几何抽象---把形体抽象成基本立体被平面切割或挖切 而形成，画出立体切割前原始形状的投影； • 2.分析截交线的形状---分析有多少表面或棱线、底边参 与相交，判明截交线是三角形、矩形或其他多边形等； • 3.分析截交线的投影特性---根据截平面的空间状态分析 截交线的投影特性，如实形性、积聚性、相仿性等； • 4.连成多边形---分别求出截平面与各参与相交的表面的 交线，或求出截平面与各参与相交的棱线、底边的交点， 并连成多边形； • 5.对图进行修饰---丢弃被截掉的棱线，补全、接上原图 中未定的图线，并分清可见性，加深描黑。
相贯线的性质：
不同的立体以及不同的相 贯位置,相贯线的形状也不同; 两平面立体相交，其相贯线在 一般情况下是封闭的空间折线。
折线的各线段是两平面体相 交棱面（或底面）的交线；折线 的各顶点是各平面体上参与相交 的各棱线与另一平面体棱面（或 底面）的交点。
求相贯线的方法
求作两平面立体相贯线，实质上仍归结为求直线 与平面的交点，以及求平面与平面交线的问题。 求两平面立体相贯线的方法有两种：
§5.1.1 平面立体的三面投影
一. 棱 柱
二. 棱 锥(棱台)
直五棱柱
斜四棱柱
正六棱柱
五棱柱
正三棱柱
正八面体
平面立体的各表面均为平面多边形，它们都是由 直线段（棱线）围成，而每一棱线都是由其两端点 （顶点）所确定，因此，绘制平面立体的投影，实质 上就是绘制平面立体各多边形表面，也即绘制其各棱 线、各顶点的投影。在平面立体的投影图中，可见棱 线用实线表示，不可见棱线用虚线表示，以区分可见 表面和不可见表面。
举例说明： 1、平面体表面具有积聚性。（见教材P83:图6－12 直线 与四棱柱贯穿）
2、直线具有积聚性。（见教材P83: 图6－13 正垂线与三 棱锥贯穿）
二、直线和多面体表面的投影均无积聚性的情况
§5.4 两平面立体相贯
在建筑形体中常常会见到由两个或两个以 上的基本形体相交而形成的组合形体，例如平 面体与平面体相交（简称平平相交）、平面体 与曲面体相交（简称平曲相交）、曲面体与曲 面体相交（简称曲曲相交）。两立体相交又称 立体相贯，其表面的交线称为相贯线。
第五章
平面体的投影
§5.1 平面体的投影及其表面上取点 §5.2 平面与平面立体截交 §5.3 直线与平面立体相贯 §5.4 两平面体相贯 §5.5 同坡屋面交线
多个平面立体和曲面 立体的组合
基本体的形成及其投影
常见的基本几何体
平面基本体 曲面基本体 （其表面皆为平面组成的） （其表面是曲面或曲面和平面组成的）
一、棱柱
• 一个平面立体若有两个平行的表面，而其余所 有的表面的每两个相邻表面的交线都相互平行， 这个平面体称为棱柱。棱柱表面由上、下底面 和侧棱面构成。侧棱面与侧棱面的交线为棱线， 棱线相互平行。侧棱面与底面的交线为底边。 • 棱线与底面垂直的棱柱为直棱柱，底面是正多 边形的直棱柱称为正棱柱；棱线与底面倾斜的 棱柱为斜棱柱。
求截交线的实质是求两平面的交线或者 是求直线与平面交点。
例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影
s' s''
(4) 3
1 2
4
●
●
1
●
2
●
3
b''
b' (d') a' d c' d''
4百度文库
a
●
3
●
s
●
●
1
c
2
b
截交线在 H、V、 ★ 的几个棱面相 求截交线 交，与几条棱 W面上的形状？ ★ 分析棱线的投影 线相交？ ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
§5.3 直线与平面立体相交 直线与平面立体表面相交产生交点，称 为贯穿点。对于凸多面体来说，有两个贯穿 点（穿进和穿出时的交点）。因为平面体表 面都为平面组成，故求贯穿点的方法跟求直 线与平面交点的方法基本相同。
一、直线或平面体表面的投影具有积聚性时
直线与平面体相交 ，直线或平面体表面 的投影具有积聚性时，利用积聚性可以很方 便作出贯穿点的投影。因为此时交点的一个 投影为已知，另一个投影可用直线上取点或 平面上取点的方法求得。
例题：
• 1、例3.两三棱柱相交.swf
归纳： （1）首先应进行形体分析--根据投影图分析两立 体的相对位置、有哪些表面相交、有哪些棱线贯 穿，交线的形状； （2）两平面体的交线均可分析为“平面与平面体 的截交线”或“直线与平面体的贯穿点”，故依 次求出各段交线或者求出所有贯穿点，然后依据 一定 的规则将各点连接即可（连线时应注意所求 共有点的连线原则和连接顺序，依次将其编号是 有效办法）； （3）判断各连线的可见性，完成作图。
二、棱锥
• 平面立体若有一个表面是多边形，其余 各个表面都是具有同一个顶点的三角形， 这个平面体称为棱锥。 • 棱锥表面由底面和侧棱面构成。棱锥的 棱线汇交于一点，该点称为锥顶。 • 若棱锥的底面是正多边形，且锥顶与底 面中心的连线垂直于底面，称为正棱锥。
棱锥的投影特性：
将三棱锥置于三投影面体 系中，使其底面平行于H 面，后棱面垂直于W面。
§3.5 同坡屋面交线
坡屋面是常见的 一种屋面形式，在坡 屋面中，如果每个屋 面对水平面（地面） 的倾角相同，而且房 屋四周的屋檐同高， 则称为同坡屋面。 同坡屋面的交线 是两平面体相贯的工 程实例，但同坡屋面 具有一些特殊的性质， 有利于作图。
（或屋檐）
同坡屋面的交线的特点： 1、两同坡屋面的檐口线平行 时，它们一定相交于水平屋 脊线，其水平投影与两檐口 线的水平投影平行且等距。