凸优化理论与应用凸集
凸优化课件
例： 半正定锥和矩阵不等式
严格广义不等式
3
广义不等式的性质
4
严格广义不等式的性质
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S，都有 成立，则称 x 为 S 的最小元。（唯一）
极小元的定义：设 x S ，对于 y S ，若 ，有 y x 成立，则称 x 为 S 的极小元。 （可以有多个） 例2.17 锥 等式。 ，它导出的是 上的关于分量的不
T T
则存在
x C, a x b且x D, a x b.
超平面 分 离了两个不相交的凸集 C 和 D 。仿射函数 在 C 上非正，在 D 上 非负。
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严格分离：
超平面分离定理的逆定理：
结合逆定理与平面分离定理得出结论：
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2.5.2 支撑超平面
x0 为 C 边界上的点。若存在 a 0， 定义：设集合 C ， 满足对任意 x C ，都有 aT x aT x0 成立，则称超平 T T { x | a x a x0} 为集合 C 在点 x0 处的支撑超平面。 面
正常锥的对偶锥 仍然是正常锥！ 2.若K 非中空，则K *有端点；
3.若K的闭包有端点，则K *非中空； 4.K 是K的闭凸包；
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**
2.6.2 广义不等式的对偶
对偶锥 是正常锥，可由这导出一个广义不等式 ，我们称其为广义不等式 的对偶。 广义不等式与其对偶的性质：
12
2.6.3 对偶不等式定义的最小元和极小元
定理：任意非空凸集边界上的任意一点均存在支撑 超平面。 定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一 点均存在支撑超平面，则该集合为凸集。
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2.6 对偶锥和广义不等式
凸优化理论与应用凸优化PPT课件_1-51
可编辑
9
可分离变量优化问题
性质： 其中
inf f (x, y) inf f%(x)
x, y
x
f%(x) inf f (x, y)
y
定理：优化问题
minimize f0 (x1, x2 ), x R n
subject to fi (x1) 0, i 1,..., m1
f%i (x2 ) 0, i 1,..., m2 可以分离变量 x1, x2
h%i (z) i (hi (z)) 0, i 1,..., p
可编辑
7
优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f0 (x), x R n subject to fi (x) si 0, i 1,..., m
si 0 hi (x) 0, j 1,..., linear minimization
问题描述
minimize
上半图形式 minimize
f (x) im1,a...x,m(aiT x bi ) t
LP形式
subject to im1,a...x,m(aiT x bi ) t minimize t
subject to aiT x bi t,i 1,..., m
y
x eT x
f
Ay bz 0 eT y fz 1
z
1 eT x
f
z0
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二次规划(quadratic program,QP)
QP问题的基本描述
minimize (1/ 2)xT Px qT x r subject to Gx p h
Ax b P Sn , G Rmn , A R pn
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用 毕业论文
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘 要 给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．关键词 凸函数；非线性规划；梯度；凸规划The Property of Convex Function and Its Application in OptimizationAbstract ：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and it’s calculation characters .Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examples ． Keywords ：Convex function ；Nonlinear programming ；Gradient ；Convex programming1 前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．2 预备知识2.1[1] 一般非线性规划的数学模型()min ;f x()()0,1,2,,,.0,1,2,,.i j g x i m s t h x j l ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩ (1)(1)式中()12,,,Tn n x x x x R =∈是n 维向量．()(),1,2,,,1,2,,i j f g i m h j l ==都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量，因变量是实数的函数关系）．与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记(){()}0,1,2,,,0,1,2,,i j D x g x i m h x j l =≥===．称D 为可行域．因此模型(1)式有时可简记为()min ,f x x D ∈．2.2[2] 凸集设K 是n 维欧式空间的一点集，若任意两点12,X K X K ∈∈的连线上的所有点满足()()121,01aX a X K a +-∈≤≤，则称K 为凸集．2.3[3] 水平集设函数()f x 定义在集合S 上，则称集合(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤为()f x 在集合S 上关于数β的水平集．其中β是一个数，()1,n f x R x S R ∈∈⊆．这里(),s H f β水平集，指的是满足()f x β≤的那部分x 的集合，即为S 的一个子集．如下图1-1所示：图1-12.4[3]梯度设多元函数()()12,,,,Tn n u f x x x x x S R ==∈⊆，若在点()010200,,,Tn x x x x =处对于自变量()12,,,Tn x x x x =的各分量的偏导数()()01,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称函数()u f x =在点0x 处一阶可导，并称向量()()()()000012,,Tn f x f x f x f x x x x ∂∂∂⎛⎫∇=⎪∂∂∂⎝⎭是()u f x =在点0x 处的梯度或一阶导数．2.5[3] 海塞矩阵设()u f x =，0,n x S R ∈⊆若f 在点0x S ∈处对于自变量x S ∈的各分量的二阶偏导数()()20,1,2,,i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点0x 处二阶可导，并称矩阵()()()()()()()()()()22200021121222000222122222000212n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦为()f x 在点0x 处的二阶导数或海塞矩阵．3 凸函数的定义及性质3.1 凸函数的两个定义凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2.定义1[4] 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义，若对[],a b 上任意两点12,x x 和实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦成立，则称()f x 为区间[],a b 上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称()f x 为区间[],a b 上的严格凸函数．定义2[5]设函数()f x 在区间I 上可导, 如果曲线()y f x =在区间I 位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线()y f x =在区间I 上为凸的，即()f x 为区间上的凸函数． 类似的可定义凹函数.3.2 凸函数的性质性质1[5] 若()f x 与()g x 均为凸集S 上的凸函数，则()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．证明 1,2x x S ∀∈和()0,1λ∀∈，因()f x ,()g x 都是凸集S 上的凸函数,则()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦, ()()()()()121211g x g x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦.两式相加便得：()()()()()()()12121212111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由凸函数的定义知()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．性质2[5]若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则对任意实数0a ≥，函数()af x 也是定义在S 上的凸函数．证明 由于12,x x S ∀∈，()f x 为S 上的凸函数，则对于()0,1t ∀∈和()0a a ≥，有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦，上式两端均乘以()0a a ≥，可得()()()()()()()121212111af tx t x atf x a t f x taf x t af x +-≤+-=+-⎡⎤⎣⎦．由凸函数的定义知()af x 是凸集S 上的凸函数．推论 ,R αβ∀∈，()()12,f x f x 均为定义在凸集S 上的凸函数，则()()12f x f x αβ+也是凸函数．性质3[6] 设()f x 是定义在凸集S 上的凸函数，则对任一个实数β，水平集(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤也是一个凸集．证明 ()12,,s x x H f β∀∈，则有()()()12,,01f x f x a a ββ≤≤∀<<，作()1201ax a x x +-=．因为12,x S x S ∈∈，S 是凸集，因此有()()0121,s x ax a x H f β=+-∈．即012,,,x x x 都同属于S ，又因为()f x 是定义在S 上的凸函数，故有()()()0121f x f ax a x =+-()()()()()()1211.af x a f x af a f βββ≤+-≤+-=即()()0121,s x ax a x H f β=+-∈，则由凸集定义可知，(),s H f β也是一个凸集．性质4[5] 若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则()f x 的任一个极小点就是它在S 上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集．证明 设x *是()f x 的一个局部极小点，即0,δ∃>在x *的δ领域(),N x δ*内，所有x 都满足：()()f x f x *≥，在S 中任取一点x ，连x 及x *，则存在一个()0,1λ∈，使()()1,x x N x λλδ**-+∈．记()01x x x λλ*=-+，则有 ()()()()01f x fxx f x λλ**=-+≥． (2)又因为()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，所以有()()()()()()11f x f x f x f x λλλλ**-+≤-+． (3)由(2)式及(3)式，有()()()()1f x f x f x λλ**-+≥．即 ()()f x f x λλ*≥． 又因为0λ>，有()()f x f x *≥．因为x 是S 上的任意一点，则x *是()f x 在S 上的全局极小点．若凸函数()f x 在S 上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集．设x *为()f x 在S 上的一个极小点，()f x *为其极小值，记()f x β*=．则由性质3，水平集：(){0,,s H f x x S β=∈()}0f x β≤构成一个凸集，在凸集()0,s H f β中的点x 有()()0f x f x β*==．因此()0,s H f β中的点必全是()f x 在S 中的极小点．由水平集的定义，()f x 在S 中的极小点也全在水平集()0,s H f β中，所以()f x 在S 中的极小点必构成凸集．4 凸规划对于非线性规划(1)，当()f x 为凸函数，函数()()1,2,,i g x i m =是凸函数，函数()j h x()1,2,,j l =为线性函数时，规划(1)为一个凸规划．定理1[7] 设()f x 为定义在凸集S 上的可微凸函数，若存在点x S *∈，使对于所有的点x S ∈，都有()()0Tf x x x **∇-≥．则x *是()f x 在凸集S 上的全局极小点．证明 ,x S ∀∈凸函数的一阶充要条件为()()()()Tf x f x f xx x ***≥+∇-．因为()()0Tf x x x **∇-≥，故有()()f x f x *≥．由于x S ∈的任意性，故x S *∈是()f x 在凸集S 上的全局极小点．定理2[7] 若x *为定义在凸集S 上的可微凸函数()f x 一个平稳点，则x *也是()f x 在S 上的全局极小点．证明 因x *为平稳点，即有()0f x *∇=．即满足：x S ∀∈都有()()0Tf xx x **∇-≥．则由定理1可知，x *也是()f x 在S 上的全局极小点．引理1[8]设()f x 是n R 上的凸函数，并设()f x 有限，如果()f x 在x 可微，则对一切n y R ∈，均有()()()()Tf y f x y x f x ≥+-∇．定理3[8] 假设函数()f x 和()()1,2,,i g x i m =分别为n R 上的凸函数和凹函数，并设()()1,2,,j h x j l =为线性函数．若存在向量x *、λ*、μ*，其中x *满足(1)式，且成立()()()110pmi i j j i j f x g x h x λμ*****==∇-∇-∇=∑∑,()0i i g x λ**= 1,2,,i m =,0λ*≥,则x *为满足(1)式的整体最优点．证明 设x 是满足(1)式的任一点．于是()()()()11pm i i j j i j f x f x g x h x λμ**==≥--∑∑． (4)将引理1用于()f x 、()i g x 和()j h x ，并利用(4)得到()()()()()1mTi i i f x f x x xf xg x λ*****=≥+-∇-∇∑()()()11Tpmi ijj i j x xg x h x λμ*****==--∇-∑∑()()1pTj j j x x h x μ***=--∇∑． 将上式重新排列，得到()()()()11pmi i j j i j f x f x g x h x λμ*****==≥--∑∑()()()()11p m Ti i j j i j x xf xg xh x λμ******==⎡⎤+-∇-∇-⎢⎥⎣⎦∑∑，所以得到()()f x f x *≥．5 应用例1 求下列函数的极小值点：()()22221121122f x x x x x =-++-．解 先求平稳点，因为()2311111121222422fx x x x x x ∂=-⋅+-=--∂， 224fx x ∂=∂． 令()0f x ∇=，即31124220,0,x x x ⎧--=⎨=⎩ 解此方程组，得到平稳点：()1,0Tx *=．又 ()2211220x f x ⎡-∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，因此有()2100f x *⎡∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，所以()1,0Tx *=是严格局部极小点．例2 试分析下面线性规划目标函数的最优解．()22121min 44f x x x x =+-+()()11222121220,.10,,0.g x x x s t g x x x x x ⎧=-+≥⎪⎪=-+-≥⎨⎪≥⎪⎩ 解 ()f X 和()2g X 的海塞矩阵的行列式分别是()()()()()()()()222112222212222221122222222122040,02200.2f x f x x x x H f x f x x x x g x g x x x x g g x g x x x x ∂∂∂∂∂===>∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂∂∂∂知()f x 为严格凸函数，()2g x 为凹函数．由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个凸规划问题．在12x ox 坐标系上做出()12,f x x C =的等值线是以()2,0为圆心的一族同心圆，可行域为凸集ABCD,（如图1-2）．图1-2()f x在可行域ABCD上的全f x的等值线族与可行域ABCD的边界切于C点，则C点就是()局极小点．可知C点为其最优点，则全局最优解也在C点处取得．6 小结凸函数的应用非常广泛，特别是在最优化理论中的应用．凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题．凸规划的局部最优解就是全局最优解．若目标函数时严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的．这实质上是定义在凸集上的凸函数的具体应用．致谢在论文完成之际，特别感谢老师的悉心指导．参考文献[1]阿佛里耳．非线性规划[M]．上海：上海科学技术出版社，1979,10．[2]运筹学教材编写组．运筹学[M]．北京：清华大学出版社，2005,08．[3]何坚勇．最优化方法[M]．北京：清华大学出版社，2007,10．[4] 华东师范大学数学系．数学分析:上册[ M 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凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化理论与应用_凸集
03
凸优化问题建模与求解
凸优化问题定义及示例
凸优化问题定义
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件为凸集。凸函数在数学上具有很好的性 质，如局部最优解即为全局最优解，这使得凸优化问题的求解相对简单。
凸优化问题示例
支持向量机（SVM）、线性回归、逻辑回归、最小二乘法等机器学习算法中的优化问题都可以转化为凸优化问题 进行求解。
凸函数与凹函数关系
凹函数定义
凹函数与凸函数相反，满足f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
凸凹性转换
通过取负操作，可以将凸函数转换为凹函数，反之亦然。即，如果f是凸函数，则-f是凹函数；如果f是凹函数，则-f 是凸函数。
凸凹组合
凸函数和凹函数的线性组合可能既不是凸函数也不是凹函数，但可以通过一定的条件判断其凸凹性。
01
03
02 04
多面体与单纯形
多面体是由有限个线性不等式定 义的集合，即{x | Ax ≤ b}。单纯 形是一种特殊的多面体，每个顶 点都是其他顶点的邻居。
锥与凸锥
锥是由原点出发的射线组成的集 合。如果锥还是凸集，则称为凸 锥。
02
凸函数及其性质
凸函数定义及示例
凸函数定义
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于该函数定义域内的任意两个点x1 和x2，以及任意实数λ∈[0,1]，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)成立。
稀疏表示与重构
在压缩感知中，利用凸 集理论对信号进行稀疏 表示，并通过求解凸优 化问题实现信号的重构 。
噪声鲁棒性
针对压缩感知中的噪声 问题，利用凸集理论构 建鲁棒性优化模型，提 高信号恢复的精度和稳 定性。
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
凸优化理论与应用_凸函数
凸优化理论与应用_凸函数首先，我们来看一下凸函数的定义：如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凸函数。
简单来说，凸函数是指函数曲线上的任意两点之间的线段都在曲线上方。
与之相对应的，如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凹函数。
可以说，凸函数和凹函数是一对孪生兄弟。
凸函数有着许多重要的性质。
首先，对于任意的两个凸函数f(x)和g(x)，它们的线性组合h(x)=af(x)+bg(x)也是凸函数，其中a和b是任意实数且a≥0，b≥0且a+b=1、这说明凸函数在加法和标量乘法下保持封闭性。
其次，若函数f(x)是凸函数，则对于任意的λ>0，函数g(x)=λf(x)也是凸函数。
这说明凸函数具有尺度不变性。
另外，如果函数f(x)是凸函数，那么对于任意的局部最小值x*，其也是全局最小值。
这说明凸函数的局部最小值就是全局最小值。
凸函数在优化问题中具有广泛的应用。
首先，凸优化问题是指在给定的凸约束条件下，寻找凸目标函数的最小值。
凸优化问题在工程、经济学、统计学、运筹学等领域中都有广泛的应用。
例如，在工程中，凸优化可以用于最优化控制、电力系统调度、通信系统设计等问题。
其次，凸函数在机器学习和统计学中也有重要的应用。
比如，在支持向量机和逻辑回归中，凸优化问题可以用来求解最佳的分类超平面和分类器参数。
另外，在正则化线性回归中，凸优化可以用来寻找最小二乘解或具有稀疏性的解。
凸函数还有着许多重要的性质，如Jensen不等式、KKT条件等。
Jensen不等式是用来描述凸函数的平均值不小于或不大于函数值的性质。
KKT条件是一组必要条件，用来判断凸优化问题的最优解。
这些性质为凸优化问题的求解提供了理论基础和算法支持。
总之，凸函数是凸优化理论与应用的基础，它具有许多重要的性质和应用。
凸优化理论与应用_凸优化
凸优化理论与应用_凸优化凸优化是指优化问题中目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸函数具有很多良好的性质，例如在定义域上的局部极小值就是全局极小值，凸函数的极值问题可以通过一些有效的算法来求解。
凸优化理论以及相关的算法方法在实际应用中有着广泛的应用。
在机器学习中，凸优化广泛应用于支持向量机（SVM）、逻辑回归等分类算法的求解。
在图像处理领域，通过凸优化方法可以实现图像的去噪、图像恢复以及图像压缩等任务。
在信号处理中，凸优化可以用于信号的降噪、滤波以及信号的拟合等问题。
在控制理论中，凸优化可以用于控制系统的设计和优化。
凸优化理论中的一些重要概念包括凸集、凸函数、凸组合等。
凸集是指一个集合中的任意两点连接的线段仍然在集合内，而凸函数则是定义在凸集上的函数，其函数值在定义域上任意两点间的线段上保持不减。
凸组合则是指通过凸权重将多个点加权求和得到的点。
在凸优化中，常用的优化问题形式包括极小化凸函数的无约束问题、极小化凸函数的约束问题、线性规划问题等。
对于这些优化问题，凸优化理论提供了一些有效的求解方法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法可以用于求解凸优化问题的局部极小值。
此外，对于一些特殊的凸优化问题，可以应用一些特殊的求解算法，例如线性规划问题可以通过单纯形法来求解，二次规划问题可以通过内点法来求解。
这些算法方法对于特定的凸优化问题来说是高效且可行的。
总的来说，凸优化理论与应用是数学优化领域中的一个重要分支，它在现代科学技术中有着广泛的应用。
凸优化理论提供了一些有效的求解方法，可以用于解决许多实际的优化问题。
02凸优化理论与应用_凸函数
6
下水平集(sublevel set)
定义：集合
C { x dom f | f ( x ) }
称为 f 的 下水平集。
定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。
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7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epi f {( x , t ) | x dom f , f ( x ) t }
称为函数
f
的上半图。
f
定理：函数
为凸函数当且仅当
f
的上半图为凸集。
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8
Jensen不等式
f
为凸函数，则有：
yC
凸函数的透视算子
g ( x , t ) tf ( x / t )
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11
共轭函数(conjugate function)
定义：设函数 f : R 定义为
*
n
R
，其共轭函数 f : R
T
*
n
R
，
f ( y ) su p ( y x f ( x )).
n
为真锥，函数 f : R
n
R
称为 K 单调增，若函数 f ( x ) 满足：
x K y f (x) f ( y)
广义凸函数的定义：设K R 均有
m
为真锥，函数 f : R
n
R
m
称为 K 凸，若函数 f ( x ) 满足对 x , y dom f , 0 1
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化（Convex Optimization）是数学中一个重要的研究领域，旨在解决凸函数的优化问题。
凸分析（Convex Analysis）则是凸优化的理论基础，探讨凸集合和凸函数的性质。
本文将介绍凸优化与凸分析的基本概念和原理，以及其在各个领域中的应用。
一、凸集合与凸函数1.1 凸集合在数学中，凸集合是指任意两点之间的连线上的点也属于该集合。
具体地，对于一个集合A，若对于该集合中的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有tx + (1-t)y ∈ A，则该集合A为凸集合。
凸集合具有许多良好的性质，例如，凸集合的交集仍为凸集合，凸集合加凸集合的运算结果仍为凸集合。
1.2 凸函数凸函数是定义在凸集合上的实值函数，满足函数图像上的任意两点之间的连线位于函数图像上方。
具体地，对于一个凸集合A上的函数f(x)，若对于该凸集合上的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)，则该函数f(x)为凸函数。
凸函数具有许多重要的性质，例如，凸函数的局部最小值就是全局最小值，凸函数加凸函数仍为凸函数。
二、凸优化问题凸优化问题是指在满足一定约束条件下，求解凸函数的最优值问题。
一般形式的凸优化问题可以表示为：minimize f(x)subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1,2,...,mh_i(x) = 0, i = 1,2,...,p其中，f(x)为目标函数，g_i(x)和h_i(x)分别为不等式约束和等式约束。
凸优化具有许多良好的性质，例如，任意局部最小值就是全局最小值。
凸优化问题可以通过各种数值方法进行求解，常用的方法包括梯度下降法、牛顿法和内点法等。
这些方法对于大规模的凸优化问题具有较高的收敛速度和求解精度。
三、凸优化与凸分析的应用凸优化与凸分析在众多领域中具有广泛的应用，下面将列举几个典型的应用领域。
凸优化理论与应用
凸优化理论与应用凸优化是一种数学理论和方法，用于寻找凸函数的全局最小值或极小值。
凸优化理论和方法广泛应用于工程设计、经济学、金融学、计算机科学等多个领域，其重要性不言而喻。
凸优化首先要明确凸函数的概念。
凸函数在区间上的定义是：对于区间上的任意两个点x1和x2以及任意一个介于0和1之间的值t，都有f(tx1+(1-t)x2) <= tf(x1)+(1-t)f(x2)。
简单来说，凸函数的图像在任意两个点之间的部分都在这两个点的上方或相切，不会出现下凹的情况。
这个定义可以推广到多元函数。
凸优化问题的数学模型可以写成如下形式：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中f(x)是凸目标函数，g_i(x)是凸不等式约束，h_i(x)是凸等式约束。
凸优化问题的目标是找到使得目标函数最小化的变量x，同时满足约束条件。
凸优化理论和方法有多种求解算法，包括梯度下降、牛顿法、内点法等。
其中，梯度下降是一种迭代算法，通过计算目标函数的梯度来更新变量的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
牛顿法则是通过计算目标函数的二阶导数来进行迭代，收敛速度更快。
内点法是一种求解线性规划问题的方法，在凸优化中也有广泛的应用。
凸优化的应用非常广泛，以下列举几个典型的应用领域。
1.机器学习和模式识别：凸优化在机器学习和模式识别中有重要的应用，例如支持向量机和逻辑回归。
这些算法的优化问题可以通过凸优化来求解，从而得到具有较高准确率的分类器。
2.信号处理：凸优化在信号处理中有广泛的应用，例如滤波、压缩和频谱估计等。
通过凸优化可以得到更高效的信号处理算法，提高信号处理的准确性和速度。
3.优化调度问题：在工业生产、交通运输和电力系统等领域，凸优化可以用来优化调度问题，通过合理安排资源和调度任务，提高效率和经济性。
4.金融风险管理：凸优化在金融风险管理中有广泛的应用，例如投资组合优化和风险控制。
凸优化理论与应用-几何问题PPT课件
aT xi b 1, i 1,..., N , 且aT yi b 1, i 1,..., M
可编辑
5
线性判别
支撑超平面 H1: aT xs b 1
H 2 : aT yt b 1
两超平面之间的距离：
d(H1, H 2) 2 / a 2
已知凸集包含在内的最大体积椭球的球心称为mve中心
凸优化理论与应用
第7章 几何问题
可编辑
1
体积问题
已知集合 C ， E 为包含 C 的椭球，满足： C E {v | Av b 1}
求包含 C 的体积最小的椭球问题：
minimize log det A1
subject to sup Av b 1
maximize log det B subject to sup IC (Bu d) 0
u 2 1
若 C 为多面体，则问题变为：
maximize log det B subject to Bai 2 aiT d bi ,i 1,..., m
可编辑
3
中心问题
已知凸集 C ，包含在C 内的最大体积球的球心，称为 Chebyshev中心。
vC
若 C 为有限集，则问题变为：
minimize log det A1
subject to sup Avi b 1,i 1,..., m
可编辑
2
体积问题
已知凸集 C ， E 为包含在C 内的椭球，满足： E {Bu b | u 1} C
2
求包含在 C 内的体积最大的椭球问题：
已知凸集 C ，包含在 C 内的最大体积椭球的球心，称 为MVE中心。
02凸优化理论与应用_凸函数
02凸优化理论与应用_凸函数凸优化是数学中的一个重要分支，旨在解决凸函数的极小化问题。
凸函数是一类具有较好性质的函数，具有广泛的应用背景和重要的理论意义。
在凸优化理论与应用中，凸函数起到了基础的作用。
首先，什么是凸函数呢？凸函数是指在定义域上的任意两点，函数值沿着连接这两点的线段上升的函数。
准确地说，对于一个定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1，x2和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
凸函数具有很多重要的性质，其中包括：1.凸函数的一阶导数是递增的，二阶导数非负。
2.凸函数的上确界与下确界都位于它的定义域的边界上。
3.凸函数的极小值点是全局最小值点。
4.凸函数和线性函数的复合仍然是凸函数。
5.凸函数的和与正数的乘积仍然是凸函数。
凸函数的性质使得它在实际问题中的应用非常广泛。
凸优化可以用于求解很多实际问题，其中包括：1.经济学中的最优化问题，比如最大化收益或者最小化成本。
2.工程设计中的优化问题，比如最优化能源利用或者最小化材料消耗。
3.机器学习中的参数优化问题，比如最小化损失函数或者最大化目标函数。
4.金融领域的组合优化问题，比如最大化组合投资的收益或者最小化风险。
5.数据分析中的最优化问题，比如拟合曲线或者寻找最佳预测模型。
凸优化理论提供了解决这些问题的一般框架和方法，包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
这些方法可以有效地求解凸优化问题，并且在计算机科学和工程学中得到广泛的应用。
除了理论方面，凸优化在应用中也面临一些挑战和问题。
其中之一就是如何在实际问题中找到符合实际需求的凸函数模型。
在实际问题中，往往存在多个目标和约束条件，如何将多个目标和约束条件转化为凸函数模型是一个关键的问题。
另一个挑战是求解凸优化问题的算法设计和计算复杂性分析。
虽然凸函数的求解问题是较为简单的，但是随着问题规模的增大，计算复杂性也会显著增加。
01凸优化理论与应用_凸集
多面体(Polyhedra)
多面体：
P {x | a x bj , c x di }
T j T i
k
单纯形(simplex)：
{i vi | i 0, i 1, v1 v0 ,..., vk v0线性无关}
i 0 i 0
k
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27
严格广义不等式的性质
1.x K y x K y; 2.x K x; 3.x K y, u K v x u K y v; 4.x K y, 0 x K y 5.x K y, u足够小 x u K y.
凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。
x1 , x2 C,1 ,2 0, 则有1x1 2 x2 C.
锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。
{i xi | xi C , i 0}
i 1
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k
12
锥
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广义不等式
例： 逐项不等式 矩阵不等式
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严格广义不等式
26
广义不等式的性质
1.x K x; 2.x K y, y K x x y; 3.x K y, y K z x K z; 4.x K y, u K v x u K y v; 5.x K y, 0 x K y; 6.xi K yi , lim xi x, lim yi y x K y.
凸优化理论与应用_逼近与拟合
凸优化理论与应用_逼近与拟合引言：在实际的科学与工程问题中，我们常常需要通过已知的数据点来建立一个数学模型来描述现象并进行预测与分析。
逼近与拟合就是解决这一问题的方法之一，通过寻找合适的函数形式来近似地表示已知的数据点，从而实现对未知数据点的预测与分析。
凸优化理论提供了一种有效的数学工具，可以帮助我们解决逼近与拟合的问题。
一、凸优化理论的基础：凸优化理论是一种研究目标函数为凸函数，约束条件为凸集的优化问题的数学理论。
在逼近与拟合的问题中，我们通常希望找到一个凸函数来近似地描述已知的数据点。
凸函数具有很好的性质，在优化过程中可以保证得到全局最优解，而不会陷入局部最优解。
二、逼近与拟合方法：1.线性回归：线性回归是一种广泛应用于逼近与拟合问题中的方法。
通过寻找一条直线来近似地表示已知的数据点集合，从而实现对未知数据点的预测与分析。
在线性回归中，目标函数是一个关于线性参数的凸函数，因此可以应用凸优化理论来解决这个问题。
2.多项式拟合：多项式拟合是一种将数据点通过多项式函数进行逼近与拟合的方法。
通过选取合适的多项式次数，可以实现对不同复杂度的数据进行拟合。
在多项式拟合中，目标函数是一个关于多项式系数的凸函数，因此可以利用凸优化理论来解决这个问题。
3.样条插值：样条插值是一种通过多个分段多项式来逼近与拟合数据点的方法。
通过选取合适的样条节点和插值条件，可以得到一个光滑的插值曲线。
在样条插值中，目标函数是一个关于样条插值系数的凸函数，因此可以使用凸优化理论来解决这个问题。
三、凸优化在逼近与拟合中的应用：1.数据拟合：在数据拟合问题中，我们通常需要找到一个函数来最好地逼近已知的数据点集合。
通过应用凸优化理论，可以确保得到全局最优的逼近函数，以最好地匹配数据点。
2.数据插值：在数据插值问题中，我们常常需要通过已知的数据点来构建一个函数，使得它在这些数据点上具有特定的性质。
凸优化理论可以帮助我们设计出一个光滑的插值函数，以最好地满足插值条件。
凸分析
凸分析凸分析是数学中的一个分支，主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。
它在优化问题、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍凸集、凸函数、凸优化等基本概念，并探讨凸分析在实际问题中的应用。
一、凸集和凸函数首先，我们来了解凸集的概念。
一个集合称为凸集，当且仅当对于该集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然在集合内部。
换言之，如果集合中的任意两点连线上的所有点都属于该集合，那么该集合就是凸集。
凸函数是定义在凸集上的实值函数。
一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两个点，函数值在这两点所连线上的所有点的函数值都不大于（或不小于）这两个点所对应的函数值。
换言之，如果函数的值沿着它的定义域内的任意一条线段都或者是递增的，或者是递减的，那么该函数就是凸函数。
二、凸分析的基本原理凸分析依赖于凸集和凸函数的重要性质。
其中，凸函数有很多重要的性质，如凸函数的导数是递增的，凸函数的局部最小值也是全局最小值等。
通过这些性质，我们可以利用凸函数来解决不等式约束的优化问题，进而提高问题的最优解。
凸分析还研究了凸函数的次导数和次微分，并且使用它们来证明了很多关于凸函数的重要定理。
这些定理为凸分析提供了强大的工具和方法，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
三、凸优化与应用凸优化是凸分析的一个重要应用领域。
它研究的是在凸函数下的优化问题，考虑了约束条件下的最优解。
凸优化问题具有较好的求解性质，有许多高效的算法和工具可用于解决各种实际问题。
凸优化在经济学、金融学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要在有限资源下最大化效益或者最小化成本，凸优化问题对于这类问题的求解非常有效。
在金融学中，我们可以使用凸优化来构建投资组合，以实现风险最小化或者收益最大化。
在工程学中，凸优化可用于电力系统、通信网络等领域的优化设计。
此外，凸分析还具有在信号处理、机器学习等领域的应用。
例如，在信号处理中，我们可以利用凸分析的方法来降低噪声、提取信号特征等。
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Ax b
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2
仿射集
仿射包：包含集合C的最小的仿射集。
aff C { i xi | xi C, i 1}
仿射维数：仿射包的维数。
相对内点（relative interior）： relint C {x | B(x, r) affC C, r 0}
所以仿射集一定是凸集
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7
凸集
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8
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9
凸集
凸包的定义：包含集合C的最小的凸集。
k
k
conv C { i xi | xi C,i 0, i 1}
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分割超平面(separating hyperplane)
定理：设C 和 D 为两不相交凸集，则存在超平面将C 和D 分离。即：
x C, aT x b且x D, aT x b.
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范数球(norm ball)：
B(xc, r) {x | x xc r}
范数锥(norm cone)：
{(x,t) | x t}
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20
多面体(Polyhedra)
多面体： P {x | aTj x bj , ciT x di}
Байду номын сангаас
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作业(1)
P60 2.8 P60 2.10 P60 2.14
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35
作业(2)
P62 2.16 P62 2.18 P64 2.30
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3.若K的闭包有端点，则K *非中空；
4.K **是K的闭凸包；
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对偶广义不等式
广义不等式与对偶等价性质
x p K y T x T y, for all f K* 0; x p K y T x T y, for all f K* 0, 0.
x p K y y x int K
例：
严格广义不等式
逐项不等式
矩阵不等式
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26
广义不等式的性质
1.x p K x; 2.x p K y, y p K x x y; 3.x p K y, y p K z x p K z; 4.x p K y,u p K v x u p K y v;
k
x1,..., xk C,i [0,1]且 i 1, i 1
k
则 i xi C i 1
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5
凸集
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6
仿射集与凸集的联系
x1, x2 C, [0,1],则 x1 (1 )x2 C
i 1
i 1
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10
凸集
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11
锥(Cones)
锥的定义（nonnegative homogeneous）
x C, 0,则有 x C.
凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。
30
支撑超平面(supporting hyperplane)
定义：设集合 C ，x0 为 C 边界上的点。若存在 a 0， 满足对任意 x C ，都有 aT x aT x0 成立，则称超平 面 {x | aT x aT x0} 为集合 C在点 x0 处的支撑超平面。
定理：凸集边界上任意一点均存在支撑超平面。 定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一点
15
超平面
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16
半空间
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17
欧氏球和椭球
欧氏球(euclidean ball):
B(xc , r) {x |
x xc
r}
2
{x | (x xc )T (x xc ) r 2}
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3
相对内点
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4
凸集(Convex Sets)
凸集的定义：集合C内任意两点间的线段均在集合C 内，则称集合C为凸集。
x1, x2 C, [0,1],则 x1 (1 )x2 C
单纯形(simplex)：
k
k
{ ivi | i 0, i 1, v1 v0,...,vk v0线性无关}
i0
i0
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22
半正定锥(Positive semidefinite cone)
椭球(ellipsoid):
E {x | (x xc )T P1(x xc ) r 2}, P为对称正定矩阵
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18
椭圆球
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19
范数球和范数锥
范数(norm)： x 0, x 0当且仅当x 0; tx | t | x ,t R ；; xy x y
24
真锥(proper cone)
真锥的定义：锥 K Rn 满足如下条件
1.K为凸集；
2.K为闭集；
K具有内点
3.K非中空；
4.K有端点。
K内不含直线
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25
广义不等式
真锥 K下的偏序关系： x p K y y x K
广义不等式
5.x p K y, 0 x p K y;
6.xi p K yi , lim xi x, lim yi y x p K y.
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27
严格广义不等式的性质
1.x p K y x p K y; 2.x p K x; 3.x p K y,u p K v x u p K y v;
存在支撑超平面，则该集合为凸集。
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31
对偶锥(dual cone)
对偶锥的定义：设 K为锥，则集合 K * {y | xT y 0,x K}
称为对偶锥。
对偶锥的性质：
1.K *是闭凸集；
真锥的对偶锥仍 然是真锥！
2.若K非中空，则K *有端点；
4.x p K y, 0 x p K y
5.x p K y,u足够小 x u p K y.
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28
最值和极值
最小元的定义：设 x S ，对y S ，都有 x p K y 成立，则称 x 为S 的最小元。
极小元的定义：设 x S ，对于y S ，若 y p K x ，则 y x 成立，则称 x 为 S 的极小元。
凸优化理论与应用
第一章 凸集
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1
仿射集(Affine sets)
直线的表示：
y x1 (1 )x2, R .
线段的表示：
y x1 (1 )x2, [0,1].
仿射集的定义：过集合C内任意两点的直线均在集合 C内，则称集合C为仿射集。
n阶对称矩阵集：
S n {X R nnn | X X T }
n阶半正定矩阵集：
Sn {X S n | X f 0}
n阶正定矩阵集：
Sn {X nS阶n |半X正凸f定锥0矩}！阵集为
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23
保持凸性的运算
集合交运算 仿射变换 透视函数(perspective function)
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36
作业(3)
P64 2.31 P64 2.33
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37
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14
超平面和半空间
超平面(hyperplane) ： {x | aT x b}
半空间(Halfspace)： {x | aT x b} {x | aT x b}
信息与通信工程学院 庄伯金
bjzhuang@
x1, x2 C,1,2 0,则有1x1 2 x2 C.
锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。
k
{ i xi | xi C,i 0} i 1
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锥
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锥包
最小元的对偶特性： x为集合S中关于K偏序的最小元
对所有 f K* 0, x为使T z, z S最小的值.
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对偶广义不等式
极小元的对偶特性
f K* 0, x为使T z, z S最小的值 x为极小元.
反过来不一定成 立！
P(z,t) z / t, z R n,t R
线性分式函数(linear-fractional function)