凸优化理论与应用凸集

存在支撑超平面，则该集合为凸集。
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对偶锥(dual cone)
对偶锥的定义：设 K为锥，则集合 K * {y | xT y 0,x K}
称为对偶锥。
对偶锥的性质：
1.K *是闭凸集；
真锥的对偶锥仍 然是真锥！
2.若K非中空，则K *有端点；
x1, x2 C,1,2 0,则有1x1 2 x2 C.
锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。
k
{ i xi | xi C,i 0} i 1
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锥
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锥包
i 1
i 1
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凸集
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锥(Cones)
锥的定义（nonnegative homogeneous）
x C, 0,则有 x C.
凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。
椭球(ellipsoid):
E {x | (x xc )T P1(x xc ) r 2}, P为对称正定矩阵
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椭圆球
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范数球和范数锥
范数(norm)： x 0, x 0当且仅当x 0; tx | t | x ,t R ；; xy x y
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超平面
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半空间
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欧氏球和椭球
欧氏球(euclidean ball):
B(xc , r) {x |
x xc
r}
2
{x | (x xc )T (x xc ) r 2}
所以仿射集一定是凸集
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凸集
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凸集
凸包的定义：包含集合C的最小的凸集。
k
k
conv C { i xi | xi C,i 0, i 1}
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真锥(proper cone)
真锥的定义：锥 K Rn 满足如下条件
1.K为凸集；
2.K为闭集；
K具有内点
3.K非中空；
4.K有端点。
K内不含直线
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广义不等式
真锥 K下的偏序关系： x p K y y x K
广义不等式
P(z,t) z / t, z R n,t R
线性分式函数(linear-fractional function)
f (x) ( Ax b) /(cT x d ) A R mn ,b R m, c R n , d R , cT x d 0
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4.x p K y, 0 x p K y
5.x p K y,u足够小 x u p K y.
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最值和极值
最小元的定义：设 x S ，对y S ，都有 x p K y 成立，则称 x 为S 的最小元。
极小元的定义：设 x S ，对于y S ，若 y p K x ，则 y x 成立，则称 x 为 S 的极小元。
范数球(norm ball)：
B(xc, r) {x | x xc r}
范数锥(norm cone)：
{(x,t) | x t}
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多面体(Polyhedra)
多面体： P {x | aTj x bj , ciT x di}
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分割超平面(separating hyperplane)
定理：设C 和 D 为两不相交凸集，则存在超平面将C 和D 分离。即：
x C, aT x b且x D, aT x b.
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超平面和半空间
超平面(hyperplane) ： {x | aT x b}
半空间(Halfspace)： {x | aT x b} {x | aT x b}
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k
x1,..., xk C,i [0,1]且 i 1, i 1
k
则 i xi C i 1
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凸集
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仿射集与凸集的联系
x1, x2 C, [0,1],则 x1 (1 )x2 C
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支撑超平面(supporting hyperplane)
定义：设集合 C ，x0 为 C 边界上的点。若存在 a 0， 满足对任意 x C ，都有 aT x aT x0 成立，则称超平 面 {x | aT x aT x0} 为集合 C在点 x0 处的支撑超平面。
定理：凸集边界上任意一点均存在支撑超平面。 定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一点
x p K y y x int K
例：
严格广义不等式
逐项不等式
矩阵不等式
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广义不等式的性质
1.x p K x; 2.x p K y, y p K x x y; 3.x p K y, y p K z x p K z; 4.x p K y,u p K v x u p K y v;
3.若K的闭包有端点，则K *非中空；
4.K **是K的闭凸包；
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对偶广义不等式
广义不等式与对偶等价性质
x p K y T x T y, for all f K* 0; x p K y T x T y, for all f K* 0, 0.
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作业(1)
P60 2.8 P60 2.10 P60 2.14
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作业(2)
P62 2.16 P62 2.18 P64 2.30
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仿射集的例：直线、平面、超平面
Ax b
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2
仿射集
仿射包：包含集合C的最小的仿射集。
aff C { i xi | xi C, i 1}
仿射维数：仿射包的维数。
相对内点（relative interior）： relint C {x | B(x, r) affC C, r 0}
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3
相对内点
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4
凸集(Convex Sets)
凸集的定义：集合C内任意两点间的线段均在集合C 内，则称集合C为凸集。
x1, x2 C, [0,1],则 x1 (1 )x2 C
n阶对称矩阵集：
S n {X R nnn | X X T }
n阶半正定矩阵集：
Sn {X S n | X f 0}
n阶正定矩阵集：
Sn {X nS阶n |半X正凸f定锥0矩}！阵集为
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保持凸性的运算
集合交运算 仿射变换 透视函数(perspective function)
最小元的对偶特性： x为集合S中关于K偏序的最小元
对所有 f K* 0, x为使T z, z S最小的值.
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对偶广义不等式
极小元的对偶特性
f K* 0, x为使T z, z S最小的值 x为极小元.
反过来不一定成 立！
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作业(3)
P64 2.31 P64 2.33
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凸优化理论与应用
第一章 凸集
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1
仿射集(Affine sets)
直线的表示：
y x1 (1 )x2, R .
线段的表示：
y x1 (1 )x2, [0,1].
仿射集的定义：过集合C内任意两点的直线均在集合 C内，则称集合C为仿射集。
5.x p K y, 0 x p K y;
6.xi p K yi , lim xi x, lim yi y x p K y.
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严格广义不等式的性质
1.x p K y x p K y; 2.x p K x; 3.x p K y,u p K v x u p K y v;
单纯形(simplex)：
k
k
{ ivi | i 0, i 1, v1 v0,...,vk v0线性无关}
i0
i0
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半正定锥(Positive semidefinite cone)