第8章_J_积分

断裂力学电子教案
∂u i ∂u J = ∫ Γ ω dy − T ⋅ ds = ∫ Γ ω dy − σ ij n j ds ∂x ∂x
其中： 为从缺口下表面上任一点 Γ 沿逆时针方向绕过缺口的顶端，而 止于缺口上表面上任一点的曲线； . = ω
∫
ε
0
σ ij dε ij 为带缺口变形体的
形变功密度，包括弹性应变能和塑 性形变功； T ：回路 Γ 上对应的 “表面力”矢量； ：回路上各点 u 的位移矢量；ds：回路的线元。
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因此， ϕ 方程简化为： α 1 n −1 { [σ e ( 2rϕ ′′ − ϕ ′ − r −1ϕ •• )]′′ + 6r − 2 [σ en −1 r (r −1ϕ • )′]′ • 2 r + r −1 [σ en −1 (−2r −1ϕ ′ − 2r −2ϕ •• + ϕ ′′)
~ ~ ~• ~~ ~ ~ − τ rθ (u r + uθ )] + [n( S − 2) + 1] cosθ [σ r u r + τ rθ uθ ]}
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从而 其中
π
J = ∫ ( wdy − σ ij n j u i , x dS ) = αK n +1 I n
Γ
n ~n+1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ In = ∫ { σ e cosθ −[sinθ (σ r (uθ − ur • ) − σ rθ (ur + uθ • )) + (n(S − 2) +1) −π n + 1
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J 的一个重要性质，就是 J 积分与积分路径 Γ 无 关（Path-independent）。这称为J 积分的守恒性。 J 积分守恒性的前提是：①不允许卸载；②变形 为小变形；③没有体积力。 由于J 与路径无关，所以可选择一条容易求积分 的路径（例如沿试样的周边，可能只有弹性应力和应 变），简单地求得 J。
Γ
dy = r cos θdθ
w = ∫ σ e dε e = αK
0
dS = rdθ
n +1
εe
n ~ r (n + 1)( S − 2)σ en +1 n +1
σ ij n j u i , x =
~ ~ ~ αK n +1 r ( n +1)( S − 2 ) {sin θ [σ r (uθ − u r• )
6 [σ en −1 r ( r −1ϕ • )′]′ • + r2
1 n −1 1 −1 − 2 •• [σ e (−2r ϕ ′ − 2r ϕ + ϕ ′′]′ + 2 [σ en −1 (−ϕ ′′ + 2r −1ϕ ′ + 2r − 2ϕ •• )]•• } = 0 r r
( ′= ∂ ∂r
用数值迭代法在 S 的取值范围内解此边值问题，求出
n 为整数时
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~ σ ~ ~ ~ 同时算出 σ e 、~θ 、σ r 和 σ rθ 的值（见图），图中曲线是将 σ e
的最大值归为 1 时的相对值。
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这样，导出裂尖附近塑性解的结构是：
σ ij = Kr
P ij
−
1 n +1
~~ ~ ~ ⋅ (σ r u r + τ rθ uθ ) cosθ ]}dθ
由于 J 积分的路径无关性，J 与圆路径半径 r 无关，所 以计算出的 J 表达式中无 r 。
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I n 是 n 的函数，可以由数值方法解出，其值为
n 3 3.86 5.51 5 3.41 5.01 9 3.03 4.60 13 2.87 4.40
γ rθ
1 ∂u r ∂uθ uθ = + − r ∂θ ∂r r
iii
物理方程：
ε = σ + ασ n
1≤ n < ∞
n为硬化指数，n大硬化能力大；n小，硬化能力小
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无量纲应力： = σ σ
ε = σ + ασ
σS
n
εS E：材料弹性模量。本节中有“一”者为有量纲量 。
1 − 2ν 3 σ pp δ ij + ασ en −1 S ij 3 2
1. 采用以下基本公式，导出应力函数 ϕ 的控制方程：
i Airy 公式： 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ + 2 σr = r ∂r r ∂θ 2 ii 几何方程：
∂u r εr = ∂r
u r 1 ∂uθ εθ = + r r ∂θ
∂ 2ϕ σθ = 2 ∂r
τ rθ
∂ 1 ∂ϕ =− ( ) ∂r r ∂θ
e
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其中
~ ~ ~ ~ ~ ~ σ e = Kr S −2σ e (θ ) = Kr S −2 (σ r2 + σ θ2 − σ r σ θ + 3σ rθ 2 )1 / 2
~ ~ ~ σ r = Kr S − 2σ r (θ ) = Kr S − 2 ( Sϕ + ϕ •• ) ~ ~ σ θ = Kr S − 2σ θ (θ ) = Kr S − 2 S ( S − 1)ϕ
•
∂ = ) ∂θ
边界条件取： ϕ = ϕ • = 0 （这时裂纹表面无外荷载作用）
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2. 裂尖解的结构：
如能从上式中解出 ϕ ，则问题得解。但目前解不出该方 程。故要抓主要矛盾，予以简化： （1）设出
ϕ 的形式：由于裂纹总是从裂尖向外扩展， 的形式：
所以裂尖附近是我们最关心的。在线弹性断裂力学中，当→ 0 r 时，裂尖应力 → ∞ ，而弹塑性解当 n = 1 时，就应该是线弹性 解。因此，比照williams级数，可以设想上式的解是一个无穷 级数，级数的第一项有奇异性。
~ (θ ) σ ij
~ ε ij (θ )
ε = αK r
n
−
n n +1
u i = αK r
n
1 n +1
~ u i (θ )
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4. 常数 K 的确定 在裂尖塑性奇异解有效的区域内，以裂尖为圆心，作一半 径为 r 的圆形积分路径，进行 J 积分 ，则
J = ∫ ( wdy − σ ij n j u i , x ds)
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Байду номын сангаас
工程上应用的中、低强度高韧钢含裂纹构件，甚 至高强钢中存在微小裂纹的问题，都是大范围屈服问 题。对大范围屈服问题，人们自然会想到用类似 K 理论的方法，找到描述裂尖弹塑性应力应变场强度的 参量，从而建立工程应用判据。目前用得最多的参量 是 J 和 COD 。 1968年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson ，Rice 等人导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的表 达式，即HRR理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹 塑性。
τ rθ = Kr
S −2
~ (θ ) = Kr S − 2 (1 − S )ϕ • ~ τ rθ
“~” 表示对应量的角度部分。
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边界条件有二： i ii
~ ~ θ = ±π 处 σ θ = τ rθ = 0 。这要求 ϕ (±π ) = ϕ • (±π ) = 0
本问题关于x 轴对称，所以在 θ = 0 处 τ rθ = 0 ， ∂σ r ∂σ ~ ~ . = 0 ， θ = 0 。这要求 ϕ ••• (0) = ϕ • (0) = 0 ∂θ ∂θ 解上述方程是一个微分方程的边值问题。一般说对于 任意 S ，满足边界条件的微分方程解不存在。只有当 S 取某些定值时，方程才有解。因此上述方程是一个关于 S 的特征方程。
+ r −2 [σ en −1 ( −ϕ ′′ + 2r −1ϕ ′ + 2r −2ϕ •• )]•• } = 0
将 程为：
ϕ 的裂尖解形式代入上式，得到关于 S 和 ϕ 的微分方
∂ 2 ~ n −1 ~ ~ ~ [n( S − 2) − 2 ]{σ e [ S ( S − 3)ϕ − 2ϕ •• ]} + [n( S − 2) + 1][n( S − 2)]σ en −1 ∂θ ~ ~ ~ ~ ⋅ [ S (2 S − 3)ϕ − ϕ •• + 6[ n( S − 2) + 1]( S − 1)(σ n −1ϕ • ) • = 0
∂Π ∂U J =− = =G ∂a ∂a
即 J 与 G 等价。所以J 是G 合理的延伸，是一种
既适用于线弹性又适用于弹塑性的较一般的参数。
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4. 从J 的形变功定义，采用虚位移原理、格林公 式和二元函数的泰勒展开式，可以导出J 的线积分 定义：
∂u i ∂u J = ∫ Γ ω dy − T ⋅ ds = ∫ Γ ω dy − σ ij n j ds ∂x ∂x
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第八章
J积分
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§ 8-1
概 述
对于脆性材料，例如玻璃，线弹性断裂力学的分 析是有效的。如果材料具备一定的韧性，则在裂纹扩 展前，先在裂纹尖端出现塑性区。塑性区的存在使线 弹性断裂力学的分析失去一定的精确性。不过在塑性 区尺寸远比裂纹尺寸为小的小范围屈服条件下，线弹 性断裂力学的分析结果仍然可以作为近似解。如果裂 尖塑性区与裂纹尺寸同一数量级，甚至超过了裂纹尺 寸，线弹性断裂力学分析就无效了。
(Π = U − P∆)
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定义：
∂Π ∆Π J = lim − =− ∆a → 0 ∂a ∆a
是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形 变功定义。 可以看到： 1. J 的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求， 所以 J 积分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性 体）和塑性体的单调加载（无卸载）情况。
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的取值范围： （3）S 的取值范围：
~ i ∵从 ϕ = Kr S ϕ (θ ) 得到的应力场应具有奇异性
∴ ii
S<2
~ 用从 ϕ = Kr S ϕ (θ ) 得到的应力应变场算出的余能必须 2n 有界，则 S > n +1
因此
2n <S<2 n +1
2n + 1 S= n +1
~ ~ ϕ = r S ϕ 1 (θ ) + r t ϕ 2 (θ ) + ⋯
s<t
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当只考虑裂尖附近行为时， r 小到一定范围，级数的第 一项由于有奇性，比起其它项都大得多，其它项的值都可忽 略不计。所以，当 r 相当小时，可以取：
~ ϕ = Kr S ϕ 1 (θ ) ~ 其中K为修正 ϕ (θ ) 幅值的系数，它决定了应力场的强度。
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§ 8-3
弹塑性裂纹尖端的应力场
与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力 学发展中的核心问题。1968年 Rice 提出 J 积分概 念后，Hutchinson、Rice 等人，导出了弹塑性材料 裂尖应力应变场的表达式，即 HRR 理论，使断裂力 学从线弹性发展到了弹塑性。
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σ e2 =
3 S ij S ij 2
；无量纲应变：ε = ε
， σ = Eε S S
与上式对应的多轴本构关系是
ε ij = (1 + ν ) S ij +
其中
1 S ij = σ ij − σ kk δ ij 3
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导出的应力函数 ϕ 的控制方程为：
∇ 4ϕ +
α
2
{r −1 [σ en −1 ( 2rϕ ′′ − ϕ ′ − r −1ϕ •• )]′′ +
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非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有 区别，但卸载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性 变形不可逆），差的能量成热能放出。因此J 只 可用于塑性体单调加载的情况。
2. 由于不允许卸载，J 不再具有裂纹扩展能量 释放率的物理意义，而是功的吸收率。
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3.
从 J 的定义可见，在线弹性范围
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§ 8-2
J 积分定义
有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板， 各含有一个缺口，板1中缺口长为 a ，此板的总势能 为ΠI ；板II中缺口长为 a + ∆a ，此板的总势能为 ΠII 。 二板总势能之差为：
∆Π = ΠII − ΠI ，这个
( Π = U − P∆ )
差值是由
a
引起的。
1
方程： （2）简化 ϕ 方程： ） 分析 ϕ 方程中各项 r 的幂次：双调和项中 r 的幂次为 （S-4），后面非线性诸项 r 幂次为[（S-2）n-2]。而要使应 力分量有奇异性，必须 S<2，又 n>1
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故
( S − 2) n − 2 < S − 4 < 0
因此，当 r → 0 时，ϕ 方程中非线性诸项值增大的速 度比双调和项快，这时非线性项是 ϕ 方程的主要部分，所 以可以把 ϕ 式中双调和项略去。 从物理意义上说，对任意 S<2 ，总能选择一个充分小 的裂尖邻域，使此区域中弹性变形能与塑性变形功相比任 意地微小，这样就可以把 ϕ 式中代表弹性部分的双调和项 略去。