2010年广东省中考数学压轴题(全)
挑战中考压轴题_圆压轴100题
第100题(2010.广东省深圳市中考模拟)如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ．（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=14一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=12 BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．已知：如图，抛物线y=13x 2x+m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB=90°， （1）求m 的值及抛物线顶点坐标；（2）过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连接DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；（3）在条件（2）下，设P 为CBD 上的动点（P 不与C 、D 重合），连接PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足:AH •AP=k ？ 如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．第095题(自选)如图，E 点为x 轴正半轴上一点，⊙E 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 点为劣弧BC 上一个动点，且A （-1，0），E （1，0）．（1）求点C 的坐标；（2）连接PA ，PC ．若CQ 平分∠PCD 交PA 于Q 点，当P 点在运动时，线段AQ 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）连接PD ，当P 点在运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA的值不变如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H．其中H为AD的中点，F为BC的中点．连接HG、GF．（1）若HG和GF的长是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围．（2）如图，连接EG、DF. EG与HF交于点M，与DF交于点N，求GN的值．NE直线y=-x+m与直线y=x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合．（1）求证：△AHD∽△CBD；（2）连HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，OF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变PF化，说明变化规律．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN= ；（2）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1= 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB 交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；，⊙O的半径为3，求OA的长．（3）若tan∠CED=12如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．第085题(2009.北京市房山区九上期末)如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；（2）求B、C两点的坐标及直线CD的函数解析式；（3）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．第084题(自选)如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y 轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）设⊙O交BC于点F，连接EF，求EF的值．AC如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；= 时，①求tan∠ABE的值；（2）当ABBC②如果AE=20，求AC的值．11如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（求⊙O的面积．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P 是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点，AD=12．N，ME⊥BC于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=35（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1 3（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1 3第076题(2010.辽宁省铁岭市)如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．（1）求点O到线段ND的距离；（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则求r的取值范围.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF 于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．第072题(2006.山东省莱芜市)半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知43BCCA，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．第071题(2010.湖北省荆门市中考)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知43BCCA，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．第070题(2006.山东省烟台市中考)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧上一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，CM交AB于点N，求MN•MC 的值．第069题(2011.江苏省镇江市实验学校中考数学二模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．第068题(2011.北京市昌平区中考数学二模试卷)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．第067题(自选)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求∠CNA的度数．第066题(2010.内蒙古包头市中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；AB；（2）求证：BC=12（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．第065题(2012.江苏省南京市江宁区中考数学一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．第064题(2010.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．第063题(2011.江苏省无锡市锡中实验学校九上期中考试)四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上任意一点，且CD切⊙O于点D．（1）试求∠AED的度数．（2）若⊙O的半径为，试求：△ADE面积的最大值．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若AB=5，BC=8，求⊙O的半径．（3）若∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若求图中阴影部分的面积．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD 与OA交于N点．（1）求证：PM=PN；AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．（2）若BD=4，PA=32如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．第055题(2008.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的∠ACB的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．第054题(2008.山东省枣庄市中考)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．第053题(2012.四川省成都市金牛区重点学校中考二模)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交AM于点M，且AM=CM．BC；（1）求证：OP=12（2）如果AE2=EP•EO，且，BC=6，求⊙O的半径．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH 的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径R的长．。
【真题集详解版】2010年广东省中考数学试卷及答案
2010年广东省中考数学试卷一、填空题（共6小题，满分23分）1、（2010•广东）﹣2的绝对值是．考点：绝对值。
分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．解答：解：|﹣2|=2．故填2．点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．2、（2010•广东）据中新网上海6月1日电：世博会开园一个月来，客流平稳，累计至当晚19时，参观者已超过8 000 000人次．试用科学记数法表示8 000 000= ．考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：用科学记数法表示8 000 000=8×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、（2010•定西）分式方程的解x= ．考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．4、（2010•广东）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC= ．考点：解直角三角形。
分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．解答：解：∵在Rt△ABC中，cosB=，∴sinB=，tanB==．∵在Rt△ABD中AD=4，∴AB=．在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=×=5．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．5、（2010•广东）某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程：．考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
2010年中考数学试题精选汇编：压轴题6
2010年中考数学试题分类汇编压轴题(六)24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．（1）求，，的值；（3分）（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值；（2分）②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．（3分）解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，得方程组：......1分解得：. (3)分（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，S＝，··········4分因为，所以当时，S有最大值．··················5分②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，则，即可得R1为（9，3）、（3，3）； (6)分或者，可得R2为（3，9）． (7)分再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形． (8)分25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O1的半径为R，周长为C．（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C；（3分）（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，求的取值范围．（3分）解：（1）证明：，，．++，2分因此，++< C． (3)分（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1M sin45o ＝，∴点N的坐标为N（R，）， (4)分把点N坐标代入得：，解得：，··········5分②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1C sin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，因此点A的坐标是A，将点A的坐标代入，解得：． (6)分同理可求得点D的坐标为D，将点D的坐标代入，解得：······7分所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：······················· 8分25．（湘西自治州本题20分）如图，已知抛物线经过点和，（1）求出抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P(m，m) 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标;（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小.解：（1）依题意有即……2分……4分∴抛物线的解析式为：……5分（2）把配方得，∴对称轴方程为……7分顶点坐标……10分（3）由点在抛物线上有……12分即∴或（舍去）……13分∴∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称∴……15分（4）连接，直线与对称轴相交于点由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使得△的周长最小. ……17分设直线的解析式∴有∴∴直线的解析式为：……18分设点则有……19分此时点能够使得△的周长最小. ……20分26．（湘潭市本题满分10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26题图解：（1）A（6，0），B（0，6）……………………1分连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）……………………2分抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以，解得：所以抛物线解析式为…………………3分（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ……………………4分所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．……………………5分又点B在圆上，故DB为⊙C的切线……………………6分（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则∠CAP=90o或∠COP=90o, (7)分若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分方程y=x－6与联立解得：，，故点P1坐标为（－3，－9）……………………9分若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）(用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分28．(甘肃省本小题满分12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.即抛物线的解析式为．………………………1分把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得解得.∴抛物线的解析式为y = x2－2x－3． (3)分∴顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴. …………………………6分在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴. (7)分在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴. (8)分∴，故△BCD为直角三角形. …………………………9分（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． (10)分过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，求得符合条件的点为．…………………………………………11分过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，求得符合条件的点为P2（9，0）．…………………………………………12分∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.26．（桂林市本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）C（4，）……………………………2分的取值范围是：0≤≤4 ……………………………… 3分（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）∴DE =-=……………………4分∴等边△DEF的DE 边上的高为：∴当点F在BO 边上时：=，∴=3 ……………………5分当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-…7分S===………………………………8分当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形S=………………… 9分=……………………10分（3）存在，P（，0）……………………12分说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）30. (江西省南昌市)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（）．（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．解：（1），，.······························································ 3分说明：每写对一个给1分.（2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明：选图1.图1中有直线垂直平分，证明如下：图1方法一：证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴.又∵.∴.∴.∴点H在线段的垂直平分线上.又∵，∴点在线段的垂直平分线上∴直线垂直平分····························································· 8分方法二：证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴.又.∴∴.在与中∵，，∴≌.∴∴是等腰三角形的顶角平分线.∴直线垂直平分. ·························································· 8分选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：图2∵∴又∵，∴.∴.∴点H在线段的垂直平分线上.又∵，∴点在线段的垂直平分线上∴直线垂直平分. ·············································································· 8分说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.(3)当为奇数时，，当为偶数时，····································································· 10分（4）存在.当为奇数时，直线垂直平分，当为偶数时，直线垂直平分.······································· 12分26．（山东省泰安市本小题满分10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。
压轴题
压轴题1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B 。
P 为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO ，交直线x=1于点C 。
过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N 。
（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ；（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰直角三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。
2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x 的二次函数y ＝-x 2＋(k 2-4)x ＋2k-2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； (3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．第1题图3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中, 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm, 点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上, 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B, 且18a + c = 0. (1)求抛物线的解析式.(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动, 同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动.①移动开始后第t 秒时, 设△PBQ 的面积为S, 试写出S 与t 之间的函数关系式, 并写出t 的取值范围.②当S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.4．(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0）、B （1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？5．(2010年山东宁阳一模)如图示已知点M 的坐标为（4，0）， 以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）已知点Q （8，m ），P 为抛物线对称轴上一动点， 求出P 点坐标使得PQ +PB 值最小，并求出最小值． （3）过C 点作⊙M 的切线CE ，求直线OE 的解析式．第3题图第5题图6.（2010年河南中考模拟题1）如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A'∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆ADE 的面积;（2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 7.（2010年河南中考模拟题2）如图，直线334y x =+和x 轴y 轴分别交与点B 、A ，点C是OA 的中点，过点C 向左方作射线CM⊥y 轴，点D 是线段OB 上一动点，不和B 重合，DP⊥CM 于点P ，DE⊥AB 于点E ，连接PE 。
2010年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评(全国通用)
2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评(全
国通用)
2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评
1.（2010 广东肇庆）已知二次函数的图象过点P（2，1）．
（1）求证：；
（2）求的最大值；
（3）若二次函数的图象与轴交于点A（，0）、B（，0），△ABP 的面积是，求的值．
【答案】（1）证明：将点P（2，1）代入得：（1 分）
整理得：（2 分）
（2）解：∵∴= （4 分）
∵-2?0 ∴当= -1 时，有最大值2；（5 分）
（3）解：由题意得：，
∴=︱-︱=，即︱-︱= （6 分）
亦即（7 分）
由根与系数关系得：，（8 分）
代入得：，
整理得：（9 分）
解得：，经检验均合题意．（10 分）
【点评】本题以二次函数为载体，重点考查根与系数关系及简单的代数证明，尤其第一问的证明很特别。
但难度低，区分度小。
2.（2010 广东广州）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B、C 不重合），。
2010年中考数学压轴题2010年中考数学压轴题100题精选(1-10题)内含答案
2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）【001】如图，已知抛物线2(1)y a x=-+a≠0）经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．Array（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
(完整版)广东中考数学省卷压轴题汇总
广东省卷压轴题汇总选择题（2009·广东）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）（2010广东5） 左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（ ）（2015·广东）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．C ．D ． A ． B ．（2016·广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④（2018·广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．填空题（2009）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．……（1）（2）（3）第10题图（2010广东10）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到新正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…， 则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为 ．（2011广东10）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．（2012•广东）如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 _________ （结果保留π）．题10图（1）A 1BCD AFEBCD A FEB CD A FEB 1C 1F 1 D 1 E 1 A 1B 1C 1F 1 D 1 E 1 A 2B 2C 2F 2 D 2E 2 题10图（2）题10图（3）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________ （结果保留π）．（2014•广东）如图，ABC∠=︒，∆绕点A顺时针旋转45︒得到△AB C''，若90BAC==，则图中阴影部分的面积等于．AB AC（2015.广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．（2016·广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= ．（2017·广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．（2018·广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为．解答题（2009.广东）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．DM AB C第22题图N（2010广东20）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．∆是等腰三角形；（1）求证：EGB∆绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以（2）若纸片DEF不动，问ABCED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．（2011广东22）如图，抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接C M ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.（2012•广东21）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．（2012•广东22）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．（2013•广东24）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．（2013•广东25）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA 方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= _________ 度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．（2014•广东24）如图，O是ABC⊥于点D，∆的外接圆，AC是直径，过点O作OD AB延长DO交O于点P，过点P作PE AC⊥于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．π（1）若60AC=，求劣弧PC的长；（结果保留)POC∠=︒，12（2）求证：OD OE=；（3）求证：PF是O的切线．（2014•广东25）如图，在ABC=，8=．点AD cmBC cm⊥于点D，10∆中，AB AC=，AD BCP从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(0)t>．（1）当2t=时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF∆的面积最大时，求∆的面积存在最大值，当PEF 线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（2015•广东24）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．（2015•广东25）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A →D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N 点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）（2016·广东24）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．（2016·广东25）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．（2017·广东24）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）（2017·广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C 的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．（2018·广东24）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．（2018·广东24）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N 沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y 取得最大值？最大值为多少？。
2010中考数学专题复习——压轴题
1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22）2. 已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在R t ABC △中，90A ∠=，6A B =，8A C =，D E ，分别是边A B A C ，的中点，点P 从点D 出发沿D E 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交A C 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到B C 的距离D H 的长；y x OB CA Tyx O BC AT（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．4.在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、如图1，已知双曲线y=xk (k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk (k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.ABCMN P图 3OABC MND 图 2 OABCMNP图 1O A BCD ER P H QxyBA O 图1B AOPQ图26. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.7.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结D G 、B E ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．8. 如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边A D 对齐折叠，点B 落在A D 上的点B '处，铺平后得折痕AE ； 第二步 将长边A D 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ．则:A D A B 的值是 ，A D A B ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E F G H ，，，分别在“16开”纸的边A B B C C D D A ，，，上，求D G 的长．（4）已知梯形M NPQ 中，M N P Q ∥，90M =∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．13.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．ABCD BCA D EGHF FE B '4开2开8开16开 图1图2 图3a①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．14．如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xk y的图象上．（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为 ．15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线. 如图12，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.C D A BE F NMxO yAB 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．xOy1 2 31 Q P2 P 1Q 1AOBMDCyx16.将一矩形纸片O A B C 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿O C 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿A O 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图1，将O P Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在C B 边上的点D 处，求点D 的坐标；（4） 连结A C ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与A C 能否平行？P E 与A C能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．17.如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使A B P △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线A C 上是否存在一点M ，使得M B F △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A B O C 的边B O 在x 轴的负半轴上，边O C 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3O B =，矩形A B O C 绕点O 按顺时针方向旋转60 后得到图1OP A xBDC Q y图2OPA x BC QyE A O xyBFC图16矩形E F O D ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形A B O C 面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式．（2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB =35，sin ∠OAB=55.（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△y xODECFABQNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11C MC N+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由22.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22） ACO BNDML`23.已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.如图①，四边形A E F G 和A B C D 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在A D 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）． （1）求D BF S △；（2）把正方形A E F G 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的D BF S △； （3）把正方形A E F G 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，D BF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .25. 已知24A B A D ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线B C 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段D E 的中点．（1）设BE x =，A B M △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段A B 为直径的圆与以线段D E 为直径的圆外切，求线段B E 的长；（3）联结B D ，交线段A M 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与B M E △相似，求线段B E 的长．DCBAE F GGF EABCD ①②BADMECBADC26. 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处． 如图，甲，乙两村坐落在夹角为30 的两条公路的A B 段和C D 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学．点B 在点M 的北偏西30 的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60 的23km 处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段C D 某处），甲村要求管道建设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段A B 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. 已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．MAEC D BF30乙村 甲村 东北图①MAEC D BF30乙村 甲村图②OO28. 已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A点左侧）是双曲线k y x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N（0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C.（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.29. 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）P '图②A Q CPB图①AQCPB图1 图2 图 3 图4D BCE NO A Myx。
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案
合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）． ······················· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ·································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23，△DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875． （4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ，ì=ïïíï=ïî∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········· 13分 如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2． ∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．····························· 14分由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；ì=ïïíï=-ïî 2214x y ，．ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．图14（2）图14（3） 图14（4）合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2（2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO BD =∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得2ED m =-，∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ········································································· （6分） （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEF S =⨯= ． ····································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEF S =⨯= ．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-， ······························ 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． ··································· 5分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+ ，∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····································································· 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ······································································ 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形PEOF 是矩形． 作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M 设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，． 在Rt P MC '△中，由勾股定理，223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =．∵CM P H P M P E '''= ，∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，． ·············································································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC =由三角形中位线定理，12845PN k P N k '====，∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······························································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ····················· 14分 【054】（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ··································· （2分） （2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)．当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ································ （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-．（8分）当3t =时，S 的最大值为2． ································【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠= °，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠== °；， BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； ·················································· 4（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ··························· 5分 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ···················································· 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠= ，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ·········· 11分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ····················································· 13分 221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； ······················································· 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ································ 16分 【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022．……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b :b ′=32． ②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x b c bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ）， ∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴AB 当点P 在OB 上运动时，t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=； 当点P 在BA 上运动时，作D P ⊥2有ABAP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在； 当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ，∴∠P AB =45，过点P 作P E ⊥x 轴于E ， 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网 (3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2=解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=，解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴ 2=解得11m =-（舍去） 243m = ∴M (,)39 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG PA 即 2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) 【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形G合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分 （2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN ＝b【060】解：（1）根据题意，得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4） （2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+ （3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +M B E AC ND FG 图（2） H 第26题图。
2010年广东省广州市中考数学试卷(word版含解析答案)
2010年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2010•广州）如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A．﹣18% B．﹣8% C．+2% D．+8%2．（2010•广州）将图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．3．（2010•广州）下列运算正确的是（）A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3 D．﹣3（x﹣1）=﹣3x+34．（2010•广州）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=5，则DE的长是（）A．2.5 B．5 C．10 D．155．（2010•广州）不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣36．（2010•广州）从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称图形的卡片的概率是（）A．B．C．D．17．（2010•广州）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）A．52 B．32 C．24 D．98．（2010•广州）下列命题中，是真命题的是（）A．若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a•b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a•b=0，则a=0，且b=0 D．若a•b=0，则a=0，或b=09．（2010•广州）若a＜1，化简﹣1=（）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（2010•广州）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑面积约是358 000平方米，将358 000用科学记数法表示为_________．12．（2010•广州）若分式有意义，则实数x的取值范围是_________．13．（2010•广州）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2=51、S乙2=12．则成绩比较稳定的是_________（填“甲”、“乙”中的一个）．14．（2010•广州）一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为_________．（结果保留π）15．（2010•广州）因式分解：3ab2+a2b=_________．16．（2010•广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有_________个．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（2010•广州）解方程组：18．（2010•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC、求证：∠A+∠C=180°．19．（2010•广州）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．20．（2010•广州）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：（1）本次问卷调查取样的样本容量为_________，表中的m值为_________；（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图；（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少？．21．（2010•广州）已知抛物线y=﹣x2+2x+2．（1）该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标_________；（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．22．（2010•广州）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）．23．（2010•广州）已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．24．（2010•广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．25．（2010•广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2010年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2010•广州）如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A．﹣18% B．﹣8% C．+2% D．+8%考点：正数和负数。
中考数学压轴题100题精选(11-20题)含答案2010
(英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（11-20题）【11】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D 第24题图①D E第24题图②第24题图③ (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【12】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且M A N C 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结D E ，并延长D E 交圆O 于F ，求E F 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交D C 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由． (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【13】如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作P M x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与O A C △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得D C A △的面积最大，求出点D 的坐标． (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【14】在平面直角坐标中，边长为2的正方形O A B C 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形O A B C 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，A B 边交直线y x =于点M ，B C 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边O A 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当M N 和A C 平行时，求正方形 O A B C 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形O A B C 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第26题)x (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【15】如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【16】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点EO ABD 的面积S 满足：123S S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由． (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【17】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1N BB △的面积是1N D D △面积的2倍，求点N 的坐标．（第26题） (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【18】如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线B C 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接B D ，点P 为抛物线上一点，且45D B P ∠=°，求点P 的坐标．x (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【19】如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；四边形四边形CNMN CFGH S S m，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
2010年中考数学压轴题100题精选(71-80题)含答案
合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（71-80题）【071】已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（第24题图）合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【072】如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PD E ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【073】)如图，半径为O 内有互相垂直的两条弦AB 、CD 相交于P 点．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网(1)求证：PA ·PB =PC ·PD ；(2)设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ： (3)若AB =8，CD =6，求OP 的长．【074】如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40) ，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点2(135)O ，为第23题图合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网圆心的圆与x 轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式；（2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间．【075】如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ． ①求抛物线的解析式；合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．【076】如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD . （1）求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH 绕点B 按顺时针旋转90°后 再沿x 轴对折得到△BEF （点C 与点E 对应），判断点E 是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E 的直线交AB 边于点P ，交CD 边于点Q . 问是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.图11合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【077】已知直线m x y +-=43与x 轴y 轴分别交于点A 和点B ，点B 的坐标为（0，6） （1）求的m 值和点A 的坐标；（2）在矩形OACB 中，点P 是线段BC 上的一动点，直线PD ⊥AB 于点D ，与x 轴交于点E ，设BP=a ，梯形PEAC 的面积为s 。
2010年中考数学压轴题及答案
1、如图，⊙O 的半径为1，等腰直角三角形ABC 的顶点B 的坐标为（2，0），∠CAB=90°，AC =AB ，顶点A 在⊙O 上运动． （1）当点A 在x 轴上时，求点C 的坐标；（2）当点A 运动到x 轴的负半轴上时，试判断直线BC 与⊙O 位置关系，并说明理由；（3）设点A 的横坐标为x ，△ABC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值； （4）当直线AB 与⊙O 相切时，求AB 所在直线对应的函数关系式．10当点A 的坐标为（－1，0）时，AB=AC=2＋1，点C 的坐标为（－1，2＋1）； （2）直线BC 与⊙O 相切，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，∴∠OBM ＝∠BOM =45°, ∴OM=OB ·sin45°=1，∴直线BC 与⊙O 相切 （3）过点A 作AE ⊥OB 于点E 在Rt △OAE 中，AE 2=OA 2－OE 2=1－x 2，在Rt △BAE 中，AB 2=AE 2+BE 2=(1-x 2) +（2-x ）2=3-22x∴S=21AB ·AC=21 AB 2=21(3-22x)=x 223- 其中－1≤x ≤1， 当x=－1时，S 的最大值为223+， 当x=1时，S 的最小值为223-． （4）①当点A 位于第一象限时(如右图)： 连接OA ，并过点A 作AE ⊥OB 于点E ∵直线AB 与⊙O 相切，∴∠OAB=90°， 又∵∠CAB=90°，∴∠CAB +∠OAB=180°，∴点O 、A 、C 在同一条直线上，∴∠AOB =∠C=45°，在Rt △OAE 中，OE=AE=22．点A 的坐标为（22，22）过A 、B 两点的直线为y=－x+2．②当点A 位于第四象限时(如右图)点A 的坐标为（22，－22），过A 、B 两点的直线为y=x －2．2、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (-2,0),B(4,0)，与y 轴交于点C(0,8)．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？用图2解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-．228y x x ∴=-++2(1)9x =--+，顶点(19)D ，（2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45，设OB 的中垂线交CD 于H ，则(210)H ，． 则10PHt =-，点P 到CD的距离为d PH t ==-．又PO =．t =-．平方并整理得：220920t t +-=，10t =-±∴存在满足条件的点P ，P的坐标为(210-±，．（3）由上求得(80)(412)E F -，，，． ①若抛物线向上平移，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>当8x =-时，72y m =-+．当4x=时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．072m ∴<≤．②若抛物线向下移，可设解析式为228(0)y x x m m =-++->．由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩， 有20xx m -+=．140m ∴=-≥△，104m ∴<≤． ∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移14个单位长．3、如图，直线443y x =-+与X 轴Y 轴分别交于点M,N（1） 求M,N 两点的坐标。
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(一)及答案
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(一)1．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 A P B 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2S D E＝ABC 的周长.【分析】（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12，借助勾股定理可求得AF 的长；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，那么CAB ＋∠ABC 就是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半；（3）由题可知A B D A C D B C D S S S S ∆∆∆=++＝12DE (AB ＋AC ＋BC )，又因为2S D E=所以21()2D E A B A C B C D E++=，所以AB ＋AC ＋BC＝E ，由于DH ＝DG ＝DE ，所F C PD OBAEH GCP DOBAE以在Rt△CDH中，CH，同理可得CG，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得E＝＋，解得：DE＝13，代入AB＋AC＋BC＝E3．【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝12OP＝12，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF2，∴AB＝2AF（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝12∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴A B D A C D B C DS S S S∆∆∆=++＝12AB•DE＋12BC•DH＋12AC•DG＝12(AB＋BC＋AC) •DE＝12l•DE．∵2SD E＝212l D ED E＝l＝∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝12∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝ta n30D G3，∴CH＝CG．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝＝，解得DE＝13，FCP DOBAEHG∴△ABC3．【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤32，如图25-a ，此时E （2b ，0）∴S ＝12OE ·CO ＝12×2b ×1＝b②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即32＜b ＜52，如图2此时E （3，32b -），D （2b －2，1）∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32b -)]＝252b b -∴2312535222b b S b b b ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。
广州、广东中考数学压轴题集锦
广州市历年中考压轴题2018年24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=﹣mm2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求ll rr的值．25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．2017年24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD 的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=√5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA 匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，AAAA�=BBAA�，AB=2，连接AC．（1）求证：∠CAB=45°；（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD 所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；②EEEE CCCC是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2016年24．（14分）（2016•广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．25．（14分）（2016•广州）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．24．（14分）（2015•广州）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8，①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．24．（14分）（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．25．（14分）（2014•广州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．24．（14分）（2013•广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．25．（14分）（2013•广州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．24．（14分）（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．25．（14分）（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．24．（14分）（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．25．（14分）（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．24．（14分）（2010•广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．25．（14分）（2010•广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．24．（14分）（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH 分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．25．（14分）（2009•广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），△ABC的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）（2008•广州）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值．25．（14分）（2008•广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．（1）当t=4时，求S的值；（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．24．（14分）（2007•广州）一次函数y=kx+k过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B 点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；（2）求a、b满足的等量关系式；（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．25．（12分）（2007•广州）已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．广东省历年中考压轴题2018年24．（9分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．25．（9.00分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B 路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？2017年24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4√3，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当CCCC CCCC=34时，求劣弧BBAA�的长度（结果保留π）25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2√3，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：CCEE CCEE=√33；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．24．（9分）（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A 作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．25．（9分）（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．24．（9分）（2015•广东）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．25．（9分）（2015•广东）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt △ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）24．（9分）（2014•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．25．（9分）（2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF 沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．21．（2012•广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．22．（2012•广东）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．。
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2010年广东省中考数学压轴题（全）
1.（2010年广东、汕头、中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点
F 在DC 上，DF=2。
动点M 、N 分别
从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），
当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动。
连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，
可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW 。
设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的
时间为x 秒。
试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；
（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）。
试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？
当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？
（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值。
第22题图（1） A B M C F D N W
P Q 第22题图（2） A B C D F M N W P Q
图11
O
x
y
C
D
B
A
E
2.（2010年广州市）如图11，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0， 1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线1
2
y x b =-+交折线OAB 于点E 。
（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；
（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探
究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
3.（2010年深圳市）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－
33 x － 533
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；
（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT
交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
x
D A B
H
C
E
M O F 图10
x
y
D A B
H
C
E
M O F 图11
P Q x
y D
A
B
H
C E
M O F 图12
N
K
y
4.（2010年佛山市）一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。
将数学对象分
为不同种类的数学思想叫“分类”的思想。
将事物分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。
请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在ABC
∆中，ACB
∠
∠>ABC
（1）若BAC
∆（不
∆∽ABC ∠是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D，能保证ACD 包括全等）
（2）请对BAC
∆
∆∽ABC ∠进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证ACD （不包括全等）的点D的个数。
A
C
B
A
O B
y x 5.（2010年湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(－3，－4)，线段OB 绕原
点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．
(1)直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．
6.（2010年茂名市）已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．
(1)在⊙O 1内任意作三条弦，其长分别为l 1、l 2、l 3．求证：l 1＋l 2＋l 3＜C ． (2)如图，在直角坐标系xOy 中，设⊙O 1的圆心O 1的坐标为(R ，R)． ①当直线l ：y ＝x ＋b(b ＞0)与⊙O 1相切时，求b 的值；
②当反比例函数y ＝ k
x
(k ＞0)的图象与⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围．
O
O
O 1
O 1
O 1
R y
y
x
x
7.(2010年肇庆市)已知二次函数y=x 2
+bx+c+1的图象过点P （2，1）． （1）求证：C=-2b-4； （2）求bc 的最大值；
（3）若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0),△ABP 的面积是4
3
，求b 的值．
8.(2010年珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD （O 为原点），点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且C 点坐标为（0,6）；将BCD 沿BD 折叠（D 点在OC 边上），使C 点落在OA 边的E 点上，并将BAE 沿BE 折叠，恰好使点A 落在BD 的点F 上.
(1)直接写出∠ABE 、∠CBD 的度数，并求折痕BD 所在直线的函数解析式；
(2)过F 点作FG ⊥x 轴，垂足为G ，FG 的中点为H ，若抛物线c bx ax y ++=2经过B 、H 、D 三点，求抛物线的函数解析式；
(3)若点P 是矩形内部的点，且点P 在（2）中的抛物线上运动（不含B 、D 点），过点P 作PN ⊥BC 分别交BC 和BD 于点N 、M ，设h=PM-MN ，试求出h 与P 点横坐标x 的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM<NM 、PM=MN 、PM>MN 成立的x 的取值范围。
9，（2010年梅州、河源市）如图10，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）.
（1）求点E,D 的坐标;
（2）求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；
(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.
图10。