长周期结构考虑瞬态响应随机振动抗震分析

（ ） ８
二 、长周期 结构 中伴 生 自由振 动的影 响
为 了对 比伴 生 自由振 动 和稳 态振 动 的 幅值 ，引入 两 种 振 动 幅 值 比 Ｉ＝ 生 振 动 幅 值 ／ ．伴 ｔ 稳态 振 动 幅 值 ， 由式
（ ）得 ： ５
．
果 。说 明 即便 是 频 率 比较 小 ，式 （ ３ １ ）也 是 精 确 的 。 振 动 开始 时伴 生 自 由振 动 的 幅 值 比稳 态 振 动 幅 值 大 的 多 ，并 随 时 间逐 渐 衰减 。ｔ ｌ ｓ 生 自由振 动 的 幅值 仍 ＝Ｏ伴 约 为 稳 态 振 动 的两 倍 ， 可 见 伴 生 自 由振 动 的功 率 谱 在 随机 振 动 抗 震 分析 中 是 不 可 忽 略 的 。另 外 ，稳 态 振 动
拟激 励法 推 广到 多 自由度 系 统 中 。
单 自 由度 系统在 虚 拟简 谐 激 励 作 用 下 振 动 方 程 的 全 解
一
其பைடு நூலகம்：
．
、
根 据 经 典随 机 振动 理 论 ，地 面激 励 可 以看 做 是一 系
Ｂ ｅ Ｉｃ％ ｌ ｏ Ｈ ＝ Ｙｓ ０ ｓ％ ｉ ｎ Ｂ＝一 （＋２０ ■Ｇｉ ｔ ２ｅ 【ｃ Ｃｃ％ ￣］ 他 ＿ ｌ ）ｓ ｓ ｎ
观 察 式 （ ） 中Ｃ、 Ｃ的 表 达 式 ， ∞和 ∞ 的幂 次 数 ５ ２ 相 同 ，所 以可 以参 照 文 ［］ １ 引入 频 率 比 ＝ ／ ， 则 Ｃ、Ｃ、Ｃ表 示成 如 下 的形 式 ： ３ Ｃ １ １ １ ，２ －￣
一
（） ９
而
的实部和虚 部基本 相等，进・步验证关于稳态振动 的
结 构受 迫 振 动 的位 移 响应 根据 振 动特 性 可 分为 ， 瞬 态 振 动 与稳 态振 动 共存 的过渡 段和 瞬 态振 动 完全 衰 减后 的稳 态 振动 段 。瞬 态振 动 包含 了 由初 始 条件 决 定 的 自由
振动 和 伴 随干扰 力 作用 产 生 的伴 生 自由振动 。通常 认 为 由于 阻尼 的作用 瞬 态振 动 会很 快 衰减 ，过渡 段 很短 ，因
ｍ ＋ｋ ｙ＋ ｙ：ｅ 或表示为： （） １
，１ —
【 ）ｎ ＋ｃ＋ ２ｏ￣ ｃ一 ｓ 【 ｃ） ｓ ｉ ｃ
： ０ ９
ｎ
ｃ ：一 １
‘
—
—
ｍ
二 一ｏ２ ＋４ 。 ９
ｃ１：一 １
７ ＿—
ｍ
二 一 ０２ ＋ ４ ９
９ ， Ｃ （２ Ｃ＾ ０ｃ 一 ２＋Ｃ ＋ １ （ Ｊ
谐 激 励产 生 的稳 态振 动 ，其频 率和 激励 频 率一致 。 只 需 要 将 Ｈ （ ∞ 上 下 同 除 ｍ 并 主 要 到 ‘＝ ／ ｉ ， ｃ
２ １ ７ ｏ 中 新 筘仝 ３ ０ １０ 闽高 技 业 ７
） １Ｏ 】 ｘ０ ＝日 ｘ ） Ｓ（ ９
（） ３
（ ｍＩ） ，不难 证 明Ｂ与频 率 响应 函数 Ｈ （ （ ）ｅｏ表 ２（ ） ３ ｉＩ ｉｔ ） 示 的稳态 振动 是 等 价 的。 即 ：
其 中 ，Ｈ （ ∞）为 频 响 函数 ， ｉ
Ｈ（ ＝— ｆ ） ｋ
－
—
ｍ ０ ９
２＋ ｉ ￣ ｏ
．
，
（） ４
随机 振 动方 法 的计 算 是 以稳态 振 动 为基础 的 ，也就 是 假 定输 入 过 程 从 ｔ 一ｏ 开始 所 导 致 的 结果 。适合 于 ＝ ｏ时 类 似 由机 械 偏 心 等 平稳 激 励 引 起 的 振 动 ，激 励 的作 用
长周 期结构 考虑 瞬态 响应随机振 动抗震 分析
王庆芬 胥 斌
（ 东省 东 营市 公路 管理 局 ， 东 东 营 ２ ７ １ 山 山 ５ ５ １）
摘要 ： 文章 推 导 了单 自由度 体 系在 虚拟 简谐 激励 作 用下 自由振 动 、伴 生 自由振 动和稳 态振 动 的解 析解 ； 过 通 引入 频 率 比 简化 了伴 生 自由振动 和稳 态振 动 幅值 比 的计 算公 式 ，应 用在 工程 结构上 能 与精确 值吻 合 。提 出 了 多 自由度 系统 采 用虚拟 激励 法进 行 抗震 分析 中考虑伴 生 自由振 动 的 算法 。最后 通过 算例 分 别在 时域和 频域 中
振 动 的功率 谱 。
时域 中采用 式 （ ）计算结构受 到激励后 １ ｓ ５ Ｏ 的过
） ＝ 击
一 ｚ Ｃ １
（ ６ ）
（） ７
渡 段 位 移 与 有 限元 软 件Ａ Ｓ Ｓ 程 分 析 结 果 和 分 段 解 ＮＹ时
日１ ＝ｃ＋Ｃｘ０耐＋ｓ 耐 ＝ ３ （ 缈 （ ｉ２ｃ １ ｓ ｆｎ ） Ｂ ｉ
志
ｃ： １ 二 ±
㈣
（ １ １）
相 位 角 会 很 快 收敛 于 ｎ ４ ／ 的结 论 ，伴 生 自由振 动 的相 位 角 收敛 相对 略 慢 。
过渡段的伴生 自由振动功率谱衰减很快，但在数值 上与稳态振 动相 比却要大的多 。在长周期结构 的随机
振 动 抗 震 分 析 中 应 按 以上 提 出 的方 法 计 算 过 渡 段 的 时 变 功 率谱 。
就 已经 比稳 态 振 动 大 的 多 。如 果 结 构 的 周 期 更 长 ，这 种 差 别 会 加 大 ， 在 过 渡 段 必 须 考 虑 伴 生 自由 振 动 的 影响。 频域 中分 别 取 振 动 开始 和 ｌｓ Ｏ 时刻 结 构 响应 ，代 表 ∞＝ （ 、３１、４ ２Ｉ ） （ ） ∞ 的虚拟 激励 产 生 的幅 值 。三 种激 励 均 会 产 生伴 生 自由振动 ， 因此 ｎ 的幅 值 是 叠加 的结 处
析法结果完全吻合 。分别示 出了结构 的稳态 响应 结果 和考 虑伴 生 自由振 动 的全解 ，可 见对 于频 率 比较 小
（ ＝ 、 ３ ４ 的情 况 ， 结 构 在 过 渡 段 的 震 动 全 解 ２ 、 ）
式 （ ） 既 表 达 了振 动 方 程 的 全 解 ， 又 把 自 由 振 ５ 动 、伴 生 自由振 动 和 稳 态 振 动 区分 开 来 ， 为 下 一 步 单 独 分析 各部 分 的影 响提 供 了条 件 。
√
（） １ ３
的伴 生幅值要远： 于稳态幅值 ，且 结构 的 自振 周期越
长 ， 幅 值 衰 减 越 慢 ，整 个 地 震 作 用 过 程 中长 周 期 结 构 将 一 直 处 于 瞬 态 过 渡 段 。提 出 了伴 生频 响 函数 ， 伴 生 频 响 函 数 和 频 响 函数 与 结 构 的虚 拟 简 谐 激 励 下 的 振 动 全解 吻 合 ；采 用 伴 生 频 响 函数 可 以直 接 计 算 伴 生 自 由 振 动 的 时 变 功 率 谱 。 随着 频 率 比 的增 加 频 响 函 数 的 相 位 角 将 很 快 收 敛 于 ｎ／ ， 伴 生 频 响 函 数 的 相 位 角 收 敛 ４
四 、结 论
式 （ ）准确表 达 了单 自由度 系统 在虚拟 简谐激 ５ 励 作 用下 的全解 ，式 （ ）真 实 的反 映了伴 生 自由 １ ３ 振动 幅值与稳态幅值 比和频率 比的关系 。长周 期结构
舒
计值：
＋ ）
（） １ ２
式 （ ２ 、 （ ）、 （ ０ １） ９ １ ）代 入 式 （ ）得 ｕ的估 ８
式 （ ） 中 ：Ｂ Ｂ共 同组 成 响应 过 渡 段 的 瞬 态振 ５ ｚ 动 ；Ｂ是初 始 条件 决定 的 自由振动 ，在地 震 作用 之 前 一 ｌ 般 认 为 结构 处 于静 止 状态 ，所 以第 一 项 为零 ；Ｂ是 伴 随 着 虚拟 简 谐激 励 的作 用 发 生的振 动 ， 故称 为伴 生 自由振
√一 １ 将 （ ）、 （０ ９ １ ）、 （ １ １ ）代 入 （ ）得 幅 值 比 ｕ ８ 仅 是 Ｂ和 的 函数 。钢 结 构 的 阻尼 比在 ０ Ｏ 左 右 ，钢 ．１ 筋 混 凝 土 结 构 的 阻尼 比 也 小 于 ０ ０ ， 由于 相 对 很 ．５
小 ，可忽略 ‘的二次项和一次项 ，简化近似得：
此研 究 的意义 不 大 ，而 只考 虑稳 态振 动 的部 分 。 采 用 随机 振 动方 法 进行 长 周期 结 构抗 震 分 析如 果 忽 略 瞬 态 振 动 的影 响 ，将 会 大 大 低 估 相 应 的功 率谱 。本 文 利 用推 导 得 到 的结构 在 虚拟 简 谐激 励 下 的响应 解 析表 达式 ，从幅 值和 衰 减速 度 方面 证 明了考 虑 伴生 自 由振 动
验 证 了文 中公 式 的 正 确 性 。
关 键词 ：长周期 结 构 ； 生 自由振 动 ；随机 振 动 ；虚拟 激励 法 ； 位 角 伴 相 中图分 类号 ： ＴＵ３ １ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编号 ：１ ０ —２ ７ ２ １ ） ９ ０ ３ － ２ ０ ９ ３ ４（ ０ １ － ０ ７ ０ １
＝
列简谐分量 的叠加 ，只要把各简谐分量 引起 的结构反
应 叠 加 起 来 ， 即得 到 结 构 的 实 际反 应 。对 自 由度 很 高 的 结 构 ，可 以采 用 阵 型 叠 加 法 实 现 方 程 的 降 阶 ， 因 此 其 计 算 的基 础 是 单 自由 度 结 构 体 系 在 单 位 虚 拟 简谐 荷 载ｅ 作 用 下 的 响应 。单 自由度 线性 系 统 受虚 拟 简 谐 荷 载 时 的运 动方 程 为 ：
的必 要 性 ；通 过 引入 伴生 频 响 函数提 出了考 虑 伴 生 自由
时 间很长 ，不可 能出现 短的有限持时 。但实际地震动
输 入 是从 ｔ０ ＝ 开始 的 ，整个 地 震 动 持 时 内结 构 可 能一 直 处 于具 有 伴生 自由振 动 的过 渡段 。 文 ［～４ １ ］已 经 推 导 得 到 了 单 自 由 度 系 统 在
即 使 当 阻 尼 比 达 到 ０ １ ， 式 （ ３ 仍 与 精 确 ．时 １） 解 相 差 很 小 ， 比 较 真 实 的 反 应 了幅 值 比与 频 率 比 的关 系 。 由式 （ ３ １ ）可 知 在 同等 激 励 作 用 下 ，结 构 的周 期 越 长 ，频 率 比越 大 ， 伴 生 自由振 动 的幅 值 比越 大 。 当 结 构 周 期 是激 励 周 期 的 １ 倍 时 ，伴 生 自由振 动 的幅 值 Ｏ 接 近 稳 态 幅值 的７ ，如 果结 构 的周 期更 长 ，伴 生 自由 倍
振动 的幅值甚至超过共振幅值 。从这一角度讲 ，长周
期 结 构应 当考 虑 伴 生 自由振 动 的影 响 。
于一 ，但 比频响函数 的收敛速度慢 ，利用此结论简化
伴 生 自 由振 动 功 率 谱 的计 算 方 法 。提 出 了 采 用 虚 拟 激 励 法 考 虑 多 自由度 系 统 伴 生 自 由振 动 的 计 算 方 法 ，为 长 周 期 结 构 随机 振 动抗 震 分 析 中 考 虑 瞬 态 响 应 的影 响 提 供 了可 行 的算 法 。 最 后 ， 通 过 算 例 验 证 文 中公 式 和 计 算过 程 在 时域 和频 域 中都 是 正确 的 。ｏ
ｐｔ ｐｉ０作用下的全解，下面推导单 自由度系统在 （＝ ｓ ９ ） ｎｔ
单位虚拟简谐激励ｐｆ ｅ （＝ 作用下的全解。假定初始条 ） 件为： 【 ＝ 。 【 ＝ ，解 （ ）得： ０ Ｙ 、 ｏ 。 ） ） ２
Ｙ＝Ｂ１ ＋Ｂ２＋Ｂ３ （ ５）
振动的长周期结构抗震 随机振动的分析方法 ，并利用虚
＋￣ ２ ｃ ｐ＋ ｏ
＝ Ｐ
（） ２
其 中 ，ｍ 、ｋ 别 是 质 量 、 阻尼 和 刚度 ， 阻尼 比 、ｃ 分
＝ ／ （ｍ＾ ） ， 自振 圆频 率 蛾 ： 万 。 ｃ ２（ ） √ 方 程 （ ） 中 ，结构 响 应 的功 率谱 密 度 函数 为 ： ２
动 ，其频率和体系的阻尼 自 振频率 ∞。 一致；Ｂ是虚拟简 。