微分几何(第三版)梅向明黄敬之编第三章课后题答案[1]

§4.直纹面和可展曲面

1. 证明曲面r =}3

2

,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.

证法一： 已知曲面方程可改写为

r =},2,{432u u u +v }3

2

,,3

1{2u u ，令

()a u r

=},2,{432u u u ，

()b u r =}3

2,,31{2

u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()

b u r ≠

0，这是直纹面的方程 ，它满足

(',,')a b b r r r =

2

3

2

2641

23

340

1

3

u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。 证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

2。证明曲面r

={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r

={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r

≠0，所以曲面为直纹面，又因为

(',,')a b b r r r =

2sin cos 2cos sin 2

sin cos 1cos sin 0

v v v v v v v v v

v

------=0，所以所给曲面为可展曲面。 证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

3．证明正螺面r

={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r

={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见

()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r

=00cos sin 0sin cos 0

a

u u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。

证 挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r

,因为(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面。

挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故

2():()()S r a s v s γ=+r r r

不是可展曲面。

5。求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络。

解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z α

αααααα=+-=⎧⎨=-+-=⎩，即

c o s ()s i n 1

s i n

()c o s 0

x y z x y z αααα+-=⎧⎨

-+-=⎩ ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= 。这就是所求的包络面。

6．求平面族2222a x ay z a +=的包络。

解 从222202220

a F a x ay z a F ax y ⎧=++-=⎨=+-=⎩中消去参数a ，则得所求的包络面为

2(1)20y axz --=。

7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。

证 柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r

r =0(',,0)0a b =r r 。故1()S 是可展曲面。

锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面。

曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r 。因为(',,')a b b r r

r =(,,')0ααα=r r r ，故

3():()()S r a s v s α=+r r r

是可展曲面。

8．证明0uu uv r r ==r r

的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面。

证法： 因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r r

r 为固定向量。从而积分得

0(,)()r u v a v ub =+r r r

。故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面。

§5 曲面的基本定理

1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号k

ij Γ。

解 因为21,0,E F G ρ===，所以12

1

1111120,0,0222E E E E

G E

ρθθΓ=

=Γ=-

=Γ==， 21

212

22

221

,,0222G G G G

E

G

ρρθ

ρρ

Γ=

=

Γ=-

=-Γ=

=。 2．证明高斯曲率det()j i K μ=。

证 因为d e t ()d e t ()d e t ()d e t ()j k

j

k

j

k j

i i k

i k i k

L g L g L g μ

=-∑=

-=，而1

()()kj kj

g g -=，所以

1det()det()kj

kj g g =，从而2

2det()det()/det()j

i ik kj LN M

L g EG F

μ-==-， 故det()j i K μ=。