基于模态参数的结构损伤识别的方法
基于模态分析的中厚板焊接损伤识别
（） ５
（） ６
因 ［ 、Ｍ］都是对 称矩 阵 ， 、Ｍ］分 别为 特征 向量 和特征 值 ， 整 理后式 （ ） 变为 ： Ｋ］ ［ ［ 故 ６可
［ Ｔ８ ［ ］ ［ Ｋ］ ］一 艿 ］ ［ ［ ∞ ［ ｒ Ｍ］ ］一 ０
［ 稿 日期 ］ ２ １ 收 ０ ０—０ —１ ６ ２ ［ 者 简介 ］ 张系 斌 （ ９ ６一 男 ，１ ８ 年 大 学毕 业 ，硕 士 ，教授 ，现 主 要 从 事 结 构 工 程 与 钢 结构 方 面 教 学 与 研 究 工 作 。 作 １５ ） ９２
对 简谐 振动 ， ： 有
ｑ一 ￣ ｉ ｗｔ ｂｓｎ
（） 工
式 中 ，Ｋ］ ［ 、ｃ ［ 、Ｍ］ ［ ］分别 为单元 刚 度矩 阵 、 质量 矩 阵 、 尼矩 阵 ；｛ ｝ ｛ ｝ ｛ ｝ 别 为位 移 矩 阵 、 阻 ｑ 、 口 、口 分 速度 矩
（ ２）
式 中 ， 为 振 幅 ， ｃ为 系 统 固 有 圆频 率 ， ； 为 时 间 ，。 ｍ；， ｃ Ｈｚ ｔ ｓ
伤 ，该损伤 严重 时将直 接导 致结 构性 能劣化 。基 于模 态分 析的结 构损 伤识 别方 法除 了能 检测结 构整 体
损伤 之外 ，还具 有检测 其他 方法无 法探 测 的损 伤 的优点 。此 外 ，该方 法还 能对结 构进 行实 时监测 ，近年 来 开始 逐渐 应用 于土木 工程 领域口 ］ 。为此 ，笔 者对基 于模 态 分 析 的 中厚板 焊 接损 伤识 别 方 法进 行 了探
长 江大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２１ 年 ９ 第 ７ 第 ３ ：理工 ００ 月 卷 期一 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｇｚ ｎｖ ｒ ｔ Ｎ ｔ ｃ Ｅ ｉ Ｓ ｐ ２ １ ．Ｖｏ． ． ：ｓ ｉ Ｅ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｔｅＵ ｉｅｓ ｙ（ ａ Ｓ ｉ ｄｔ Ｙ ｉ ） ｅ．００ １７Ｎｏ ３ ｃ ＆ ｎ
基于应变模态的桁架结构损伤识别
１
２．Ｅ－ ３ ０ ０
０ ０ Ｅ＋ ０
单 元号
（） ｂ 上弦杆单元 ５损伤 １ ％
１Ｏ ０ ．Ｅ— ２
篓
车
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｌ ｌ １ ｌ Ｏ ｌ ２ ３
８．Ｂ— ０ ０３
６．Ｅ— ３ Ｏ ０
４Ｏ ｏ ． Ｅ－ ３ ２Ｏ （ ． Ｂ－ 培
图 １ 单 根 桁 杆 单 元 变 形
损 伤神 经 网络进 行结 合 ， 详细 研 究 了应 变模 态 参 数
识 别 的方法 和过 程． 们 对一 简 支 桁 架结 构 进 行 数 我
利用 ＡＮＳ ＹＳ软件进 行模拟 计算 出桁 架结 构 的 位移 模态 ， 到 各 节 点 位 移 ， 根 据 桁 杆 的 变 形 特 得 再 征， 定义 损伤 前后杆 件长 度 的变化率 为应 变啪 ， 推算
第２ ３卷 第 ３ 期 ２１ ０ １年 ９月
甘 肃 科 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＧａ ｕＳｃｅ ｃ ｓ
Ｖ０ ＿ ３ Ｎｏ ３ Ｉ２ ． Ｓ ｐ Ｚ０ １ ｅ ． １
基 于应 变 模 态 的桁 架 结构 损伤 识 别
刘 汉 青 杨 维 民 ，
中 ， 节 点 的一 阶应 变 模 态 位 移 在 损 伤前 后 变 化 不 各
相 同．
１２ ０ ．Ｅ－ ２
１０ ０ ．Ｅ－ ２ ８．Ｅ－ ３ ０ ０
蚕 ．－ 鏖 ６Ｅ３ ００
４０ ０ ． Ｅ－ ３
蝥 蒌
车
单元 号 （） ａ 下弦 杆单 元 １ 伤 】 损 ％
１２ ２ ．Ｅ— ）
阶应变 模态 相对 应 变值 可以较好 地 识别 出损 伤的
基于不完备模态信息的结构损伤识别方法
基于不完备模态信息的结构损伤识别方法杨坚;董聪【摘要】针对结构损伤识别中的有限测点问题和测试噪声问题,提出一种基于模型修正法的损伤识别方法,仅利用结构的低阶频率和相应的不完备振型进行损伤识别.基于动力缩聚法构造参数化的振型扩展矩阵,解决振型不完备的问题,然后根据交叉模型交叉模态法CMCM(cross-model cross-mode)构造约束方程,并使用Hestenes-Powell增广拉格朗日乘子法求解约束优化问题,从而根据优化问题的最优解判断出损伤位置和损伤程度.在模态数据包含测试噪声的情况下,提出一种改进的CMCM方法,以减小测试噪声对损伤识别结果的影响.对一个25杆平面桁架进行数值仿真实验,结果表明,在3％的噪声水平下,仅需测得损伤结构的前5阶不完备模态,本文方法就能较准确地识别结构损伤.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2019(036)002【总页数】7页(P290-296)【关键词】损伤识别;优化;有限测点;模态扩展;测试噪声【作者】杨坚;董聪【作者单位】清华大学土木工程系,北京100084;清华大学土木工程系,北京100084【正文语种】中文【中图分类】O346.51 引言损伤识别是结构健康监测中的重要内容，主要包括损伤预警、损伤定位和损伤定量三个阶段。
结构的模态参数（频率和振型等）是物理参数（刚度和质量等）的函数，模态参数的变化能够反映物理参数发生的变化，因此可以根据结构在损伤前后模态参数的改变量进行损伤识别［1］。
实际工程中，由于传感器数量和测量条件等限制，只能对有限测点进行监测，得到不完备的低阶振型，且受环境噪声、测量误差和计算误差等影响，无法精确获得模态数据。
如何利用不完备的含噪声模态信息进行损伤识别，是损伤识别领域的重要问题［2］。
模型修正法是一种修正数值模型与真实结构差异的逆求解方法，其思路也可用于损伤识别。
Hu等［3］采用交叉模型交叉模态 CMCM（crossmodel cross－mode）的损伤识别方法，对损伤结构的质量矩阵和刚度矩阵进行修正。
基于曲率模态差指标的框架结构损伤识别
⑥
⑩
３ 人工神经网络训练
本文 采 用 ＭＡ Ｌ Ｂ神 经 网络 工 具 箱 实 现 Ｒ Ｆ ＴＡ Ｂ 网络 的训 练 过程 ， 行 了平 面两 跨 框 架 结 构 的数 值 进 模 拟分 析 。采 用 ｎｗ ｂ ） ｅ ｒ （ 函数 进 行 Ｒ Ｆ网络 设 计 ， Ｂ
其调 用方 式 为 ｌ ： ＿ ７ ｊ ｎｔ ｅ ｒ （ ， ， Ｏ Ｌ ｓｒ ｄ ｅ＝ｎｗ ｂ Ｐ Ｔ Ｇ Ａ ，ｐｅ ） ａ
第 １ ０卷第 ３期 ２０１ ２年 ６月 ຫໍສະໝຸດ 水 利 与建筑 工程 学 报
Ｊｕｎ ｌｏ ａｅ ｅｏ ｒｅ ｎ ｃ ｉ ｃ ｒｌ ｎ ｉｅｒ ￣ ｏｒａ ｆ ｔｒＲ ｓｕｃｓａ ｄＡｒｈｔ ｔ ａ ｇｎｅｉ Ｗ ｅｕ Ｅ ｎ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ． １ １ ３
Ｊ ｎ．， ０１ ｕ ２ ２
ｆ ｎ ｕ ａ ｗｉ ｅ ｐ ｅ ｄ ｂ ｉｄｎ ｔｕ ｔ ｒ ｄ ｓ ｒ ａ ｕ ｌ ｉｇ ｓｒ ｃｕ ｅ．Ｈｅ ｅ，ｔ ｅ ｔａｎ ｎ ａ ｄ ｉ ｅ ｔ ｙｎ ｒ ｄ ｏ ｒｍ ｅ ｒ ａ ｇ ｙ ｕ ｉ ｇ ＦＲＢ ｅ ｒ ｌ ｒ ｈ ｒｉ ｉ ｇ ｎ ｄ ｎ ｉ ｉｇ ａｅ ｍａ ｅ ｆｒ ｆａ ｗｏ ｋ ｄ ｍａ ｅ ｂ ｓｎ
识别 中 ， 关键 在 于对 指 标 可 行 性 的理 论 分 析 和 数值
模 拟过 程 。
［ ｛ ｝ Ｋ］ ｝ Ｍ］互 ＋［ ｛ ＝０ （） ２ 根 据结 构 动 力学 理 论 知 ， 征值 方 程 的解 为结 特
基于模态参数的结构损伤识别的方法讲解
基于信号处理的结构损伤识别方法
小波变换 HHT变换
非线性结构损伤识别方法
分形维数 Chaos（混沌）
关键问题
测试噪声及各种环境不确定性干扰 测试技术及仪器精度的制约
环境综合激励并非理想白噪声 测试自由度及模态不完备
土木工程结构的损伤识别问题目前没有真正的 解决
2%噪声
曲率模态法
3.0x10-10 2.5x10-10 2.0x10-10
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
1.5x10-10
1.0x10-10
5.0x10-11
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
传感器位置编号
5%噪声
3.4x10-10 3.2x10-10 3.0x10-10 2.8x10-10 2.6x10-10 2.4x10-10 2.2x10-10 2.0x10-10 1.8x10-10 1.6x10-10 1.4x10-10 1.2x10-10 1.0x10-10 8.0x10-11 6.0x10-11 4.0x10-11 2.0x10-11
T
2
uj dj
uTjuj dTjdj
j 1, 2, n
2）曲率模态法
Pandey等人提出，当得到损伤结构和完好结构的振型后， 每一个位置处的曲率便可以用中心差分法近似地得到：
'' ij
i1, j 2i, j i1, j
/ h2
''
3.0x10-10 2.8x10-10 2.6x10-10 2.4x10-10 2.2x10-10 2.0x10-10 1.8x10-10 1.6x10-10 1.4x10-10 1.2x10-10 1.0x10-10 8.0x10-11 6.0x10-11 4.0x10-11 2.0x10-11
基于模态应变能的桁架结构损伤识别研究
Ｐ ｎ ｕ ｉ ｕ ａ ｓ ａｎ ｉ ｇｌ ｎｇｕ ｈ ａ ｉ ｎ ｈ ｇ ｉ
建 筑 与 发 展
Ｊｏ ｉｎＺｈＵＹ ａＺ ＯＩ ＵＦ ｈ １ ・３ ・ ９
基于模态应变能的桁架结构损伤识别研究
郑小峰 张 斌 刘勇军
陕西 西安 ７ ０ ０ １１ ５ ０ ００ ３０１ ７ ００ １１５
【 ｙｗｏｄ 】 ｍｏ ａ ｓａｎｅ ｅｇ ｄｍａｅ ｏａｉｎ ｍｏ ａａ ａ ｓ Ｋｅ ｒｓ ｄｌｔ ｉ ｎｒｙ ａ ｇ ｃｔ ｒ ｌ ｏ ｄｌ ｎｌ ｉ ｙｓ
１ 述 概
结 构 损 伤 实 际 上 是 结 构 性 态 的 改 变 ， 结 构 损 伤 识 别 就 是 要 根 据 结
陕 西省 交通 建设 集 团公 司 陕 西省 交通 建 设 集 团公 司
【 摘
山 西省 电 力勘 测 设 计 研 究 院 山 西 太 原
陕 西 西 安
要 】 本文研 究 了 于模 态应 变能的结构损伤定位 法 ， 了 验该 法对桁 架结构的定位效 果 ， 基 为 检 利用Ａ Ｙ 软件分 别建立 了一个平面桁 架模 ＮＳ Ｓ
【 关键 词 】 模 态应 变能 损 伤定位
模 态分析
【 ｂｔａｔ ｔｉｐｐｒ ｔｄｅ ｔｅｍｅｈ ｄｏ ｒｃｕａｄｍａｅｐ ｓ ｉｎｎ ａｅ ｎｔｅｓ ｄ ｆ ｄｌｔａ ｎｒｙ Ｉ ｒｅ ｓｔｅ ｏｉｏ ｉｇｅ ｅｔ Ａ ｓ ｃ 】 ｈｓ ａｅ ｕ ｉｓｈ ｔｏ ｆｔ ｔｒ ａ ｇ ｏｉｏ ｉｇｂｓｄｏ ｕ ｙｏ ａｓ ｉ ｅ ｅｇ ．ｎｏｄ ｒｏｔ ｔｈ ｓｉｎｎ ｃ ｒ ｓ ｓ ｕ ｌ ｔ ｈ ｔ ｍｏ ｒ ｎ ｔ ｅ ｐ ｔ ｆ
ｌｃｔ ｎｆｒ ｉｇｅｄｍａ ｅ ｏ ｄｔ ｎ ｗｅｅ ｅｍｅｈ ｄｏ ｌ ａ ｅ ｓｄｔ ｏｉｏ ｉｈｒ ｎｕｙｓｖ ｒｙｃ ｎ ｉｏ ｓ ｏ ｅｍｕｔ ｌ ｄｍａｅ ｏ ｄｔ ｎ． ｏａｉ ｎ ｌ ａ ｇ ｎ ｉｏ ｓＨｏ ｖ ｒｈ ｔｏ ｎ ｃｎｂ ｅ ｏｐ ｓｉｎｈｇ ｅ ｊｒ ｅ ｔ ｏ ｄｔ ｎ ｒｈ ｌｐｅ ａ ｇ ｎ ｉｏ ｓ ｏ ｏｓ ｃ ｉ ｔ ｙ ｕ ｔ ｉ ｅ ｉ ｉ ｆ ｔ ｉ ｃ ｉ
桥梁结构损伤检测及安全性评估
桥梁结构损伤检测及安全性评估摘要：近年来，随着我国交通运输事业的发展，桥梁的重要性越来越大，其通行能力、承载能力和结构安全是交通正常运行的关键，但由于交通量的增大、重型汽车的增加以及人类或自然环境影响，我国现役桥梁劣化程度严重，桥梁结构损伤检测和安全评估成了桥梁功能和安全的重要保证。
本文介绍了目前国内外采用的桥梁结构损伤检测和安全性评估的主要方法，并总结了这些方法的使用现状和不足之处。
关键词：桥梁结构损伤检测安全性评估引言近年来，随着我国交通运输事业的发展，桥梁的重要性越来越大，其通行能力、承载能力和结构安全是交通正常运行的关键，但由于交通量的增大、重型汽车的增加以及人类或自然环境影响，我国现役桥梁劣化程度严重。
对桥梁结构损伤进行检测和安全性评估，及早发现桥梁结构上的缺隐或损伤，对于保证桥梁的安全运行有着极为重要的实际意义。
一、桥梁损伤检测技术现状为了掌握桥梁的技术状态，及时进行加固整修，确保桥梁运营安全，延长桥梁结构的使用寿命，防止交通安全事故的发生，目前全球各国都在积极开发桥梁结构损伤检测技术和安全性评估技术，包括振动测试法、冲击振动试验法、超场波检测法等多种桥梁结构损伤检测技术。
在具体应用中，对既有桥梁进行损伤检测和安全性评估时，主要采用静力评估法和动力评估法两种方法。
其中，静力评估法又称为荷载试验法，其基本思路是用等效于设计荷载的车辆荷载来对桥梁进行加载，以测量桥梁的应变和挠度等指标，同设计值进行比较，从而通过检验系数来对桥梁的状态进行评估。
动力评估法是利用振动检测技术对桥梁结构损伤进行检测的方法，其基本思路是对结构模态参数进行检测，从结构模态参数的改变来判定桥梁结构是否存在损伤，并利用结构破坏前后动力学特性的变化来诊断出结构的损伤。
总的来说，近年来在桥梁损伤检测和安全性评估方面的研究，已经取得了极大的发展，但依然存在众多问题，究其主要原因，一方面是因为桥梁结构的复杂性和材料的多样性，其各个部分的应力状态、动力特性、刚度等差异较大，用单一的动力特性变化指标很难评估桥梁结构的整体状态。
损伤识别
桥梁结构损伤识别研究综述摘要：首先阐述了桥梁结构损伤识别在桥梁结构中的重要性，介绍了国内外桥梁结构损伤识别研究现状，在此基础上，又介绍了用于桥梁结构的各种损伤识别方法和存在的问题，最后提出了桥梁结构损伤识别的发展方向。
关键词：损伤识别，桥梁结构，神经网络，曲率模态引言桥梁结构在长期使用过程中会发生各种损伤，导致桥梁结构的承载能力的降低，甚至会导致桥梁的倒塌，造成巨大的经济损失和人员伤亡。
为了保证桥梁的安全性，需要及时的发现桥梁结构存在的损伤情况。
目前，桥梁结构损伤识别已经成为国内外研究的热点。
1 国内外桥梁结构损伤识别研究现状损伤识别最早用在航天及机械领域并得到了广泛的研究，在健康监测引起普遍关注的同时被应用在桥梁领域。
鉴于桥梁所处环境的复杂性及结构特性的随机性，桥梁的损伤识别目前还没有一个统一的标准或准则参考，实际的应用也较少，但还是取得了一些成就。
自70年代以来，随着振动测试和分析技术的发展，国际上广泛开展了应用振动技术对机器设备与工程结构进行损伤识别和监测的研究。
近年来，国外学者在利用振动模态分析理论进行结构损伤识别方面开展了大量的研究工作，提出了各种各样的识别方法。
早期，主要是以Vandiver和Begg[9]等的研究工作为基础，根据模态频率的变化来探测桥梁结构的损伤。
Spyrakos[5]进行了一系列的桥梁模型试验，分别测试了模型梁在不同类型、位置和程度损伤条件下的低频自振特性，发现一定水平的损伤与结构动态特性有确定的相关性，但是仅用频率改变作为结构损伤因子是不充分的。
Aktan等则从结构静力柔度阵出发，根据桥梁载重汽车静力测试结果，通过对比观测模态柔度和静力测试柔度，评估了模态柔度作为损伤指针的可靠性。
除了这些较为零星的工作以外，美国通过I-40桥梁项目和Alamosa峡谷项目，对桥粱健康诊断中的结构损伤识别方法进行了系统的研究，试验结果表明振型关于结构损伤识别伤较为敏感。
Stubbs等[8]也对I-40桥进行了损伤识别的研究，利用振型曲率计算了结构局部应变能，通过应变能的改变来识别桥梁的损伤。
基于损伤应变模态的结构损伤识别直接指标法
标 ，包 括位 移模 态坐 标保 障准 则 和应 变 模 态 坐标 保 障准则 ； （ ）极 差 型 ，包 括结 构 损 伤前 后 的 固有 频 ｉ ｉ
度 ．常 用 的损伤 识别 指 标 主 要 有 两类 ｌ ： （）相 关 ＿ １ ］ ｉ 弱 化型 ，以损 伤 前 后 相 关 系 数 弱 化 为 损 伤 识 别 指
模 态 曲率指标 ：模 态 曲率 与 弯 曲刚 度 有 关 ，若
结构 出现 破损 ，则 破 损 处 刚 度 降低 ，位移 模 态 曲率
绝 对变化 量 指标 ：该 法 依 据损 伤 前 后 应 变 模 态 差 的绝 对 值 ［ １ ，按 “ 比大 小 ”原 则 进 行 ． ２ ０ ０ ０年
据损 伤前 后 柔度 差值 矩 阵可 确 定损 伤 位 置． 可 直 接 根 据对 角 元 素 大 小 判 别 损 伤 位 置 ，而 Ｐ ｎ ｅ ａ ｄ ｙ等口
则利 用 每列 绝对 最 大值 作 损 伤 判 据． 王 修 勇 等 采
用对 角 元素 相对 变化 量最 大者 定位 损伤 ．
度 直 接 指 标 法 ，只 需 利 用损 伤 后 应 变模 态 数 据 即 能定 位 损 伤 、确 定 损 伤 程 度． 推 导 了损 伤 应 变 模 态 差
分格式．建立 了损伤位置直接指标 、最优 多项式完好应 变模 态 曲线拟合 、损伤 程度直接 指标数 学模 型． 根据理论推导和数值 仿真统计分析 ，提 出损伤位 置判定准则 ：（ ）若某 点的每 阶指 标值均最 大，则该点 １
基于模态参数的悬臂梁损伤识别研究
ｒ Ｋ ＝∑ ： （ ） （ ）
， ｎ＝ ｌ
（ ５ ）
式中： 为总单 元数 。 进一 步化 简得
ｒ Ｊ １
Ａ ｗ ＝ｌ Ｌ Ｊ ∑ １ （ （ Ｄ ） ｑ （ ） Ｊ ｌ ／ （ ） （ ６ ）
式 中 ：． ， 为损 伤单 元数 。
基 于 模 态 参 数 的悬 臂梁 损 伤 识 别 研 究
郑 仲浪
福 建 省特 种设备 检验 研 究 院
摘
福州
３ ５ ０ ０ ０ ８
要 ：分析 了金属结 构损 伤对模 态参数 的影 响 ，运用 频率变 化平方 比 的方 法 ，对箱形悬 臂梁 的损伤进行
识别 。利用 Ａ ｎ ｓ ｙ ｓ 有 限元对该箱形梁进行仿真 ，及通过试验进行验证 ，表 明该方法 能较准确 的分析判 断出损 伤位 置和程度 。为推广 到起重机 的金 属结 构损 伤检测提供理论和试验基础 。 关键词 ：起重机 ；箱形悬臂梁 ；模态参数 ；仿 真 ；锤击 法试 验 中图分类 号 ：Ｔ Ｈ ２ １ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ １— ０ ７ ８ ５（ ２ ０ １ ４ ）０ ２— ０ ０ ６ ９— ０ ４
０ 引 言
起重 机 作 为 一 种 主要 的 装 卸 机 械 ，广 泛 应 用 于制 造加 工 、铁 路 交 通 、港 口码 头 等 场 所 。起 重
［ （ Ｋ＋Ａ Ｋ）一（ ＋ △ ） （ Ｍ＋ △ ） ］ （ ＋△ ）＝０
（ ２）
损 伤 的金属 结 构 刚度 发 生 变 化 ，而 质 量 未变 ， 即Ａ Ｍ＝ ０ ，将 上式展 开并 忽 略 ２阶项 可得
将 结构 的整 体 刚 度 阵 分 解 为 单 元 刚 度 阵 ，则
基于模态参数的工程结构损伤识别方法
Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓｄ ｍ ａ ｅｄ ｔｃ ｉ ｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｄ ｌ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ａ ｇ ｅ ｅ ｔ ａ ｅ ｎ ｍｏ ａ ｏ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓｉ ａ ｉ ｎ ａ ａ ｔ ｒｅ ｔ ｍ ｔｏ
ＺＨＯＵ ，Ｗ ＡＮＧ ｏ ｕ Ｙｉ Ｂａ —ｇ ｏ
少突然毁坏 的发生。
３温度监测技术 。正如人 的体温 可用于健康检查 ， ） 温 度参数 也常用于设备 的故障诊断 。其 中接触式测 温多用
于需要 连续监测或不 可观察 的部 位 ，非接触式测 温则多 用 于危 险部 位或不 易接近的部位 。
◆检 测 ・ 验 ・ 试
基于模 态参数 的工程结构 损伤识 别方法
周 毅， 王保 国
（ 西南 交通 大学 牵ｉ动 力国家重点 实验 室， ｌ 四川 成都 ６ ０ ３ ） １０ １ 摘 要： 介绍了结构故障 诊断的技术手段以及应用振动诊断进行结构损伤识别 的研究 现状 。应 用有限元程 序进 行模
ｆｎｅｉｎ ｕ ｔ ｏ
随着科技 的进 步 ， 现代 空问结构 正在 向着 大型化 、 复
故 障诊 断的手段 上来讲 ， 目前 已形成 以振 动测试技术 、 油 液分析技术 、温度监测技术 及无损探 伤技术等为 主要 手
结构损伤识别方法
结构损伤识别方法
结构损伤识别方法指的是通过对结构物的振动信号或传感器数据进行分析，以判断结构物是否存在损伤，并进一步定位和评估损伤的方法。
以下是常用的结构损伤识别方法：
1. 模态分析法：通过分析结构物的振动模态，包括固有频率、振型和阻尼比等信息，来识别结构物的损伤。
常用的方法有模态参数法和主成分分析法。
2. 频域分析法：通过对结构物的振动信号进行频谱分析，提取频率特征，从而识别结构物的损伤。
常用的方法有傅里叶变换、小波变换和谱峰提取等。
3. 时间域分析法：通过对结构物的振动信号进行时域分析，提取时域特征，如振动波形、包络谱等，来判断结构物的损伤。
常用的方法有时域统计分析和自相关函数等。
4. 缺陷成像法：通过将结构物分为多个小区域，对每个小区域的振动信号进行分析，构建损伤成像模型，从而实现对结构物损伤的定位和形状识别。
常用的方法有传递矩阵法和图像处理方法等。
5. 机器学习方法：通过利用机器学习算法对大量结构物振动数据进行训练和学习，建立结构物损伤模型，并通过对新的振动数据进行预测和识别，来判断结构物是否存在损伤。
常用的方法有支持向量机、神经网络和决策树等。
以上方法可以单独使用，也可以结合使用，提高结构损伤识别的准确性和可靠性。
具体选择哪种方法，取决于结构物的特点、可用数据和实际需求等因素。
基于模态参数的结构损伤定位研究
（． ｈｊａｇＯｃａ ｉｅｓ ｙ Ｚ ｏ ｓａ １ ０ ０ Ｚ ｅｉ ｇ Ｃ ｉａ １Ｚ ｅｉ ｅｎＵｎｖ ｒｉ ， ｈ ｕ ｈｎ３ ６ ０ ， ｈｊ ｎ ， ｈｎ ； ｎ ｔ ａ
２ Ｍａｉｅ ｎ ｉｅｒ ｇＩｓｉ ｔ，ｉ ｉ ｎｖ ｒｉ ， ａ ｎ３ １２ ， ｕｉ ， ｈｎ ） ． ｒ ｇｎ ｅｉ ｎｔｕｅ Ｊｍｅ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｘｉ ｎＥ ｎ ｔ ｔ ｍｅ ６ ０ １Ｆ ｊａ Ｃ ｉａ ｎ
ｌｃ ｔ ｎ ｏ ｒｃ ， ｎ ｈ ａ ｇ ｏ ａｉｎ ｉ ｉｅ ｔ ｃ ｔ ｎ Ｆ ｎ ｌ ，ｉ ｇｖｓｓ ｍｅａ ａｌｂｅａ ｖｃ ｎ ｏ ａｉ ｃａ ｋ ａ ｄ ｔｅｄ ｍａ ｅ ｌｃ ｔ ｓ ｄ ｎｉ ａｉ ． ｉａｌ ｔ ｉｅ ｏ ｖ ｉ ｌ ｄ ｉｅａ ｄ ｏ ｆ ｏ ｆ ｏ ｙ ａ
ｉｒ ｓ ｕ ｅｐｒ ｌ ｍ． ｒ ｅ ｏｌ ｂｌ ｏｂ ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ ｍｏ ａ ｎ ｌ ｉ＂ ｒ ｃ， ａ ｇ ｅ ｔ ｃ ｔ ｎ ｙｗｏ ｄ ： ｄ ｌ ａ ｓ ， ａ ｋ ｄ ｍａ ｅｉ ｎｉ ａｉ ａ ｙ ｓｃ ＂ ｄ ｆ ｏ
ｌ 引 言
重 大 的工 程 结构 如 ：飞机 、轮 船 、载 重汽 车 、 海 洋 平 台 、高 速列 车 等 在服 役 的过 程 中不 但 要 受 到设 计 载荷 的作 用而 且 还 受 到所 处 环境 如 温 差 、
ｖｂａｉｎ ａ ｄｆｎｔ ｅｅ ｎ ｔｏ ． ａ ｉｇ ａｓ ｏｈｓ ａｔ ｓａ ｘ ｍ ｌ， ａａ ａｅｏ ｒｃ ｕ ｄ ｄ ｉｒ ｔ ｎ ｉ ｌｍｅ ｔ ｈ ｄ Ｔ ｋｎ ｍｏ ｔ ｈｆ ａ ｎｅ ａ ｐ ｅ ｄ ｔｂ ｓ ｎｃａ ｋｉｆ ｎ ｅ ｏ ｉ ｅ ｍｅ ｓｏ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｓ‘ ｒ ａｉ ａ ｉｂｅ ｒｑ ｅ ｃ ｅ ｕ ｅ ｅ ｕ ｃｉｎｏ ｔ ｃｕａ ａ ａ ｅｌｃ ｌ ａｉｎｂ ｓｒ ｃ： ｑ ａｅ ｔ ｏ ｒ ｌｆｅ ｕ ｎｙｉ ｄ ｄ ｃ ｄａ ｔ ｆ ｎ ｔ ｒ ｔｒｌ ｍ ｇ ａｉ ｔ ｙ ｕ ｒ ｏ ｆｖ ａ ｓ ｓｈ ｏ ｆｓ ｕ ｄ ｏ ｚ ｏ
浅谈桥梁结构损伤诊断
浅谈桥梁结构损伤诊断1、基于模态分析得桥梁检测方法模态是结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
通常，模态分析都是试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
因此，模态分析是桥梁结构损伤识别和桥梁结构的故障诊断的重要方法，只要研究出了桥梁损伤前和损伤后的模态之间的区别便可以知道桥梁损伤，很多研究人员对模态分析在桥梁结构损伤中的应用做了相当大量的和有成效的工作。
目前得到广大研究者普遍认同的一种最有前途和有效的方法就是结合系统识别、振动理论、振动测试技术、信号处理、信号采集与分析等跨学科技术的试验模态分析方法。
2、基于神经网络的损伤识别神经网络损伤识别是以结构模拟发生的损伤训练为样本集合，根据当前状态下的结构损伤指标直接进行损伤诊断的方法。
神经网络法具有线性和非线性映射能力，同时还具备自组织、自适应的学习能力，神经网络法特有的容错能力使得其能代表诸多领域的未知模型系统。
在桥梁结构损伤识别系统中，神经网络法的最大优点是增强了环境振动条件下的数据信号处理能力，很好地解决了因环境噪声引起的桥梁动力参数损失或误差大的问题。
虽然人工神经网络具有很多优点，但是同时，使用人工神经网络进行损伤识别还有很长的路要走。
主要在模型误差、测量误差、测量数据完备、网络训练时长、训练所需样本量等方面做大量工作。
人工神经网络的方法的主要局限性在于训练数据集的获取，该法的识别的准确与否在很大程度上决定于训练数据集的完备程度和延续性。
3、基于小波分析的损伤识别小波分析具有多分辨率的特点，不管是在时域，还是在频域都有表征信号局部信息的能力，小波分析作为一种信号处理方法，在损伤检测与诊断中取得了很大的进展。
时频分析方法主要包括小波分析和小波包分析，近年又出现了Hilbert-Huang变换。
在国内，科研工作者利用小波奇异性理论对损伤结构的振动信号进行分析，判断结构发生损伤的时刻，并且给出了结构损伤的分类识别方法。
模态损伤识别实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景与目的随着现代工程结构的日益复杂化，对结构健康监测和损伤识别技术的要求越来越高。
模态损伤识别技术作为一种有效的结构健康监测手段，通过对结构振动模态参数的检测和分析，可以实现对结构损伤的快速定位和评估。
本实验旨在通过模态损伤识别技术，对钢筋混凝土梁进行损伤检测，验证该方法在实际工程中的应用价值。
二、实验材料与设备1. 实验材料：钢筋混凝土梁（尺寸：长×宽×高= 3m×0.2m×0.25m）2. 实验设备：- 动态信号分析仪：用于采集和记录结构振动信号- 传感器：加速度传感器，用于测量结构振动加速度- 位移传感器：用于测量结构振动位移- 信号调理器：用于放大和滤波信号- 数据采集卡：用于采集传感器信号三、实验方法与步骤1. 实验准备：- 将钢筋混凝土梁固定在实验台上，确保梁处于水平状态。
- 将加速度传感器和位移传感器分别安装在梁的两侧，并与动态信号分析仪和信号调理器连接。
- 调整传感器和信号调理器的参数，确保信号采集的准确性。
2. 结构振动信号采集：- 在梁的中部施加激励力，使梁产生振动。
- 利用动态信号分析仪采集梁的振动加速度和位移信号，记录振动信号的时间历程。
3. 模态分析：- 利用模态分析软件对采集到的振动信号进行处理，提取结构的模态参数，包括频率、阻尼比和振型等。
4. 损伤识别：- 根据结构的模态参数变化，利用损伤识别算法对梁的损伤进行定位和评估。
5. 实验结果分析：- 对实验结果进行分析，验证模态损伤识别技术的有效性。
四、实验结果与分析1. 实验结果：- 通过模态分析，得到了梁的频率、阻尼比和振型等模态参数。
- 根据损伤识别算法，成功定位了梁的损伤位置和损伤程度。
2. 实验分析：- 实验结果表明，模态损伤识别技术可以有效地对钢筋混凝土梁进行损伤检测。
- 损伤识别算法能够准确识别梁的损伤位置和损伤程度，为结构健康监测和维修提供了重要依据。
基于模态柔度相对变化量的结构损伤识别
（ ） Ｓ 分类模 型 ， ２ ＶＭ 通过测试样本检验 Ｓ 模型 的分类测试效果。 ＶＭ
（ ｚ ＋ｂ ≥１ ・ ） ～毫； ￡≥０ （ ＝１ ２ … ， ｉ ， ， ）
ｒ！
胁结构安全 的程度之前就能够 被检 测出来 ， 已经进行 了大量 的研
究 和探索 ， 于结构振 动 的损 伤识 别方 法就 是最 重要 的 一类方 基
ｆ ｘ）＝ ｓｎ ａ ｙ（ ｉ ） ｝ （ ｇ｛ ； ｉｘ 。 ＋６
ｉ ＝１
（） ５
其中 ， 和 ｂ ａ 均为确定最优分类 面的参数 。
ｉ ＝１ 。 ｉＪ：１ ．
（ ３ ）
（） ４
率的平方成反 比， 模态 试验 中只需获 得较低 阶模 态参数 ， 可较 就 好地估计结构柔度矩阵。 本文构造了模态柔度的相对变化量 Ｆ 作为损伤识别指标 ： （）
州 一
ａ ｉ＝０ ０≤ ｉ ｙ ，
（ ｉ＝ １２ … ， ） ，， Ｔ ／
最小 的 分类 面 就 叫最 优 分类 面 ，
Ｈ１Ｈ２ ， 上的样本 点即为支持 向量 （ｕ ｐｒ Ｖｅｔｒ［ Ｓ ｐ ｏｔ ｃｏ） 引。 如果数据 有噪声 ， 征空 间为线性 不可分 ， 特 样本 不能 被正 确 分类 ， 可引入松弛变量 ， 分类 函数满足 ：
・
２ ２ 建 立训练 样本 、 ． 测试样 本
利用 Ｌ ｇａｇ 优化方法将上述优化 问题转化为对偶 问题 ， ａｒｎ ｅ 即 ２ ３ 构造模 态柔度 的相 对 变化 量作 为损 伤识 别指 标 ． 在下列约束条件下求解 函数 的最大值 ： 由模态分析理论 可知 ， 模态参数对柔度矩 阵的贡献与 自振频
基于应变模态差的海洋平台构件的损伤识别
基于应变模态差的海洋平台构件的损伤识别研究*摘要：对于具有一定损伤的导管式海洋平台钢管梁来说，实验模态分析得到的位移模态和固有频率难以有效的反应结构损伤的实际状况，特别是对早期的轻微损伤。
为了提高损伤识别的效率和效果，根据海洋平台钢管梁架的受力特点，由节点位移模态推到出节点应变模态。
然后利用损伤前后的应变模态差作为损伤识别的指标。
将这个指标用在海洋平台钢梁构件焊缝和跨中单元的损伤识别上。
通过建立钢管梁焊缝损伤的ANSYS模型，进行数据模拟分析，该方法能够在低阶模态条件下，有效的识别早期的轻微损伤。
关键词:钢管梁应变模态焊缝损伤损伤识别Strain modal difference based damage identification studyAbstract:For steel-tube beam of jacket platform with certain degree of damage, it is difficult for the displacement modal and natural frequency, obtained by experimental modal analysis, to adequately capture the real structural damage conditions, especially for the minor damage encountered by beam early in its service life. To improve the precision and efficiency of damage identification, the present paper first derives nodal strain modal through its corresponding displacement modal, and then evaluates the strain modal, both prior and post damage. The difference between these two values is used as a criterion to assess the damage experienced by platform beam welds and mid-span elements. The formulated method has been demonstrated through ANSYS numerical modeling to be capable of effectively identifying the early low mode minor damage.Keywords: steel-tube beam; strain modal; weld damage; damage identification引言海洋平台结构复杂、造价昂贵、所处环境较为复杂，一旦发生结构损伤如果不能及时发现并维修，很可能引发生命、财产损失和环境污染。
基于振动模态分量的结构损伤定位方法
当结构存在损伤时 ， 会引起结构本身动力参数 以及模态参数的改变 ， 在物理状态空间中表现为刚 度下降， 柔度增大 ； 在模态状态空间中表现为固有频
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ６ — ２ ２
率下降， 阻尼比增大 ， 振动模态发生变化． 因此可 以 通过结构动态参数 变化对损伤做 出早期诊断． 基于 动态 特性 的结构 损 伤识 别 方法 的研 究 始于 ２ Ｏ世 纪
第３ ９ 卷 第５ 期
２ ０ １ ３年 １ Ｏ月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ５ Ｏｅ Ｌ ２ ０ １ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ１ ． ａｎ ｚ ｈ ｏ ｕＵｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
ａ ｇ ｅ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，Ｓ Ｏ ｓ ｅ ｎ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｄ ｅ ｇ ｒ ｅ ｅ ｏ ｆ ｄ ａ ｍａ ｇ ｅ ｗａ ｓ ｌ ｅ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｍｏ ｄ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｏ — ｎ ｅ ｎ ｔ ｗａ ｓ １ ａ ｒ ｇ ｅ ｒ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ａ ｍａ ｇ ｅ １ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ，
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传感器位置编号
传感器位置编号
40%损伤
60%损伤
曲率模态法
12测点
3.0x10 -10 2.8x10 -10 2.6x10 -10 2.4x10 -10 2.2x10 -10 2.0x10 -10 1.8x10 -10 1.6x10 -10 1.4x10 -10 1.2x10 -10 1.0x10 -11 8.0x10 -11 6.0x10 -11 4.0x10 -11 2.0x10 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.4x10 1.2x10 1.0x10 8.0x10 6.0x10 4.0x10 2.0x10
-10 -10
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无噪声 2%噪声 5%噪声 10%噪声 15%噪声 20%噪声
-11
-11
-11
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-11
-11
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
课程《结构损伤识别与健康监测》
第9章 基于模态参数的结构损 伤识别方法
哈尔滨工业大学土木工程学院 2013年6月27日
主要内容
• • • • 引言 损伤识别发展过程 基于模态参数的经典损伤识别方法 例子
9.1 引言
全世界重大工程结构倒塌事故时有发生
不包括地震，全世界：近40余座桥梁发生倒塌。
美国每年桥梁投资：90％桥梁维修，10％新建桥梁
j
u j
d j
d j
u j
是损伤前后的结构实测频率
如果测得结构的某几阶频率降低，可以判断结构发生了损伤， 这样简单直观，但是稳定性较差，容易受噪声和环境因素等影 响。因此可以结合概率统计的方法，观测一段时间内的频率变 化来判断是否损伤。
(2) 基于振型的损伤识别方法
1）模态置信度判据法（ Modal Assurance Criteria ）
0.0
7
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
传感器位置编号
传感器位置编号
传感器位置编号
10%噪声
15%噪声
20%噪声
曲率模态法
2.0x10 1.8x10 1.6x10 1.4x10 1.2x10 1.0x10 8.0x10 6.0x10 4.0x10 2.0x10
-11 -11 -11 -11 -11 -11 -12 -12 -12 -12
vi
j
'' i, j
3）柔度法
已知结构的固有频率 Λ 与振型
Φ
ΦT MΦ I Φ1 ΦT M
已知特征方程，
K Φ M ΦΛ
对特征方程两端右乘
Φ
1
N T T K MΦΛΦ M M iii M i 1
柔度矩阵是刚度矩阵的逆 K 1 F
1 再将式 K Φ M ΦΛ 右乘 Λ 得：
ΦΛ FMΦ
1
Φ Φ M
T
1
ΦΛ Φ M FM
T
1
F ΦΛ Φ
1 T i 1
N
1
2 i
i
T i
令结构损伤前后柔度矩阵为
F
u，
则损伤前后柔度矩阵的变化量为 F d
F F F
u
d
将 F 对角线元素标准化，可以用来作为损伤指标
结构是否安全？
9.2 结构损伤识别研究现状
基于自振频率的结构损伤识别方法 基于振型的结构损伤识别方法 模态置信度判据法（MAC, COMAC） 曲率模态法 柔度法 刚度法 β指标法 残余力向量法
基于传递函数（频响函数）的结构损伤识别方法
基于时间序列信号分析的结构损伤识别方法 AR模型
j 1, 2,
n
2）曲率模态法
Pandey等人提出，当得到损伤结构和完好结构的振型后， 每一个位置处的曲率便可以用中心差分法近似地得到：
i1, j 2i, j i1, j / h
'' ij
2
'' j '' d j '' u
j
对所取结构振型超过一个时，总的曲率差为各个模态曲率差的和
-10
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
7
8
传感器位置编号
传感器位置编号
传感器位置编号
无噪声
1.4x10 -10 1.3x10 -10 1.2x10 -10 1.1x10 -10 1.0x10 -11 9.0x10 -11 8.0x10 -11 7.0x10 -11 6.0x10 -11 5.0x10 -11 4.0x10 -11 3.0x10 -11 2.0x10 -11 1.0x10 0.0 1 2 3 4 5 6
Fj
F F
u jj
d jj
F
u jj
9.3 例子
损伤工况： 单元损伤分别为：10% ，20%，40%，60%
响应数据加噪声： 0、2%、5%、10%、15%、20%
Байду номын сангаас
测点布置方案
8 测点
12 测点
2.4 曲率模态法
振型的识别
8测点，无噪声
8测点，20%噪声
12测点，无噪声
12测点，20%噪声
-10
5%噪声
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
1.0x10 9.0x10 8.0x10 7.0x10 6.0x10 5.0x10 4.0x10 3.0x10 2.0x10 1.0x10
-10 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -11
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
-10
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
3.0x10 2.5x10 2.0x10 1.5x10 1.0x10 5.0x10
-10
-10
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
3.0x10 2.5x10 2.0x10 1.5x10 1.0x10 5.0x10
-10
-10
10%损伤 20%损伤 40%损伤 60%损伤
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.3x10 -10 1.2x10 -10 1.1x10 -10 1.0x10 -11 9.0x10 -11 8.0x10 -11 7.0x10 -11 6.0x10 -11 5.0x10 -11 4.0x10 -11 3.0x10 -11 2.0x10 -11 1.0x10 0.0 1 2 3 4 5 6
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
传感器位置编号
传感器位置编号
10%损伤
8.0x10 7.0x10 6.0x10 5.0x10 4.0x10 3.0x10 2.0x10 1.0x10
-11 -11 -11
20%损伤
无噪声 2%噪声 5%噪声 10%噪声 15%噪声 20%噪声
无噪声 2%噪声 5%噪声 10%噪声 15%噪声 20%噪声
4.5x10 4.0x10 3.5x10 3.0x10 2.5x10 2.0x10 1.5x10 1.0x10 5.0x10
-11 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -12
无噪声 2%噪声 5%噪声 10%噪声 15%噪声 20%噪声
美国近60万座桥梁：性能不足的占所有桥梁的28.6%
美国和日本等：经济腾飞时建造的桥梁性能衰退最快
我国：公路危桥为9597座，每年实需维修费38亿元
我国已建公路和 铁路总里程达到 423万公里和11 万公里，位居 世界第二!
公路桥梁69万座（世界第一）
铁路桥梁6.5万座（世界第一）
1999年 重庆綦江彩虹桥
（巴西P－36平台破坏，2001）
2000年台湾高屏大桥
2000年南门大桥事故
辽宁盘锦田庄台大桥 （2004年6月10日）
结构健康监测技术成为保障重大工程 安全的重要途径 结构损伤识别技术成为热点的研究课题
结构是否损伤? 结构损伤位置?
完整的损伤 识别过程
结构损伤类型? 结构损伤程度?
模态置信度判据法是利用模态置信判据进行损伤识别（如MAC、 COMAC）。其原理是：当损伤未发生时，模态置信度判据为1。 可一旦破坏发生，由于振型的变化，模态置信度判据不等于1。
MAC u j , d j
2 T uj dj T uj uj T dj dj
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-11
-11
0.0 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
传感器位置编号
传感器位置编号
传感器位置编号
无噪声
3.4x10 -10 3.2x10 -10 3.0x10 -10 2.8x10 -10 2.6x10 -10 2.4x10 -10 2.2x10 -10 2.0x10 -10 1.8x10 -10 1.6x10 -10 1.4x10 -10 1.2x10 -10 1.0x10 -11 8.0x10 -11 6.0x10 -11 4.0x10 -11 2.0x10 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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