数学实验之Pi的近似计算
第一课数学实验之Pi的近似计算
利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2019/12/4
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下：
在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关
于圆周率 的计算历程。通过对割
圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
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主要内容
一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
令yi f (xi )
Si
1 n
( yi1
4
y i
1
2
yi )
S
1 6n
[(
y0
n1
yn ) 2
i 1
yi
n
4
i 1
y i
1
]
2
2019/12/4
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利用级数计算Pi
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1)k
4 k 0 2k 1
2019/12/4
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圆周率的计算方法
圆周率的计算方法圆周率，通常用希腊字母π表示，是数学中一个重要的常数，它是一个无理数，其小数部分是无限不循环的。
圆周率的精确值是一个无限不循环小数，但是人们一直在尝试用各种方法来计算圆周率的近似值。
本文将介绍几种常见的圆周率计算方法。
首先，我们来介绍最简单的圆周率计算方法之一——蒙特卡洛方法。
这种方法通过随机模拟来估计圆周率的值。
具体做法是，我们在一个正方形内部画一个内切圆，然后随机向这个正方形内投掷大量的点，统计落在圆内的点的数量和总投掷的点的数量，通过这个比值可以估计出圆周率的近似值。
蒙特卡洛方法虽然简单，但是需要投掷大量的点才能得到较为准确的结果。
其次，我们介绍一种古老而经典的圆周率计算方法——利用圆的周长和直径的关系。
根据圆的定义，圆的周长C和直径D之间有着简单的关系，C=πD。
因此，我们可以通过测量圆的周长和直径，然后利用这个关系式来计算圆周率的近似值。
这种方法需要精确的测量工具和技术，但是可以得到较为准确的结果。
另外，还有一种基于级数展开的圆周率计算方法，即利用无穷级数来近似计算圆周率。
著名的数学家莱布尼兹和欧拉曾经提出了一些级数展开式来计算圆周率的近似值。
其中，莱布尼兹级数和欧拉级数是比较著名的。
这种方法需要对级数进行逐项相加，直到达到一定的精度为止，虽然计算过程复杂，但是可以得到较为精确的结果。
此外，还有一些其他的圆周率计算方法，比如基于连分数的计算方法、基于椭圆函数的计算方法等。
这些方法各有特点，适用于不同的场景和需求。
综上所述，圆周率的计算方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的计算方法来得到所需精度的圆周率近似值。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
π的计算方法范文
π的计算方法范文π是一个无理数，它的计算一直是数学界的一个重要问题。
本文将探讨几种计算π的方法，并分析它们的优缺点。
一：基于几何形状的计算方法之圆面积法圆面积法是最早被人们提出的计算π的方法。
它的思想是通过比较圆的面积和正方形的面积来估算π的值，具体步骤如下：1.画一个半径为R的圆心O，以O为中心画一个边长为2R的正方形。
2.计算圆的面积：S1=πR^23.计算正方形的面积：S2=(2R)^2=4R^24.比较S1和S2，得到π的近似值：π≈S1/S2=π/4这种方法的优点是简单易懂，可以通过纸和铅笔进行实际操作。
缺点是精度较低，仅能计算到几位小数。
二：基于无穷级数的计算方法之莱布尼茨级数莱布尼茨级数是一种无穷级数，可以用来计算π的近似值。
它的形式如下：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是可以通过计算机程序进行高效计算，精度较高。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
三：基于三角函数的计算方法之莫特隆公式莫特隆公式是一种基于三角函数的计算π的方法。
它的形式如下：π/4 = tan(1/2) + tan(1/2^2) + tan(1/2^3) + ...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
四：基于随机数的蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种随机抽样的统计方法，也可以用来计算π的近似值。
具体步骤如下：1.在一个正方形内部画一个半径为R的圆，圆心位于正方形中心。
2.随机在正方形内部生成N个点，统计落在圆内的点的数量M。
3.根据概率统计原理，有M/N≈π/4，可得π的近似值：π≈4M/N。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是计算复杂度较高，需要生成大量的随机数来增加计算精度。
综上所述，计算π的方法多种多样，每种方法都有其优点和缺点。
圆周率的近似计算
实验二π 的近似计算一.实验目的1.了解π 的计算历程2.理解和掌握近似计算π的数值积分法、蒙特卡罗（Monte Carlo ）法、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法等方法的原理和过程。
3.学习、掌握Mathematica 和MATLAB 的应用环境及其基本功能，通过一些练习掌握其基本的操作及相关命令。
二.实验内容1.运用数值积分法来近似计算π的值。
2.利用蒙特卡罗（Monte Carlo ）法来近似计算π的值。
3.利用韦达（VieTa ）公式近似计算π4.利用级数来近似计算π：（1） 莱布尼茨级数 ∑∞=+-=1212)1(4n nn π （2） 欧拉级数∑∞==12216n n π 和∑∞=+=022)12(18n n π 5.利用拉玛努金（Ranmaunujan ）公式来近似逼近计算π值n n n n n 396263901103)!()!4(980122104+=∑∞=π 三.实验准备及过程π 是人们经常使用的数字常数，对π的研究已经持续了2500多年，同时今天人们还在不断的探索研究进行中。
一般有以下几种近似计算方法。
1.数值积分法 半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π，只要计算出它的面积，计算出了π。
以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分是一个扇形，由曲线y= (x ∈[0,1])及两条坐标轴围成，它的面积S=π/4。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
（1）梯形公式设分点x 1,…,x n-1将积分区间[a,b]分成n 等份，即x i =a+i(b-a)/n,0≤i ≤n 所有的曲边梯形的宽度都是h=(b-a)/n 。
记y i =f(x i )。
则第i 个曲边梯形的面积S i 近似地等于梯形面积(y i-1+y i )h/2，将所有这些梯形的面积加起来就得到S ≈(b-a)[y 1+y 2+…+y n-1+(y 0+y n )/2]/n这就是梯形公式。
数学实验之Pi的近似计算
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迭代公式
迭代公式1： 1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的 迭代公式：y 2 1
0 4 z n 4 1 yn 1
1 zn yn 1 zn a0 6 4 2
2 an (1 yn ) 4 an 1 2 2 n 1 yn (1 yn yn )
t t sin t 2 cos( ) sin( ) 2 2 t t t 4 cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 4 t t t t 8 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 8 8
2019/3/9
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韦达（VieTa）公式
所以，对任意N，总有
sin t 2 N t N t sin( N ) cos( n ) t t 2 n 1 2 sin t t 令N , 有 ＝ cos( n ） n 1 t 2 2 取t , 得到 ＝ cos( n 1） 2 n 1 2
2019/3/9
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2019/3/9
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“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径 一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆 周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意 思为π≈sqrt(10)。 魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与直径之比，得 3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
5 2 y0 5( 5 2), cn (2 ) yn 1
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
计算pi
实验四你会用几种方法计算PI（圆周率）的值一、问题分析若想计算π的值，就要将跟π有关联的联系在一起，找到与π近似等价的式子，利用计算其值来得到π的值，还有对于含有π的面积、体积等关系式，可以尽量使用较规则的图形来代替进行面积、体积的求解。
二、模型建立2.1数值积分法找一个积分值等于π的定积分,则只要利用定积分计算出的值，就可以得到π的近似值。
2.2幂级数法利用arctanx的泰勒展开式，计算π的近似值。
当x=1时，arctan1=2.3迭代法1976年的迭代算法：2.4 随机模拟法（蒙特卡罗方法）用随机模拟求单位圆面积向单位正方形随机投n块小石头，n很大时小石头大致均匀第分布在正方形中，如果有k块落在单位圆内，单位圆面积的近似值三、解决问题所需的基本理论和方法(1)对于定积分,则只要计算出的值，就可以得到π的近似值,也就是计算出与直线y=0,x=0,x=1所围成的曲边梯形，而对于此类计算往往采用数值积分梯形公式计算。
梯形公式：将积分区间n等分将所有梯形面积加起来得到Trapz(x)：输出数组x，输出按梯形公式x的积分(单位步长)Trapz(x,y):计算y对x的梯形积分，其中x、y定义函数关系y=f(x)(2)利用arctanx的泰勒展开式，计算π的近似值。
函数taylor用于实现Taylor级数r=taylor(f,n,v),指定自变量v和阶数nr= taylor(f,n,v,a),指定自变量v、阶数n，计算f在a的级数(3)级数法由于利用arctanx的幂级数展开法的收敛较慢，可采用公式的计算来求pi值。
(4)特殊公式（BBP）四、设计算法、编程求解4.1数值积分法梯形公式Matlab代码：format longx=0:0.1:1; % x=0:0.01:1; x=0:0.02:1; x=0:0.001:1; x=0:0.0001:1;y=sqrt(1-x.^2);pi=4*trapz(x,y)4.2幂级数法Matlab代码：(1)format longsyms xf=atan(x);t= taylor(f,10,x,0); % t= taylor(f,100,x,0); t= taylor(f,500,x,0);t= taylor(f,1000,x,0); t= taylor(f,10000,x,0); x=1;pi=4*eval(t)(2)format longsyms xf=atan(x);t= taylor(f,10,x,0);x=1/5;s1=eval(t);x=1/239;s2=eval(t);pi=16*s1-4*s2当n=10时，pi =3.141592682404399format longa=1;b=1/sqrt(2);s=1/2;for n=1:1:10n,y=a;a=(a+b)/2;b=sqrt(b*y);c=a^2-b^2;s=s-2^n*c;pi=2*a^2/send4.4蒙特卡罗方法Matlab代码：format longs=0;n=10; % n=100; n=1000; n=10000; n=100000; n=1000000 for i=1:na=rand(1,2);if a(1)^2+a(2)^2<=1s=s+1;endendpi=4*s/n4.5 BBP公式format longsyms xy=1/16^x*(4/(8*x+1)-2/(8*x+4)-1/(8*x+5)-1/(8*x+6));s=0;for x=0:1:10s1=eval(y);x,s=s+s1end五、分析求解结果由上表可知，蒙特卡罗方法计算出的pi值与真实值的误差相差较大并且收敛速度很慢；对于级数法，但由于所选择的的级数方法、公式不同，得到的结果也就不同，收敛速度较慢，而的收敛速度就较快；数值积分法和迭代法准确度较高，但数值积分法的收敛速度没有迭代法快、精度高，所以一般情况下采用迭代法求近似值较准确。
实验六圆周率的近似计算
实验六圆周率的近似计算引言：圆周率是一个非常重要的数学常数，通常用希腊字母π表示。
它是数学中最重要的常数之一，用于计算圆的周长、面积以及球的体积等等。
在实际应用中，我们常常需要计算圆周率的近似值。
然而，圆周率是一个无理数，无法精确计算出其所有的位数。
因此，我们需要采用近似计算的方法来获得圆周率的近似值。
本实验将介绍几种常见的计算圆周率的近似方法，并进行比较和分析。
一、六边形逼近法这是一种用于计算圆周率的传统方法，其基本思想是通过一个内接正六边形来逼近圆的面积。
我们可以先构造一个内接圆，然后在该圆内画一个正六边形。
我们可以计算出正六边形的面积S1和内接圆的面积S2，然后通过比较两个面积的大小来近似计算圆周率。
具体的计算公式如下：正六边形的面积S1=（3*边长²*√3）/2内接圆的面积S2=圆的半径²*π通过比较S1和S2的大小，我们可以得到如下的逼近关系：S1<S2则3*边长²*√3/2<半径²*π则π>3*√3/2*边长²/半径²由于半径与边长都是常量，所以可以计算出π的一个上界和一个下界，从而得到π的近似值。
实验步骤：1.构造一个内接圆和一个正六边形。
2.计算正六边形的面积S1和内接圆的面积S23.比较S1和S2的大小，计算出π的上界和下界。
4.计算出π的近似值。
5.重复实验多次，计算出多个近似值，比较它们之间的差异。
二、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法，通过随机选择点的方式逼近圆的面积。
我们可以先构造一个外接正方形，然后在该正方形内部随机选择一些点，记录其中落在内接圆内的点的数量，从而估计出内接圆的面积。
具体的计算公式如下：正方形的面积=边长²内接圆的面积=π*（边长/2）²=π*(边长²/4)通过落在内接圆内的点的数量与总点数的比值，我们可以得到如下逼近关系：内接圆的面积/正方形的面积=π*(边长²/4)/边长²=π/4由此可得到π的近似值。
《圆周率的近似计算》课件
分析法时期
• 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 • 1593年，韦达给出
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
1989年，David 和 Gregory Chudnovsky 发表 了下面的公式
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
1 1 32 1 256 64 n 0 1024 4n 1 4n 3 10n 1
n
64 4 4 1 . 10n 3 10n 5 10n 7 10n 9
从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.
当区间划分为n(n>1)等分时
oaLeabharlann x1x2 x3x4
x5
b x
b a
n 1 n x k 1 x k h f ( x )dx S n ( f ( x0 ) 2 f ( xk ) f ( xn ) 4 f ( )) , 6 2 k 1 k 1 ba h , xk a kh k 0,1,2, , n n
在中国
• 祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论： • 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。
π的近似计算
实验报告课程名称：数学实验实验名称：π的近似计算实验目的、要求：1.了解圆周率π的计算历程。
2.了解计算π的割圆术、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法。
3.学习、掌握MATLAB 软件有关的命令。
实验仪器：安装有MA TLAB 软件的计算机实验步骤：一、 实验内容1．内容π是人们经常使用的数学常数，对π的研究已经持续了2500多年，今天，这种探索还在继续中。
1.割圆术。
2.韦达（VieTa ）公式。
3.利用级数计算π。
4.拉马努金（Ranmaunujan ）公式。
5.迭代方法。
6.π的两百位近似值。
计算π的近似值：2. 原理1、 刘徽的迭代公式1106.2 6.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n n x x s x x ++=--==2、利用韦达（VieTa ）公式22222222222...2222π++++++= 3、莱布尼茨级数 n 1(1)=421nn π∞=-+∑4、级数加速后的公式2121n 0n 011(1)1(1)116arctan 4arctan 164523921521239k k k k k k π∞∞++==--=-=⋅-⋅++∑∑5、拉马努金公式4n 0122(4)!110326396=9801396n n n π∞=+⋅∑（n!）二、实验结果练习1 用刘徽的迭代公式11 6.206.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n x x s x x ++=--==计算π的近似值。
相应的MA TLAB 代码为>>clear;>>x=1;>>for i=1:30>>x=vpa (sqrt(2-sqrt(4-x^2)),15)%计算精度为15位有效数字>>S=vpa(3*2^i*x,10)>>end计算可得x =.517638********* S =3.105828541x =.261052384440103 S =3.132628613 …练习题 1.1106.2 6.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n n x x s x x ++=--==,计算π的近似值,迭代50次，有效数字取为100位。
pi的计算 实验报告
Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
pi的计算
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
接着有多种表达式出现。如沃利斯1650 年给出：
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
执行下面的命令：
例2 求函数y sin x的Maclaurin展开式, 画图观察 分别用不同次数的泰勒 多项式近似代替函数 y sin x 的近似程度，并计算 sin 的近似值. 5
实验过程 执行下面的命令： syms x taylor(sin(x),3) taylor(sin(x),5) taylor(sin(x),7) taylor(sin(x),9) 执行得 ans =x, ans =x-1/6*x^3, ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5, ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7.
编写下面的程序: n=10; %选择展开式的次数 s=0; digits(22); %定义计算过程中的精度 for k=1:n s=s+4*(-1)^(k+1)/(2*k-1); end vpa(s,20) %定义显示精度为20位
4.圆周率的数值积分计算方法
如何计算π的值范文
如何计算π的值范文计算π的值一直是数学界的一个重要课题，人们一直在寻找更精确的方法来计算π的数字。
在过去的几千年里，人们采用了多种方法来计算π的值，下面介绍其中的三种主要方法。
1.阿基米德方法阿基米德是古希腊的一位数学家，他提出了一种被称为“圆周率近似”的方法来计算π的值。
他假设一个正多边形内切于一个圆，并且逐渐增加多边形的边数。
通过计算多边形的周长和直径的比值，可以逼近π的值。
这种方法的关键在于增加多边形的边数，使其更接近一个圆。
然而，由于手工计算的局限性，阿基米德的结果只能获得几个小数位的精确数字。
2.蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机数的估算技术。
通过在一个正方形内生成大量的随机点，并统计出落在一个内切圆内的点的数量，可以得到一个π的近似值。
随着随机点数量的增加，我们可以获得一个更加准确的估算值。
该方法的优点是简单易行，但是需要大量的计算，因此效率较低。
3.泰勒级数方法泰勒级数是一种近似计算函数值的方法。
对于一个函数，可以使用泰勒级数将其展开为一系列项的和。
π的计算可以采用反正切函数的泰勒级数展开来近似表示。
这种方法的优点在于精度高，可以通过增加级数中的项数来获得更准确的结果。
然而，由于级数求和的运算量较大，需要进行大量的计算。
除了以上的三种方法，现代计算机科学也提供了其他更精确的计算π的算法，如基于数值积分、迭代方法、数论方法等。
其中最著名的算法之一是贝尔内尔-斯皮格尔算法，该算法利用了复杂的数学原理和高级计算技术，使得计算机能够计算出数万亿位的π的值。
总结起来，计算π的值是一个复杂的数学问题，需要运用各种数学方法和计算技术。
为了获得更高精度的计算结果，科学家们一直在不断研究和探索新的计算方法。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法班级学号姓名众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。
古代人把3作为它的近似值。
π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。
割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π ＝3927/1250 ＝3.1416。
而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。
后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜π ＜ 3.1415927 ，得到π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。
以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
我们再回头看一下国外取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π 值，他的结果是：π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。
这是国外第一次打破祖冲之的记录。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。
他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。
实验六圆周率的近似计算
2011-7-7
π的历史－实验时期 的历史－
通过实验对π值进行估算， 的的第一阶段。 通过实验对 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这 值进行估算 值的估算基本上都是以观察或实验为根据， 种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基 于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 在古代世界， 这个数值。 在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于 这个数值 文字记载的有基督教《圣经》中的章节， 文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为 3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他 。这一段描述的事大约发生在公元前 年前后。 年前后 如巴比伦、印度、 等也长期使用3这个粗略而简单实 如巴比伦、印度、中国 等也长期使用3这个粗略而简单实 用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。 用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。 我国第一部《周髀算经》 就记载有圆“周三径一” 我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这 一结论。 木工师傅有两句从古流传下来的口诀： 一结论。在我 国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀： 叫做： 周三径一，方五斜七” 意思是说，直径为1的 叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为 的 周长大约是3，边长为5的正方形 对角线之长约为7。 的正方形， 圆，周长大约是 ，边长为 的正方形，对角线之长约为 。 这 正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取 为计算面积 的标准。后人称之为“古率” 的标准。后人称之为“古率”。
355 = 113
2011-7-7
7 2 + 9 2 +15 2 7 2 +82
PI的计算算法范文
PI的计算算法范文PI（圆周率）的计算是一个非常复杂的数学问题，历史上出现了许多不同的算法。
在本文中，我将介绍几种常见的PI计算算法。
1.级数法（无穷级数法）：级数法是最早也是最简单的一种计算PI的方法之一、其中最著名的方法是Leibniz公式和Nilakantha公式。
Leibniz公式：PI/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...Nilakantha公式：PI=3+(4/2*3*4)-(4/4*5*6)+(4/6*7*8)-(4/8*9*10)+...这些方法是通过计算一个无穷级数的和来近似求解PI。
2.蒙特卡罗方法：蒙特卡罗方法是一种通过随机采样和统计分析得到数值结果的方法。
对于PI的计算，可以随机在一个单位正方形内生成大量的点，然后统计落入一个单位圆内的点的比例。
通过重复实验，可以得到越来越精确的PI的估计值。
3. 高斯-勒让德算法（Gauss-Legendre algorithm）：高斯-勒让德算法是一种通过计算一系列递推公式来求解PI的方法。
该算法需要逐步逼近PI的值，通过反复迭代，精度可以不断提高。
这个算法的基本思想是利用一个递推过程求得下一次迭代的估计值，直到满足所需精度为止。
4.连分数法：连分数法是通过逐步计算连分数（Continued Fraction）的形式来求解PI的方法。
连分数是一种可以无穷逼近一个实数的表示方式。
连分数法通常需要计算无数的连分数项来逼近PI，每增加一项，逼近结果的精度就会提高。
这些是一些比较常见的PI计算算法，每种算法都有自己的特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据需求和计算资源的限制选择最合适的算法来求解PI的近似值。
Pi的近似计算
2011—2012学年第3学期合肥学院卓越工程师班实验报告课程名称：工程应用数学B实验名称：π的近似计算实验类别：设计性□学号： 1105011006 姓名：赵静专业班级： 11级自动化卓越版实验时间： 2012年10月6日指导教师：王贵霞成 绩：一. 实验目的通过级数、Matlab 等方法计算π的近似值，熟悉级数的应用以及回顾Matlab 的知识。
二. 实验内容使用多种方第一种：利用⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx xx x f 00)(的Fourier 级数计算。
第二种：利用Matlab 近似求π，在Matlab 界面中打出代码。
第三种：利用C 语言近似求π。
三. 实验步骤（具体实施过程）1、设⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 00)( 将)(x f 展成Fourier 级数，利用特殊值近似计算π。
2、通过上网查资料等方式获取Matlab 代码。
3、利用以下公式编写程序近似求π。
)12(53219753432175332153213112+⨯⋯⋯⨯⨯⨯⋯⋯⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++=n nπ四．实验程序（经调试后正确的源程序）1、意见)(x f 满足Dirichlet 条件 ππππ21)1(cos )(1n nxdx x f a n n --==⎰-n nxdx x f b n n 1)1(sin )(1+--==⎰πππ4)(10ππππ==⎰-dx x f a故⎩⎨⎧<≤<≤-=-+--+=+++∞=∞=∑∑ππππx x x nx n nx n nx b nx a a n n n n n n 000]sin )1(cos 1)1([4)sin cos (211210当0=x 时，041)1(12=+--∑∞=n n n ππ 即∑∞=-=--12241)1(n n n π将其展开可得 472523222222π-=⋯⋯+-+-+-+-2、利用Matlab 求π近似值代码如下： >> a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;for i=2:6a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));b(i)=3*2^(i-2)*a(i);c(i)=2*b(i)-b(i-1);endn=[3,6,12,24,48,96];size(b)result=[n;a;b;c]3、程序代码如下：五．实验结果（列举2-3个）1、由上知：)7252322(42222⋯⋯++++=π 所以当1=n 时，8284271247.2≈π 当3=n 时，98142397.2≈π 当5=n 时，0346151137.3≈π 当7=n 时，0613974251.3≈π…… ……2、Matlab 运行结果如下： ans =1 6 result =3.0000 6.0000 12.0000 24.0000 48.0000 96.0000 1.7321 1.0000 0.5176 0.2611 0.1308 0.0654 2.5981 3.0000 3.1058 3.1326 3.1394 3.1410 0 3.4019 3.2117 3.1594 3.1461 3.1427六．实验总结（围绕心得体会、创新之处、改进方案等方面）七．教师评语教师签名：2012 年10 月6 日。
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t t sin t 2 cos( ) sin( ) 2 2 t t t 4 cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 4 t t t t 8 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 8 8
2018/10/14
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韦达（VieTa）公式
2018/10/14
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利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数 对泰勒级数
(1) k x 2 k 1 arct anx 2k 1 k 0 取x＝1时，可得
(1) k ＝ 4 k 0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速 度极慢，必须考虑加速算法。
2018/10/14
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利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级 数收敛越快。由此可以考虑令
1 1 x tanα , arctan 5 5 2 tan 2x 5 tan 2 2 2 1 tan 1 x 12 2 tan 2 120 tan 4 1 2 1 tan 2 119
2018/10/14
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“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这 是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重 要的“刘徽不等式”。 设单位圆内接正n边形的边长为an，圆内接正 n边形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递 推公式：
a2n1 2 4 a2n
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关 于圆周率 的计算历程。通过对割 圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
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主要内容
5 2 y0 5( 5 2), cn (2 ) yn 1
5 3 dn ( 1), en d n ( (7 cn ) 2 3d n 7 cn ) yn 1 yn yn 1 (1 d n 5 25 , a0 1 / 2 2 2 / en 5 2 / en )
2018/10/14
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利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
tan 4 1 1 tan 1 tan 4 239 1 1 16 4 16 arctan 4 arctan 5 239 (1) k 1 (1) k 1 16 4 2 k 1 2 k 1 2 k 1 5 2 k 1 239 k 0 k 0
一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
实验指导
π是使人们最经常使用的 数学常数。人们对π的研究已经 持续了2500 多年。在今天，这种 探索还在继续……
2018/10/14
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数值积分法计算Pi
2、辛普森（Simpson）公式
令yi f ( xi ) 1 S i ( yi 1 4 y 1 yi ) i n 2 1 S [( y0 yn ) 2 yi 4 y 1 ] i 6n i 1 i 1 2
2018/10/14
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设 其中有m个点落在单位扇形内。则
2018/10/14
m S1 4m , n S 4 n
随机投点如何来实现？
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蒲丰（Buffon）掷针实验
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随 机掷针实验。其步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画出许多间 距为d的等距平行线。 （2）取一根长度为 l (l d ) 的均匀直 针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一 共掷n次。观察针和直线相交的次数m。
2018/10/14
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利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2018/10/14
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下： 在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
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韦达（VieTa）公式
2、从cos(pi/4)开始
2 cos( ) 4 2
cos( ) 8
cos
4 2
1
2 1 2 2
2 2 2
2018/10/14
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韦达（VieTa）公式
3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
思考： 如何利用韦达公式构造 出一种迭代算法？
2018/10/14
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蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的 2l 概率为 p ，取m/n为p的近似值， d 则
d 特别取针的长度 l 2 时，π=n/m。
2nl md
2018/10/14
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拉马努金（Ramanujan)公式
2018/10/14
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韦达（VieTa）公式
1593年，韦达首次给出了计算Pi的 精确表达式：
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
韦达公式看起来有些神秘，其实它 的导出过程所用的都是朴实简洁的数学 方法。
2018/10/14
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韦达（VieTa）公式
1、从sint开始
目前，计算pi的一个极其有效的公式为
2 2 (4n)! 1103 26390 n 4 4n 9801n0 (n!) 396 1
这个级数收敛得非常快，级数每增加 一项，可提高大约8位小数的精度。
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拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这 个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数 学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
2018/10/14
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迭代公式
迭代公式1： 1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的 迭代公式：y 2 1
0 4 z n 4 1 yn 1
1 zn yn 1 zn a0 6 4 2
2 an (1 yn ) 4 an 1 2 2 n 1 yn (1 yn yn )
r (n) 4
k 0
2k 1
2n 1
计算一下要精确到Pi的200位小数需要取 级数的多少项？
2018/10/14
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利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现） 2 1
6
2 k k 1
2
1 8 k 0 (2k 1) 2
这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实 用价值不大。
2018/10/14
2
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“割之弥细，失之弥少，割之又 割，则与圆合体而无所失矣。”
面积与边长有如下关系：
S6( n1) 2 4 a6 n
2
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S2n S 2S2n Sn
2018/10/14
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刘徽不等式
2018/10/14
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迭代公式
迭代误差可以由下式估计
n 1 n 2 4 164 e an
迭代4次可精确到693位小数！8次后可以 保证精确到小数点178814位！！！
2018/10/14
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迭代公式
迭代公式2： 1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：
2018/10/14
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刘徽不等式
ans = 3.0000 6.0000 12.0000 24.0000 48.0000 96.0000
1.7321 1.0000 0.5176 0.2611 0.1308 0.0654
2.5981 3.0000 3.1058 3.1326 3.1394 3.1410
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数值积分法计算Pi
定积分
4 dx 2 1 x 0
计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
1
2018/10/14
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数值积分法计算Pi
1、梯形公式
将积分区间 n 等分 x i i/ n,i 0,1, , n 将所有梯形面积加起来得到 1 n 1 f(x i ) f(x i 1 ) S n i 0 2
0 3.4019 3.2117 3.1594 3.1461 3.1427