圆度,圆柱度及球度的测量及评价方法讲解

圆度
一． 基本概念
1. 圆要素几何特征
中心：横向截面与回转表面的轴线相交的交点； 半径：圆要素上各点至该中心的距离。

圆要素是一封闭曲线，其向量半径R 与相位角θ具有函数关系，即：()R F θ=
按傅里叶级数展开后，有：
()
001
cos m
k k R k k a c θθ==++∑
2. 圆度及圆度误差
圆度：回转表面的横向截面轮廓（圆要素）的形状精度;
圆度误差：表示实际圆要素精度的技术参数，即实际圆要素对理想圆的变动量。

3. 圆度误差评定原则
按形状误差评定原则，评定圆度误差时，应根据实际圆要素确定最小包容区域。

圆度误差的最小包容区域与圆度公差带的形状一致，由两同心圆构成，当实际圆要素被两同心圆紧紧包容，即两同心圆的半径差为最小值时，即为最小包容区域。

4. 圆度检测原则
① 与理想要素比较原则：理想要素由测量器具模拟体现理想圆。

在实际圆要素上获
得的信息，通常是实际要素的半径变化量，根据获得的半径变化量再评定圆度误差。

② 测量坐标值原则：对实际圆要素应用坐标测量系统对其采样点测取坐标值，由测
得的坐标值经过计算，求得圆度误差值。

③ 测量特征参数原则：根据实际圆要素的具体特征，采用能反映实际要素几何特征
的手段进行测量，从而方便的获得圆度误差值。

二． 圆度测量方法
1. 半径测量法
半径测量法是确定被测圆要素半径变化量的方法，是根据“与理想要素比较原则”拟定的一种检测方案。

① 仪器类型和工作原理（加备注解释）
下图分别为转轴式圆度仪和转台式圆度仪
圆度仪可运用测得信号的输出特性，将被测轮廓的半径变化量放大后同步自动记录下来，获得轮廓误差的放大图形，可按放大图形评定圆度误差。

② 用圆度仪测量注意事项（加备注择项解释）
选择适当的侧头类型；静态测量力选择；测量平面和测量方向确定；频率响应选择；选择适当的放大倍率；正确安装被测件，径向偏心和轴向倾斜；主轴误差的影响
2. 坐标测量法
坐标测量法是根据测量坐标值原则提出的一种检测方案。

将被测零件放置在设定的坐标系中，用相应的测量器具，测取被测零件横向截面轮廓上各点的坐标值，然后按要求，用相应的方法来评定圆度误差值。

⑴极坐标测量法
在极坐标系中测量圆度，需要有精密回转轴系的分度装置，分度台或分度头。

测量前，按需要对被测轮廓拟定适量的采样点数。

测量时，将被测零件安装到测量装置上，适当地调整安装位置，避免过大的径向偏心，用具有固定位置的指示器，对各采样点逐一进行采样，取得的示值反映了各采样点处的半径变化量R ∆。

被测横向截面轮廓的极坐标值为
()
,i
i
i
M R θ∆。

这些极坐标值时评定圆度误差的原始数据，由原始数据，
可以在极坐标系中描述出经放大后的被测轮廓误差曲线。

最后可由图解法或计算法求得圆度误差值。

⑵直角坐标测量法
应用直角坐标测量装置
(
)
,i
i i
y
x M
，对被测轮廓上的采样点测取直角坐标。

各采样点至理想圆圆心的距离用下式求得
()
()
2
2
00i i i y y x x R +
--1,2,
,.i n =
被测轮廓的圆度误差值，就是
R中的最大值与最小值之差。

i
3.两点测量法
①测量装置
两点测量装置是由在同一直线上的一个固定支承
和一个可移动侧头构成。

左图所示为分别对外表面
和内表面进行两点法测量。

在被测零件回转一周中
取指示器的最大示值与最小示值之差，作为评定圆
度误差的原始数据。

②测量原理
两点测量也称直径测量。

测量圆柱面的圆度时，该法是在垂直与被测圆柱面轴线的测量平面内，按多个方向测量直径的变化情况。

下图a,b是接触式测量。

两点测量的特点是只能反映被测轮廓具有偶数棱的圆度误差。

当已知被测轮廓具有偶数棱后，设由该法在不同方向上测得的直径最大差为∆，则圆度误差值f用下式求
f=∆即圆度误差值时被测轮廓直径最大差之半。

得：/2
4.三点测量法
①测量装置
三点测量装置由两个固定支承和一个可沿测量方向移动的侧头构成。

三点测量装置分为顶式和鞍式两类。

顶式装置还可分为对称式和非对称式两种。

下图分别为顶式对称装置，顶式非对称装置，鞍式装置。

在三点测量装置上测量圆度时，被测零件回转一周中以指示器的最大示值与最小示值之差作为评定圆度误差的原始数据。

测量时，被测零件在两固定测量支承上，回转一周中取指示器示值的最大差∆，
被测轮廓的圆度误差值
f
为：
/f F =∆,
其中：F ——对应于所用测量装置的反映系数
5. 两点，三点组合测量法
一般情况下，测量前被测轮廓的棱数常为未知，故确定反映系数F 就有困难，为了能够在未知棱数的情况下，真实地反映圆度误差，采用两点法和三点法测量装置进行组合测量，能够获得良好效果。

用两点，三点法进行组合测量，可有三种方案：一个两点和两个三点法组合；一个两点和一个三点法组合；两个三点法组合。

目前，常用的测量方案有四种典型组合及七种标准组合。

6. 双侧头四点测量法
①测量装置
双侧头四点测量法是前述三点测量法的改进。

如下图所示：
测量装置的固定支承用V 形座体现，在原来的顶式三点非对称测量装置的基础上增设了一个指示器，成为一种双测头四点接触式的测量装置，对于被测轮廓棱数未知时，用该法测量，要比前述的两点，三点组合测量法更为简便，同时具有较高的测量精度。

②测量原理
将被测零件放在固定支承V 形座上，当被测轮
廓存在形状误差时，零件在V 形座上回转，两个指示器的示值将会发生变化。

设在某一测量
位置上指示器A 的示值为
Ai
M
;指示器B 的示值为
Bi
M
,将
Ai
M
和
Bi
M
相加得
i
M
，即
i
Ai
Bi M M
M =+
在零件回转一周中，取i
M
中的最大值
max
M
和最小值
min
M
，并求得最大值与最小值
之差∆，即：max
min M
M ∆=
-
于是，被测轮廓的圆度误差值f 用下式计算：/f F =∆
其中：F ——对应于所用测量装置的反映系数
7. 三测头测量法
三测头测量法是指测量零件的圆度误差时，在垂直于零件轴线的同一测量平面内，按相互间具有某种定角，安装三个传感器对被测轮廓同时进行测量的一种方法。

三测点法可以分离测量装置回转轴系的回转误差，具有较高的测量精度，测量装置简单，且可直接利用几场的回转轴系进行在线测量等特点，它也为大型零件的圆度测量创造了条件。

① 测量装置
测量装置由基座，回转轴系，载物工作台，测量传感器和信息处理系统组成。

在线测量时，测量装置的基座和回转轴系部分可直接利用机床的相应部分代替，使
测量装置大为简化。

② 测量原理
将三个传感器安装在同一测量平面内，传感器间的相互位置，按一定的位置角确定，测量方向为被测轮廓的半径方向。

如下图所示：
图a 为测量外表面的圆度；图b 为测量内表面的圆度。

O 为被测轮廓中心，'O 为
测量时的回转中心；A,B,C
表示三个传感器；
AB
ϕ,
BC
ϕ
分别表示传感器A 与B ，B 与C 之间的位置角；θ为起始位置角；ω为
回转中心起始位置角。

三测点法测量圆度的测量方程为
()()(
)()
23
AB
AB
BC
S r r r c c θθθθϕ
ϕϕ=+++++
该测量方程可用离散傅里叶变换，矩阵平差及从泛函分析得出广义逆矩阵等方
法，求得轮廓各采样点的半径变化量r
∆
，即：
1
r S A
-=∆∆
其中，
1
A
-为测量方程系数矩阵A 的逆矩阵；S ∆为三个传感器的合成信号。

上
述计算过程十分繁琐，需用计算机编成计算。

8. 三点循环联系测量法
① 测量装置
三点循环联系测量法的装置分为手动式测量装置和自动式测量装置。

手动式装置又分为定跨距式和变跨距式；自动式装置由检测装置，控制系统和运算系统组成。

② 工作原理 如下图所示：
测量装置的两固定测头与指示器的测头，同时与被测轮廓成三点接触，这三个点就决定了一个具有一定半径的参考圆。

接着将测量装置移动至下一个测量位置，若指示器的示值变化，则说
明第四点相对于参考圆存在半径变化。

指示器的示值为h ∆，采样点的半径变化量为
i
R ∆,由测得的数据，利用计算机可得圆度误差。

三．圆度误差评定
1. 最小区域法
⑴圆度的最小包容区域
最小包容区域：由两同心圆包容实际轮廓时，具有半径差为最小的两同心圆构成的区域。

圆度误差值
f
：两同心圆间的半径差。

具备最小包容区域的条件：当两同心圆包容实际轮廓且与之接触时，必须至少具有内外相间四个接触点。

如左图所示：（做
适当解释）
⑵求解方法
① 模拟最小区域法
当被测轮廓在测量中已被记录下轮廓的误差图形时，用一刻有一系列等间距的同心圆的透明膜版，用这些同心圆去套切记录的轮廓误差图像，寻找两同心圆模拟最小区域。

当找到了某两同心圆包容区域误差的图像并形成内外相间四点接触时，该两同心圆间的宽度，即为所求的圆度误差值。

② 作图法
先按测得的轮廓误差的坐标值，用适当倍率放大，描出各采样点在坐标系中的位置，然后按各采样点实际分布情况，通过作图找到最小区域圆的圆心，最后在图上直接量得圆度误差。

③ 计算法
常用方法为逐步逼近法。

在被测轮廓中央任找一点O ,计算轮廓上各采样点至点O
的距离
i
R
,在其中找出最大值，次大值与最小值，次小值所对应的四个采样点，判
断该四点是否符合内外相间构成最小区域的条件，若不满足则重新选定次大值与次小值之点。

若以满足，则分别求出最大值与次大值，最小值与次小值两条连线的垂直平分线，并求得垂直平分线的交点
'
O
，计算各采样点至改点的距离R ，检查R 中
的最大值与最小值是否是以上选定的内外相间的四点处的半径。

若否，则重新选定四点，若是，则圆度误差值f 为最大值与最小值之差。

2. 最小二乘方圆法
最小二乘方圆：当被测轮廓上各点至某一圆的距离平方和为最小时，该圆即为最小二乘方圆。

如图所示：
最小二乘方圆的确定：被测轮廓上各采样点用
i
P
表示，其直角坐标值为
(),i
i
i
y x
P ，极坐标值为
()
,i
i
i
P r θ，最小二乘圆的圆心为
()
'
,a b O 。

由计算可得/i
R n
r
=
∑，2
/i
a n x
=∑，2/i
b n y =∑。

即最小二乘圆的半径
为轮廓向量半径的平均值，最小二乘圆的圆心坐标分别为采样点各坐标值的平均值的两倍。

则各采样点对最小二乘圆的偏离量按下式计算：
()
cos sin i i i i R a b R r θθ∆=-++
i
R ∆中的最大值，即为圆度误差值。

3. 最小外接圆法
最小外接圆：与实际轮廓外接，且半径为最小的圆，
该圆要满足两点接触（两点连线过直径）或三点接触（三点构成的三角形为锐角三角形）。

圆度误差值：轮廓上各采样点相对于最小外接圆的径向偏离量中的最大偏离量。

求圆度误差的方法有模拟最小外接圆法，作图法和计算法。

4. 最大内接圆法
最大内接圆：内切于实际轮廓，且半径为最大的圆，该圆要满
足两点接触（两点连线过直径）或三点接触（三点构成的三角形
为锐角三角形）。

以上介绍的四种圆度误差评定方法中，最小区域法是符合圆度误差定义的一种评定方法，所评定的圆度误差值最小，且有唯一性。

另外三种方法也是在圆度测量标准中规定允许采用的评定法，由它们评定的圆度误差值，一般略大于按最小区域法评定的结果。

圆柱度
一． 基本概念
1. 圆柱面要素几何特征
半径：圆柱面要素至轴线的距离； 圆柱面要素的形状，用函数表示为
(),R F z θ=
2. 圆柱度误差
圆柱度误差：实际圆柱面要素对其理想圆柱面的变动量，分解为横向截面内的圆要素误差，轴向截面内直线要素的误差以及相应直线要素之间的平行度误差。

3. 圆柱度误差评定原则
该原则与圆度误差评定原则相同
4.圆柱度检测原则
该原则与圆度检测原则相同
二．圆柱度测量方法
1.半径测量法
在测量时，以测头相对于被测圆柱面移动的轨迹，模拟理想圆柱面。

半径变化量即是实际圆柱面上的采样点相对于理想圆柱面的偏离量。

⑴测量截面布置
为测量和数据处理上的需要，应对被测表面布置测量截面，再沿测量截面与被测表面的交线布量适当数量的采样点。

测量截面有三种类型：横向截面，螺旋形截面，横向与螺旋形截面相结合。

如下图：
⑵测量装置
①圆柱度仪
该仪器具有一个精密的回转轴系和一个平行于
回转轴线的直线导向件联合构成。

通过测量获得被
测圆柱面上的一系列径向变化量，据此可进一步评
定圆柱度误差值。

②圆度仪
用圆度仪测量圆柱度，因受仪器功能的限制，故测量全过程不能连续进行，应布置横向测量截面进行测量
2.坐标测量法
⑴直角坐标测量法
对被测圆柱面拟定若干等间距横向测量截面，并由坐标Z确定各测量截面的位置，在各测量截面内拟定一定数量的采样点，逐点进行测量。

⑵圆柱坐标测量法
测量时，需要有一个回转分度装
置。

用分度装置指示被测零件
在测量中回转的角度，直线导向刻度装置体现轴线方向和指示测量截面的位置，由指示器指示被测轮廓的径向变化量。

3.两点测量法
两点测量法采用L形座测量装置，如下图：
测量时，被测零件安放在L形座上，并靠紧其垂直面。

拟定若干个横向测量截面后，用指示器在横向测量截面内进行测量，取测量全过程中指示器所指示的最大示值与最小示值差之半为圆柱度误差值。

3.三点测量法
采用V形座测量装置，如下图：
测量时，运用具有不同夹角
的两个V形座进行组合测量。

拟
定若干个横向测量截面后，用指
示器在横向测量截面内进行测
量，取测量全过程中指示器所指
示的最大示值与最小示值差之
半为圆柱度误差值。

因在两个不
同夹角的V形座上分别进行测
量，故取两者中数值较大者为最
终圆柱度误差值。

4.分解测量法
⑴外表面分解测量法
①分项测量
有两种方案，其一为在若干横向截面内测量圆度误差，同时分解出素线对轴的平
行度误差；其二，在横向截面内测量圆度误差，并在轴向截面内测量素线对轴线
的平行误差，按某一横向测量截面，当被测零件在V形座上回转时找出该截面轮
廓的最高点，过最高点的轴向截面内布点采样，对各采样点处测得的示值中取最
小示值为最低点。

②叠加评定圆柱度误差
由被测零件上的最小直径处的圆度误差值和素线对轴线的平行度误差值经叠加
后即为被测圆柱面的圆柱度误差。

⑵内表面分解测量法
①分项测量
a.测量素线平行度
用三点式测量装置在某一横向截面内找出轮廓的最高点，并使其位于上方，在过最高点的轴向截面内用指示器与上方素线上布点采样，指示器示值中最大值与最小值之差即为素线对轴线的平行度误差。

b.测量圆度误差
在过上述测量最低点的横向截面内，用三点式测量装置测量轮廓的圆度误差。

② 叠加评定圆柱度误差
圆柱度误差为被测内表面最小直径处的圆度误差值以及素线对轴线的平行度误差值两者叠加而得。

三．
圆柱度误差评定
1. 最小区域法
⑴最小包容区域
由两同轴理想圆柱面包容实际圆柱面时,具有半径差为最小的两同轴圆面构成的区域.两圆柱面的径向距离即为半径差,为实际圆柱面的圆柱度误差值. ⑵圆柱度误差求解方法 ① 轮廓重叠法
测量时,将测量截面内的轮廓误差放大后描绘出的图像记录在一张记录纸上,同时,假设最小区域的两同轴援助包容面也投影在该平面上当符合内外相间四点接触时两包容圆的径向距离,即为被侧圆柱面的圆柱度误差值. ② 计算法
通常采用逐步逼近法,经多次计算后得以实现.过程繁琐,使用计算机计算.
2. 最小外接圆柱法
⑴最小外接圆柱
在实际被测圆柱面外,与其相接触且直径为最小的理想圆柱面.以实际圆柱面至最小外接圆柱的径向最大偏离量为圆柱度误差值. ⑵圆柱度误差求解方法 常用轮廓重叠法和计算法.
3. 最大内接圆柱法
⑴最大内接圆柱
在实际被测圆柱面内,与其相接触且直径为最大的理想圆柱面.以实际圆柱面至最大内接圆柱的径向最大偏离量为圆柱度误差值. ⑵圆柱度误差求解方法 常用轮廓重叠法和计算法.
4. 最小二乘圆柱法
⑴最小二乘圆柱
实际圆柱面上各点至一假象圆柱面的径向距离的平方和为最小，该假想圆柱面称为最小二乘圆柱。

⑵圆柱度误差值求解
由最小二乘圆柱法评定的圆柱度误差值，示值被测的实际圆柱面至最小二乘圆柱轴线的最大距离与最小距离之差。

令轴线的坐标为（a,b ），则有
112m n
ij
j i a n m x ===⋅∑∑，112m n ij j i b n m y ===⋅∑∑ 式中，
ij
y
，
ij
x
为被测圆柱面上的采样点坐标
j 为测量截面序号
i 为每一测量截面内采样点序号
最小二乘圆柱的半径为
111n m
ij
j i R n m r ===⋅∑∑由各采样点至最小二乘圆柱的径向距离为
()
cos sin ji ji ji i i R R a b R R r θθ∆=-=-+⋅+
取
ji
R ∆中的最大值与最小值之差即为圆柱度误差。

球度
一．球度误差的评定方法和数学模型
1.评定方法
利用球度和圆度的相似性(即可认为球面是由无数圆心相同的圆包络所形成)，定义球
度的评定方法: ①最小二乘法 ②最小外接球法 ③最大内接球法 ④最小区域法
各自球心的定义为:
最小二乘球心:对球面测量的空间半径偏差的平方和为最小的球心. 最小外接球心:可以包容球面的最小球的球心.
最大内接球心:可以同球表面内接的最大的球的球心.
最小区域球心:要求包容球面的两个同心球之间半径差为最小的球心.
2.评定方法的数学模型
① 最小二乘法
最小二乘球心坐标和半径的计算公式为：
114n m
ij
i j a mn x ===∑∑，
114n m
ij
i j b mn y ===∑∑，
114n m
ij
i j c mn z ===∑∑，
111n m
ij
i j R mn r ===∑∑
目标函数：
max
min
f ij
ij
R R =-
② 最小外接球法
目标函数：
mcs
f
=③ 最大内接球法 目标函数：
mis
f
=④ 最小区域法 目标函数：
mcs
mis
f f
f
=
-
二．球度误差的测量技术
球度测量使用的仪器通常是圆度仪，三坐标测量机等。

1.在圆度仪上测量
在圆度仪上对球面进行测量的测量原理是利用圆度仪测量球面在不同方位上的最大圆的圆度轨迹，进而通过这些在不同方位的画度来描述空间球面.并通过采样得出球体的测试数据进行计算，得出球度误差.
测量时，测头的旋转轴线和球体的旋转(分度)轴线之间的角度应为90。

，
如下图所示.
为得到并确保圆度轨迹总在最大直径处，必须使用具有一定
曲率半径的测头.用已知角度对球体进行分度测量，这一过程多
次重复，直至所要求分度的次数.通过使用轨迹上点的坐标测量
数据计算得到球度误差，图3表示了该法测量球体的测量轨迹图.
2.在三坐标测量机上测量
①经纬法
经纬法是按经度和纬度线来进行测量的方法，测量的轨迹如
下图所示.纬度线测量从赤道圆开始，再向上、下分别测取n/2条
纬圆.共得n条纬线.测量时,将工件放回转台上，被测球面随工作
台一起转动，而测头不动，每隔一相同角度测取一点，共取m点，
即得各经线在该条纬线上的交点座标，将各纬线上对应的交点联
接起来，即得m条经线.
②扫描法
该法是用测头转动来进行扫描测量，测头为三维传感器，打印出测量数据结果.可建立三维空间直角座标系和球座标系。

该法具有自动测量、自动控制测量力、采样均匀等特点。

表面粗糙度
一．基本概念
⑴表面粗糙度：加工表面所具有的较小间距和峰谷的微观几何形状特性称为表面粗糙度。

⑵取样长度l：指测量或评定表面粗糙度时所规定的一段长度。

在一个取样长度范围内，一般应包含五个以上的轮廓峰和轮廓谷。

⑶评定长度ln：指为了合理且较全面地反映整个表面的表面粗糙度特性，而在测量和评定表面粗糙度时所必需的一段长度，如图所示。

评定长度ln可以包括一个或几个取样长度，一般情况下取ln=5l
⑷基准线：评定表面粗糙度参数值时所取的基准。

⑸轮廓的最小二乘中线：是指具有理想直线形状并划分被测轮廓的基准线，在取样长度内使轮廓上各点到该基准线的距离（轮廓偏距）的平方之和为最小，即
⑹轮廓的算术平均中线：是指具有理想直线形状并在取样长度内与轮廓走向一致的基准线，该基准线将轮廓划分为上下两部分，且使上部分的面积之和等于下部分的面积之和，即
⑺轮廓算术平均偏差Ra ：是指在取样长度l内被测轮廓上各点到基准线的距离yi的绝对值
的算术平均值。

用公式表示为：
⑻微观不平度十点高度Rz：是指在取样长度l内，被测轮廓上五个最大轮廓峰高ypi的平均
值与五个最大轮廓谷深yvi的平均值之和。

用公式表示为：
⑼轮廓最大高度Ry：是指在取样长度l内，被测轮廓的峰顶线与谷底线之间的距离。

二．评定参数的选择
如无特殊要求，一般仅选用高度参数。

推荐优先选用Ra值，因为Ra能充分反映零件表面轮廓的特征。

以下情况例外：
⑴当表面过于粗糙(Ra＞6.3μm)或过于光滑(Ra＜0.025μm)时，可选用Rz，因为此范
围便于选择用于测量Rz的仪器测量。

⑵当零件材料较软时，不能选用Ra。

因为Ra一般采用触针测量。

⑶当测量面积很小时，如顶尖、刀具的刃部、仪表的小元件的表面，可选用Ry值。

三．表面粗糙度的测量方法
表面粗糙度的测量方法基本上可分为接触式测量和非接触式测量两类：在接触式测量中主要有比较法、印模法、触针法等；非接触测量方式中常用的有光切法、实时全息法、散斑法、像散测定法、光外差法、光学传感器法等。

⒈接触式测量
⑴比较法
将被测表面对照粗糙度样板，用手摸靠感觉来判断被加工表面的粗糙度，也可用肉眼或借助于放大镜、比较显微镜比较。

比较法一般只用于粗糙度评定参数值较大的情况下，而且容易产生较大的误差。

⑵印模法
利用某些塑性材料作块状印模，贴合在被测表面上，取下后在印模上存有被测表面的轮廓形状，然后对印模的表面进行测量，得出原来零件的表面精糙度。

对于某些大型零件的内表面不便使用仪器测量，可用印模法来间接测量，但这种方法的测量精度不高且过程繁琐。

⑶触针法
触针法又称针描法，它是将一个很尖的触针(半径可以做到微米量级的金刚石针尖)垂直安置在被测表面上作横向移动。

触针将随着被测表面轮廓形状作垂直起伏运动。

将这种微小位移通过电路转换成电信号并加以放大和运算处理，即可得到工作表面粗糙度参数值。

⒉非接触式测量
⑴光切法
将一束平行光以一定角度投射到被测表面上，光带与表面轮廓相交的曲线影像即反映了被测表面的微观几何形状。

⑵实时全息法。