参数估计的基本方法
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• 2、有效性(Efficiency):好的点估计量应具有较小的方差； • 3、一致性(Consistency):当样本容量增大时，估计量依概
率收敛于总体参数的真值。
抽样估计的优良标准
１．无偏性 作为总体参数估计量的样本统计量，要求其期望
值（平均数）等于被估计的总体参数。这样的估计 量称为无偏估计量。
因此，容易得到在抽样中，总体参数将以同样 的可能性 （概率）存在于下面的区间内：
置信区间
一般地，设总体参数为， L、 U为由样本确定 的两个统计量值，对于给定的（0< <1），有
则称（ L， U ）为参数的置信度为1- 的置信 区间， L、 U分别称为置信下限与置信上限， 为显著性水平， 1- 为置信度。
用s2代替σ2 ，对于给定的置信度1-α，总体均值的置
信区间为
(x z / 2
s n
,
x
z
/2
s) n
例：某进出口公司出口一种名茶，规定每包重量不低于150克。现不 重复抽取1%检验，结果如下。以95.45%的概率估计这批茶叶平均 每包重量范围，以确定该批茶叶是否达到要求。
每包重量（克）
（置信区间）和可源自文库程度（即概率或置信度）。
3、区间估计方法理论
区间估计则是根据样本估计量以一定的可靠程度推断总 体参数所在的区间范围。
如果抽样分布已知，则在点估计中，可以知道抽样的点 估计值与总体参数的离差在某一给定范围内的概率大小， 即以一定的可靠程度知道以下抽样极限误差：
ˆ ˆ
E(ˆ) ,即满足无偏性。 即方差越小
２．有效性
的估计量就
以抽样指标估计总体指标要求作为越优有良效估计量的
方差应比其它估计量的方差小。
若ˆ1和ˆ2都是的无偏估计量，而
2 ˆ1
2 ˆ2
,则称ˆ1更有效。
一般情况下 均可满足
３．一致性 作为优良估计量的样本容量充分
大时，抽样指标也应充分地靠近总 体指标。
148——149 149——150 150——151 151——152
合计
包数 10 20 50 20 100
x 148.5 149.5 150.5 151.5 ——
xf 1485 2990 7525 3030 15030
(x x)2 f
32.4 12.8
2 28.8 76
（三）总体比例的区间估计
P(1 P)
( p z / 2
n
, p z / 2
) n
例：总体比例的区间估计
【例】某城市想
要估计下岗职工
中女性所占的比 例，随机抽取了 100个下岗职工， 其 中 65 人 为 女 性 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计
该城市下岗职工
中女性比例的置 信区间
解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%，
• 在大样本条件下，若 np 5, nq 5，则样本比例趋近于正态分布。 • 对于给定置信度，有
P { p z / 2
P(1 P) n
P
p z / 2
x
z / 2 p
z / 2
P(1 P) n
• 总体比例的置信区间为
P(1 P) } 1
n
P(1 P)
z/2=1.96
p z 2
p(1 p) n
65% 1.96 65%(1 65%) 100
65% 9.35%
55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
的随机变量的算术平均数趋近于数学期望；事件发 生的频率接近于其发生的概率。 即样本统计量接 近于总体参数。 • 因此，可以用样本平均数（或比例）估计总体平均 数（或比例）
2. 中心极限定理是说明：当n充分大时，大量的起
微小作用的相互独立的随机变量之和趋于正态分布。 • 因此可以用正态分布来确定总体参数的估计范围
• 点估计的优点是它提供了总体参数的具体 估计值，可作为决策的依据，其缺点是不 能提供有关抽样误差的信息。
优良估计量的标准
• 对同一总体参数，会有不同的估计量，作 为一个好的点估计量，统计量必须具有如 下性质：无偏性、有效性、一致性
• 1、无偏性（Unbiasedness)：样本估计量的均值等于被估 总体参数的真值；
（二）总体均值的区间估计
• 区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并 使其可靠程度达到预定要求。
• （1） 总体方差σ2已知时
•
由于 α，有
z
x / n
:
N (0,1)
，所以对于给定的置信度1-
P{ z 2
x / n
z } 1 2
•即
P x z / 2
lim P(ˆ ) 1 (为任意小的正数)
n
4．充分性
估计量ˆ包含了样本中关于 的全部信息
三、区间估计（Interval Estimation)
（一）区间估计基本原理 （二）总体均值的区间估计 （三）总体比例的区间估计
（一）区间估计基本原理
1. 大数定律主要是说明：当n足够大时，独立同分布
参数估计的基本方法
一、点估计(Point estimate) 二、区间估计(interval estimation)
一、点估计
• 点估计也称定值估计，就是直接以样本统 计量作为总体参数的估计值。
例如，设一批产品的废品率为θ。为估计θ，从这批产品中随机地抽出n个 作检查，以X记其中的废品个数，用X/n估计θ，这就是一个点估计。
1
n
• 可见，极限误差的计算公式为 • 则总体均值的置信区间为
x
z / 2
n
z / 2 x
(x , x )
x
x
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经称 量和计算，得到平均体重为58千克。根据过去的资料知道 大学生体重的标准差是10千克。在95%的置信水平下，求 该大学学生平均体重的置信区间。
• •
解：已知x=5=81，0/1σ0==101，（z千α/克2=1）.96，n=100
x
n
•
•x
z / 2 x
=1.96×1=1.96（千克）
• 置信下限为58-1.96=57.04，
• 置信上限为58+1.96=59.96
• 故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2） 总体方差σ2未知时
率收敛于总体参数的真值。
抽样估计的优良标准
１．无偏性 作为总体参数估计量的样本统计量，要求其期望
值（平均数）等于被估计的总体参数。这样的估计 量称为无偏估计量。
因此，容易得到在抽样中，总体参数将以同样 的可能性 （概率）存在于下面的区间内：
置信区间
一般地，设总体参数为， L、 U为由样本确定 的两个统计量值，对于给定的（0< <1），有
则称（ L， U ）为参数的置信度为1- 的置信 区间， L、 U分别称为置信下限与置信上限， 为显著性水平， 1- 为置信度。
用s2代替σ2 ，对于给定的置信度1-α，总体均值的置
信区间为
(x z / 2
s n
,
x
z
/2
s) n
例：某进出口公司出口一种名茶，规定每包重量不低于150克。现不 重复抽取1%检验，结果如下。以95.45%的概率估计这批茶叶平均 每包重量范围，以确定该批茶叶是否达到要求。
每包重量（克）
（置信区间）和可源自文库程度（即概率或置信度）。
3、区间估计方法理论
区间估计则是根据样本估计量以一定的可靠程度推断总 体参数所在的区间范围。
如果抽样分布已知，则在点估计中，可以知道抽样的点 估计值与总体参数的离差在某一给定范围内的概率大小， 即以一定的可靠程度知道以下抽样极限误差：
ˆ ˆ
E(ˆ) ,即满足无偏性。 即方差越小
２．有效性
的估计量就
以抽样指标估计总体指标要求作为越优有良效估计量的
方差应比其它估计量的方差小。
若ˆ1和ˆ2都是的无偏估计量，而
2 ˆ1
2 ˆ2
,则称ˆ1更有效。
一般情况下 均可满足
３．一致性 作为优良估计量的样本容量充分
大时，抽样指标也应充分地靠近总 体指标。
148——149 149——150 150——151 151——152
合计
包数 10 20 50 20 100
x 148.5 149.5 150.5 151.5 ——
xf 1485 2990 7525 3030 15030
(x x)2 f
32.4 12.8
2 28.8 76
（三）总体比例的区间估计
P(1 P)
( p z / 2
n
, p z / 2
) n
例：总体比例的区间估计
【例】某城市想
要估计下岗职工
中女性所占的比 例，随机抽取了 100个下岗职工， 其 中 65 人 为 女 性 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计
该城市下岗职工
中女性比例的置 信区间
解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%，
• 在大样本条件下，若 np 5, nq 5，则样本比例趋近于正态分布。 • 对于给定置信度，有
P { p z / 2
P(1 P) n
P
p z / 2
x
z / 2 p
z / 2
P(1 P) n
• 总体比例的置信区间为
P(1 P) } 1
n
P(1 P)
z/2=1.96
p z 2
p(1 p) n
65% 1.96 65%(1 65%) 100
65% 9.35%
55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
的随机变量的算术平均数趋近于数学期望；事件发 生的频率接近于其发生的概率。 即样本统计量接 近于总体参数。 • 因此，可以用样本平均数（或比例）估计总体平均 数（或比例）
2. 中心极限定理是说明：当n充分大时，大量的起
微小作用的相互独立的随机变量之和趋于正态分布。 • 因此可以用正态分布来确定总体参数的估计范围
• 点估计的优点是它提供了总体参数的具体 估计值，可作为决策的依据，其缺点是不 能提供有关抽样误差的信息。
优良估计量的标准
• 对同一总体参数，会有不同的估计量，作 为一个好的点估计量，统计量必须具有如 下性质：无偏性、有效性、一致性
• 1、无偏性（Unbiasedness)：样本估计量的均值等于被估 总体参数的真值；
（二）总体均值的区间估计
• 区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并 使其可靠程度达到预定要求。
• （1） 总体方差σ2已知时
•
由于 α，有
z
x / n
:
N (0,1)
，所以对于给定的置信度1-
P{ z 2
x / n
z } 1 2
•即
P x z / 2
lim P(ˆ ) 1 (为任意小的正数)
n
4．充分性
估计量ˆ包含了样本中关于 的全部信息
三、区间估计（Interval Estimation)
（一）区间估计基本原理 （二）总体均值的区间估计 （三）总体比例的区间估计
（一）区间估计基本原理
1. 大数定律主要是说明：当n足够大时，独立同分布
参数估计的基本方法
一、点估计(Point estimate) 二、区间估计(interval estimation)
一、点估计
• 点估计也称定值估计，就是直接以样本统 计量作为总体参数的估计值。
例如，设一批产品的废品率为θ。为估计θ，从这批产品中随机地抽出n个 作检查，以X记其中的废品个数，用X/n估计θ，这就是一个点估计。
1
n
• 可见，极限误差的计算公式为 • 则总体均值的置信区间为
x
z / 2
n
z / 2 x
(x , x )
x
x
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经称 量和计算，得到平均体重为58千克。根据过去的资料知道 大学生体重的标准差是10千克。在95%的置信水平下，求 该大学学生平均体重的置信区间。
• •
解：已知x=5=81，0/1σ0==101，（z千α/克2=1）.96，n=100
x
n
•
•x
z / 2 x
=1.96×1=1.96（千克）
• 置信下限为58-1.96=57.04，
• 置信上限为58+1.96=59.96
• 故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2） 总体方差σ2未知时